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状态空间分析与设计状态空间分析与设计是系统工程与控制工程中常用的分析和设计方法。
它通过建立系统的状态空间模型，对系统的动态行为进行定性和定量分析，并在此基础上进行系统设计和优化。
本文将深入介绍状态空间分析与设计的相关概念、原理和应用。
一、状态空间分析与设计概述状态空间是系统在任意时刻的状态所组成的集合。
在状态空间中，系统的每个状态都可以由一组状态变量完全描述。
因此，状态空间分析与设计的核心是建立系统的状态方程和输出方程，并利用这些方程进行性能分析和控制器设计。
二、状态方程与输出方程状态方程描述了系统状态的演变规律。
它是一个一阶微分方程，用矩阵形式表示为：x' = Ax + Bu其中，x是状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入矩阵，u 是外部输入。
状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。
它是一个线性方程，用矩阵形式表示为：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
输出方程可以用来分析系统的可控性和可观性，以及设计满足特定输出要求的控制器。
三、状态空间分析方法1. 稳定性分析利用状态方程，可以通过特征值分析判断系统的稳定性。
对于线性时不变系统，当所有特征值的实部小于零时，系统是稳定的。
通过分析系统的特征值，可以设计出稳定性更好的控制器。
2. 响应分析利用状态方程和输出方程，可以分析系统的响应特性。
包括阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。
通过分析系统的响应，可以评估系统的性能，并设计出满足要求的控制器。
3. 控制器设计状态空间方法可以直接用于控制器设计。
常见的控制器设计方法包括状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等。
这些方法都是基于状态空间模型进行的，可以根据系统的要求选择合适的控制器设计方法。
四、状态空间分析与设计应用状态空间分析与设计在工程实践中得到广泛应用。
例如，它可以用于电力系统的稳定性分析和控制、飞行器的自动控制系统设计、机械振动控制等。
状态空间分析法的主要特点及其应用课程：现代控制工程教师：学生：班级：机电研班学号：状态空间分析法的主要特点及其应用机电研班摘要：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。
在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时域分析方法。
现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。
现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。
本文通过分析比较经典控制理论在多输入多输出方面存在的不足，阐述了现代控制理论中的一种方法——状态空间分析法。
本文以线性系统的状态空间表达式为基础对状态空间分析法的特点和应用方面作了一些阐述和论证，并结合现实生活中的一些实际工程问题的分析，论证了此种方法的实用性和先进性。
关键词：现代控制；状态空间分析法；汽轮机；调节系统；动态分析1引言经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入——单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。
但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。
复域分析法对于控制过程来说是间接的。
现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变、非线性、多输入——多输出系统的问题。
现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。
它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统；另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。
随着控制系统的高性能发展，最优控制、最佳滤波、系统辨识，自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。
第九章状态空间分析方法第9章状态空间分析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。
两者作一简单比较。
经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多, 经验起很大作用。
主要在复数设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。
基本要求①掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。
②熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。
熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。
③正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。
④正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。
⑤熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统化为可控标准形。
能将不可控系统进行可控性分解。
⑥正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。
⑦正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。
熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。
⑧正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
⑨熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。
⑩正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。
11正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。
状态空间分析法的主要特点及其应用1.引言60年代以前，研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述，研究对象是 SISO 系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂（MIMO ，时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。
在 50s'后期，Bellman 等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ，为轴所构成的n 维向量空间。
这样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。
利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统，而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明 I-O 关系，还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法 ：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题，显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的推广和应用。
2.状态空间分析法在部分系统中的应用2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM 系统），而且可以将其简化，同时便于计算机处理。
状态空间模型及其在控制工程中的应用状态空间模型，也称为状态变量模型，是控制工程中一种常用的数学模型方法。
它以系统的状态变量为描述对象，通过状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
本文将介绍状态空间模型的基本概念，以及它在控制工程中的应用。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型是一种以状态变量为基础的数学模型，用于描述系统的动态行为。
状态变量是系统在某一时刻的内部状态，而状态方程则描述了状态变量随时间的演化规律。
更具体地说，状态空间模型可以表示为以下形式：˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为n维的状态向量，表示系统在时刻t的内部状态；u(t)为m维的输入向量，表示系统在时刻t的外部输入；y(t)为p维的输出向量，表示系统在时刻t的输出；A为n×n维的系统矩阵，描述了状态变量的演化规律；B为n×m维的输入矩阵，描述了输入对状态的影响；C为p×n维的输出矩阵，描述了状态对输出的影响；D为p×m维的直接传递矩阵，描述了输入对输出的直接影响。
二、状态空间模型在控制工程中的应用1. 控制器设计：状态空间模型可以方便地用于控制器的设计与分析。
通过对系统的状态变量建模，可以设计出满足特定性能指标的控制器。
例如，可以利用状态反馈控制的方法，通过选择合适的反馈增益矩阵K，使得系统的状态能够稳定地收敛到期望的状态。
此外，还可以利用最优控制理论，基于状态空间模型设计出最优控制器，使得系统的控制性能最优化。
2. 系统仿真与分析：状态空间模型可以用于系统的仿真和分析。
通过将系统的参数代入状态方程和输出方程，可以得到系统的时域响应和频域特性，从而可以对系统的稳定性、响应速度以及抗干扰能力等进行分析。
此外，通过对状态空间模型做变换，还可以将系统的连续时间模型转化为离散时间模型，从而方便地进行数字控制系统的设计与分析。
3. 状态估计：状态空间模型还可以用于系统状态的估计与观测。
状态空间法分析及其应用的特点摘要基于为寻求便于分析系统的性能的相应状态变量以及探究状态空间变量线性变换对系统性能的影响，来阐述状态空间分析法的特点。
通过应用状态空间法到绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构进行数值模拟分析中来进一步阐述其特点，将结构控制理论中的结构状态空间法应用到该复合支座隔震结构的数值模拟分析中。
建立了普通框架、安装叠层橡胶支座和安装绞线一叠层橡胶复合支座框架的结构状态方程，应用MATLAB/SIMULINK工具箱建立结构仿真模型，得出不同条件下框架结构的时程反应曲线。
通过对比分析可以看出绞线一叠层橡胶复合支座能很好地改变结构的隔震效果，应用状态空间法进行绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构的数值模拟分析简单准确。
关键词：系统、传递函数、线性变换、状态空间变量一、引言状态空间分析从实质上说并不是什么新颖的东西，其关键思想起源予19世纪到拉格朗日、哈密顿等人在研究经典力学时提出的广义坐标与变分法。
当然，由高斯等人奠定的古典概率、估计理论以及线性代数等也具有同样的重要性。
上世纪40年代以来，布利斯、庞德里亚金和别尔曼关于极大值原理，卡尔曼、布西与巴丁等人提出的卡尔曼滤波理论，以及许许多多的学者完成的并不具有里程碑意义的研究成果，积累起来却对算法及分析结果产生了决定性意义的贡献。
这些便是状态空间方法发展的历史概况。
状态空间分析是对线性代数、微分方程、数值方法、变分法、随机过程以及控制理论等应用数学各学科的综台。
对动态系统的性能分析，特别是对扰动的响应、稳定性的特性、估计与误差分析以及对控制律的设计及性能评估，这些便构成状态空间分析的内容。
这主要表现在利用向量、矩阵等一整套数学符合，把大量资料加以整理与综合，形成了观念上统一的体系——60年代中期之后出现了现代控制理论。
状态空间分析随着动力学与控制问题维数的增加(其中包括坐标、敏感器、执行机构以及其它装置的数量)而越发显得重要。
另一方面亦由于计算机软件的不断完善，特别在可靠性及用户接口方面的改善与进展，使得计算工作比以前任何时候都易于进行，使状态空间分析越发显得有生命力。
它具有的特性使得在设计控制系统时，不在只局限于输入量、输出量和误差量，为提高系统性能提供了有力的工具，加之可以利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统以及随机过程等。
二、状态空间分析法状态空间模型描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。
每一变量都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量也称为状态变量。
系统运动状态是由一组独立（或数目最少）状态变量确定的。
这一组独立状态变量的个数就表示系统的维数。
一个由n 阶微分方程描述的系统，就有n 个独立的状态变量。
或者说这n 个状态变量是完全能描述系统运动状态必需的。
若变量数目多于n ，则必有变量不独立；若变量少于n ，则不能完全描述系统的运动状态。
状态变量的选取对一个系统来说不是唯一的，一般选取易于测量的变量。
由这些变量组成描述系统的式子为状态变量表达式，由以下组成： 1）状态方程状态方程式是描述状态量与输入量之间的关系的一阶微分方程组（连续的时间系统）或一阶差分方程（离散时间系统）。
系统的状态方程表征了系统有输入引起的内部状态变化的规律。
连续系统的状态方程的一般形式表示为： ]),(),([)(t t u t x f t x =•=AX+BU;x(t)—连续时间系统的n 维状态变量； u(t)—连续时间系统的r 为输入矢量； A —系统内部状态的联系即系统矩阵； B —系统的输入矩阵；2）输出方程输出方程描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间的关系的代数方程，其一般表达方式如下：y(t)=g[t t u t x ),(),(]=CX+DU;C —系统的输出矩阵；D —系统的直接传输矩阵；2.1 建立状态空间的表达式对于实际的工况可以建立其物理的模型，然后建立相应的微分方程利用状态空间实现的方法将系统相应的状态表达式写出。
将描述系统输入/输出关系的微分方程或传递函数转换成状态空间表达式，这样的问题称为状态空间表达式的实现问题。
所求得的状态空间表达式既能保持原传递函数所确定的输入输出的关系，又将系统内部关系揭示出来,揭示系统所有状态的运动。
常用的实现的问题方法：① 传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下，系统的微分方程为：u b y a y a y a y n n n 00)1(1)1(1)(=++++--相应的系统传递函数为: 01110)(a s a s a s b s G n n n ++++=--由此可的出其相应的状态空间表达式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••••••-x x n n x x 121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121010001000010n a a a a⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••-n n x x x x 121+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••1000u ； x •= A X + b u ；y =[]0000•••b X②传递函数中有零点时的实现 当系统的微分方程如下：u b u b u b y a y a y a y m m n n n 0)1(1)(0)1(1)1(1)(+++=++++--其实现为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••••••-x x n n x x 121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121010001000010n a a a a⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••-n n x x x x 121+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••1000u ； x •= A X + bu ；y =()()()[]n n n n n b a b b a b b a b 111100---•••--X +u b n2.2状态空间分析法特点1、状态变量对于一个给定的定常系统，可以选取许多种变量状态，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，但有些变量的选取不便于对系统的研究，因此将它转化为标准的约旦矩阵或友矩阵，这样有利于对系统的特性的研究。
设给定的系统为：DuCx y x x Bu Ax x +==+=•0)0(;；取一个非奇异的矩阵T 使x=Tz ；此时获得一个新的状态空间表达式：DuCTz y x T z Bu T ATz T z +==+=---•)0()0(;111； 对于系统的坐标的变换一定不改变系统的特征值，对系统的传递函数也没有影响。
当系统的)(1约旦矩阵J AT T =-此时系统的矩阵转化为约当标准型。
当系统矩阵的特征值有重根时，化为标准型时，由约旦矩阵可以发现状态变量存在耦合的现象，这不便对系统的研究。
任何系统的状态变量都不是唯一的，可以经过一个非奇异的线性变换获得有利于研究系统的状态变量。
任意的系统矩阵都能与一个约旦矩阵或对角阵相似，若其与约旦矩阵相似，则它的状态变量之间必存在耦合的现象。
2、系统的解耦每一个输入都受着每一个输入的控制，这种输入和输出之间存在相互耦合的关系称作耦合系统。
对于一个耦合的系统会给控制带来很大的麻烦，因此通过状态空间分析法可以对系统实现解耦，进而实现一个输出仅受相应的一个输入的控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出。
实现解耦后系统的传递函数矩阵就化为如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=~11~11~11~)(00)()()(s G s G s G s G 通常的解耦方法有：前馈补偿器解耦、状态反馈解耦。
解耦系统主要特征是传递函数矩阵为对角矩阵为对角线矩阵，其必要条件是系统的输入与输出数目是一致。
使用状态空间分析法来对复杂系统的解耦，是基于传递函数研究输入与输出的关系，不直接涉及到内部状态变量，状态变量的选取以及它的线性变换对系统的解耦没有直接的影响。
对于一些多输入多输出的复杂系统，将其转化为解耦系统，这样可以方便对系统的输出的控制，使得每一个输入以输出的关系都是一一对应。
3、能控性和能观性状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化。
能控性和能观测性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及y(t)对状态x(t)的反映能力。
系统的可控性和可观性是针对内部状态量来说的。
常用判别系统的能控性和可观性的判据如下：①、对于线性定常系统[]∑C B A ,,状态能控的充分必要条件是n ⨯nr 能控矩阵],,[1B A AB B M n -•••=的秩为n 。
②、对于线性定常系统[]∑C B A ,,状态能控的充分必要条件是mn ⨯n 能控矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=-1n CA CA C N 的秩为n 。
当一个系统经过状态变量经过非奇异变换后，系统的能观性和能控性不会随之发生变化：原系统为[]∑x C B A 其状态变量为,,；非奇异变换z=Tx,则新系统为[]∑--CT B T AT T,,11=[]∑111,,C B A ，对于新系统的能控性和能观性的判断如下： 对于新系统的11B A =B ATT T 11--AB T 1-=,11A C =CAT AT CTT =-1;An1=T A T AT T AT ATT T n 1111----=•••所以：1M =[][][]B A AB B T B A T AB T B T B A B A B n n i n 11111111111,,,,,,,,,-------•••=•••=•••显然新系统的能控性判别矩阵是由原系统的能控性判别矩阵经过初等变换得到的，则)()(1M rank M rank =，T CA CA C T CA CAT CT A C A C C N n n n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•••=---111111111；显然新系统的能观性的判别矩阵是由原系统的能观性判别矩阵经过初等变换得到的，则)()(1N rank N rank =总之对于一个控制系统的研究，可以将状态空间变量进行非奇异变换转换成更方便对系统性能研究的变量和系统矩阵，系统能观性和能控性不受任何影响。
能观性与能控性的研究可以了解系统状态变量与输入或输出的关系，与经典控制理论相比，利用它来分析可以来分析内部一些变量的结构，因此便于更深入的去研究一个复杂的系统。
4、系统的稳定性在经典控制理论中常对系统的稳定性研究仅仅是针对系统的外部稳定，它是基于传递函数的输出在输入的基础上的稳定性，但不能对系统的内部各结构稳定与否。
