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第9章 线性系统的状态空间分析与综合•重点与难点—、基本概念1. 线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是 关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示：x y（2） 状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、 传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3） 状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数） 是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作 为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性 变换的目的在于使系统矩阵 A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性 变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵 A 化为三种规范形式:对角形、约当形和模式矩阵。
（4） 线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵BuDu（9.1）Ax Cx 结构图、（t ）（即矩阵指数e At ）及其性质:x(k) 1UkT ))Dkk)G(T)u(k)(9.8)i . (0) Iii . (t) A (t) (t)Aiii . (t 1 t 2 ) (t 1 ) ( t 2) (t 2)(t 1)iv. 1(t) ( t) v.[(t)]k(kt)vi. exp(At) exp(Bt) exp[( A B)t] (AB Bvii .exp(P 1APt) P 1exo( At)P (P 非奇异) 求状态转移矩阵 (t)的常用方法:拉氏变换法(t) L[(slA)1]级数展开法At ,", 1 A 2 2 1"k,k e IAt A tA t k!齐次状态方程求解x(t) (t)x(0)非齐次状态方程式(9.1)求解tx(t) (t)x(0)0 (t )Bu( )d(5) 传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵G(s):输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系1G(s) C(sl A) 1B D(9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵 G(s)，找一个系统｛代B,C, D ｝使式(9.6) 成立，则将系统｛A, B,C,D ｝称为G(s)的一个实现。
·258·第9章 线性系统的状态空间分析与综合例题解析例9-1 对于图9-1所示的质量－弹簧系统，当外力F （t ）作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图示。
如不计摩擦，试：（1）以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，列写系统的运动方程； （2）求从F (s )到y (s )的传递函数； （3）以框图表示上述系统；（4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。
图9-1 质量－弹簧系统解：（1）设质量块m 1的位移为z ，根据牛顿定律有zm y z k t F 11)()(=-- 1) 同理对质量块m 2有y m y k y z k 221)(=-- 2) 联立式1）和2）消去中间变量ｚ，得出系统微分方程： )(])[(12121121)4(21t F k y k k ym k m k k ym m =++++ 3) (2) 对式3）进行拉氏变换可得212211214211])[()()(k k s m k m k k s m m k s F s Y ++++=4)·259·(3) 对式（1）进行拉氏变换可得 121`11)()()(k s m s F s Y k s Z +=+ 5) 同样处理式2)有21221)()(k k s m k s Z s Y ++=6) 由式5)，式6)可以画出系统结构图，如图9-2所示。
图9-2 系统结构图（4）设状态变量z x xz x ===211y x xy x ===433 由式1) x m k zx 112-== 11311)(m t F x m k ++ 由式2) 12132214x m kx m k k yx ++-== 因此有)(0010001000000011221221111t F m x m k k m k m k mk x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--= []x y 0100=·260·例9-2 在图9-3所示系统中，若选取x 1，x 2 ，x 3作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式.图9-3解： 由结构图可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=-+=-11313221)1()(2)3()2x y sx x x s s x x x s x u （整理可得系统状态空间方程表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+--==132.321.23.132232x y x x x u x x x x x写成矩阵的形式[]x y u x x 001020320032100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=例9-3 设系统微分方程为u u u y y yy 1588147++=+++ 系统初始条件为零，试：（1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图； （2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。
