状态空间分解法计算公式分析

已知传递函数求状态空间表达式传递函数是描述线性系统的重要工具，但有时我们需要将其转换为状态空间表示以便于分析和实现。

本文将介绍已知传递函数如何求解状态空间表达式的方法。

首先，我们将传递函数表示为分子多项式$N(s)$除以分母多项式$D(s)$的形式：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)}$$接下来，我们可以使用部分分式分解将传递函数拆分为若干个一阶系统的和：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)} = frac{K_1}{s-a_1} +frac{K_2}{s-a_2} + cdots + frac{K_n}{s-a_n}$$其中，$a_1, a_2, cdots, a_n$ 是传递函数的极点，$K_1, K_2, cdots, K_n$ 是对应的系数。

接着，我们可以将每个一阶系统表示为状态空间形式：$$begin{aligned} dot{x}_i &= a_ix_i + b_iu y_i &= c_ix_i + d_iu end{aligned}$$其中，$x_i$ 是系统的状态向量，$u$ 是输入信号，$y_i$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 是系统的系数。

注意，每个一阶系统的状态向量可能不同，因此需要为每个系统定义不同的状态向量。

最后，将每个一阶系统的状态空间表达式相加即可得到整个系统的状态空间表示：$$begin{aligned} dot{x} &= begin{bmatrix} dot{x}_1dot{x}_2 vdots dot{x}_n end{bmatrix} = begin{bmatrix} a_1 & 0 & cdots & 0 0 & a_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_n end{bmatrix} + begin{bmatrix} b_1 b_2 vdots b_nend{bmatrix} u y &= begin{bmatrix} c_1 & 0 & cdots & 0 0 & c_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_nend{bmatrix} + d_1u end{aligned}$$其中，$dot{x}$ 是整个系统的状态向量，$y$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 在矩阵中的位置与之前相同。

第2章 状态空间表达式的解第1节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程0(0)x Ax x x ==的解为0()Atx t e x = (0)t > 式中，22()2!!kAt k tAt e I At A k ∞∆==+++=∑ 证明：用拉普拉斯变换法。

对 x A x = 作拉氏变换，得0()()s X s x AX s -=10()()X s sI A x -=-110()[()]x t L sI A x --=-因为 223111()()sI A I A A I s s s -+++=故 1223111()sI A I A A s s s --=+++12023111()[]x t L I A A x s s s-=+++ 2201()2!I At A t x =+++0Ate x =顺便可知])[(11---=A sI L eAt第2节 矩阵指数函数Ate1、Ate 的定义和性质（1）定义22()2!!kAtk tAt e I At A k ∞==+++=∑ 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ⨯阶；Ate —矩阵指数函数，n n ⨯阶时变矩阵。

若A 中各元素均小于某定值，Ate 必收敛；若A 为实矩阵，Ate 绝对收敛。

（2）基本性质：◆组合性质：)(2121t t A At At ee e+=其中21,t t 为相衔接的两时间段。

推论1：I eeee A t t A t A At ===--0)()(推论2：)(1][t A At ee --=◆微分性质：A e Ae e tAt At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则tB A BtAt eee )(+=◆若1-P 存在，则P e P eAAP P 11-=-2、Ate 的计算 （1）级数计算法()!kAtk At e k ∞==∑ （2）拉氏变换法])[(11---=A sI L eAt当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。

马尔可夫链状态空间的分解一、实验内容生成一个状态个数大于100的马尔可夫链，状态之间的转移关系随机设定（例如某状态可以一步到达其他状态的比例为10%）1）将状态空间按常返性和互通性进行分解2）在1）的基础上对周期不可约马尔可夫链进行分解二、理论基础设C 为状态空间I 的非空子集，若对任意C i ∈及C k ∉都有0=ik p ，则称C 为（随机）闭集，若C 中所有状态是互通的，称C 是不可约的闭集。

若马尔可夫链}{n X 的状态空间I 是不可约的闭集，则称}{n X 为不可约的马尔可夫链。

1. 按常返性和互通性进行状态空间的分解任一马尔可夫链的状态空间I ，可唯一地分解成有限个或可列个不相交的 集D ，C 1，C 2，……之和，使得1）每一C n ，n=1，2，…是常返态组成的不可约闭集；2）C n ，n=1，2，…中的状态同类，即或全是正常返，或全是零常返，它们有相同的周期，且1=ik f ,n C k j ∈,;3）D 是由全体非常返状态组成，自C n 中的状态不能到达D 中的状态。

2. 按对周期不可约马尔可夫链进行分解周期为d 的不可约马氏链，其状态空间C 可唯一地分解为d 个互不相交的子集之和，即s r G G G C s r r d r ≠Φ=⋂⋃=-=,,1且使自G r 中任一状态出发，经一步必转移进入G r+1中（其中G d =G 0）。

三、具体步骤1. 按常返性和互通性进行状态空间的分解1）生成马尔可夫链的转移矩阵P ，即生成100*100的随机矩阵，行向量元素之和为1；2）筛选出吸收态，即为单点闭集，存储在C1中的行向量中；3）筛选出各状态所有的可能路径，路径不重复，每一条路径只返回第一个状态，不返回中间状态，存储在T1中；4）从T1中提取可能的常返闭集，（不包括单点闭集），即在T1的路径中筛选出首尾相同状态的路径，存储在T2中；5）从T2中筛选出真正的常返闭集，自该闭集的内部不能到达它的外部，存储在Cn的行向量中；6）根据C1和Cn，去掉状态空间所有的常返态，即为全体非常返态，存储在D中。

一、概述状态空间法是一种经典的控制工程方法，它可以用来求解动力学系统的运动方程。

对于多自由度系统而言，状态空间法可以更加直观地描述系统的运动规律，方便进行控制器设计和系统分析。

本文将以6自由度运动方程为例，介绍状态空间法的求解过程。

二、背景知识1. 6自由度运动6自由度运动是指物体在三维空间中具有6个独立的自由度，它们可以分别描述物体的位置和姿态。

这种运动状态下，物体的运动方程相对复杂，需要通过合适的方法进行求解。

2. 状态空间法状态空间法是一种用矩阵和向量表示动力学系统运动方程的方法。

它将系统的状态量表示为向量，将系统的输入和输出表示为矩阵，通过线性代数的方法求解系统的数学模型。

三、状态空间法求解步骤1. 系统建模我们需要根据物体的运动特性建立系统的动力学模型。

对于6自由度运动，可以利用牛顿-欧拉方程或拉格朗日方程进行建模，得到系统的运动方程。

2. 状态量定义将系统的状态量表示为一个状态向量，其中包括物体的位置、速度、加速度和姿态等信息。

3. 定义输入输出系统的输入输出可以表示为矩阵，其中输入是外部施加的力或扭矩，输出是系统的位置和姿态信息。

4. 构建状态方程根据系统的动力学模型和状态量定义，可以建立系统的状态方程。

状态方程描述了系统状态的演变规律，可以用矩阵形式表示为x' = Ax + Bu，其中x'为状态变化率，A为状态转移矩阵，B为输入矩阵，u为外部输入。

5. 构建输出方程根据系统的输出定义，可以建立系统的输出方程。

输出方程描述了系统的输出与状态和输入之间的关系，可以用矩阵形式表示为y = Cx + Du，其中y为系统的输出，C为输出矩阵，D为直接传递矩阵。

6. 求解系统通过线性代数的方法，可以求解状态方程和输出方程，得到系统的数学模型。

这个模型可以用来进行系统分析、控制器设计等工作。

四、实例分析我们以一个飞行器的姿态控制系统为例，介绍状态空间法求解6自由度运动方程的具体步骤。

状态空间方程状态空间方程是一种用于描述动态系统的数学模型。

它的变量表示系统的状态，而方程则描述在时间上状态的变化。

状态空间方程也被称为状态方程或者状态转移方程。

它常被用来描述、分析和控制系统，是动态系统理论中最基本的抽象模型。

状态空间方程通常由以下几部分组成：状态变量：状态空间方程的状态变量表示系统的当前状态，例如位置、速度、加速度等。

状态变量由一个向量来表示，该向量可能包括多个不同的变量，例如X=(x1,x2,x3,...,xn)。

输入变量：输入变量表示系统的外界输入，例如电流、压力、力等。

输出变量：输出变量表示系统的输出，例如位置、位移、速度等。

系统参数：系统参数是一组参数，用于描述系统的物理特性或行为，例如质量、阻尼、弹性系数等。

状态空间方程可以用以下形式表示：dx/dt=f(x,u,p),其中x表示状态变量，u表示输入变量，p表示系统参数，f为一个函数，用于描述系统的行为。

在工程中，通常会根据系统的物理规律和行为来推导出该系统的状态空间方程，从而使用该模型来描述系统的状态变化。

例如，一个单体物理系统的状态空间方程可以用以下形式表示：dx/dt = Ax+Bu,其中x代表系统状态变量，A代表系统参数，B代表输入矩阵，u代表输入变量。

另一个例子是一个简单的手臂机械臂模型的状态空间方程：dx/dt = (J-D)θ+Gt,其中x代表系统状态变量，J代表机械臂的转动惯量，D代表阻尼系数，G代表扭矩矩阵，t代表外部输入力。

可以看出，状态空间方程是动态系统理论中最基本的抽象模型，它可以用来描述、分析和控制系统。

状态空间方程可以以各种形式表示，但其基本原理是一致的：状态变量由外部输入和系统参数决定，并随时间变化。

状态空间的解状态空间是系统控制理论中的重要概念，是描述系统状态演变的数学模型。

状态空间分析是现代系统分析与设计中的基本方法之一，对于控制系统的设计，参数的选取和分析、系统建模等都有着重要的意义。

在本文中，我们将围绕状态空间的解做进一步的阐述。

一、状态空间模型的基本概念状态空间模型是针对动态系统建立的数学模型，它是基于状态的描述系统行为的模型。

状态表示系统在某一时刻的情况，因此，在状态空间模型中，状态是基本变量。

状态空间模型包括状态方程与输出方程，状态方程描述系统状态随时间的演变规律，输出方程给出状态的函数关系式。

二、状态空间模型的求解状态空间模型求解的本质就是求解状态方程。

状态方程描述了系统状态的时变规律，因此求解状态方程就是求解系统状态随时间变化的规律。

具体步骤如下：(1) 确定状态变量：状态变量就是系统中的未知量。

根据系统的特性，选择合适的状态变量，并找到他们之间相互的关系。

(2) 建立状态方程：根据系统的动力学方程，建立状态方程，通常使用矩阵表示。

在得到状态方程后，可以使用状态观测器对系统状态进行估计。

(3) 建立输出方程：输出方程是状态空间模型的另一个重要方程，它描述了系统的输出与状态之间的关系。

输出方程通常使用矩阵表示，矩阵元素是系统输出中的变量与状态变量之间的函数关系。

(4) 求解状态方程：最终需要求解的是状态方程。

可以使用拉普拉斯变换或者矩阵方法求解状态方程。

三、状态空间模型与控制状态空间模型在控制系统的设计中扮演着重要的角色，控制系统通常是以状态反馈的方式进行设计和实现。

在控制系统中，状态观测器对系统状态进行估计，得到状态之后进行比较和设计反馈控制器。

实现了状态反馈的控制器被称为状态反馈控制器，状态反馈控制器的性能优于传统的PID控制器，在现代控制系统设计中有广泛的应用。

四、总结状态空间模型是现代控制理论中的基本模型，它描述了系统状态随时间演变的规律。

在控制系统的设计中，状态空间模型有着重要的应用，通过建立状态方程与输出方程，可以使用状态观测器对系统状态进行估计，实现状态反馈控制器的设计与应用。

第二章状态空间分析法2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。

设系统有n个状态变量x1，x2，…，x n，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，x n为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:X = (x1，x2，…，xn)TX称作系统的状态向量。

设系统的控制输入为：u1，u2，...，u r，它们也是时间t的函数。

记：U = (u1，u2，...，ur)T那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。

………………………………………………………………（2－1）其中F = (f1，f2，...，f n)T是一个函数矢量。

设系统的输出变量为y1，y2，...，y m，则Y = (y1，y2，...，y m)T 称为系统的输出向量。

表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。

…………………………………………………………. (2－2)其中G = (g1，g2，...，g m)T是一个函数矢量。

在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。

根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：∙线性定常(时不变)系统（LTI-Linear Time Invariant）；∙线性不定常(时变)系统；∙非线性定常系统；∙非线性时变系统。

在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。

这时，系统的动态方程可以表示如下：…………….（2－3）………………（2－4）写成矢量形式为：……………………………………………………………………………（2－5）上式中，A nxn称为系统矩阵，B nxr称为输入(或控制)矩阵。