第9章 线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数Ate ）及其性质：i ． I =)0(φii ．A t t A t )()()(φφφ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+iv. )()(1t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ=vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At PAPt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法：拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2）级数展开法ΛΛ+++++=k k At t A k t A At I e !12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解⎰-+=tBu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。
当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。
传递函数矩阵的实现并不唯一。
实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。
（6）线性定常连续系统的离散化及其求解对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述(9.8)为⎩⎨⎧+=+=+ )()()( )()()()()1(k D k Cx k y k u T G k x T k x φ 其中 T t t T ==)()(φφ⎰=TB T G 0d )()(ττφ 离散状态方程式（9.1）的解为∑-=--+=101)()()()0()()(k i i k ki u T G T x T k x φφ (9.9) 2. 线性系统的可控性与可观测性（1）系统的（状态）可控性。
设系统状态方程为Bu Ax x +=&，若在有限时间间隔],[0f t t t ∈内存在无约束的分段连续控制函数)(t u ，能使系统从任意初始状态)(0t x 转移到任意的终止状态)(f t x ，则称系统是状态完全可控的，简称可控。
线性定常连续系统可控性常用判据：1） rank n B A B A AB B n =-] [12Λ (9.10)2）当A 为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵B 中无全零行（当矩阵A 有相同特征根时不适用）。
当A 为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零（当相同特征根分布在两个或两个以上约当块时不适用）。
3）B A sI 1)(--的行向量线性无关。
4）单输入系统},{B A 为可控标准形。
5）单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系统可控、可观测（对多输入多输出系统不适用）。
连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控；连续系统可控，离散化后的系统不一定可控（与采样周期的选择有关）。
（2）系统输出可控性。
设系统状态空间表达式为式（9.1）,若在有限时间间隔],[0f t t t ∈内，存在无约束的分段连续控制函数)(t u ，能使系统从任意初始输出)(0t y 转移到最终内测量到的输出)(f t y ，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。
输出可控性判据为rank )(]D C CAB [1阵的行数C q B A CB n =-Λ状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。
单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。
（3）系统状态可观测性。
已知输出)(t u 及有限时间间隔],[0f t t t ∈内测量到的输出)(t y ，若能唯一确定初始状态)(0t x ，则称系统是完全可观测的，简称可观测。
常用可观测性判据：1） rank n C A C A C T n T T T T =-])( [1Λ (9.11)2）当A 为对角矩阵且有相异特征值时，输出矩阵无全零列（A 阵有相同特征值时不适用）。
当A 为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零（相同特征值分布在两个或更多个约当块时不适用）。
3）1)(--A sI C 的列向量线性无关。
4）单输出系统},{C A 为可观测标准形。
连续系统离散化后的可观测性：连续系统不可观测，离散化后一定不可观测；连续系统可观测，离散化后不一定可观测（与采样周期的选择有关）。
对偶原理：线性系统},,{1C B A S 与},,{2T T T B C A S 互为对偶系统。
若系统1S 可控，则2S 可观测；若系统1S 可观测，则2S 可控。
（4）线性定常系统的规范分解。
从可控性、可观测性出发，状态变量可分解为可控可观测co x 、可控不可观测o c x 、不可控可观测o c x 和不可控不可观测o c x 四类。
以此对应将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的规范分解。
研究规范分解能更明显地提示系统结构特性和传递特性。
3. 线性定常系统的状态反馈与状态观测器（1）状态反馈与极点配置。
用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可控。
状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。
在引入状态反馈后，系统可控性不变，但其可观测性不一定与原系统一致。
单输入无零点系统在引入状态反馈后不会出现零极点对消，故其可观测性与原系统保持一致。
（2）输出反馈（到状态微分处）与极点配置。
用输出反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可观测。
输出反馈不改变系统的零点。
在引入输出反馈后不改变系统的可观测性，但其可控性不一定与原系统保持一致。
（3）输出到输入参考点的常值增益反馈可以配置的闭环极点数为}1,min{-+q p n ，式中C q B p rank ,rank ==，故一般情况下不能像输出到状态微分处反馈那样任意配置系统闭环极点。
（4）状态观测器及其设计。
若被控系统},,{C B A 可观测，则其状态可用形如Hy Bu x HC A x++-=ˆ)(ˆ& (9.12) 的全维状态观测器给出估值。
矩阵H 按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。
分离定理：若被控系统可控可观测，当用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。
即矩阵K 与H 的设计可分别独立进行。
4. 李雅普诺夫稳定性分析（1）李雅普诺夫意义下的稳定性：平衡状态：在无外部激励的条件下，系统能维持在某个状态而不变化，即0==e x x x&则称e x 为一个平衡状态。
零状态是线性系统的平衡状态，且当系统矩阵非奇异时，零状态是唯一的平衡状态。
李雅普诺夫稳定性：若要求0||)(||0>≤-εe x t x ，存在0),(0>t εδ，只要),(||)(||00t t x t x e δ<-，上述条件更可满足，则称系统在e x 处稳定。
（2）李雅普诺夫第二法（直接法）：标量函数)(x V （如二次型函数）的定号性：正定、正半定、负定、负半定、不定。
李雅普诺夫稳定性定理：设系统状态方程为),(t x f x=&，其平衡状态满足0),0(=t f ，并设在原点邻域存在),(t x V 对x 的连续一阶偏导数，则有定理1：若),(t x V 正定，),(t x V&负定，则原点是渐近稳定的。
定理2：若),(t x V 正定，),(t x V &负半定，]),,;([00t t x t x V &在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。
定理3：若),(t x V 正定，),(t x V&负半定，]),,;([00t t x t x V &在非零状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
定理4：若),(t x V 正定，),(t x V&正定，则原点是不稳定的。
当平衡状态不在原点时，可通过坐标变换将其置于原点上，坐标变换不改变系统的固有性质。
（3）线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。
设系统状态方程为A Ax x,=&为非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。
取二次型函数)(x V 作为可能的李雅普诺夫函数，即Px x x V T =)(则 x AP P A x Qx x x V TT T )()(+=-=& 系统渐近稳定的充要条件是：给定一正定实对称矩阵Q ，有唯一的正定实对称矩阵P ，Q AP P A T -=+成立。
Px x T 是系统的一个李雅普诺夫函数。
线性定常离散系统)()1(k x k x φ=+，零平衡状态0=e x 渐近稳定的充要条件是：任意给定一个正定实对称矩阵Q ，存在一个正定实对称矩阵P ，满足李雅普诺夫方程。
