工程流体力学教学课件---第六章水波理论

（在物面上）
2
t 2
g
z
0
(z 0)
初始条件： 自由表面条件
F x, y
t
f
x,
y
当求得波动的速度势 后，自由表面形状为
1 g
t z
压强分布根据线性化后的拉格朗日积分式
p
gz
t
0
（p为相对压强）
6.3 深水微幅简谐波
6.3.1 深水微幅进行波
速度势的形式：
Aekz sin k x ct
则利用水中运动物体表面不可穿透条件为
dF d (z ) 0
dt dt
运动学条件为（利用水中运动物体表面不可穿透条件）：
当z x, y,t 时，
z t x x y y 自由表面动力学条件（设自由表面上的压强为 pa ， 相对压强 p 0 。
当z x, y,t 时，
g 1 2 0
第6章 水波理论
波浪运动是自然界中最常见的现象之一 。
一般波浪的产生需要以下两个条件：对于处 于平衡状态的水需要有破坏其平衡的扰动力以及 使其恢复平衡的回复力。
在回复力中最重要的是重力，特别是水自 由表面的波浪，当水表面受到扰动力液面离开 水平位置（即平衡位置），重力就会使此面恢 复到原来的位置；因此这种波浪往往称为表面 重力波，简称表面波，重力波或水波。
1.自由面形状
c2 g k
－1 g
t
z0
A kc cosk(x ct) g
A0
cosk(x ct)
2.主要参数之间的关系
（1）波长
x2
x1
2π k
（2）周期 （3）圆频率 （4）波速c
T
t1
2π
t2
2π kc
kc
T
dx c
dt
波速与波长的关系如图6.3所示。
c gd
深水波
c=
gλ
2π
浅水波 c= gd
体，而且是无旋的，在流体域内必定存在速度势 ，质
量力仅仅是重力。 基本方程如下:
不可压缩流体连续方程为 v 0
流体是无旋的，存在着速度势 2 x, y, z,t 0
且
u
x
,
v
y
,
w
z
或
v
拉格朗日积分式为
gz
p
v2 2
t
0
6.2.2 边界条件
(1) 设水域底部的深度为d，则水域底部边界条件 ：
vn
n
zd
0
(2) 物面条件（如船体、水上建筑物等):
vn
n
Un
式中U n为物体运动速度在物面外法线方向的投影。
(3) 在自由表面上，水波的高度（离静止水面） 为 (x, y,t) ，则自由表面的方程为z (x, y,t（) 波面方程 或自由液面方程) 。
边界面方程为 F x, y, z,t z x, y,t 0
t
(3)当上述两种初始扰动都存在时F x, y
t
f
x,
y
在水波理论利用了微幅波理论假定后，它还要寻求
满足下列方程和边界、初始条件的速度势 (x, y, z,t)。
基本方程
2＝0
d z 0
边界条件：水底条件
z
0
(z d)
物面条件
n
Un
自由表面条件
t 2
6.2.3 微幅进行波的基本方程和边界条件
相对引于进 波微 长幅 为波小假量定，。所或谓A微0 幅 1波，，它是使指得波自动由的表振面幅上A边0
界条件线性化，从而在求解上较为简单。
对于微幅波可作如下三个假设：
1
(1)质点运动速度很小，2
2
项可以略去；
(2)自由表面对水平面z 0的偏离很小，可用水平面 z 0的物理量来代替自由面 z (x, y, t) 上的物理量；
z f (x ct)
若 z f (x) 是一正弦曲线（或者余弦曲线），则称之 为简谐前进波（简称谐波）
z A0 sin(kx t )
或
z
A0
sin
k(x
k
t
k
)
式中，A0称为波幅，c
k
称为波速，
k
称为初始相位。
波浪运动的特征是：
(1)水波的自由表面呈周期性的起伏，它在自由表
面处展开，再从表面传入流体内部。
归结为以下三种情况：
(1)已知初始时刻自由液面的扰动为
z x, y,t
ttz g x, y, 0 f x, y
(2)波浪运动完全是由于原来处于静止的自由液面受
到已知的压力冲量 I 所引起的，那么
x, y, 0, 0
I
f
x,
y
当 t 0, z 0 时 F x, y
g 0
1 gd 2
0 2d 4d 6d 8d 10d 12d 14d λ 图6.3 波速与波长的关系
(2)波长 ：在波前进的方向上两个相邻的波顶或波
底之间的水平距离；
H
(3)波陡：波高与波长之比，即 ； (4)超高 0 ：在波高的一半处，作一水平线称为波浪中 线，它超出静水面的高度称为超高；对于谐波，一般超
高为零。
(5)周期 T：波形传播一个波长 所需要的时间；
(6)频率：周期的倒数，f 1 ，即单位时间内出现波的
次数；
T
(7)波数 k：2π 长度内所包含波的个数，显然
k
2π
(8)波速（相位速度)c：波面向右（或向左）推进的速度
c
T
(9)波倾角：波面的倾斜度
tan
z x
(10)圆频率 ： 2πf 2π ,它表示单位时间转动的角
度。
T
6.2 波浪运动的基本方程与边界条件
6.2.1 基本方程
条件：在研究波浪运动时，流体是不可压缩理想流
(2)水质点作有规律的振荡运动 。
(3)波形以一定的速度向前传播。
(4)波浪运动是非恒定运动。
6.1.2 波浪要素
z
波速 c 波顶波峰
波长λ
波幅 A0
O
A0
d
波底波谷
底, z=-d
ζ 波高H
静水位 x
图6.1 简谐前进波
图6.1是简谐前进波的示意图。
(1)波高 H：波顶（波峰）与波底（波谷）垂直距离， 它是振幅 A（0 波幅）的两倍，即 H 2A0 ；
水的粘性对波浪影响是相当小的，在讨论 波浪运动时仅限于不可压缩理想流体且运动是有 势的以及将波浪运动假设为满足线形的微幅波。
6.1 二维波动的数学表达
6.1.1 波动方程
将坐标原点取于静止水面上，沿波传播方向水平轴
为 x 轴，z 轴为铅垂向上，静水表面 z 0 ，在数学中，
二维的波动方程一般形式是
(3)自由面上的切平面和水平面相差无几，相当于假
设
,
也是小量。
x y
对于微幅波，在自由表面上边界条件可简化如下：
运动学条件
z z0 t
用动速力度学势条件 表示的自由g表面上t 边z0界 条0 件，即
g
z
2
t 2
0
z 0
求解压强场的拉格朗日积分式
t
gz
p
0
6.2.4 初始条件
波浪运动的速度势 ，还必须满足运动的初始条件，