工程流体力学第六章

（1）扰动源不动。 此时弱扰动沿各个方向以音速传播，其波面为同心圆球面，在如图6.1.2 （a）所示。 （2）扰动源的速度小于音速。 此时小扰动源向各个方向转播，但在各个方向上的传播速度却不一样， 其波面如图6.1.2（b）所示。，但由于,扰动源始终赶不上波面，也即波 面总是在扰动源的前面。 （3）扰动源速度等于音速。此时扰动源和扰动波同时达到某一位置， 扰动波面亦在同一点相切，如图6.1.2（c）所示。 （4）扰动源速度大于音速。 此时扰动源始终在波面的前方，这时扰动与未扰动气体的分界面是一个 圆锥面（亦称马赫锥），夹角称为马赫角，如图6.1.2（d）所示。
k p 1 p p k 1 k 1
1 p u2 p c k 1 2

定压比热：
k Cp R k 1

定容比热：
1 Cv R k 1
R C p Cv
1 p 1 1 RT (C p Cv )T cvT e k 1 k 1 C p Cv 1

由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略 不计。对于理想气体作定常流动，欧拉运动 微分方程可写成
du dp u dx dx

沿流线的积分方程为
u c 2 dp
2
完全气体的等熵流动
p


k
c
C
1k

dp

p
1 k
k p dp k 1
(6.2.4)
k p u2 c k 1 2
2 1003(273 40) (273 15)
223.94m/s
6.3 一元气流的基本特性

利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特定的 状态参数。
6.3.1 滞止状态和滞止参数

图6.3.1 气体的滞止状态
对滞止状态截面和任一截面列能量方程有： 滞止状态时的焓升到最大值，即总焓
k p e C pT h k 1

p
在热力学中称为焓 (6.2.7)
u2 h c 2
例题

例6.2.1 设有空气从储气罐经一个变截面管道流出，如图 6.2.2所示。今测得罐内空气的温度为40oC，又测得管道某 处的温度为15 oC，求该处的气流速度u。（空气的等压比热
p k ) p k p k T0 k RT ( ) ( ) ( ) p p0 0 p0 T ( 0 )k RT0 (
0
p p T
k T0 k 1 ( )
1 T0 k 1 ( )
(1
(1
k
k
2
2
k 1 2 k 1 Ma )
(6.3.4)
0 T
第六章 可压缩气体的ຫໍສະໝຸດ 元流 动6.1 声速和马赫数
当气流速度比较大时，必须考虑压缩性 效应。气体压缩性对流动性能的影响，是 用气流速度接近声速的程度来决定的，这 就涉及到声速和马赫数两个概念。
6.1.1 声速

在时间前气体的质量为 cdtA 而时间后气体的质量为 ( d )(c du )dtA 根据质量守恒可得
c dp d
等熵过程条件
p

k
C
完全气体的状态方程式
p

RT

dp kp c kRT d
(6.1.9)

c 1.4 287T 20.1 T m
s
(6.1.10)
6.1.2马赫数

定义流场中某一点的速度与该点的当地音速 之比为马赫数

u Ma c
(6.1.11)
Cp＝1003N•m/kg•K）
解： 这类问题称为气体从大容器的出流问题。假定大容器的气 流速度为零。气体的出流可视为绝热过程，空气的等压比 热 C p 1003N m/kg K ，容器内温度为 T0 ，速度为零，由能量方程
得
u2 C p T0 C p T 2
u 2C p (T0 T )
6.3.3 临界状态和临界参数

设想气体从滞止状态u0 0 开始，经过一管道 逐渐加速流动，最后达到 umax ，如图6.3.1所示。 于是相应的声速必然从最大值逐渐地变化到 c0 的状态，这中间必然有一流速恰好等于当地 u c 的声速的截面，即 ，这种状态就称为临 界状态，对应的气流参数叫临界参数，临界 参数用下标“*”表示。
以临界参数表示的能量方程是
u2 k 1 2 C pT C pT0 C* 2 2(k 1)
T k 1 2 1 T0 k 1
p k 1 2 kk (1 ) 1 p0 k 1
k 1 2 k1 (1 ) 1 0 k 1
c* c0
1 1 Ma 2 ) k 1
(6.3.5)
6.3.2 最大速度状态
u max k u2 k RT RT0 2 k 1 2 k 1
2kRT0 2k p 0 2 c0 k 1 0 k 1 k 1
2
u max

(6.3.6)
u max
2 c0 5c0 1.4 1

u2 h0 h c 2
(6.3.1)

k h0 RT0 C pT0 k 1
(6.3.2)
k k u2 RT0 RT k 1 k 1 2
T0 u2 k 1 u 2 1 1 T 2C p T 2 KRT
k 1 u 2 k 1 1 ( ) 1 Ma 2 2 c 2
2 k 1 umax k 1 k 1
T0 k 1 T* 2
p0 k 1 ( ) p* 2
k k 1
1 0 k 1 k 1 ( ) * 2
6.2.1 可压缩气体总流的连续性方程 式
图6.2.1可压缩性气体在流管内的定常流动
1u1 A1 2 u 2 A2
uA c
ln( uA) ln ln u ln A C
d

du dA 0 u A
(6.2.2)
6.2.2 可压缩性气体的能量方程式
c2 kRT2 1.4 287 （273 55） ＝296 m s
u u Ma 2 Ma1 c 2 c1 c1 c 2 343 296 u Ma1 c2 296 c1
6.2 可压缩气体的一元流动的基本方 程式

气体流动时，若过流断面上各参数均布，其 状态参数只是流程的函数，这种流动称为一 元流动。气体沿管道、喷管或节流器的流动 等都可近似认为是一元流动。下面来讨论一 元定常流动的基本方程式。
马赫角
c 1 sin u Ma
例题

例6.1.1 飞机在温度t 20℃ 的海平面飞行，与 在同温层t 55℃时飞行，若速度相等，试求 后一情况的马赫数比前一情况的马赫数大多 少？
解： 由音速方程：
c1 kRT1 1.4 287 （273＋20） ＝343 m s
cdtA ( d（ ) c du）dtA

消去 dtA 并略去高阶微量，得

cd du d
(6.1.1)
动量变化和所受到的合外力冲量
dpAdt cdtA(du 0)
消去 dtA 得
dp du ρc
(6.1.2)
cd dp d c
dp d c (1 ) d