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消点三角法
消点法是一种解决几何问题的方法，特别是在涉及三角形时。
它的核心思想是通过逐步消除问题中的未知数，将复杂的问题转化为简单的问题，进而解决。
在涉及三角形的无损消点问题中，这种方法的计算往往比较复杂，不易被理解和接受。
具体来说，消点法可以应用于解决三角形中的各种问题，例如证明边长相等、角度相等、面积相等等等。
它的一般步骤是：
1. 根据问题的具体要求，选取合适的点和线段作为已知条件，将它们放在适当的位置上。
2. 通过构造平行线、延长线段、利用等腰三角形性质等方法，逐步消除问题中的未知数。
3. 在消除未知数的过程中，利用已知条件和几何定理进行推理和证明，最终得出结论。
值得注意的是，消点法虽然在一些情况下可能非常复杂和困难，但它的广泛应用证明它是非常有效的解题方法。
同时，通过不断地练习和掌握一些常用的几何定理和性质，可以更好地应用消点法解决几何问题。
数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。
聆听院j口中国科学院院士雅中口华中师范大学教育信息技术工程研究中G彭翕成在上一期我们向大家介绍r消点法．井对消点法的应用举例进行说明．消点法是一个普遍有效的解题方法．消点法解题的要点如下：(1)把题目中涉及的点按作图顺序排队．作阿过程中先出现的点排在前晰．后出现的点排在后面．(2)把要解决的问题转化成对某个式子进行处理、化简的问题．(3)从要化简的式子中，逐步消去由约束条件产生的点．后产生的先消去．(4)消点时，一方而应用该点产生的几何条件，一方面对照图形．注意发现图形给我们提示的捷径．掌握了I消点法之后．做几何题时．你便会胸有成竹r．你可以尝试着解下面这道胚：倒如图l，在△A B C中，肋=2D C，A层=ED，B F=3FE．已知s“F：12，求5“m．解：首先利用兰竺!：旦：土消去点F：再利S A^*B E4用坠：丛里：土消去点E：最后利用鱼坐盟：丝4SM∞A D2S_艇_B C=三消去点D．这样．一个简洁的证明便产生r：图1因恙=瓮，卷．-卷=÷上生百1232，删s蒯．S△^时S^^艇S埘肌S△^毗4l一。
消点法虽然不能够解决所有几何问题，但我们ur以将它当饩解题的归煎睦莹指导方针．而且．我们还可以将消点法教给计算机．让计算机来帮助我们解题．这就是自动推理．计算机是人的学生．它的本领是人教的．它是笨学生．不教不会；但它义是好学生。
会牢牢i c住你教给它的方法，一丝小苟地按写好的程序去做．盘¨聚你循循善诱．它又能青…于蓝而胜十蓝．计算机解题靠人教．人会解一道题．把方法教给计算机，汁算机就会解这道题．这道题中的数字换成字母．成r更一般化的·个题型．把处理这个题型的窍门教给计算机．计算机就会解这个题型的全部题．人掌握了·类题目的规律．把这规律总结提炼成有章可循的算法，实现为程序．计算机本领就会更大，会解这一类题了．人推演、计算、论证存易走神或出错．时州长了．所掌握的方法甚至有可能遗忘．但计算机一旦学会一套方法．就不会忘记．也很少卅错．J{且做题做得飞快!几何题有汁算题、证明题．还有作图题．它们虽然各有特点，但义是相通的．计算和作图都要有个道理．讲清楚道理就是让明．古希腊人研究几何最讲究证明．中国古代的几何学则讲究计算．把画图和推理都归结为计算，叫做寓理F算计算、作罔和证明，问题的形式不I i司．却也有相通之处．三类问题的前提．都可以用几何图形来表示．证明可以转化为汁算．要证明两条线段相等．H要算出两者的比为l或差为0就行了．要说明计算是准确的．作网过程是合理的．归根结底要证明．三类问题在解决过程中都要推演论证．推演论证所用的规则又是一致的．这就是一者的相通之处．几千年来．人们解几何问题的招数层出不穷．争奇斗艳．概括起来，不外这四类：检验、搜索、约化和转换．近50多年来。
消去法解题的方法消去法是一种数学解题的方法，它在一定的约束条件下，通过反复消去某些变量，使问题局部解决，最终求得全局最优解的方法。
这里的“消去”指的是当某一变量取出，让它的值可以被最大或最小，就可以消去该变量，从而将问题分解为更小的子问题，最终得到最优解。
消去法解题是一个比较复杂的过程，通常用于多变量优化问题，主要有三个步骤：一、首先要根据问题，明确其优化目标，并确定所有变量取值范围及限制条件；二、根据优化目标及限制条件，采用消去法，取出一个变量，使之取值范围有限，获取一个“最优解”；三、当获得的“最优解”满足问题的限制条件，则认为消去该变量得到的“最优解”是问题的全局最优解；如果不满足，则需要重新求解，再消去下一个变量，重复前面的步骤，直到所有变量都被消去，问题得到解决。
消去法解题的最终目的是通过不断消去变量，得到一组可以满足约束条件下的最优解，从而达到最优化目标。
但需要指出的是，消去法解题不一定能求解出问题的最优解，因为只有在消去能力有限的情况下，才能保证找到的解是最优解。
消去法解题可以应用在非常多的科学领域中，如数学建模、工程设计、商业优化等，可以运用到解决复杂问题，具体应用有以下几种：（1）数学建模。
在复杂的数学模型中，消去法可以有效地简化问题，求解出最优解，从而提高模型计算的准确性。
（2）工程设计。
用消去法可以有效精简设计过程，提高设计的可靠性和可行性，有助于尽可能快地解决工程问题。
（3）商业优化。
消去法可以求解复杂的商业问题，如最大化收益、最小化成本等，可以更好地帮助企业分析和优化营销策略，提高企业的竞争力。
从上述可以看出，消去法解题是一种用于处理复杂问题的有效方法，能够有效实施优化计算，而且具有简单、快速、精准等优点，因此被广泛应用于各种领域中。
总之，消去法解题是一种数学解题方法，它通过不断消去变量，得到一组可以满足约束条件下的最优解，从而达到最优化目标。
它在工程设计、数学建模、商业优化等领域有广泛的应用，是一种非常有效的解决复杂问题的方法。
消点法解题之三消点法的应用非常广泛，适用范围也非常广，几乎所有的问题都可以用类似的思路彻底解决或者部分解决。
今天继续讲解：1、如图，圆I内切于圆O，切点为P。
圆O的弦AB切圆I 于点Q，PQ的延长线交圆O于点M，MN为圆O的直径。
过点P作PA的垂线交AN于C。
求证：C,I,Q三点共线。
(2012年全国高中数学联赛B卷二试第1题)思路分析及证明：先尝试消点法：1、画出准确的图形，标出已知，确定求证。
最高级的元素是线段CI或者CQ。
2、先从结果出发，要证明三点共线，基本思路要么利用边角同一法、要么梅涅劳斯定理，首选同一法，证明角相等比较靠谱。
基本还是希望通过消点简化图形。
C,I,Q三点共线<=>∠CQA=∠IQA=90°<=>CQAP共圆,证明共圆基本思路是倒角，当然尽可能去掉最高级点。
CQAP共圆<=>∠PCA=∠PQA(消去最高级线段CI、CQ)<=>90°-∠PAC=90°-∠PQI<=>∠PAN=∠PQI 至此消去了最高级，最难描述的点C，此时AB也是多余的，也能消去，思路应该是正确的。
得到下图，需证∠PAN=∠PQI。
继续简化问题，由圆周角相等∠PAN=∠PQI<=>∠PMO=∠PQI(消去AN)此时和圆也无关了，直接把两圆消去。
得到最简单的下图：已知IP=IQ,OP=OM,PIO,PQM共线，需证∠PMO=∠PQI至此就显而易见了，由等腰即可得到∠PMO=∠OPQ=∠PQI。
这就证明了结果，详细过程略去。
注：本题相对简单，证明方法也比较多，上述方法应该算是最自然而简洁的。
消去点C基本就标志着本题的结束。
2、如图所示,ABCD是平行四边形，G是△ABD的重心，点P,Q在直线BD上，使得GP⊥PC,GQ⊥QC.求证：∠PAG=∠QAG（2016年高中数学联赛B卷二试第3题）证明思路分析：1）先画出准确图形，平行四边形好画，重心最好用比例，显然AGC共线，设AC交BD于E。
消去法解题的方法消去法是一种求解复杂数学问题的有效方法，可以帮助学生更快捷地解决数学题目。
它可以消除复杂结构，使学生以最简单和最快的方式完成任务，有助于提高数学解题能力。
消去法的原理消去法是指采用消元技术，从多个方程中消除变量，一步步将消元结果应用到其余方程中，以求解多元一次方程组的解的一种方法。
它的特点是可以在少量步骤中将多个方程消元，从而大大提高解题效率。
消去法的步骤1.找出待消元的变量，通常选择最容易处理的一个变量。
2.将未消元的方程中所有与该变量有关的未知数都用该变量的值代替，以消去该变量。
3.重复上述步骤，直到所有与待消元的变量有关的未知数都消去为止。
4.将剩余的未知数根据它们的系数（增减关系）关系进行计算，得出解析式。
消去法的应用消去法是一种常用的数学解题方法，可以用于解决多种数学问题，包括求解多元一次方程组、线性规划问题、概率论和最优化问题等。
在解决实际问题时，消去法可以帮助我们更好地分析问题，以最快的速度解决问题。
以《中学数学》课本中的“算术运算”为例，学生可以使用消去法解决表达式的计算问题。
比如“① 3x+2y=6；② 4x-2y=10”，学生可以将“x”这个变量消去，先用4x-2y=10求出 y=4，再代入到3x+2y=6中，求出 x=2。
最后将x=2，y=4代入表达式中，即可求得结果。
从上面的例子可以看出，使用消去法解决数学问题，可以快速准确地解出解析式，节省解题时间。
消去法的建议使用1.消去法可以有效缩短解题步骤，但在使用时要注意消元步骤的准确性，以免遗漏某些步骤给解题带来难以弥补的损失。
2.在消元时要特别注意同一轴上的变量，以免造成混淆。
3.消去法不一定适用于所有数学问题，学生要根据具体情况，选择合适的方法进行解题。
总结以上是有关消去法解题的方法介绍，消去法是一种有效的数学解题方法，它能帮助学生更快捷地解决数学题目，在解决实际问题时，可以大大提高解题效率。
最后，消去法的使用也有自己的特点，学生在使用时要特别留意，以免影响解题效果。
消点法解题之三
消点法的应用非常广泛，适用范围也非常广，几乎所有的问题都可以用类似的思路彻底解决或者部分解决。
今天继续讲解：
1、如图，圆I内切于圆O，切点为P。
圆O的弦AB切圆I 于点Q，PQ的延长线交圆O于点M，MN为圆O的直径。
过点P作PA的垂线交AN于C。
求证：C,I,Q三点共线。
(2012年全国高中数学联赛B卷二试第1题)
思路分析及证明：先尝试消点法：
1、画出准确的图形，标出已知，确定求证。
最高级的元素是线段CI或者CQ。
2、先从结果出发，要证明三点共线，基本思路要么利用边角同一法、要么梅涅劳斯定理，首选同一法，证明角相等比较靠
谱。
基本还是希望通过消点简化图形。
C,I,Q三点共线<=>∠CQA=∠IQA=90°<=>CQAP共圆,
证明共圆基本思路是倒角，当然尽可能去掉最高级点。
CQAP共圆<=>∠PCA=∠PQA(消去最高级线段CI、CQ)
<=>90°-∠PAC=90°-∠PQI
<=>∠PAN=∠PQI 至此消去了最高级，最难描述的点C，此时AB也是多余的，也能消去，思路应该是正确的。
得到下图，需证∠PAN=∠PQI。
继续简化问题，由圆周角相等∠PAN=∠PQI<=>∠PMO=∠PQI(消去AN)
此时和圆也无关了，直接把两圆消去。
得到最简单的下图：已知IP=IQ,OP=OM,PIO,PQM共线，需证∠PMO=∠PQI
至此就显而易见了，由等腰即可得到∠PMO=∠OPQ=∠PQI。
这就证明了结果，详细过程略去。
注：本题相对简单，证明方法也比较多，上述方法应该算是最自然而简洁的。
消去点C基本就标志着本题的结束。
2、如图所示,ABCD是平行四边形，G是△ABD的重心，点P,Q在直线BD上，使得GP⊥PC,GQ⊥QC.
求证：∠PAG=∠QAG（2016年高中数学联赛B卷二试第3题）
证明思路分析：
1）先画出准确图形，平行四边形好画，重心最好用比例，显然AGC共线，设AC交BD于E。
则AE=EC,AG=2GE,垂直相
当于以CG为直径的圆交BD于P、Q。
当然现在没必要引入圆。
2）分析结果，简化图形。
需证明∠PAG=∠QAG。
此时平行四边形似乎不重要了，因此可以消去B、D，得到下图。
已知∠GPC=∠GQC=90°,AGEC共线,AG=2GE,AE=EC,求证∠PAG=∠QAG.
3）此时图形似乎没法再简化了。
已知条件和结果相差的有点远，比例和垂直很难用。
几乎陷入了绝路。
只能大胆猜测，小心验证了。
感觉P、Q具有对称性，根据准确画出来的图形，若AE为角平分线，很可能PG、QG类似，即∠APG=∠QPG，∠AQG=∠PQG，测量一下发现也是正确的！
这样问题就转化为证明∠APG=∠QPG且∠AQG=∠PQG即可。
由P、Q具有对称性，只需证明一个即可，从而可以删去Q，只保留P，得到下图：
设∠APG=∠1，∠EPG=∠2，需要由AG=2GE,AE=EC,求证∠1=∠2。
此时实在无法简化，图形已经足够简单，实在不行，只能采用“暴力计算”了。
由面积方法证明的分角定理即得：
(APsin1)/(EPsin2)=GA/GE=2=CA/CE=(APsin∠APC)/(EPsin∠EPC)
即sin1/sin2=cos1/cos2,
即tan1=tan2,
即∠1=∠2，从而原结论成立。
注：1、)本题是B卷二试第三题，还是有些难度的，因为图形略有些复杂，条件也比较难用。
即使层层简化消去了平行四边形也还是不好入手。
只有经过长期探索、大胆猜测G为△APQ内心，才能找到入手点。
最后还需要适量的三角计算。
当然计算才是王道，几何证明总是免不了适当的计算。
2、)熟悉调和点列、阿波罗尼斯圆的读者容易发现，本题的
本质是阿波罗尼斯圆：以CG为直径的圆即为A、E的阿波罗尼斯圆。
当然严格上讲是阿波罗尼斯圆的逆命题。
不过在一般的考试中还是要证明，而不能直接由阿波罗尼斯圆定理得到的。
证明也有纯几何方法，不过上述的计算证明也是自然而然的。
知道了本质以后本题显然可以推广为只要AG/GE=AC/CE（即A,E;CG 为调和点列）,即有∠PAG=∠QAG.
3、已知：如图所示，AD⊥CD于D，AB⊥CB于B，AE⊥BD于E，H、I在直线AD、AB上，且满足∠CEH-∠CHD=90°，∠CEI-∠CIB=90°，求证：△HIE外接圆与BD相切。
（2014年IMO 第6题）
思路分析：
第一步：画出精确图，弄清楚已知求证和各元素生成的先后顺序
先画出草图，此题图形较复杂，要按题意叙述画出精确图形并不容易，难点在于怎么利用已知中∠CEH-∠CHD=90°，∠CEI-
∠CIB=90°确定H、I点的位置。
假设图形已经作出，如上图所示，我们分析H点的几何性质，由∠CEH-∠CHD=90°的式子特征不难发现：若过E做EH垂线交AD直线于J，则∠CHD=∠CEH-90°=∠CEJ，从而JHEC共圆，且JH为此圆直径，圆心K为CE中垂线与AD交点！
同理可以得到I。
这样我们就可以用尺规作出点H、I了：设CE中垂线与直线AD、AB分别交于K、L，则以K为圆心，KE 为半径的圆与AD的靠近A 的交点即为H，类似可得到I。
第二步：发掘图形的基本性质，尽可能的简化图形：
先从结果分析，在上图中，欲证IEH外接圆与BD相切，说得直白一些，即需证HE、IE的中垂线的交点在AE上，而HE中垂线即为∠AKE角平分线，即如下图需证∠AKE与∠ALE平分线交AE于同一点！这样就能消去J点了。
由角平分线定理及同一法，即需证AK/KE=AL/LE，这样我们就成功的消去了点H、I。
得到下图，由垂直即KL为CE中垂线，需证AK/KE=AL/LE。
在上图中，欲证AK/KE=AL/LE，即证AK/AL = KE /LE。
继续挖掘图形性质并设法简化图形。
设EC中点为O，显然KDOC，BCOL共圆，KE=KC,LE=LC分别为两圆的直径，所以考虑用正弦定理进一步转化求证结果。
由共圆则∠OKD=∠OCD，同理∠OLA=∠OCB。
△KAL中，由正弦定理有
此时已知AD⊥CD于D，AB⊥CB于B，AE⊥BD于E，O 为CE中点，求证OD=OB。
第三步：图形不能简化时，适当计算或这添加辅助线：
首选添加简单辅助线，在上图中，中点和垂直很难用。
显然ABCD共圆，添加圆心即不难证明：
如下图，取AC中点P，显然PD=PB且PO//AE，则PO⊥DB，即PO为DB中垂线，故OD=DB，即原命题成立。
这样就完成了上述问题的全部证明。
注：1）本题图形复杂，难度极大，是2014年IMO的第6题，中国队的六名队员中只有两位得到了满分。
上面的分析过程是本人思考过程的真实还原，经过上面的分析，我们发现，其实按消点法步步为营、各个击破，不停的消点，不停的简化图形，最终图穷匕见、水落石出，最后发现只需在最终的图形中证明BO=OD即可，说明本题的本质非常简单。
只是经过层层包装，让人望而生畏罢了！
2）当然在最后的图形证明中，也可以不添辅助线，直接用中线长公式加勾股定理计算得到。
而且某种意义上讲，这种证明更本质。
因为这样以来，最后图形中的结论还能再推广，只需AD^2+CD^2= AB^2+CB^2，AE⊥BD于E，O为CE中点，即有OD=OB。
这进一步说明计算才是王道，很多几何图形性质
的本质就是图形元素间的代数关系。
本节又讲了三个例题展示了消点法的强大功能。
但是需要强调的是，没什么方法是万能的，消点法当然也不例外。
有些图形不能再简化时就不能再使用消点法了。
希望读者在实战中多总结得失。
