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第二篇平面几何平面几何作为一门系统的学科,已有两千多年的历史，其魅力经久不衰.计算机科技的开展，推出了动态几何作图软件，使这门古老的科学焕发青春，变得更加丰富多彩，更有吸引力和挑战性。
《超级画板》是由动态几何作图软件开展而来，平面几何动态作图当然是它的根本功能。
根本功能纯熟了，就有了登堂入室的根底。
这一篇里，我们将通过一些实例，学习动态几何作图,图形的旋转、平移和缩放的操作机制，图形的测量和制作控制图形运动和变化的按钮方法.看了这些例子你会看到,优秀的作品源于对知识的创造性地运用。
再好的软件也不过是你手中的工具，不过是圆规直尺铅笔这些古老的工具的开展。
创意永远是最重要的。
首先我们来看看动态几何作图和平时我们在纸上、黑板上作图有什么区别。
（一)共点的三个圆大家一起来试一试，画出过同一点的三个圆。
合上书本，自己动手。
完成后,看看你的制作结果是不是和图中的图形相似?有三个圆，六个点。
请大家随意拉动几个点试试，看这三个圆是否还能“过同一点”？拖动结果可能如图2—1所示:图2-1为什么图形会“散架"，可能作图过程是这样的(图5—2列出了最典型的初学者“画共点的三个圆”的步骤，受到了传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响).图2—2在拖动过程中，动态几何作图可以保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！那么，你考虑一下，上述方法在画圆时,到底给定了什么样的几何关系？我们知道，圆是由两个点来决定的，双击鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点.改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。
而在我们刚刚的操作中，我们所给的几何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下，图中共三个圆，六个自由点)。
根据这样的几何关系，每个圆都可以随意地改变。
这就说明：在超级画板中，不能再象在黑板上那样,随手画出图来,而每时每刻都得考虑几何关系.那么怎么能保证它们过同一个点呢？你按下面的步骤做做看？步骤过 程 描 述作图结果1选择智能画笔(无）2画第一个圆:圆心为A,圆上一点为B3画第二个圆;在任意一点处双击鼠标键即规定了圆心C ，拖动鼠标，对准点B(注意状态栏的提示），并在B 点松开鼠标，即圆上的点为B4画第三个圆:在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心D ，拖动鼠标，对准点B （注意状态栏的提示）,并在B 点松开鼠标,即圆上的点为B 如今来试试随意拖动其中的任意一个圆。
新概念几何与共边定理的问与答广州杜厚生(与现行教材上面积相等的表达式不同，本文用∆APB＝∆AQB表示两个三角形面积相等，三角形符号前省略“S”或“面积”这是为了表达上的简洁)问：那些人适合阅读和使用本文？答：主要是初中数学教师和初三备考的学生，初二学生也可以尝试使用．当然，高中数学教师也应当有所了解，高中生也可以读一读，但最适合的读者，是准备参加初中数学竞赛的同学．问：张景中是谁？答：张景中者，自欧几里德已降，2300多年来独力改写欧几里德几何体系的第一人．新体系者，新概念几何也．张景中，1936年生于河南汝阳，18岁入北大数学系，22岁打成右派，从此沦为另类21年，至1979年43岁时才平反，恢复普通公民身份．此后便文思泉涌，17年间，成就辉煌，跻身顶级数学家之列，数项成果均堪称里程碑，成为大学教授、博士生导师、中科院院士，杰出科普作家．问：什么是“新概念几何”？答：平面几何问题一直是数学教育与学习中的疑难问题，两千年来，学生的课本还是和欧几里德时代无甚大异，教师只有在增加学习时间，减少所学内容上做文章．然而张景中院士大胆指出，我们其实不必非要虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何！他经过多年潜心研究，独辟蹊径，建立起一套以度量为基础，以面积为中心的平面几何新方法、新体系，这就是“新概念几何”（下文简称新几何）．从1989年以来，经过20年来张院士和很多中学老师的教学实践证明，“面积法”可节省课时，提高学生解决问题的能力，特别是在解决数学奥林匹克竞赛问题时的优势相当明显．“新概念几何”相对于欧几里德的几何是一个全新的平面几何新体系，从公理体系到定理体系、解题方法，都有极大的区别，也是欧几里德的几何诞生2300多年来，第一个全新的体系．在张景中的新几何中，甚至没有平行公理，即平行线的存在性和唯一性是可以由面积方法推导出来的一个定理．也不需要全等三角形和相似三角形等一批定理．由于新几何定理大大减少、解题方法统一为面积方法，给平面几何减少课时和降低难度创造了条件．新几何中使用的解题通法——消点法，甚至成为了攻克世界性的科研难题——机器证明几何定理的关键方法，取得了机器证明几何定理的里程碑式的胜利．新几何正是由于方法之新、对传统几何改造之彻底，反而造成了推广之难．对广大中学教师来说，几乎是一门新学科，老师和学生在知识上同样的一无所知！但老师应当先学一步，比学生更早掌握新几何，为教材、课程改革作出应有的贡献．一旦国家决定采用新几何代替旧教材，老师就可以充满信心地走上讲台．BPQA基本定理：△ABP ︰△ABQ ＝PA ︰AQ退一步来看，掌握新几何的面积方法和部分新定理却并不难，但对于现行教材是一个补充和改进，对个人教学能力的提高也极有补益． 问：新几何的核心是什么？答：新几何以度量为基础，以面积为中心，它的核心定理就是现行教材中一条极为平凡的定理：“等高三角形面积的比等于底边的比”． 由这个核心定理推导出一条现行教材中没有的定理——共边比例定理，这是整套新几何教材的基础，由该定理导出全部定理与解题方法，构成了几何新体系．从一条极为平凡的定理着手，改写几何原本的整个体系，构造出一个几何新体系，这件事本身就透出神奇．历史上堪与之相比的，只有180年前对平行公设的研究了．当年也是从一条公设出发，构造出一个非欧几何．但毕竟同时有高斯、小鲍耶、罗巴切夫斯基各自独立发现了非欧几何．此外，对平行公设的质疑，之前已经有过千年探讨，远不是如“等高三角形面积的比等于底边的比”那样平凡而不引人注意． 在《论推广》(见数学通报2005年第4期)一文中，张景中教授说：“《几何原本》共13卷，包含了465条命题．有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里得时代数学家的注意和重视(之后的两千多年中也没有得到应有的重视)．如果当初欧几里得或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写，几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了．这是《几何原本》第6卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比”共边定理和基本命题的共同点，都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比．共边定理中若A 在直线PQ 上，就回到了基本命题．所以，它是基本命题的推广．基本命题图中的线段PQ ，AB 的位置变得更一般些，使A 不在直线PQ 上，再添上交点M,就成了共边定理的图形了．这一点改变很重要．欧几里得时代的几何学家，就是没有注意到这一点改变，才失去了这条无比重要的共边定理，也错过了发现平面几何机械化解题方法的机会． 为什么强调面积？张景中这样看面积方法的重要性：利用面积，我们可以建立面积坐标，自然地进入分析几何．而面积坐标，本质上已经包含了笛卡尔坐标、仿射坐标、射影坐标，这就为学习更高深的几何埋下了伏笔．学会了计算多边形和圆的面积，自然会想到去计算曲线包围的面积，这就会引出极限概念，引出定积分概念，自然而然地就把学生带进了高等数学的大门．此外，微积分里用得最多的三角函数与对数函数(指数函数)，都可以用面积给出易于理解又便于推导的定义．在高等数学中，面积以各种形式出现．面积是积分，是测度，是外微分形式，是向量的外积，也是行列式．抓住面积，从小学到大学的数学内容就可以一线相串．抓住面积，结合代数与三角来展开初等几何，就极有希望提供一种足以和欧几里德体系争夺课堂的几何教材．（张景中：《从数学教育到教育数学》P81） 为什么共边定理是基石？从下面的新概念几何体系的课程结构图可以看出，共边定理是新概念几何整个体系的基石．（张景中：《从数学教育到教育数学》P101）问：答：公共边AB 是P 、Q ，AB 连线交于点M ，∆APB 面积︰∆AQB QM问：答：1B 1C 1中，∠A △ABC与∠A 1相等△ABC 面积︰△A 1B 1C 1面积＝AB·AC ︰A 1B 1·A 1C 1 问：怎么导出两个定理？:答：共边三角形有四种位置图形，证明时，都只需要在直线AB 上作线段MN ＝AB ，则有： ∆ABP ︰∆ABQ ＝∆PMN ︰∆QMN ＝PM ︰MQ 共角定理更简单，∵△ABC 面积︰△A 1B1C1面积＝12AB·ACsinA ︰12A 1B 1·A 1C 1sinA 1∵∠A 与∠A 1相等或互补 ∴sinA ＝sinA 1∴△ABC 面积︰△A 1B 1C 1面积＝AB·AC ︰A 1B 1·A 1C 问：共边定理与共角定理怎么用？ 答：共边三角形与共角三角形广泛存在．共边定理证明张景中说：欧几里德把注意力集中在特殊三角形上：当考虑一个三角形时，着重研究了直角三角形和等腰三角形；当考虑一对三角形时，着重研究了全等三角形和相似三角形．一个重要的事实是：随便画一个几何图形，这里面往往没有全等三角形和相似三角形，为了使“全等”、“相似”有用武之地，就要作辅助线．但如何作辅助线，则“法无定法”．几何做题难，原因与此有关．我们着眼于那些任何几何图形都会出现的三角形对，这就是“共边三角形”与“共角三角形”．这两种三角形是名不见经传的，欧几里德以来的几何学家们从来没有给它们足够的重视．但是，从数学教育学的角度来看，他们是顶顶重要的．(张景中：《从数学教育到教育数学》P60)共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤：两直线AB、PQ，交于一点M．要确定交点M的位置，本是一件不容易的事，它相当于解二元一次方程组．而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出M 在线段PQ上的位置．等式右边的M，在左边不出现了，也就是被消去了．这个事实，在几何问题的机器求解中起了关键的作用（张景中：《论推广》）张景中说，使用共边定理和共角定理有两个好处：其一是通用性．从统计学观点看，任给几个点连成直线，出现一对全等三角形或一对相似三角形的机会太少了，概率为零．所以想利用“全等”、“相似”来解题，就常常要挖空心思作辅助线，凑出全等三角形或相似三角形来．而作辅助线的规律不好掌握，学生会觉得无章可循，非常困难．但共边三角形和共角三角形却比比皆是，因此它们的性质到处都用得上．其二是条件和结论的对等性．要证明两条线段相等，常用的办法之一是构造一对全等三角形，使这两条线段成为它们的对应边．但要证明这两个三角形全等，却要满足三个条件．这就是说，为了得到一个等式，先要建立3个等式．这就有点不合算了．而在共边定理和共角定理中，却是从一个条件到一个结论．这种对等性往往能够简化证明的过程．其三是基础的单纯性和表述的简明性共边定理和共角定理，直接建立在小学生已经熟悉的三角形面积公式的一个简单推论上，学起来简单，也容易记得牢．而全等三角形或相似三角形的理论，推导过程较长，判定条件又多，在可接受性方面较差．（张景中：《从数学教育到教育数学》P81）事实上，在新概念几何中，可以不安排全等三角形的教学单元．使用共边定理证题时，首先要判断公共边AB及两个不同顶点PQ，从而找到底边AB与PQ的连线交点M．第一及第二两个图形交点在公共边内，其它两种位置，交点在公共边外部，通常要作辅助线来找出该点．在许多题目中，并没有给出面积关系，必须根据要证明的等式找出相应的三角形．要注意共边定理中，两条线段的比值PM 与QM 中，P 、Q 就是两个三角形的顶点，所要找的三角形就是有公共边且分别以P 、Q 为顶点的三角形．但共边三角形实在太容易得到了，以P 、Q 为顶点的共边三角形通常在图形中都可以找到三对或更多对，何况还可以转化成以P 、M 或Q 、M 为顶点的三角形，选择就更多了，但并不是每一对都能推出所需结论的，选对了，结论很容易就出来了．只找对的，不找废的，这就是初学的最大难点．必须经过一定时间的反复练习才能做到得心应手．例如下图中的任意四边形ABCD ，分别以四条边和两条对角线为公共边，可以得到6对共边三角形，若再加上对角线交点P ，四边形ABCD 中可以有18对共边三角形！问：共边定理怎么证平行？答：用面积方法推出平行线的判定，用到下面这个基本命题，这是新概念几何中最重要的定理之一．基本命题：设M 、N 两点在直线AB 同侧，则MN ∥AB 的充分必要条件是△MAB ＝△NAB ．有了这条定理，就可以不用平行线性质来证平行了．实际上，这条定理在传统几何课程中也用来判断直线的平行，只不过不常使用而已． 例1：(三角形中位线定理)如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝12BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴ DE ∥BC∴∠DBC ＝∠ADE 由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·DE/AB·BC ＝1/4∵AD ＝12AB ∴DE ＝12BC ． 这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（ ） A ．４C ．５D ．６BＥ．不确定解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC的面积B图中有18对共边三角形ABCD E为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ． 这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目．例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OB＝OC·OD ＝1即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥CD问：共边定理怎么证线段相等？答：常常是共边与共角两个定理都会用到。
数学家张景中院士作者：焦贵萍李秀颖来源：《新教育（中旬）》 2021年第3期焦贵萍李秀颖张景中，中国科学院院士，教授，博士生导师。
张景中院士在几何定理可读机器证明、教育数学、动力系统等学科领域做出了重大贡献。
张景中院士1979年于中国科学技术大学任教，1986年担任中国科学院研究员，中国科学院成都分院数理科学研究室主任，中国科学院成都计算机应用研究所副所长。
1993年12月，被国务院学位委员会批准为博士导师，1995年10月，被选为中国科学院院士，兼任中国计算机学会理事、中国科协委员，1997年当选为中共十五大代表。
在数学领域，张院士取得了一系列具有国际水平的成果，并用之于解决国民经济建设中的实际技术问题。
其中，张院士应用数学方法研制成功的“安全节能低噪声木工电磁振动切削工艺”荣获国家发明二等奖。
张院士还与合作者创立了计算机生成几何定理可读证明的原理与算法，使人工智能领域取得了突破性的进展，在国际上取于领先地位。
张景中院士发表学术论著达150多篇（册）。
张景中院士现任广州大学计算科技研究院名誉院长、中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长。
1991年开始享受政府特殊津贴，曾获“全国优秀教师”及“全国五一劳动奖章”等称号。
张景中院士的童年、青年张景中院士的童年，是在兵荒马乱的抗日战争年代中度过的，那时人们都饱受战火的迫害，张景中的祖母坚持让他读书。
张景中院士在一篇回忆文章中写道，“祖母读过私塾。
她常在炮声中牵着我和哥哥跑进高粱地的深处，从怀里掏出一本破旧的《古文观止》，教我们读书……”1954年夏，张景中成功考上我国名校—北京大学，在北大数学系学习。
由于他勤奋好学，诗词文学方面表现得才华横溢，在数学方面更是聪明绝顶，被北大校友冠以数学力学系“十大才子”之一。
1958年，他被分配到清河农场劳动教养。
白天忙于劳动，晚上时常开会，不管多忙，他都要随身携带几本书，尤其是《数论基础》，这是他最常翻看的。
对于数学问题的深度思考，使他忘却了白天的辛苦和生活的艰难，在精神上很充实。
北大校友计算机科学家张景中院士日期： 2007-03-02 信息来源: 信息来源:本网编辑部张景中河南省汝南县人。
1959年毕业于北京大学数学力学系。
计算机科学家、数学家和数学教育学家。
中共党员、中国科学院院士、计算机学科和数学学科博士生指导教师、中国科普作家协会理事长。
现任广州大学计算机教育软件研究所所长，中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长。
91年开始享受政府特殊津贴。
曾获“全国优秀教师”等称号及“全国五一劳动奖章”。
张院士主要从事机器证明、教育数学、距离几何及动力系统等领域的研究。
其主要贡献是：（一）提出了面积解题方法，并用之于机器证明的研究，使几何定理可读证明的自动生成这个多年来进展甚小的难题得到突破。
（二）创立计算机生成几何定理可读证明的原理和算法，这项成果被权威学者认为是使计算机能像处理算术一样处理几何工作的“里程碑”。
（三）创立定理机器证明的数值并行方法的原理和算法。
（四）对几何定理机器证明的吴方法进行了改进和发展，创立了含参结式法，升列组的WR分解算法，彻底解决了可约升列相对分解问题。
（五）创立了教育数学的思想和方法。
自1980年以来，张院士发表学术论著共 150多篇(册)，还撰写了大量的科普文章和通俗读物，1990年被中国科普协会审定为建国以来贡献突出的科普作家之一，1994年被中国少年儿童出版社评为十大金作家之一。
作品《教育数学丛书》1995年获“第九届中国图书奖”和“第一届全国数学教育图书一等奖”。
作品《数学家的眼光》1996年获第三届全国优秀科普作品二等奖，2002年获广州市首届优秀科普作品一等奖。
作品《院士数学讲座》2003年获第五届全国优秀科普作品奖科普图书类一等奖。
作品《院士数学讲座专辑（3册）》一书2003年5月荣获第五届全国优秀科普作品奖科普图书类一等奖，2003年12月荣获中华人民共和国新闻出版署颁发的第六届国家图书奖。
《院士数学讲座：帮你学数学》一书荣获中共中央宣传部颁发的精神文明建设“五个一工程”第九届“入选作品奖”。
张景中——面积法开辟平面几何新天地提起张景中，景仰之情不禁油然而生，心底涌出一堆的形容词和感叹句。
诸如百折不回燃烧生命、身居逆境不改其志、目光如炬睿智如芒、思维如风顶尖成就、平凡之中凸显伟大、横扫千军势如破竹、与时俱进思维超前、破除迷信引领革命，等等等等，都不足以概括张景中院士对中国教育数学的贡献，即使在整个中国科学界，诞生这样的科学巨人，也是50年来仅见。
张景中的伟大，不在于在高等数学的多少个领域内做出了贡献，恰恰在所有人都认为不可能有突破性进展的初等数学领域，其中最稳定、最古老、最不可能创新的欧式几何王国内，取得了划时代的进展，颠覆性的进展。
从17世纪以来的300多年，世界范围内的大科学家，他们在科学理论上的所有发现，几乎没有普通中学生能够读懂的东西。
在初等数学领域，代数是一潭百年死水，平面几何更是一潭千年死水，没有活水也没有新鲜氧气注入。
是张景中，也仅仅是张景中，只在三年的初中几何教学中，就发现了问题并开始思考教材的改革。
在平面几何2000多年的古老仓库中，捡起了从不被人重视的“面积方法”这件武器，将顽铁锻造成神器，像当年的孙悟空一样，从地下到天上，从18层地狱到33天兜率宫，将2300年不变的并被公认为完美杰作的欧几里德几何体系从公理体系到定理体系，从思想方法到解题思路搅了个天翻地覆，将欧几里德几何体系彻底改造了一番，创造了一个面目一新的张氏几何，名曰新概念几何。
上至各路神仙、下至黎民百姓，看得目瞪口呆，看得如醉如痴。
张景中的这项科学发现，比起60年来国内任何一个科学家的发现影响面都要大得多，因为他的受众是8700万中学生！他影响的是整个中国的下一代。
张景中的脚步没有停歇，他的眼光自然而然地投向了机器证明几何定理这个百年难题。
从莱布尼兹发明数值计算机械化以来，随着计算机科学的发展，机器证明几何定理也有了一定进展。
中国老一辈数学家吴文俊将平面几何坐标化，创立了吴方法——代数消元法，开拓性地推进了机器证明几何定理的研究。
张景中的面积方法
王敬赓
【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》
【年(卷),期】2008(000)002
【摘要】@@ 编者按:自西学东渐以来,我国的平面几何教学就使用过多种公理体系.如上世纪二三十年代,恰逢当时的一些大数学家,如希尔伯特刚刚为欧氏几何补充了完整的公理体系.于是,我国的一些著名教学家及数学教育家,如傅仲孙先生便接受了这种公理体系,培养了一大批栋梁.后来,我国又普遍使用3S几何(由三位姓氏以S 开头的美国数学教师所编),基本承袭了欧氏几何原始体系.到了上世纪50年代,我们的中学课本开始使用扩大化的公理体系.从20世纪八九十年代开始,我国当代一些很有名的数学家又开始了新的平面几何改造计划.影响比较大的有东北师大校长史宁中教授、美籍华人几何学家项武义先生,以及下文介绍的中科院院士张景中先生的平面几何改造思想.
【总页数】2页(P33-34)
【作者】王敬赓
【作者单位】北京师范大学数学科学学院,北京,100875
【正文语种】中文
【中图分类】O1
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面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。
其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。
学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。
平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。
面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。
文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。
在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。
通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。
这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。
对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。
一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。
与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。
早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。
在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。
张景中——面积法开辟平面几何新天地张景中——面积法开辟平面几何新天地提起张景中，景仰之情不禁油然而生，心底涌出一堆的形容词和感叹句。
诸如百折不回燃烧生命、身居逆境不改其志、目光如炬睿智如芒、思维如风顶尖成就、平凡之中凸显伟大、横扫千军势如破竹、与时俱进思维超前、破除迷信引领革命，等等等等，都不足以概括张景中院士对中国教育数学的贡献，即使在整个中国科学界，诞生这样的科学巨人，也是50年来仅见。
张景中的伟大，不在于在高等数学的多少个领域内做出了贡献，恰恰在所有人都认为不可能有突破性进展的初等数学领域，其中最稳定、最古老、最不可能创新的欧式几何王国内，取得了划时代的进展，颠覆性的进展。
从17世纪以来的300多年，世界范围内的大科学家，他们在科学理论上的所有发现，几乎没有普通中学生能够读懂的东西。
在初等数学领域，代数是一潭百年死水，平面几何更是一潭千年死水，没有活水也没有新鲜氧气注入。
是张景中，也仅仅是张景中，只在三年的初中几何教学中，就发现了问题并开始思考教材的改革。
在平面几何2000多年的古老仓库中，捡起了从不被人重视的“面积方法”这件武器，将顽铁锻造成神器，像当年的孙悟空一样，从地下到天上，从18层地狱到33天兜率宫，将2300年不变的并被公认为完美杰作的欧几里德几何体系从公理体系到定理体系，从思想方法到解题思路搅了个天翻地覆，将欧几里德几何体系彻底改造了一番，创造了一个面目一新的张氏几何，名曰新概念几何。
上至各路神仙、下至黎民百姓，看得目瞪口呆，看得如醉如痴。
张景中的这项科学发现，比起60年来国内任何一个科学家的发现影响面都要大得多，因为他的受众是8700万中学生！他影响的是整个中国的下一代。
张景中的脚步没有停歇，他的眼光自然而然地投向了机器证明几何定理这个百年难题。
从莱布尼兹发明数值计算机械化以来，随着计算机科学的发展，机器证明几何定理也有了一定进展。
中国老一辈数学家吴文俊将平面几何坐标化，创立了吴方法——代数消元法，开拓性地推进了机器证明几何定理的研究。
由于这一世界最前沿的科学成就，吴文俊教授在2000年获得了国家最高科学技术奖，并获得了500万元人民币的奖金。
但吴方法没有解决机器证明的可读性问题，证明的结果是机器懂人不懂，动辄几十万行的计算过程，无法人工检验及判断真假。
在有些著名的科学家看来，让计算机用统一的方法对千变万化的几何命题给出可读的证明是不可能的。
1992年五月，应周咸青博士的邀请，张景中到了美国维奇塔大学投入这项研究。
不到半年时间内，就敏锐地找到了全新的解决方案，在面积方法的宝库中，他打造了一件新武器，名曰“消点法”，将传统的几何推理过程化成了算法过程，在完全颠覆传统思路（包括吴方法）的基础上，轻松达到了机器证明几何定理研究前所未有的高度，更令人惊奇的是，采用面积方法重新定义几何相关命题后，使用消点算法的过程是人机一致的，完美地解决了机器证明几何定理的可读性问题，把困扰国际一流数学家30多年的难题一朝破解，这项工作得到自动推理领域一些著名科学家的好评，称为“是计算机发展处理几何问题能力之路上的里程碑”，被美国科学基金委员会组织的专业学术讨论会肯定为“近年来自动推理的几个重要进展之一”。
不久，基于杨路的想法，张景中等人又把消点法用于非欧几何，在计算机上生成一批非欧几何新定理的可读证明。
他们进一步发展了基于前推搜索的逻辑方法，使这一方法达到实用阶段。
为了将机器证明几何定理的科研成果社会化，张景中进入了数学实用软件的开发研制工作，从计算机辅助教学出发，开发新一代的数学教育软件。
1998年，他参与策划研发出来的教育软件《几何专家》、《立体几何》和《解析几何》推出。
这些软件使数学教师们耳目一新，引起师生们的广泛兴趣。
在与教育第一线教师充分交流后，张景中着手优化原有软件，吸取美国优秀教学软件《几何画板》的长处，给原有软件增加了大量新功能。
2002年，数学软件《(Z+Z智能教育平台——超级画板》诞生了。
打开《超级画板》，能快速、精确地画出动态几何图形和各种与参数动态关联的曲线。
软件还有变换、测量、推理、公式编辑、图表绘制、符号演算、课件制作演示及编程环境等多种用处。
《超级画板》一经推出，就引起广泛关注，从事数学教育的人士更是兴趣浓厚。
为了让更多的青少年学生认识数学、热爱数学，也为了将自己的科研成果尽可能多地被广大师生了解和接受，张景中又开始了数学科普创作，他的科普书籍不同于国内曾经有过的任何一本科普书，在他的书中，不单纯地将数学趣味化和文学化，而是用他深刻的洞察力和旺盛的科学创造力，一改传统科普书籍的写法，融入了大量自己的研究成果和深刻的哲理思考，处处体现了让人惊讶的深刻性，往往在司空见惯的现象和常规问题中，得到了出人意料的结论。
张景中看常规问题，做到了有一个全新的观点，从最根基的地方革新，什么叫“独辟蹊径”，什么叫“令人叫绝”，看他的书就能体会到。
2002年至2007年，张景中系列科普书籍陆续出版，特别是《新概念几何》，完整全面地介绍了以面积法为中心重新定义的几何新体系。
张景中系列科普所有的8本书，无论在通俗性、文学性、趣味性、新颖性、深刻性等哪一方面，均堪称楷模，树立了中国科普著作新的里程碑，读者大为惊叹，掀起了一股张景中热，书籍一版再版，持续热卖。
为了实现“让数学轻松些、容易些”和确立“教育数学”的新理念，他又直接参与和指导了湘教版高中数学教材的编写，形成了一套特色鲜明、思维独特，与其它各种版本高中数学教材有明显区别的教材。
张景中，一个让人说不完道不尽的张景中，一个22岁就成为服刑的“罪犯”，43岁才获得平反，重新拥有普通公民的生存权和工作权的张景中，在短短20多年的时间内，获得了如此辉煌、如此广泛的成果。
他的平面几何新体系是平面几何2300年生命的一个新的里程碑；他的机器证明定理成果是计算机发展处理几何问题能力之路上的里程碑；他的计算机辅助教学软件Z＋Z智能教育平台，是国内理科教学软件的一个里程碑；他的科普著作是中国科普书籍新高度的里程碑。
同为数学家和科学家的其他许多人，一生难以达到其中一项成就，而他，却举重若轻，一切得来似乎顺理成章，理所当然。
张景中对中国数学教育的最大贡献，就是他的“新概念几何”。
在尚以待罪之身在新疆建设兵团教中学平面几何的几年中，有感于学生学习平面几何的困难，萌生了对传统平面几何教材加以改造的念头，以便让学生学得容易些。
他敏锐地看到了向来不入方家法眼的面积方法，将通常只作为一种特殊解题技巧的面积法扩展成一般方法，成为学生解几何题的一把快刀。
随着对面积法的进一步开发和深入研究，他敏锐地意识到，作为平面几何的不变量之一，面积是所有几何元素中，最普遍也是最重要的元素，没有之一，只有唯一。
面积就是串联几何所有其他元素、甚至整个几何定理、方法、思路、公理系统的那条主线，是开启几何新思路之门的那把钥匙。
两千多年来，面积被淹没在几何的河流之中，被无数有识之士轻轻忽略掉了，而张景中却大胆指出，“我们其实不必非要虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何！”，于是，张景中举起面积法这把快刀，对欧几里得几何一番砍削，切割出一个从头到尾、从里到外全新的几何新体系。
首先动刀子的是公理体系。
对欧几里德几何的公理体系的改造，始于100年前的希尔伯特，希尔伯特公理体系在理论上是空前完美的，但却使得几何离开普通人更远，成为了纯粹的数学家的几何。
后来，外尔和帕鲁米查尔也都各自提出了相当完美的现代形式的几何公理体系，但他们共同的缺陷是公理体系与解题方法没有联系，公理体系无助于解题。
1996年，张景中在他的《平面几何新路（基础部分）》中，成功提出了新的平面几何公理体系，将几何的三种几何量即距离、面积、角度各成一组，其中距离公理是第一组，包含距离公理、直线惟一公理、直线完备公理三个公理；面积公理是第二组，包含面积公理、线性公理、维数公理、面积分割公理四个个公理；角度公理是第三组，包含角度公理、角度可加公理、角度连续公理、刚性公理四个公理；他的公理体系由3组共11条公理组成。
张景中平面几何公理体系最大的特点是第一次将公理系的建立与解题方法通过面积建立联系，将几何作图与证明步骤结合起来，从而使证明几何命题可按一定步骤进行。
他用面积方法很快导出共边定理、共角定理、勾股差定理等解题利剑，并在此基础上建立了消点算法，实现了几何命题证明的算法化，既降低了学生证明几何题的难度，也成功地解决了机器证明几何命题的可读性与简洁化。
张景中平面几何公理体系中最有胆识的是没有将平行公理列入，而此前的所有公理体系，没有人敢对平行公理作变动。
从张景中平面几何公理体系出发，完全可以推导出欧式几何的全部内容。
在张景中几何体系中，将传统的平行问题、垂直问题、距离问题、角度问题、相等问题、不等问题、比例线段问题，即几乎全部平面几何题的解法都巧妙地使用了面积方法，甚至使许多奥数难度的几何难题、一些有名的几何难题，都在面积方法下，得到了令人难以置信的简单解法。
过去必不可少的全等法、相似法都被简单的共边定理和共角定理完全取代，从新教材中消失了！而使用面积法重新定义的三角函数，更是直接将三角函数的学习上限可以从初三降到小学。
古往今来，不知还有哪一位科学家，能够如张景中一样对一个科学体系作出如此彻底的、完美的、颠覆性的革命？但也恰恰因为如此的巨变，使得张景中几何新体系的推广之路将遭遇空前的阻力。
人类历史上并不缺少类似的例子，完美在惯性面前遭遇完败。
一个极小的例子就是电脑的打字键盘，毫无道理的混乱无序的字母排列，极其丑陋地盘踞在最现代化的先进工具上，无法废除、无法改革。
几何的革命同样如此，首先是全世界对传统几何的熟悉程度，对传统几何中体现出来的逻辑推理的欣赏，教育界几乎无法接受一个推理性变为算法化的几何新体系；其次，师资力量是另一个难以推行的因素，让几何教师重新接受几何新体系的教育，没有巨大的行政力量与资金投入，几乎不可能做到。
同样，新教材替代旧教材，旧教材成为一堆废纸，资源重新调度，也非有巨大的行政干涉不可。
2002年时，张景中的平面几何解题软件就在市场上遭遇了滑铁卢，软件证明过程中的共边定理、勾股差定理等，当年没有人能看懂，学生不懂，老师同样不懂。
张景中教授最近几年已经将主要精力放在了“教育数学”的理念推行上，以院士的个人魅力、广大教师的普遍认可、中国教育革命的正在进行时，重重利好之下，几何新体系的实现看来不是梦，但令人担心的是，在张院士的有生之年，能否等到新体系对旧教材成功置换的那一天？虽然几何新旧体系的博弈正未有穷期，但令人欣慰的是，新体系中的面积方法这把快刀却可以单独抽出来，成为传统平面几何解题的新利器。
面积方法的最核心定理就是共边定理和共角定理，这两个定理简单明白，近几年来，在奥数竞赛、高考复习中已经成为必备知识，而中考复习甚至初中课堂上，也有越来越多的老师在讲授和使用这两个定理，面积方法正在进入课堂已是不争的事实，有志于教学研究的中青年教师们，都应该学习新概念几何，对自己开拓思路、提高解题能力都将大有裨益。
