关于函数凸性的一个不等式及应用

设计（20 届）函数的凸性及应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：凸函数是一类非常重要的函数，运用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也可以用来证明一些不等式，同时，凸函数的研究结果也在许多领域得到了广泛的应用。

本文首先介绍了凸函数的定义；接着介绍了凸函数的几个定理；然后介绍了凸函数的性质；最后进一步介绍了凸函数的应用。

本文主要集中考虑了凸函数在下面几方面中的应用：凸函数在证明Hadamard不等式中的应用，凸函数在证明Jensen不等式中的应用，凸函数在一些分析不等式中的应用等。

关键词：凸函数；连续；等价描述；不等式Convex Function and Its ApplicationAbstract：Convex function is a kind of very important functions，when considering the convexity of function, it can not only describe the image of function much more scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequalities. At present convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly introduce the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function, based on properties of convex function, we then further propose the application of convex function which mainly focus on inequality proof. Finally, the proof of Hadamard inequality, Jensen inequality and some other analysis inequalities are discussed.Key words:Convex function; Continuous; Equivalent description; Inequality目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景及研究意义 (1)2 凸函数的定义及性质 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 相关的几个定理 (3)2.3 凸函数的性质 (7)3 凸函数的应用 (13)3.1凸函数在证明初等不等式中的应用 (13)3.2凸函数在证明函数不等式中的应用 (14)3.3凸函数在证明积分不等式中的应用 (14)3.4凸函数在证明Jensen不等式中的应用 (15)3.5凸函数在证明Hadamard不等式中的应用 (16)4 结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)1 绪论1.1 问题的背景及研究意义在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。

凸函数与不等式凸函数是一类数学函数，在它的图像上，任意两点之间的连线都位于函数图像之上。

这意味着凸函数的图像呈凸形，具有单调递增或单调递减的性质。

常见的凸函数包括线性函数、二次函数、对数函数和指数函数等。

不等式是一种数学命题，表示两个数之间的大小关系。

常见的不等式包括等式、大于等于不等式和小于等于不等式等。

不等式在数学中广泛应用，可用于描述函数的性质、解决实际问题和进行数学归纳等。

凸函数与不等式之间存在一定的联系。

例如，凸函数的单谷点（也称为局部最小值）一定满足不等式f(x)≤f(a)，其中x是函数的变量，a是单谷点的位置。

此外，凸函数的图像一定位于函数的单谷点之上，也就是说，凸函数的图像一定满足f(x)≥f(a)另一方面，凸函数的单峰点（也称为局部最大值）一定满足不等式f(x)≥f(a)，其中x是函数的变量，a是单峰点的位置。

凸函数的图像一定位于函数的单峰点之下，即f(x)≤f(a)。

此外，凸函数的单谷点和单峰点都可以作为凸函数的端点，即函数的最小值和最大值。

对于凸函数f(x)，如果存在常数a和b，使得f(x)≤a（或f(x)≥a），f(x)≥b（或f(x)≤b），则a和b分别是函数的最小值和最大值。

凸函数的最小值和最大值可以通过求解不等式的方法得到。

例如，对于凸函数f(x)，如果要求函数的最小值，则可以解决不等式f(x)≥a 的最小值问题；如果要求函数的最大值，则可以解决不等式f(x)≤b的最大值问题。

这些问题通常可以使用数学规划方法来解决。

凸函数与不等式还可以结合使用，用于描述函数的性质。

例如，对于一个凸函数f(x)，如果存在常数a，使得对于任意的x，都有f(x)≤a ，则称函数f(x)是单谷函数。

如果存在常数a和b，使得对于任意的x，都有a≤f(x)≤b，则称函数f(x)是双谷函数。

凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质。

凸函数的不等式Abstract In this article，first we listseveral kind of definitionsfor convex functions，then we give several important properties of convex functions 。

finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions。

inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系定义1设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:,有上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:有定义3设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当：,有定义4在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的.引理1定义2与定义3等价.引理2若连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理1设在区间I上有定义,则以下条件等价<其中各不等式要求对任意,保持成立）：<i）在I上为凸函数 <1）<ii） <2）(iii> <3）(iv> <4）推论1若在区间I上为凸函数，则I上任意三点，有.推论2若在区间I上的凸函数，则过的弦的斜率是x 的增函数<若为严格凸的,则严格增）.推论3若是区间I上的凸函数，则I上任意四点s<t<u<v有.推论4若是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数皆存在，皆为增函数，且这里表示的全体内点组成之集合.<若为严格凸的，则与为严格递增的）.证明因为内点,故使得,从而<利用推论2）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x>=.同理,在此式中，令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数.推论5若在区间I上为凸的，则在任一内点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续.定理2设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有.证明<必要性）因为凸函数，由上面的推论4知，存在且. 由此任取一则时有.因,所以对任一:恒有.(充分性>设是区间I上的任意三点，由已知条件,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的.定理3设在区间I上有导数，则在I上为凸函数的充要条件是递增.证明<充分性）,不妨设及记，则,或 (1>因为 (1>式等价于(2>应用定理，使得，但,.故<2）式左端=按已知条件递增，得知,从而上式0,(2>式获证.<必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，易知:同理，若I有左端点a,则即在I上为递增的.推论若在区间I上有二阶导数，则在I上为凸函数的充要条件是：定理4<不等式）若为上的凸函数，则,，有.证明应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何与都有现设及<i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,则.由数学归纳法假设可推得==即对任何正整数,上述不等式成立.推论设在区间I上是凸函数,则对于任意的和都有.3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和性质.例1设函数在区间I上为凸函数，试证：在I上的任一闭子区间上有界.证明设为任一闭子区间:①<证明在上有上界）取.因为凸函数,所以其中. 故在上有上界；②<证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以,从而，即为在上的下界.例2设为区间内的凸函数，试证：在I上的任一内闭区间上满足条件.证明要证明在区间上满足条件，即要证明：使得有(1>因为，故可取充分小，使得与此若取.由凸性，<其中分别表示在上的上下界）,从而(2>若可取由的凸性，有，从而由此可得(2>式成立.若，则<2）式明显成立.这就证明了<2）式对一切皆成立.因此<2）式当与互换位置也成立，故有，令则<1）式也获证.例3设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限与存在.证明设时为内任意三点，根据的凸性,当x递增时也递增.又因为,根据单调有界原理,有极限,从而亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性<甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4设为区间上连续的凸函数.试证:，有.证明令则,(1> 同理，令，亦有从而,(2> 注意与关于中点对称.因为是凸函数, 故由<2）式得 . 另外,由<1）式,应用的凸性.例5设是上的凸函数,求证：<1）为上的凸函数.证明为上的凸函数,因此它在内连续,在上有界.由此知积分(1>有意义.,令时<2）恒有[因(2>]=<因的凸性）所以是上的凸函数.例6设函数在上递增,试证函数为凸函数.证明因递增,积分有意义.且故由定理1知为凸函数.例7设为上的凸函数,证明有<1）证明因为凸函数, 由定理1推论4，存在且递增<当）.故(1>中的积分有意义.对任作一分划有参看定理2，我们有于是由.(1>式知.将分划无限分细,令同理有3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了不等式，并且利用不等式证明了几个复杂的不等式.例8设证明证明因为函数在区间上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有因为不可能同时相等，从而有例9设函数是区间上的凸函数，对于则证明因为,则由定理1中<4）式，有即令,对上式两边求和，有即例10设及则有不等式成立：当且仅当与成正比例时等号成立.证明取=，，因为，所以在上为凸函数,由定理4得:即，亦即令则有，于是有令，则有当与成正比例时，即 (为正常数，>当与不成正比例时，不全相等，又因为在为严格凸函数，故严格不等式成立.例11设和是两组正数，.证明 .证明要证原不等式即要证明.令,则因为，所以为凹函数，由不等式即得所证.例12证明：.证明设，则因为<用不等式）所以因为不等式中等号成立的条件是均为常数,而，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例13证明不等式，其中均为正数.证明设,由可见在时为严格凸函数.由不等式有,从而.即又因, 所以.例14应用不等式证明：设，有证明取函数,.因为是区间上严格凹函数，则对及1.，则上式等号成立。

柯西不等式的证明及相关应用一、柯西不等式的证明：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)证明过程如下：1. 首先构造一个关于t的二次函数f(t) = (at - b)^2，其中a和b为任意实数。

2. 将函数f(t)进行完全平方，得到f(t) = a^2t^2 - 2abt + b^23.根据二次函数的性质，可以发现f(t)≥0，即二次函数的图像在t轴上方或与t轴相切。

4.根据二次函数的图像性质，我们可以得到二次函数在顶点处取到最小值。

5.通过求解f(t)对t的导数等于0，得到当t=b/a时，函数f(t)取到最小值。

6. 将f(t)中的a和b代换成数列a和b的对应元素，我们得到f(t) = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) + (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。

7. 将t = b/a = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)代入f(t)，得到f(t) ≥ 0，即(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。

8. 由于a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为任意实数，因此柯西不等式成立。

二、柯西不等式的应用：1.判定正交性：对于向量空间中的两个向量a和b，根据柯西不等式的等号情况可以判断a和b是否正交。

当且仅当(a·b)^2=，a，^2*，b，^2时，向量a和b正交。

2. 证明向量的长度：根据柯西不等式，可以推导出向量的长度公式。

设向量a = (a1, a2, ..., an)，则有，a， = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。

凸函数在证明不等式中的运用摘 要:凸性是一种重要的几何性质，凸函数是一种性质特殊的函数.凸集和凸函数在泛函分析，最优化理论，数理经济学等领域都有着广泛的应用.凸函数也是高等数学中的一个基本内容，他在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用.本文探讨了凸函数与不等式之间的密切关系，利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法更简洁，还进一步探讨了不等式的一些具体应用.对凸函数在不等式中的运用进行了讨论.关键词:凸函数 不等式 证明在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。

凸函数是一类性质特殊的函数，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.1.函数的定义及其常见的凹凸函数大家都熟悉函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。

我们可以下这样一个定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1[6] 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,x x 恒有 1212()()()22x x f x f x f ++≤ 那么称()f x 在(,)a b 内是凸函数.定义[6]2 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,,(0,1)x x λ∈ ，有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 则称()f x 在(,)a b 内是凸函数. 1.1常见的凸函数有1.1.1 )0()(<=k x x f k 或)0(>k ,x x x f ln )(=均为(0,)∞内的严格凸函数;1.1.2 ()ln(1),()0)x f x e f x c =+=≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.1.2 凸函数的常见性质及其判定定理性质1 设()f x 为凸函数，0k >为常数，则()kf x 是凸函数：若()(1,2,...,)i f x i n =是凸函数，则1()ni i f x =∑ 仍是凸函数：若()u ϕ是增凸函数，()u f x =也是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数[1].性质2 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则在(,)a b 的任一闭子区间上有界. 性质3 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则()f x 在(,)a b 内连续.定理1[1]()f x 是区间I 上的凸函数的充要条件是：对于满足11ni i λ==∑ 的任意12,,...,0n λλλ≥ ，有：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 12,,...,n x x x I ∀∈ (1)1.3凸函数的不等式1.3.1 凸函数基本不等式设()f x 是(,)a b 内的严格凸函数，则对(,)a b 内的任意一组不全相同的值12,,...,n x x x ，必有不等式[2]： 1.3.2 Jensen 不等式[2]Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：（1） 设()f x 是(,)a b 内的凸函数，则对(,)a b 内的任意一组值12,,...,n x x x 及任意正数12,,...,n p p p 必有不等式： 112211221212...()()...()()()......n n n n n np x p x p x p f x p f x p f x f p p p p p p ++++++≤≥++++++ （2）设(),()f x p x 为[,]a b 上的可积函数，而 (),()0,()0ba m f x M p x p x dx ≤≤≥>⎰则当()()t m t M ϕ≤≤为凸函数时有()()()[()]()()()()bbaabbaap x f x dxp x f x dxp x dxp x dxϕϕ≤≥⎰⎰⎰⎰2.凸函数在证明不等式中的简单应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明. 例1 设0,1,2,...,i a i n >= ，证明：1212...111...nna a a n na a a +++≤+++证明 设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有01)(2''>=xx f ，从而，函数()ln f x x =-在(0,)∞是严格凸函数， 取121(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a q i n q q q n=∈∞==+++=有1212ln ln ln ln(...)...n n a a a a a a n n n n n n-+++≤----或n n n n n n na a a a a a na a a ...ln )ln ...ln (ln ...ln 211121121-=+++-≤+++- 即12...na a a n+++取 1211(0,),,1,2,...,,...1i i n i x q i n q q q a n=∈∞==+++= 同样方法，有12111...nn a a a ≤+++于是，n N +∀∈ ， 有1212 (111)...nna a a n na a a +++≤+++例2 证明12,,...,,1n x x x R p +∀∈≥ 有 11212......()p p p p n n x x x x x x n n ++++++≤上式称为算术平均不大于(1)p p ≥ 次平均，特别的，当2p = ，得到算术平均值不大于平方平均值。

如何证明凸函数
1.使用定义：凸函数的定义是指对于函数f(x)上的两个点a和b，如果对于任意的t∈[0,1]，都有f((1-t)a+tb)≤(1-t)f(a)+tf(b)，那么函数f(x)就是凸函数。

因此，可以使用这个定义来证明函数的凸性。

2. 使用二阶导数的判别法：对于二次可导函数f(x)，如果f''(x)≥0，则函数f(x)是凸函数。

因为二阶导数大于等于0意味着函数的曲线是向上凸的。

3. 使用一阶导数的判别法：对于一阶可导函数f(x)，如果f'(x)单调递增，则函数f(x)是凸函数。

因为f'(x)的单调性决定了函数
f(x)的曲线的斜率单调递增，也就是说，曲线是向上凸的。

4. 使用Jensen不等式：Jensen不等式指出，对于凸函数f(x)和任意的实数x1,x2,…,xn和对应的权重w1,w2,…,wn，有
f(w1x1+w2x2++wnxn)≤w1f(x1)+w2f(x2)++wnf(xn)。

因此，可以使用Jensen不等式来证明函数的凸性。

总之，证明函数的凸性需要使用不同的方法，具体取决于函数的性质和定义。

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jensen不等式的理解Jensen不等式的理解Jensen不等式是数学中的一种重要不等式，被广泛应用于概率论、统计学和优化理论等领域。

它是由丹麦数学家约翰·约瑟夫·昂森（Johann Jensen）在1906年提出的，因此被称为Jensen不等式。

Jensen不等式的核心思想是描述凸函数与其自变量的关系。

在数学中，凸函数是一种具有特殊性质的函数，它的弧线上的任意两点连线都位于弧线上方或者弧线上，简单来说就是函数图像上的任意两点之间的线段都位于或者在函数图像上方。

Jensen不等式的表述形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)是凸函数，那么对于[a,b]上的任意n个实数x1,x2, (x)以及非负系数λ1,λ2,...,λn且满足λ1+λ2+...+λn=1，有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤ λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)这个不等式的意义在于描述了凸函数的线性性质。

它表明，对于凸函数而言，函数值的线性组合在函数值上是保持凸性的。

也就是说，凸函数的函数值的线性组合不会超过对应自变量的函数值的线性组合。

为了更好地理解Jensen不等式，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设有一家公司要根据员工的绩效进行奖金发放，奖金的总额为100万元。

根据Jensen不等式，假设有三个员工，他们的绩效分别为x1、x2和x3，且绩效的权重分别为λ1、λ2和λ3。

那么根据Jensen不等式，奖金的分配方式应该满足以下条件：λ1x1+λ2x2+λ3x3 ≤ λ1f(x1)+λ2f(x2)+λ3f(x3)其中，f(x)是奖金与绩效之间的函数关系，可以是线性函数、指数函数或者其他函数。

这个不等式告诉我们，根据员工的绩效以及绩效的权重，我们可以通过函数f(x)来确定每个员工所获得的奖金。

而Jensen不等式则保证了这种奖金分配方式是公平且符合凸函数的性质。

不少不等式的证明，看起来很难，但运用凸函数性质证明，可以少走弯路，使解题更合理些。

凸函数性质：1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸函数，设 ，那么2)()()2(b f a f b a f +≥+ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设2b a c +=，那么2)()()2(b f a f b a f +≤+ 当且仅当f(x)为常数函数时，等号成立结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的函数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。

特别是简单的初等函数，它的上凸与下凸可以直观从图像中看出，当然也可以从二阶导数来判别：)(0)(x f x f ⇒<''为上凸的函数；)(0)(x f x f ⇒>''为下凸的函数。

将上面的性质加以推广1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸的函数，设xi在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设xi 在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 当且仅当，f(x)为常数函数时，等号成立。

（证明从略）凸函数的性质在理论上很重要，它有时是证明不等式的有力工具，仅举几例加以说明。

例1中，求证：323sin sin sin ≤++C B A 证明一：sinA+sinB+sinC令C 为定角:C 为定角，2cos ,4coscc-π为定值，要使2cos 2cos 2cos CB A ++为最大值，只有当A=B 时才成立，由于A.B.C对称，2cos 2cos 2cos CB A ++ 有最大值，当且仅当A=B=C=60°时才能达到3232cos 2cos 2cos≤++∴C B A 2b a c +=运用凸函数性质证明不等式（何仲永 浙江 诸暨轻工技校 311800 ）摘要 ：本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。