数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨

第13卷第4期数学教育学报

Vol.13,No.42004年11月

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Nov.,2004

收稿日期：2004–05–07

基金项目：湖南师范大学“十五”教改立项重点资助项目作者简介：沈文选（1948—），男，湖南临澧人，教授，硕士生导师，主要从事数学教育、初等数学及数学奥林匹克研究．

数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨

沈文选

（湖南师范大学数学奥林匹克研究所，湖南长沙

410081）

摘要：数学奥林匹克活动是一种有着深刻内涵的全球文化现象，而几何问题是这种文化现象的重要载体．几何试题中蕴含着这种文化现象的深刻内涵，折射着这种文化品质特有的内容与风格．因此，几何内容的教学与培训应有新的理念，主要是：（1）要认真落实课程改革精神，以学生发展为本，发展英才教育，清晰培训理念；（2）加强几何教学心理研究，为几何教学与培训提供坚实的理论基础；（3）几何内容的教学与培训方略需要创新；（4）几何解题理论需进一步发展．

关键词：数学奥林匹克；几何问题；文化现象；文化品质；载体；内涵；理念

中图分类号：G420文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2004）04–0078–04数学奥林匹克是起步最早，规模最大，种类、层次较多的学科竞赛活动．在我国有各省市的初、高中竞赛，有全国的初、高中联赛，还有西部竞赛、女子竞赛、希望杯邀请赛等各种各样的邀请赛、通讯赛．

世界上一些文化较发达国家和地区，除举办本国或本地区的各类各级数学奥林匹克竞赛外，越来越多地积极参加国际数学奥林匹克．这是一种有着深刻内涵的全球文化现象．

1几何问题是数学奥林匹克活动的重要载体

在各种类别、层次的数学竞赛中，几何内容始终占据着重要地位．随着竞赛级别的升高，几何份量也随之加重．例如，中国西部竞赛、全国女子竞赛6~8道试题中，就有两道平面几何试题．全国高中联赛加试中、数学冬令营中、国家队选拔赛中，几何内容在试题中占有更重的份量，联赛加试3题中的第一题就是平面几何题，数学冬令营及国家队选拔赛常是6道题中有1~2道．在国际数学奥林匹克中，试题内容分为几何、代数、数论、组合4大部分，到2003年为止的44届中有27届至少有两道几何试题，特别是近九年几乎年年都有两道平面几何试题．

2几何试题蕴含数学奥林匹克活动的深刻内涵

数学奥林匹克是中学生数学才能与数学素养的比赛，而几何试题的竞赛内涵与开发价值在发展人的才能和培养素养中有着重要的作用．

2.1几何试题的检测作用与开发价值

几何既可以作为不同水平的创造活动的源泉，成为训练各种推理能力的场所；也可以作为检测、选拔各年龄阶段具有优秀数学才能的学生的有力工具．

平面几何试题具有重要的检测作用与开发价值．根据平面几何的特点，可以体现在以下几个方面：

（1）可以检测应试者所形成的科学世界观和理性精神（平面几何知识是人们认识自然、认识现实世界的中介与工具，这种知识对于人的认识形成有较强功用，是一种高级的认识与方法论系统）的某些侧面．

（2）可以检测应试者所具有的思维习惯（平面几何材料具有深刻的逻辑结构，丰富的直观背景和鲜明的认知层次）．

（3）可以检测应试者的演绎推理和逻辑思维能力（平面几何内容的直观性、难度的层次性、真假的实验性、推理过程的可预见性，成为训练逻辑思维与演绎推理的理想材料）

的某些侧面．

（4）试题内容的挑战性具有开发价值．平面几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具（几何图形保持着与现实空间的直接的丰富联系；几何直觉在数学活动中常常起着关键的作用；几何活动常常包含创造活动的各个方面，从构造猜想、表示假设、提供证明、发现特例和反例到最后形成理论等，这些在各种水平的几何活动中都得到反映）．

（5）试题内容对进行创新教育具有开发价值．平面几何能为各种水平的创造活动提供丰富的素材（几何题的综合性便于学生在研究时能够借助于观察、实验、类比、直觉和推理等多种手段；几何题的层次性使得不同能力水平的学生都能从中得到益处；几何题的启发性可以使学生建立广泛的联系，并把它应用于更多的领域）．

（6）试题内容对开展应用与建模教育具有开发价值．平面几何建立了简单直观、能为青少年所接受的数学模型，然后教会他们用这样的数学模型去思考、探索．点、线、面、三角形和圆——这是一些多么简单又多么自然的数学模型，却能让青少年在数学思维的天地里乐而忘返，很难想象有什么别的模型能够这样简单同时又这样有成效．平面几何又可作为多种抽象数学结构的模型（许多重要的数学理论都可以通过几何的途径以自然的方式组织起来，或者从几何模型中抽象出来）．

2.2几何试题在培养学生推理能力中的重要地位与作用几何试题的重要地位，是由它的深刻内涵来决定的．2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会上，来自多个国家的数学教育专家就各国的数学教育改革进行了广泛的交流，所达成的基本共识之一就是培养学生的数学推理能力应当作为数学教育的中心任务，并提出了共同担心的问题：“推理、证明在基础教育中的地位有下降的危险．”主要原因在于：各国早期数学教育的课程设置基本上是将焦点集中在算术概念、计算和算法上，进入7年级或8年级后，突然要求学生理解并写出严密的推理过程，缺少一定的“缓冲余地”，学生普遍感到吃力，产生畏难情绪．而解决这一问题的手段又过于简单粗暴，认为以推理见长的几何证明是造成这一困境的“罪魁祸首”，因而削减几何内容几乎成为一种时尚[1]，这种思潮也波及到了我国．现在，许多国家也正为这种消极的“回避”政策所付出的代价进行反省，我们也要引起关注．

第4期沈文选：数学奥林匹克中的几何问题研究与几何教学探讨79

平面几何内容对培养学生的数学推理能力有着不可替代的地位和作用，我国的一些著名数学家、数学教育家有过许多精辟的论述．

吴文俊院士指出：“几何在中学教育有着重要位置．几何直觉与逻辑推理的联系是基本的训练，不应忽视．”[2]王元院士在部分省市教育学院数学专业继续教育研讨会上的报告中指出：“几何的学习不是说学习这些知识有什么用，而是针对它的逻辑推导能力和严密的证明，而这一点对一个人成为一个科学家，甚至成为社会上素质很好的一个公民都是非常重要的，而这个能力若能在中学里得到训练，会终身受益无穷．”[2]

李大潜院士在上海市中小学数学教育改革研讨会上指出：“培养逻辑推理能力这一重要的数学素质，最有效的手段是学习平面几何，学习平面几何自然要学一些定理，但主要是训练思维，为此必须要学习严格的证明和推理．”“对几何的学习及训练要引起足够的重视．现在学生的几何观念差，逻辑推理的能力也比较薄弱，是和对几何这门课程的学习及训练不到位有关的．如果不强调几何观念及方法的训练，将几何学习简单地归结为对图形与测量这类实用性知识的了解上，岂不是倒退到因尼罗河泛滥而重新丈量土地的时代去了吗?”[3]

张景中院士在一次访谈中论及几何教学时指出：“我认为几何是培养人的逻辑思维能力，陶冶人的情操，培养人良好性格特征的一门很好的课程．几何虽然是一门古老的科学，但至今仍然有旺盛的生命力．中学阶段的几何教育，对于学生形成科学的思维方法与世界观具有不可替代的作用．为什么当前西方国家普遍感到计算机人才缺乏，尤其是编程员缺乏，其中一个原因是他们把中学课程里的几何内容砍得太多，造成学生的逻辑思维能力以及对数学的兴趣大大降低．”[2]

陈重穆、宋乃庆等撰文指出：“平面几何对学生能同时进行逻辑思维与形象思维训练，使左、右脑均衡发展，最能发展学生智能，提高学生思维素质．此外，平面几何在国内外皆有其深厚的文化品质，对学生文化素质的培养也有重要影响，平面几何这种贴近初中学生思维实际，对素质教育能起多方面作用的品质，是其它任何学科难以企及的．”[4]

3几何试题折射深厚文化品质特有的内容与风格（1）平面几何能够提供各种层次、各种难度的题目，是数学奥林匹克一个方便而丰富的题源．

数学奥林匹克中的几何试题（各类数学竞赛的早期均有一些立体几何试题，由于新颖的立体几何题不好编制，要么过浅，要么过旧，要么过难，后来均消失了），从内容上大致可以分为3个层次[5]：

第一层次是与中学教材结合比较紧密的常规平面几何题．虽也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，有些题甚至由课本例、习题改编而生成．证明题的重点是与圆有关的命题，因为涉及圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次是比中学教材要求稍高的内容．如三角形的巧合点的性质及几个基本定理的运用，探讨共线性、共点性、共圆性，求证几何不等式、求解几何极值等．这些问题结构优美、解法灵活、常与几何名题相联系，有时还可用几何变换来巧妙求解．

第三层次是几何与组合数学结合的组合几何题．这类题是组合数学的思想、方法与传统几何相结合的产物，讨论的是几何对象的组合性质．例如，计数、分类、构造、覆盖、嵌入、剖分、染色、格点，等等．这类问题离不开几何知识的运用与几何结构的分析，将几何的直观与组合的多变有机结合起来，这类问题优美而富于技巧．

各个层次内容的试题的难度可分为：A级（最难）、B 级（中等）、C级（较易）．在各类竞赛只有一道平面几何题时，大多为C级题，在各类竞赛有两道平面几何题时，大多一道C级，一道B级．其中C级题基本上为常规平面几何问题，比较容易；B级题常常脱离常规而变为共点、共线、共圆、几何不等式、极值、充要条件、存在性等内容，强调运动、变化、变换等观点，难度也就随之提高了．而组合几何题大多为A级，近年来时常出现在各类竞赛中．（2）平面几何试题题型多样、花样翻新、解法多彩，令人陶醉．

平面几何试题有证明题、计算题、轨迹题、作图题等丰富的题型．由于几何计算少不了几何推理，且许多计算题其实就是证明题；又轨迹题要分完备性和纯粹性两方面给出证明；作图题要说明作得合理，必须给出证明．由此可见，证明题是核心，当然，证明中也少不了计算．证明题又可分为两大类：一类叫等式型问题，一类叫不等式型问题．若要证明两线平行、两线垂直、点共线、线共点、点共圆、圆共点、定值问题，这些结论可以用等式表达，都是等式型问题．结论中明显摆出等号，如证明图形面积相等、角相等、线段相等、线段及角和差倍分、比例式，当然是等式型问题．若要证明点在圆内或圆外，某3条线段可构成三角形或某些几何量（线段、角度、面积）的大小关系式，就叫做不等式问题．从1978年以来的全国高中数学联赛第二试中的34道几何题来看，除了3道立体几何题外，其余31道平面几何试题中，6道计算题、25道证明题．证明题中，证明不等式有9道，证明线段或角度相等有8道，证明直线平行或垂直有5道，证明直线共点、点共直线或点共圆有3道．这些题又涉及一些典型知识点，如涉及面积的有8道，涉及三角形的内心、外心、垂心、重心、旁心等巧合点的有10道，涉及可运用正弦定理、余弦定理、梅内劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理等重要定理的有16道．历届CMO、历届国家队选拔赛、从1981年以来的IMO中的几何试题，其情形也类似．求解这些平面几何试题除了广泛涉及平面几何的内容、方法之外，还涉及到代数、三角与解析几何的内容与方法．因此，求解平面几何试题的方法是丰富多彩的，列举出来有一大串，如分析法、综合法、反证法、同一法、面积法、割补法、代数法、参量法、三角法、几何变换法、向量法、复数法、解析法、射影法、消点法、构造法、物理模拟方法、数学归纳法等．近些年，特别是2002、2003年的全国高中联赛及IMO中的平面几何题均可给出多种不同证法，且可运用几个基本定理来证，有的证法达十多种．

从上也进一步说明了，数学奥林匹克活动能够吸引全世界近百个国家上千万的青少年，正是因为有这么多回味无穷、令人陶醉的平面几何试题．

4几何内容的教学与培训应有新理念

（1）认真落实课程改革精神，以学生发展为本，发展英才教育，清晰培训理念．