向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关

1.线性组合

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合.

【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k k

k a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。这样

的表示是有好处的。 2。线性表示

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+

则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k

b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。因此，b 可

由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k

a a a

b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解

当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。 3.向量组等价

设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由

12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示.

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：

（1） 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价。

(3） 传递性 若向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。 证明：

自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到. 设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅，向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅.向量组II 可由III 线性表示,假设1t

j kj k k b y c ==∑,1,2,,j s =⋅⋅⋅。向量组I 可由向量

组II 线性表示,假设1

s

i ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅.因此，

1

1

1

1

1

()s s t t s

i ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅

因此,向量组I 可由向量组III 线性表示。

向量组II 可由I 线性表示,III 可由II 线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。

因此，向量组I 与III 等价.结论成立！ 4.线性相关与线性无关

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得

11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=

则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，否则,称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。

按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组

1212(,,,)0t t k k

a a a k ⎛⎫

⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭

有非零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即

1212(,,,)0t t k k

a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭

只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。

特别的，若t n =,则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。

例1。 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠.因为，若a 线性相关，则存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。而若0a =，由于10a a ⋅==,10≠因此，a 线性相关。

例2。 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若

,a b 线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=.12,k k 不全为零，不

妨假设10k ≠,则2

1

k a b k =-

,故,a b 平行，即对应分量成比例。如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=,则0a b λ-=，于是,a b 线性相关。

例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪

=∈ ⎪ ⎪⎝⎭

都可以由其线性表示，且表示方

法唯一。事实上，

121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

5.线性相关与无关的性质

(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明：

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,其中有一个为零，不妨假设0t a =，则

121000100t a a a -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关.

（2） 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明:

设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。存在不全为零的数

12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得

11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=

这样，

1122120000t t s k a k a k a βββ++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=

12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，因此,1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关。

后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确。

（3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。 证明：

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量.不妨假设新的元素都增加在向量

最后一个分量之后,成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量。令

112212*********t t t t t t t a k a k a k a a a k k k b k b k b k b b b ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+⋅⋅⋅+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=.由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，可以得到

120t k k k ==⋅⋅⋅==。结论得证！

（4） 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明:

设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量。

必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得

11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=

12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，设0j k ≠，则

111111j j j j t t

j j

k a k a k a k a a k --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-

充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设j

a 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合，则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，使得

111111j j j j j t t a k a k a k a k a --++=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+

也就是

1111110j j j j j t t k a k a a k a k a --+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=

但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零，因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关.

【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。

（5） 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关,n b R ∈，使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，则b 可由

12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,且表示方法唯一。

证明:

12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅，使得

112210t t t k a k a k a k b +++⋅⋅⋅++=

10t k +≠，否则10t k +=，则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，我们

就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==，这样，121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零，与其不全为零矛盾！这样，

11221

t t

t k a k a k a b k +++⋅⋅⋅+=-

因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示.

假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,则

111222()()()0t t t x y a x y a x y a -+-+⋅⋅⋅+-=

由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=，即

1122,,,t t x y x y x y ==⋅⋅⋅=

因此，表示法唯一。

【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解。而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关,即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=.因此,若有解，当然解唯一,即表示法唯一。

(6) 若线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则t s ≤。 证明：

假设结论不成立，于是t s >。12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示.假设

112111112121121(,,,)

s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫

⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 122221212222122(,,,)s s s s x x

a x

b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭,

………………………………………………………。

12112212(,,,)t t t t t st s s st x x

a x

b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭

，

任取12,,,t k k k ⋅⋅⋅,则

11112

11221

2222112212121

2

(,,,)(,,,)t t t t t s t s s st t k x x x k k x

x x k k a k a k a a a a b b b k x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪

++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

由于1112121

2221

2

t t s s st x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

为一个s t ⨯阶矩阵，而t s >,因此,方程组 11121212221

2

0t t s s st x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

必有非零解，设为12t k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。因此，存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。因此,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，这与向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关矛盾！因此,t s ≤。

（7） 若两线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则t s =。 证明：

由性质(6），t s ≤，s t ≤，因此,s t =。

【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。

(8） 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，P 为n 阶可逆矩阵，则12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关当且仅当

12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性无关。b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示，当且仅当Pb 可由 12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性表示.若可以线性表示,表示的系数不变。

证明：

由于P 可逆，因此

1122112211220()0()()()0t t t t t t k a k a k a P k a k a k a k Pa k Pa k Pa ++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=

112211221122()()()()t t t t t t k a k a k a b P k a k a k a b

k Pa k Pa k Pa Pb

++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=

如此，结论得证！

6。极大线性无关组

定义1 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在部分向量组12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅，使得 （1） 12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关;

(2） 12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示； 则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组。

【备注5】 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为其极大线性无关组.按照定义,

12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示.但另一方面，12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅也显然可以由 12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示.因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅与12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅等价。也就是说，任何一个

向量组都与其极大线性无关组等价。

向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质（7),向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数. 这是一个固定的参数,由向量组本身所决定,与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数.

【备注6】按照定义，向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，充分必要条件即其秩为t 。 定义2设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果其中有r 个线性无关的向量12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅，但没有更多的线性无关向量,则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组，而r 为

12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩。

【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义.一方面，有r 个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性"。

【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关,且

12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示，那么，12,,,t a a a ⋅⋅⋅就没

有更多的线性无关向量，否则,假设有，设为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，s r >。12,,,s b b b ⋅⋅⋅当然

可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示，且还线性无关,按照性质(6),s r ≤，这与假设矛盾！另一方面，假设12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅中r 个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量,任取12,,,t a a a ⋅⋅⋅中一个向量,记为b ,则12,,,,r i i i a a a b ⋅⋅⋅线性相关.按照性质(5），b 可有12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示(且表示方法唯一).

【备注9】设向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩为r ，则其极大线性无关向量组含有r 个向量。反过来,其中任何r 个线性无关向量所成的向量组也是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组.这从定义即可得到. 6。向量组的秩的矩阵的秩的关系

称矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A 的行秩。

定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。 证明：

设()m n ij A a R ⨯=∈，()r A r =。将其按列分块为12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅.存在m 阶可逆矩阵P ，使得PA 为行最简形，不妨设为

1,+11,2,12,12,1,1

001

0(,,,)1

0000000

0r n r n n r r r n b b b b PA Pa Pa Pa b b ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪=⋅⋅⋅=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

线性无关，且PA 中其余列向量都可以由其线性表示,因此,

100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

为PA 的极大线性无关组,其个数为r ,因此，12,,,r a a a ⋅⋅⋅线性无关，且A 中其余列向量均可由其线性表示（且表示的系数不变）。因此，A 的列秩等于A 的秩.

将A 按行分块，1T T m b A b ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则12(,,,)T m A b b b =⋅⋅⋅，因此，按照前面的结论，A

的行秩为T A 的秩，而T A 的秩等于A 的秩.至此，结论证明完毕！ 【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法. 7.扩充定理

定理 2 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，秩为r ，12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅为其中的k 个线性无关的向量,k r ≤，则能在其中加入12,,,t a a a ⋅⋅⋅中的()r k -个向量,使新向量组为

12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组。

证明：

如果k r =，则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量。

如果k r <，则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组，于是，

12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示，设为1k i a +，由性质（5），向量组 121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅线性无关。

如果1k r +=，则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组，无须再添加向量。

如果1k r +<，则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组，于

是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为2k i a +,由性质(5），向量组

1212,,,,,k k k i i i i i a a a a a ++⋅⋅⋅线性无关。

同样的过程一直进行下去，直到得到r 个线性无关的向量为止。

【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。

8。求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示

求向量组12,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现。 （1） 将12,,t a a a ⋅⋅⋅合在一起写成一个矩阵12(,,)t A a a a =⋅⋅⋅;

(2） 将A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为

1112

11,11,2222,12,,1,000

00000000

0r r n r r n rr r r r n b b b b b b b b b A B b b b +++⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪

→= ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭

，0,1,2,,ii b i r ≠=⋅⋅⋅,()r r A = （3） 在上半部分找出r 个线性无关的列向量,设为12,,,r j j j ⋅⋅⋅列,则12,,,r j j j ⋅⋅⋅为

B 列向量组的极大线性线性无关组,也是A 列向量组的极大线性线性无关组，也就是12,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组。

为了在上半部分寻找r 个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r 阶的非奇异子矩阵.r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。

显而易见，上面矩阵第1到第r 列即向量组的一个极大线性无关组。其余情形同理。

（4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组.

我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为

1,11,2,12,,1,1000100

010000000

0r n r n r r r n b b b b A B b b +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

在B 中第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在A 中，第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数与B 中的一致。

我们的理论依据是性质(8)。

例4.设矩阵2111

211214462243697

9A --⎛⎫

⎪- ⎪

=

⎪--

⎪-⎝⎭

，求A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。 【解答】 记12345(,,,,)A a a a a a =，

2131124112

324222431

3103(3)

2111211214112141121421112033164622446224010106123697

93697903343210123101123

800083

00r r r r r r r r r r r r r r r A --↔-+-+÷-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪------

⎪ ⎪ ⎪=→

→

⎪ ⎪ ⎪-------

⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--→- 3433

()83101040

110300013000

00039r r r ⨯--⎛⎫

⎪-⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪

- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎪ ⎪-⎝⎭

因此,A 的列向量的一个极大线性无关组为124,,a a a ，312a a a =--，

4123433a a a a =+-。

向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1. 线性组合 设a

量组是等价的。 向量组等价的性质: (1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。 ⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 ⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。证明： 自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。 t 向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。向量组I可由向 s 量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。因此, j 二 s s t t s a = ' X jj b j = ' X ji y kj c k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,r j 1j k a km j T 因此，向量组I可由向量组III线性表示。 向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次, 同样可得出，向量组III可由I线性表示。 因此，向量组I与III等价。结论成立！ 4. 线性相关与线性无关 设印心，…,.R n，如果存在不全为零的数匕也，…,R，使得 则称a「a2, ,a线性相关，否则，称a「a2,…,a t线性无关 按照线性表示的矩阵记法，a,a2,…,越线性相关即齐次线性方程组 k2 佝旦，…,aj ：=0 + 有非零解，当且仅当r(a1,a2^ ,a t)

向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1、线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈,12,,,t k k k R ???∈,称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ??? 。这样的表示就是有好处的。 ２.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ???∈,使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ??? 。因此,b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ??? 有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3、向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈,如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示,则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???与向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。 向量组等价的性质:

向量的线性关系

向量的线性关系 基本概念 1 n 个数12,,,n a a a 构成的有序数组（12,,,n a a a ）称为一个n 维向量。可表示为 （12,,,n a a a ）或 12 n a a a ?? ? ? ? ? ??? 。 2 设, α12,,,s ααα 都是n 维向量，如果有数12,,,s λλλ ，使得 1122s s αλαλαλα=+++ 则称向量α可由向量12,,,s ααα 线性表示。也称α是12,,,s ααα 的线性组合。 3 设, α12,,,s ααα 都是n 维向量，如果有不全为零的数12,,,n k k k 使得 11220s s k k k ααα+++= 则称向量组12,,,s ααα 线性相关；否则称向量组12,,,s ααα 线性无关。 即当命题“若有11220s s k k k ααα+++= ，则12,,,n k k k 必全为零。”成立时称向量组12,,,s ααα 线性无关。 向量间的线性组合，线性相关，线性无关这三种关系统称为向量间的线性关系。 主要结论 1 一组向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。 2 如果向量组12,,,s ααα 线性无关，而,α12,,,s ααα 线性相关，则α必可唯一地 表示为12,,,s ααα 的线性组合。 3 线性相关向量组的扩大组仍线性相关；线性无关向量组的部分组仍线性无关。 4 设一r 维向量组的每个向量都添加n r -个分量后成为n 维向量。那么有：若r 维向量组线性无关，则n 维向量组也线性无关；若n 维向量组线性相关，则r 维向量组也线性相关。 5 n 个n 维向量12,,,n ααα 线性相关的充要条件是120n ααα= ；n 个n 维 向量12,,,n ααα 线性无关的充要条件是120n ααα≠ 。 6 设向量组12,,,s ααα 线性无关，

线性相关和线性无关的结论

§性质定理总结： 一、线性相关的判别： 1、m αααΛ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21Λ，使得 1122m m k k k .ααα++=L 0 2、1α线性相关? 1α=0. 3、12,αα线性相关? 1α与2α的对应分量成比例. 4、m αααΛ,,21线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n 个n 维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、m αααΛ,,21线性相关 ?m αααΛ,,21的秩小于m . 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关. 9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关. 二、线性无关的判别： 1、m αααΛ,,21线性无关?如果1122,m m k k k ααα++=L 0则有 .021====m k k k Λ 2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关 三、线性相关的性质： m αααΛ,,21线性无关，12m ,,,αααβL 线性相关?β可由m αααΛ,,21线性表 示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质： 1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数. 2、等价线性无关向量组的向量个数相同.

五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.

向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合. 【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。这样 的表示是有好处的。 2。线性表示 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+ 则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。 1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。因此，b 可 由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示. 如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的。 向量组等价的性质：

平面向量的线性相关性和线性无关性

平面向量的线性相关性和线性无关性平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面上的点和矢量之间的 关系。在研究平面向量时，我们经常遇到线性相关性和线性无关性的 概念。这两个概念在矢量空间理论中具有重要意义，本文将深入探讨 平面向量的线性相关性和线性无关性。 一、线性相关性的定义及判断方法 线性相关性是指若存在不全为零的系数，使得若干个向量的线性组 合等于零向量，则这些向量被称为线性相关。具体而言，给定平面上 的n个向量A1，A2，...，An，若存在不全为零的系数k1，k2，...，kn，使得k1A1 + k2A2 + ... + knAn = 0，则这n个向量线性相关。 判断向量线性相关的方法可以通过解线性方程组或检查行列式来实现。对于n个向量组成的矩阵M = (A1, A2, ..., An)，我们可以将其行向量作为线性方程组的系数矩阵，并将等式右侧设为零向量。若线性方 程组有非零解，则向量线性相关；若线性方程组只有零解，则向量线 性无关。 二、线性无关性的定义及判断方法 线性无关性是指若n个向量不满足线性相关性的条件，则这些向量 被称为线性无关。即如果k1A1 + k2A2 + ... + knAn = 0的唯一解是k1 = k2 = ... = kn = 0，则这n个向量线性无关。 要判断向量线性无关，可以使用以下方法：将n个向量组合成矩阵，并将该矩阵进行行简化（高斯消元）操作，得到行简化阶梯形矩阵。

如果行简化阶梯形矩阵的主元个数等于向量的个数n，则向量线性无关；如果主元个数小于n，则向量线性相关。 三、示例分析 为了更好地理解线性相关性和线性无关性的概念，我们以具体示例 进行分析。 假设平面上有三个向量A、B、C，其坐标表示为： A = (1, 2) B = (3, 4) C = (-2, -4) 我们可以将这三个向量组合成矩阵M = (A, B, C)，然后进行行简化 操作，得到行简化阶梯形矩阵。若该阶梯形矩阵的主元个数等于3，则向量A、B、C线性无关；若主元个数小于3，则向量A、B、C线性相关。 根据计算可得，行简化阶梯形矩阵为： ┌ ┐ │ 1 2 │ │ 0 0 │ └ ┘ 由于该阶梯形矩阵只有一个主元，所以向量A、B、C线性相关。

线性相关与线性无关

线性相关与线性无关 线性相关和线性无关是线性代数中重要的概念，它们描述了向量之 间的关系以及它们在空间中的位置和方向。在本文中，我们将探讨线 性相关和线性无关的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。 1. 定义 线性相关是指存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于 零向量。换句话说，如果存在不全为零的常数c1、c2、…、cn，使得 c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的。 而线性无关则是指不存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组 合等于零向量。简而言之，如果c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0只有当c1 = c2 = … = cn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性无关的。 2. 性质 线性相关和线性无关有一些重要的性质。 2.1 线性相关性的传递性 如果向量组{v1, v2, …, vn}中的某个向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。具体而言，如果存在c1、c2、…、cn-1，使得vn = c1v1 + c2v2 + … + cn-1vn-1，则这个向量组是线性相关的。 2.2 仅有一个向量的向量组是线性无关的 只含一个向量的向量组肯定是线性无关的。因为要使c1v1 = 0成立，必须令c1 = 0。

2.3 子集的线性相关性 如果向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的，那么它的任意子集也是 线性相关的。这是因为如果向量组中的向量可以线性表示成零向量， 那么删除其中的向量后，仍然可以通过相同的系数得到零向量。 3. 应用 线性相关和线性无关在实际问题中具有广泛的应用。 3.1 线性方程组的解的个数 对于一个包含n个未知数和m个线性方程的线性方程组，如果系数 矩阵的秩等于扩展矩阵的秩，那么方程组的解存在且唯一。换句话说，如果方程组的系数向量是线性无关的，那么方程组有唯一解。 3.2 判断向量空间的维数 对于一个向量空间，其中向量组的线性无关的最大个数称为该向量 空间的维数。通过判断向量组的线性相关性，我们可以确定向量空间 的维数。 3.3 数据降维 在数据处理和机器学习中，线性相关和线性无关有助于降低数据的 维度。通过分析数据中的相关性，我们可以选择一组线性无关的特征 向量来表示数据，从而降低计算和存储的复杂性。 综上所述，线性相关和线性无关是线性代数中的重要概念。它们能 够帮助我们理解向量之间的关系和空间中的位置，同时在实际问题中

高中数学中的向量线性相关与线性无关

高中数学中的向量线性相关与线性无关 在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。而在向量的研究中，线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。本文将探讨高中数学中的向量线性相关与线性无关的概念及其应用。 一、向量的线性相关与线性无关的定义 在向量的研究中，我们经常会遇到多个向量同时出现的情况。而这些向量之间的关系可以分为线性相关和线性无关两种情况。 1. 线性相关 如果存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以下关系： $k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=0$ 其中，$0$表示零向量。那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性相关。 2. 线性无关 如果不存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量 $v_1,v_2,…,v_n$满足以上关系，那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性无关。 二、线性相关与线性无关的几何意义 线性相关与线性无关的概念在几何上有着重要的意义。我们以二维向量为例进行说明。 假设有两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$，我们可以将它们画在二维平面上。如果这两个向量共线，即它们的方向相同或相反，那么它们是线性相关的。反之，如果这两个向量不共线，即它们的方向不同，那么它们是线性无关的。

同样地，对于三维向量，我们可以将它们画在三维空间中。如果多个向量共面，那么它们是线性相关的。反之，如果多个向量不共面，那么它们是线性无关的。三、线性相关与线性无关的应用 线性相关与线性无关的概念在向量的运算中有着广泛的应用。以下是一些常见 的应用场景： 1. 向量的线性组合 线性相关的向量可以通过调整系数的大小，通过线性组合的方式得到零向量。 而线性无关的向量则不能通过线性组合得到零向量。 2. 坐标系的建立 在坐标系的建立中，我们通常会选择线性无关的向量作为坐标轴。这样可以保 证坐标系的唯一性和准确性。 3. 向量的基与维数 如果向量组中的向量线性无关，并且能够通过线性组合得到其他向量，那么我 们称这组向量为基。而基的个数就是向量空间的维数。 4. 线性方程组的解 在线性方程组的求解中，我们可以通过研究系数矩阵的行向量是否线性相关来 判断方程组是否有唯一解或无解。 总结： 高中数学中的向量线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。通过对线 性相关与线性无关的定义、几何意义和应用的探讨，我们可以更好地理解向量的性质和运算规律。在实际应用中，线性相关与线性无关的概念也有着重要的作用，如向量的线性组合、坐标系的建立、向量的基与维数以及线性方程组的解等。因此，

向量的线性相关与线性无关

向量的线性相关与线性无关 线性代数是数学的一个重要分支，研究的是与向量、线性方程组和 线性变换相关的性质和问题。在线性代数中，我们经常遇到一个重要 的概念，即向量的线性相关和线性无关。 一、向量的线性相关和线性无关的定义 在介绍向量的线性相关和线性无关之前，我们先来了解一下什么是 向量。向量是由一些按照一定顺序排列的数所组成的有序数组，常用 来表示空间中的一个点或者一个有方向和大小的物理量。 1. 向量的定义 在几何学中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小， 而箭头的方向表示向量在空间中的方向。我们可以用两个点表示一个 向量，即起点和终点的坐标差。一个向量由其大小和方向共同决定。 2. 向量的线性相关和线性无关 对于一组向量，如果存在一组不全为零的标量，使得它们的线性组 合等于零向量，则称这组向量是线性相关的；如果不存在这样的标量，即只有当所有标量均为零时，线性组合才等于零向量，那么这组向量 就是线性无关的。 二、判断向量的线性相关与线性无关

判断向量的线性相关与线性无关主要通过向量的线性组合来进行。 对于一组向量，我们可以用以下两种方法来判断其是否线性相关或线 性无关。 1. 行列式判断法 对于n个n维向量构成的矩阵A，可以将其写成行向量的形式，即 A=[a1,a2,...,an]。通过计算矩阵A的行列式，如果行列式的值不等于零，则这组向量线性无关；反之，如果行列式的值等于零，则这组向量线 性相关。 2. 线性组合判断法 对于一组向量V1,V2,...,Vn，我们可以设想存在标量C1,C2,...,Cn， 使得C1V1+C2V2+...+CnVn=0。如果这组向量是线性相关的，那么至 少存在一个标量不等于零；如果线性无关，则所有的标量均为零。 三、向量的线性相关与线性无关的应用 1. 线性方程组的解的唯一性 线性方程组的解的唯一性与系数矩阵的行列式是否为零有关。如果 系数矩阵的行列式不等于零，则线性方程组有唯一解；如果行列式等 于零，则方程组有无穷多个解或者无解。 2. 向量组的基与维数

线性相关性与线性无关性

线性相关性与线性无关性 线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向 量空间和矩阵运算中有着重要的应用。本文将介绍线性相关性和线性 无关性的概念、判定条件以及相关性质。 一、线性相关性的概念和判定条件 1. 线性相关性的概念 线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性 组合的系数不全为零。换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。 2. 线性相关性的判定条件 线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。对于一组 向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。若齐次线性方程组有非零解，则 这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。 二、线性无关性的概念和判定条件 1. 线性无关性的概念 线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合 的系数全为零。换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当

线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。 2. 线性无关性的判定条件 线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。 三、线性相关性和线性无关性的性质 1. 线性相关性和线性无关性的关系 线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。线性相关性和线性无关性是在向量空间中对向量组的性质进行描述的。 2. 向量组的秩与线性相关性 向量组的秩表示这组向量的最大线性无关向量的个数。若向量组的秩等于向量组的维数，则这组向量线性无关；若向量组的秩小于向量组的维数，则这组向量线性相关。秩是判断向量组线性相关性和线性无关性的重要指标。 3. 线性相关性和线性无关性的应用

线性相关与线性无关

线性相关与线性无关 线性相关与线性无关是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和向量的研究中具有重要的应用。本文将详细介绍线性相关和线性无关的定义、性质以及它们在线性代数中的一些重要应用。 一、线性相关和线性无关的定义 在线性代数中，给定一个向量组{v1,v2,...,vn}，如果存在不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，那么这个向量组就是线性相关的。如果只有当c1=c2=...=cn=0才能使等式成立，那么这个向量组就是线性无关的。 二、线性相关和线性无关的性质 1. 如果一个向量组中存在一个零向量，那么这个向量组一定是线性相关的。 2. 如果一个向量组中的某个向量可以被其他向量线性表示出来，那么这个向量组一定是线性相关的。 3. 如果一个向量组是线性无关的，那么任意选取其中的一些向量，组成的向量组仍然是线性无关的。 三、线性相关和线性无关的应用 线性相关和线性无关在线性代数中具有广泛的应用，下面将介绍几个重要的应用场景。 1. 判定矩阵的秩

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。通过判断矩阵的行向量或列向量组是否线性无关，可以确定矩阵的秩。在实际应用中，秩的概念在解线性方程组、矩阵求逆、奇异值分解等问题中起到了重要作用。 2. 优化问题 在一些优化问题中，线性相关和线性无关的概念可以帮助我们进行解题和求解最优解。例如，在最小二乘法中，通过判断矩阵的列向量组是否线性无关，可以确定最优解的存在性和唯一性，从而找到一个最佳的拟合曲线或平面。 3. 多元线性回归分析 多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于分析多个自变量对因变量的影响。在线性回归中，通过判断自变量之间是否线性相关，可以避免多重共线性问题，提高模型的稳定性和预测准确性。 4. 向量空间和基的选择 在线性代数中，向量空间的维度等于基向量组的个数。通过判断基向量组是否线性相关，可以确定向量空间的维度，进而研究向量空间的性质、子空间的结构等。 综上所述，线性相关和线性无关是线性代数中的重要概念，它们在众多领域中具有广泛的应用。熟练掌握线性相关和线性无关的定义及性质，能够帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，在求解实际

向量组线性相关与线性无关

向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.

向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关LT

1212(,,,)0t t k k a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ 只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。 特别的，若t n =，则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。 例 1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。因为，若a 线性相关，则存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。而若0a =，由于10a a ⋅==， 10≠因此，a 线性相关。 例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若,a b 线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，则2 1 k a b k =- ，故,a b 平行，即对应分量成比例。如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，则0a b λ-=，于是,a b 线性相关。 例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪ =∈ ⎪ ⎪⎝⎭ 都可以由其线性表示，且表示 方法唯一。事实上， 121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5.线性相关与无关的性质 (1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明： 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，其中有一个为零，不妨假设0t a =，则 121000100t a a a -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅= 因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。

线性相关和线性无关的结论

线性相关和线性无关的 结论 The document was finally revised on 2021

§性质定理总结： 一、线性相关的判别： 1、m ααα ,,21线性相关⇔存在不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得 1122m m k k k .ααα++=0 2、1α线性相关⇔ 1α=0. 3、12,αα线性相关⇔ 1α与2α的对应分量成比例. 4、m ααα ,,21线性相关⇔其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n 个n 维向量线性相关⇔它们构成的行列式等于零. 6、m ααα ,,21线性相关 ⇔m ααα ,,21的秩小于m . 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关⇒整体相关. 9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关. 二、线性无关的判别： 1、m ααα ,,21线性无关⇔如果1122,m m k k k ααα++=0则有 .021====m k k k 2、整体无关⇒部分无关. 3、无关则加长无关 三、线性相关的性质： m ααα ,,21线性无关，12m ,,,αααβ线性相关⇒β可由m ααα ,,21线性表 示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质：

1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数 ≤Ⅱ的元素个数. 2、等价线性无关向量组的向量个数相同. 五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.

线性相关与线性无关

线性相关与线性无关 §9 线性相关与线性无关 教学要求：掌握线性相关与线性无关的定义, 并能够判断向量组的线性相关性知识要点 : 一、定义与例子 : 定义 9.1 对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 , 使得 那么, 称向量组线性相关. 如果这样的个数不存在, 即上述向量等式仅当 时才能成立, 就称向量组 线性无关. 含零向量的向量组一定线性相关 , 因为 其中, 不全为零. , 线性相关的充分必要 只有一个向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是条件是 . 考虑齐次线性方程组 (*) 它可以写成 ， 或 , 其中 . 由此可见, 向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 也就是说, 向量组

线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 例1 向量组是线性无关的 . 解: 设有 使 , 有非零解. 只有零解. 即 , 得齐次线性方程组 . 解此方程组得 , 所以向量组线性无关. 例2 设向量组线性无关, 又设 也线性无关. 证明: 设有 使 , 即 , 因为 线性无关, 故有 证明向量组 , 此线性方程组只有零解定理 9.1 向量组其余 个向量线性表示 . , 也即向量组线性无关. 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由 证明: 必要性设线性相关, 即存在一组不全为零的数 . 不妨设

, 则有 , 使得 , 即 可以由其余 个向量 线性表示. 其实, 在向量等式 的向量都可以由其余 个向量线性表 中, 任何一个系数 示 . 充分性设向量组 中有一个向量能由其余 , 个向量线性表示 . 不妨设 则 , 因为 不全为零, 所以 线性相关. 二、向量组线性相关和线性无关判别定理 : 设矩阵的列向量组为 , 矩阵的列向量组为的. 我们有以下定理: , 其中矩阵是通过对矩阵做行初等变换后得到 定理 9.2 向量组与向量组有相同的线性相关性. 证明 :记