2017年中考数学专项复习《圆周角1》练习 浙教版 精品
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3.5 圆周角一、选择题(共10小题;共50分)1. 如图,点A、B、M在⊙O上的动点,要是△ABM为等腰三角形,则所有符合条件的点M有 ( ).A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图,P为正三角形ABC外接圆上一点,则∠APB= ( ).A. 150∘B. 135∘C. 115∘D. 120∘3. 如图,⊙O中,∠CBO=45∘,∠CAO=15∘,则∠AOB的度数是 ( )A. 75∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘4. 如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,分别连接AC,BC,CD,OD,若∠DOB=140∘,则∠ACD= ( )A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘5. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45∘,则∠B的度数为 ( )A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘6. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为 ( )A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 75∘7. 如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72∘,则∠BCO的度数为 ( )A. 15∘B. 18∘C. 20∘D. 28∘8. 如图所示,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,连接AO1并延长交⊙O1于点C,则∠ACO2的度数为 ( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 20∘9. 如图,平行四边形ABCD的顶点A,B,D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,∠ADC= 54∘,连接AE,则∠AEB的度数为 ( )A. 36∘B. 46∘C. 27∘D. 63∘10. 如图,正方形ABCD的对角线相交于O,点F在AD上,AD=3AF,△AOF的外接圆交AB于E,则AEAF的值为 ( )A. 32B. 3 C. 53D. 2二、填空题(共10小题;共50分)11. 如图,已知AB,AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,∠BOC=100∘,则∠B的度数为.12. 如图,⊙O的半径是2,直线与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上两个动点,且在直线的异侧,若∠AMB=45∘,则四边形MANB面积的最大值是.13. 如图,AB是⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45∘,若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是14. 如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30∘,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为.15. 直径为10 cm的⊙O中,弦AB=5 cm,则弦AB所对的圆周角是.16. 如图,已知A,B,C三点在⊙O上,AC⊥BO于D,∠B=55∘,则∠BOC的度数是.17. 如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35∘,则∠B+∠E=.18. 如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50∘,∠B=30∘则∠ADC的度数为.⏜的中点,点P是直径MN上一动点,若⊙O的19. 如图,点A是半圆上一个三等分点,点B是AN半径为1,则AP+BP的最小值是.20. 如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=45∘,以4√2为半径,过B、C两点作⊙O,连OA,则线段OA的最大值为.三、解答题(共3小题;共39分)21. 已知:△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AB为直径的⊙O交BC于点D.Ⅰ如图1,当∠A为锐角时,AC与⊙O交于点E,连接BE,则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC=∠CBE;Ⅱ如图2,若AB不动,AC绕点A逆时针旋转,当∠BAC为钝角时,CA的延长线与⊙O交于点E,连接BE,(1)中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.22. 如图,在平面直角坐标系xOy中,△OCB的外接圆与y轴交于点A(0,√2),∠OCB=60∘,∠COB=45∘,求OC的长.23. 如图,△ABC外接圆⊙O半径为r,BE⊥AC于E,AD⊥BC于D,BE、AD交于点K,AK=r.求∠BAC的度数.答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. D6. C7. B8. C9. A 10. D第二部分11. 25∘12. 4√13. 3√14. 10.515. 30∘或150∘16. 70∘17. 215∘18. 110∘19. √20. 2+2√2+2√7第三部分21. (1)2(2)(1)中∠BAC与∠CBE的数量关系成立.证明:连接AD.∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=∠ADB=90∘.∴∠AEB+∠ADB=180∘.∵∠AEB+∠ADB+∠CBE+∠EAD=360∘,∴∠CBE+∠EAD=180∘.∵∠DAC+∠EAD=180∘,∴∠CBE=∠DAC.∵AB=AC,∴∠BAC=2∠DAC.∴∠BAC=2∠CBE.22. 连接AB、AC,作AD⊥OC于D.∵∠AOB=90∘∴AB为直径.⏜=BO⏜,∠AOB=90∘,∵BO∴∠OAB=∠OCB=60∘,∴∠ABO=∠ACO=30∘.∵∠COB=45∘,∴∠CAB=45∘.∵AB为直径,∴∠ACB=90∘,∴∠ABC=45∘,∴∠AOC=45∘.∵OA=√2,∴AD=OD=1,∴CD=√=√,∴OC=1+√23. 连接AO并延长与⊙O交于点H,延长BE与⊙O交于点F,连接AF,OF,CH,如图.∵∠AKF+∠KAE=90∘,∠KAE+∠ACD=90∘,∴∠AKF=∠ACD.∵∠ACD=∠AFK,∴∠AKF=∠AFK.∴AF=AK=r.∴△AOF是等边三角形.∴∠OAF=60∘.∵AH是⊙O的直径,∴∠ACH=90∘.∴CH∥BF.∴∠CBF=∠BCH.∵∠BCH=∠BAH,∠CBF=∠CAF,∴∠BAH=∠CAF.∵∠OAF=60∘.∴∠BAC=60∘.。
圆周角—巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1.(2016•张家界)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦.若∠OBC=60°,则∠BAC的度数是()A.75°B.60°C.45°D.30°2.如图所示,∠1,∠2,∠3的大小关系是().A.∠1>∠2>∠3 B.∠3>∠1>∠2 C.∠2>∠1>∠3 D.∠3>∠2>∠13.如图,AC是⊙O的直径,弦AB∥CD,若∠BAC=32°,则∠AOD等于( ).A.64°B.48°C.32°D.76°4.如图,弦AB,CD相交于E点,若∠BAC=27°,∠BEC=64°,则∠AOD等于( ).A.37°B.74°C.54°D.64°(第3题图)(第4题图)(第5题图)5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于( ).A.69°B.42°C.48°D.38°6.△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100°D.80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中,两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等,那么_ _________.8.(2016•济宁)如图,在⊙O中,=,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是________.9.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于H ,BD∥OC,则∠B 的度数是 .10.如图,△ABC 内接于⊙O ,AB =BC ,∠BAC =30°,AD 为⊙O 的直径,AD =2 3 ,则BD = .11.如图,已知⊙O 的直径MN =10,正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上,且∠POM =45°,则AB = .(第11题图) (第12题图)12.如图,已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上,且AC 为直径,则∠A+∠B+∠C=________度.三、解答题13. 如图所示,AB ,AC 是⊙O 的弦,AD ⊥BC 于D ,交⊙O 于F ,AE 为⊙O 的直径,试问两弦BE 与CF 的大小有何关系,说明理由.14.如图,AB 是半圆O 的直径,C 、D 是半圆O 上的两点,且OD ∥BC ,OD 与AC 交于点E .(1)若∠D=70°,求∠CAD 的度数;(2)若AC=8,DE=2,求AB 的长.15.如图,⊙O 中,直径AB =15cm ,有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ,点D 与B 不重合),CF ⊥CD 交AB 于F ,DE ⊥CD 交AB 于E .(第10题图)(1)求证:AE=BF;(2)在动弦CD滑动的过程中,四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值,请给出证明并求这个定值;若不是,请说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠OBC=60°,∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°.故选D.2.【答案】D;【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A;【解析】∵弦AB∥CD,∠BAC=32°,∴∠C=∠A=32°,∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B;【解析】∠ACD=64°-27°=37°,∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A;【解析】∠BAD=12∠BOD=69°,由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D;【解析】如图,∵∠AOC=160°,∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°,∵∠ABC+∠AB′C=180°,∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°.∴∠ABC的度数是:80°或100°.故选D.二、填空题7.【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等;8.【答案】20°.【解析】连接CO,如图:∵在⊙O中,=,∴∠AOC=∠AOB,∵∠AOB=40°,∴∠AOC=40°,∴∠ADC=∠AOC=20°.9.【答案】60°;10.11.【答案】;【解析】如图,设AB=x,在Rt⊿AOD 中:x²+(2x)²=5², x=, 即 AB的长=.第11题第12题12.【答案】90°;【解析】如图,连结AB、BC,则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF.理由:∵AE为⊙O的直径,AD⊥BC,∴∠ABE=90°=∠ADC,又∠AEB=∠ACB,∴∠BAE=∠CAF,.∴BE CF∴BE=CF.14.【答案与解析】解:(1)∵OA=OD ,∠D=70°,∴∠OAD=∠D=70°,∴∠AOD=180°﹣∠OAD ﹣∠D=40°,∵AB 是半圆O 的直径,∴∠C=90°,∵OD ∥BC ,∴∠AEO=∠C=90°,即OD ⊥AC , ∴=,∴∠CAD=∠AOD=20°;(2)∵AC=8,OE ⊥AC ,∴AE=AC=4,设OA=x ,则OE=OD ﹣DE=x ﹣2,∵在Rt △OAE 中,OE 2+AE 2=OA 2,∴(x ﹣2)2+42=x 2,解得:x=5,∴OA=5,∴AB=2OA=10.15.【答案与解析】(1)如图,作OH ⊥CD 于H ,利用梯形中位线易证OF=OE ,OA=OB , 所以AF=BE ,AF+EF=BE+EF ,即AE=BF .(2)四边形CDEF 的面积是定值.连结OC ,则, 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯=54(cm 2).。
浙教版九年级数学上册同步测试:3.5 圆周角一、选择题1.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠DCF=20°,则∠EOD等于()A.10°B.20°C.40°D.80°2.如图,OA是⊙O的半径,弦BC⊥OA,D是⊙O上一点,若∠ADB=28°,则∠AOC的度数为()A.14°B.28°C.56°D.84°3.如图,已知点C,D是半圆上的三等分点,连接AC,BC,CD,OD,BC和OD相交于点E.则下列结论:①∠CBA=30°,②OD⊥BC,③OE=AC,④四边形AODC是菱形.正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.44.如图,已知圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的度数是()A.156°B.78°C.39°D.12°5.如图,点A,B,C,在⊙O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于()A.60°B.70°C.120°D.140°6.如图,▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,则∠AEB的度数为()A.36°B.46°C.27°D.63°7.如图,A、B、C是⊙O上的三点,且∠ABC=70°,则∠AOC的度数是()A.35°B.140°C.70°D.70°或140°8.下列四个图中,∠x是圆周角的是()A.B.C.D.9.如图,在⊙O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为()A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°10.如图,A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为()A .B .2C .2D .411.如图,已知⊙O 是△ABD 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ABD=58°,则∠BCD 等于( )A .116°B .32°C .58°D .64°12.如图,在⊙O 中,直径CD ⊥弦AB ,则下列结论中正确的是( )A .AD=AB B .∠BOC=2∠DC .∠D +∠BOC=90° D .∠D=∠B13.如图,在⊙O 中,∠CBO=45°,∠CAO=15°,则∠AOB 的度数是( )A .75°B .60°C .45°D .30°14.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠OCB=40°,则∠A 的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.100°15.如图,AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,∠BOC=70°,则∠ABD=()A.20°B.46°C.55°D.70°16.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=50°,则∠BOC的度数为()A.40°B.50°C.80°D.100°17.如图,在△ABC中,以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点,连接BD、DE.若BD 平分∠ABC,则下列结论不一定成立的是()A.BD⊥AC B.AC2=2AB•AEC.△ADE是等腰三角形D.BC=2AD二、填空题18.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P在线段OA上运动.设∠BCP=α,则α的最大值是.19.如图,P是⊙O外一点,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOB=60°,PA、PB分别交于M、N 两点,则∠APB的范围是.20.如图所示⊙O中,已知∠BAC=∠CDA=20°,则∠ABO的度数为.21.已知点O是△ABC外接圆的圆心,若∠BOC=110°,则∠A的度数是.22.如图,点A、B、C、D都在⊙O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则⊙O的直径的长是.23.如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC=度.24.如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.25.如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点,P是优弧AB上任意一点(与A、B不重合),则∠APB=.26.如图,AD、AC分别是直径和弦,∠CAD=30°,B是AC上一点,BO⊥AD,垂足为O,BO=5cm,则CD等于cm.27.如图,在⊙O中直径CD垂直弦AB,垂足为E,若∠AOD=52°,则∠DCB=.三、解答题28.(1)甲市共有三个郊县,各郊县的人数及人均耕地面积如表所示:郊县人数/万人均耕地面积/公顷A 20 0.15B 5 0.20C 10 0.18求甲市郊县所有人口的人均耕地面积(精确到0.01公顷);(2)先化简下式,再求值:,其中,;(3)如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E,若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.29.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.(1)求证:∠B=∠D;(2)若AB=4,BC﹣AC=2,求CE的长.30.如图.点A、B、C、D在⊙O上,AC⊥BD于点E,过点O作OF⊥BC于F,求证:(1)△AEB∽△OFC;(2)AD=2FO.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.4圆心角、3.5圆周角》优生辅导综合练习题(附答案)一.选择题1.如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠ADC=130°,则∠BAC的度数为()A.25°B.30°C.40°D.50°2.如图,在⊙O中,=,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是()A.40°B.30°C.20°D.15°3.如图,C,D是⊙O上直径AB两侧的两点,设∠ABC=15°,则∠BDC=()A.85°B.75°C.70°D.65°4.如图,AB是⊙O的直径,∠D=32°,则∠AOC等于()A.158°B.58°C.64°D.116°5.如图,△ABC的两顶点A,B在⊙O上,点C在圆外,∠C=46°,边AC交⊙O于点D,DE∥BC经过圆心交⊙O于点E,则的度数为()A.44°B.80°C.88°D.92°6.一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示,顶点D在圆圈外,其他几个顶点都在圆圈上,圆圈和AD交于点E,已知AC=8cm,则这个圆圈上的弦CE长是()A.6cm B.6cm C.4cm D.cm 二.填空题7.如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上.若∠ACD=50°,则∠BAD的大小为°.8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,交AC于点E.若∠BAC=44°,BD=2,则弧AE的度数是,DC的长为.9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则CD的长为.10.在半径为r的圆中,长度为r的弦所对的圆周角的度数是.11.如图,在⊙O中,∠BAC=15°,∠ADC=20°,则∠ABO的度数为.12.如图,A,B,C,D都是⊙O上的点,OA⊥BC,垂足为E,若∠OBC=20°,则∠ADC 等于度.13.如图,矩形ABCD中,AB=6,以点D为圆心,CD长为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点E,若的度数为60°,则直径BC长为.14.如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上,顶点C、D在该圆内.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点D第一次落在圆上时,点C旋转到C′,则∠C′AB=°.15.如图,OA、OB是⊙O的半径且OA=OB=1,AB=,在⊙O上一点C,使BC=,则∠BAC的度数为.三.解答题16.如图,在下列4×4(边长为1)的网格中,已知△ABC的三个顶点A,B,C在格点上,请分别按不同要求在网格中描出一个格点D,并写出点D的坐标.(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后所得的三角形,点A旋转后落点为D;(2)经过A,B,C三点有一条抛物线,请找到点D,使点D也落在这条抛物线上;(3)经过A,B,C三点有一个圆,请找到一个横坐标为2的点D,使点D也落在这个圆上,①点D的坐标为;②点D的坐标为;③点D的坐标为.17.如图,在⊙O中,B,C是的三等分点,弦AC,BD相交于点E.(1)求证:AC=BD;(2)连接CD,若∠BDC=25°,求∠BEC的度数.18.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,连接CO,CB.(1)若AM=2,BM=8,求CD的长度;(2)若CO平分∠DCB,求证:CD=CB.19.如图所示,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,连接AC、OC、BC.(1)求证:∠ACO=∠BCD;(2)若EB=8,CD=24,求⊙O的直径.20.如图,AB是⊙O的直径,点C,E都在⊙O上,OC⊥AB,=2,DE∥AB交OC 于点D,延长OC至点F,使FC=OC,连接EF.(1)求证:CD=OD.(2)若⊙O的直径是4,求EF的长.21.如图,AD为⊙O的直径,∠BAD=∠CAD,连接BC.点E在⊙O上,AB=BE,求证:(1)BC平分∠ACE;(2)AB∥CE.22.如图,AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.(1)求证:CF=BF;(2)若AD=6,⊙O的半径为5,求BC的长.23.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上不同于A,B的两点,且OC平分∠ACD,延长AC与DB交于点E,过点C作CF⊥OC交DE于点F.(1)求证:∠A=∠E.(2)若BF=5,,求⊙O的半径.24.如图,Rt△ABC中,AC=CB,点E,F分别是AC,BC上的点,△CEF的外接圆交AB 于点Q,D.(1)如图1,若点D为AB的中点,求证:∠DEF=∠B;(2)在(1)问的条件下:①如图2,连接CD,交EF于H,AC=4,若△EHD为等腰三角形,求CF的长度.②如图2,△AED与△ECF的面积之比是3:4,且ED=3,求△CED与△ECF的面积之比(直接写出答案).(3)如图3,连接CQ,CD,若AE+BF=EF,求证:∠QCD=45°.参考答案一.选择题1.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠B=180°,∵∠ADC=130°,∴∠B=180°﹣130°=50°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°﹣∠B=40°.故选:C.2.解:连接CO,如图:∵在⊙O中,=,∴∠AOC=∠AOB,∵∠AOB=40°,∴∠AOC=40°,∴∠ADC=∠AOC=20°,故选:C.3.解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠ABC=15°,∴∠CAB=75°,∴∠BDC=∠CAB=75°,故选:B.4.解:∵∠D=32°,∴∠BOC=2∠D=64°,∴∠AOC=180°﹣64°=116°.故选:D.5.解:∵DE||BC,∴∠C=∠ADE=46°,∴的度数是92°,∴的度数为180°﹣92°=88°.故选:C.6.解:作AH⊥CE于H,如图,∠ACB=90°,∠ABC=∠BAC=45°,∠BAD=30°,∴∠BCE=∠BAD=30°,∴∠ACE=60°,在Rt△ACH中,CH=AC=×8=4cm,∴AH=CH=4cm,∵∠AEC=∠ABC=45°,∴AH=HE=4cm,∴CE=CH+HE=(4+4)cm.故选:C.二.填空题7.解:连接BD,∵BD是直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是,∴∠ABD=∠ACD=50°,∴∠BAD=90°﹣∠ABD=90°﹣50°=40°,故答案为:40.8.解:连接OE,AD,∵OA=OE,∠BAC=44°,∴∠BAC=∠OEA=44°,∴∠AOE=92°,∴弧AE的度数是92°,∵AB为半圆O的直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵BD=2,∴CD=2.故答案为:92°,2.9.解:连接CD,∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴∠B=60°,BC=AB=2,∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,∴△BCD是等边三角形,∴CD=BC=2,故答案为:2.10.解:如图,作OD⊥AB,垂足为D,则由垂径定理知,点D是AB的中点,∴AD=AB=r,∴∠AOD=45°,∴∠AOB=2∠AOD=90°,∴∠ACB=∠AOB=45°,∵A、C、B、E四点共圆,∴∠ACB+∠AEB=180°,∴∠AEB=135°,故答案为:45°或135°.11.解:连接AO,CO,则∠AOC=2∠ADC,∠BOC=2∠BAC,∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=2∠BAC+2∠ADC=2×15°+2×20°=70°,∵OA=OB,∴∠ABO=(180°﹣∠AOB)=55°,故答案为:55°.12.解:∵OA⊥BC,∴∠OEB=90°,∵∠OBC=20°,∴∠AOB=90°﹣∠OBC=70°,∴的度数是70°,∵OA⊥BC,OA过圆心O,∴=,∴的度数是70°,∴圆周角∠ADC==35°,故答案为:35.13.解:如图,连接BE,EC.∵BC是直径,∴∠BEC=90°,∵的度数=60°,∴∠BCE=×60°=30°,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=6,∠DCB=90°,∴∠DCE=90°﹣30°=60°,∵DE=DC,∴△DEC是等边三角形,∴EC=CD=6,∴BC=4.故答案为:.14.解:如图,分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′;∵OA=OB=AB,∴△OAB是等边三角形,∴∠OAB=60°;同理可得△OAD′为等边三角形,∴∠OAD′=60°,∴∠D′AB=60°+60°=120°;∵AC′为正方形AB′C′D′的对角线,∴∠D′AC′=45°,∴∠C′AB=∠D′AB﹣∠D′AC′=120°﹣45°=75°.故答案为75.15.解:如图,作OH⊥BC于H.连接AC.∵OH⊥BC,∴BH=CH=,∴∠OBH=30°,∵OA=OB=1,AB=,∴AB2=OA2+OB2,∴∠AOB=90°,∴∠ACB=∠AOB=45°,∵∠ABC=∠ABO+∠OBC=45°+30°=75°,∴∠BAC=180°﹣75°﹣45°=60°,作点C关于直线OB的对称点C′,连接AC′,BC′,CC′,∵∠OBC=∠OBC′=30°,∴∠CBC′=60°,∵BC=BC′,∴△BCC′是等边三角形,∴∠BCC′=60°,∴∠BAC′=180°﹣60°=120°,故答案为60°或120°.三.解答题16.解:(1)如图,点B的对应点为B′,点A的对应点为点D(4,2);故①答案为:(4,2);(2)抛物线的对称轴在BC的中垂线上,则点D、A关于函数对称轴对称,故点D(3,2),故②的答案为:(3,2);(3)AB中垂线的表达式为:y=x,BC的中垂线为:x=,则圆心O为:(,),设点D(2,m),则OD=OB,()2+()2=(2﹣)2+(m﹣)2,解得:m=0或3(舍去0),故点D(2,3);故③的答案为(2,3).17.(1)证明:∵B,C是的三等分点,∴==,∴+=+,∴=,∴AC=BD;(2)解:如图,连接CD,AD,∵∠BDC=25°,==,∴∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°,∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°,∴∠AED=180°﹣∠CAD﹣∠BDA=130°,∴∠BEC=∠AED=130°.18.解:(1)∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∴CM=DM,∵AM=2,BM=8,∴AB=10,∴OA=OC=5,在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,∴CM==4,∴CD=8;(2)过点O作ON⊥BC,垂足为N,∵CO平分∠DCB,∴OM=ON,∴CB=CD.19.(1)证明:∵AB⊥CD,∴,∴∠A=∠BCD,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠ACO=∠BCD;(2)解:设⊙O的半径为r,则OC=r,OE=OA﹣BE=r﹣8,∵AB⊥CD,∴CE=DE=CD=×24=12,在Rt△OCE中,122+(r﹣8)2=r2,解得r=13,∴⊙O的直径=2r=26.20.(1)证明:连接OE、CE,如图,∵OC⊥AB,∴∠AOC=90°,∵=2,∴∠COE=2∠AOE,∴∠COE=60°,而OE=OC,∴△OCE为等边三角形,∵DE∥AB,OC⊥AB,∴DE⊥OC,∴CD=OD;(2)解:∵⊙O的直径是4,∴OE=OC=CF=2,CD=OD=1,在Rt△ODE中,DE==,在Rt△EFD中,EF===2.21.证明:(1)∵AB=BE,∴,∴∠ACB=∠BCE,∴BC平分∠ACE;(2)连接OC、OB,∵OA、OB、OC是⊙O半径,∴OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∵∠BAD=∠CAD,∴∠ABO=∠ACO,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OBA+∠OBC=∠OCA+∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∵AB=BE,∴AC=BE,∴,∴∠ABC=∠ECB,∴AB∥CE.22.(1)证明:连接AC,如图1所示:∵C是弧BD的中点,∴∠DBC=∠BAC,在ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB,∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°,∴∠BCE=∠BAC,又C是弧BD的中点,∴∠DBC=∠CDB,∴∠BCE=∠DBC,∴CF=BF.(2)解:连接OC交BD于G,如图2所示:∵AB是O的直径,AB=2OC=10,∴∠ADB=90°,∴BD===8,∵C是弧BD的中点,∴OC⊥BD,DG=BG=BD=4,∵OA=OB,∴OG是△ABD的中位线,∴OG=AD=3,∴CG=OC﹣OG=5﹣3=2,在Rt△BCG中,由勾股定理得:BC===2.23.(1)证明:由题意∠ACO=∠A=∠D.∵OC平分∠ACD,∴∠ACO=∠OCD,∴∠OCD=∠D.∴OC∥DE,∴∠E=∠ACO,∴∠E=∠A.(2)解:∵,∴设BD=3x,OB=4x,由(1)得∠E=∠A=∠CDE,OC∥DE.∵CF⊥OC,∴CF⊥DE,∴EF=DF=3x+5.∴BE=3x+10,∵∠E=∠A,∴AB=BE,即3x+10=8x,解得x=2∴半径OB=4x=8.24.(1)证明:连接CD.在Rt△ABC中,∵AC=CB,∴∠A=∠B=45°,∵CD=DB,∴∠DCB=∠B=45°,∵∠DEF=∠DCB,∴∠DEF=∠B.(2)解:①如图2﹣1中,当EH=HD,可证四边形CFDE是正方形CF=2.如图2﹣2中,当EH=ED时,∠EDH=∠EHD=67.5°,∵∠EDF=∠CDB=90°,∴∠EDH=∠BDF=67.5°,∴∠BFD=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠BDF=∠BFD,∴BD=BF,∵AC=BC=4,∠ACB=90°,∴AB==4,∴BD=BF=2,∴CF=4﹣2.如图2﹣3中,当DA=FH时,点E于A重合,点H与C重合,CF=0.综上所述,满足条件的CF的值为0或2或4﹣2.②如图2﹣4中,作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,连接DF.∵CA=CB,AD=DB,∠ACB=90°,∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,CD=DA=DB∴DE=DF,∵∠ADC=∠EDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,S△ADE=S△CDF,∵DC平分∠ACB,DM⊥AC,DN⊥BC,∴DM=DN,可得四边形DMCN是正方形,∴DM=CM=CN=DN,∵====,∴可以假设DN=3k,EC=4k,则AC=BC=6k,AE=CF=2k,∴==.(3)证明:连接OD,OQ,作ER⊥AB,OH⊥AB,FK⊥AB.∵ER∥OH∥FK,EO=OF,∴RH=HK∴OH=(ER+FK),∵ER=AE,FK=FB,∴OH=(AE+BF)=EF=OE=OQ,∴∠OQD=∠ODQ=45°,∴∠QOD=90°,∴∠QCD=45°.。
与圆有关的计算【牛刀小试】1. 如图,在⊙O 中,60AOB ∠=,3cm AB =, 则劣弧AB⌒ 的长 为 cm .2. 翔宇学中的铅球场如图所示,已知扇形AOB 的面积是36米2,AB ⌒ 的长度为9米,那么半径OA = 米.3. 如图,已知扇形的半径为3cm ,圆心角为120°,则扇形的面积为__________ 2cm .(结果保留π)4. 已知扇形的半径为2cm ,面积是243cm π,则扇形的弧长是 cm ,扇形的圆心角为 °.5. 如图,正六边形内接于圆O ,圆O 的半径为10,则圆中阴影部分的面积为 .【考点梳理】1. 圆的周长为 ,1°的圆心角所对的弧长为 ,n °的圆心角所对 的弧长为 ,弧长公式为 .2. 圆的面积为 ,1°的圆心角所在的扇形面积为 ,n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯ = = .3. 圆柱的侧面积公式:S=2rl π.(其中r 为 的半径,l 为 的高)4. 圆锥的侧面积公式:S=rl π.(其中r 为 的半径,l 为 的长)【典例分析】例1 如图,CD 切⊙O 于点D ,连结OC ,交⊙O 于点B ,过点B 作弦AB ⊥OD ,点E 为垂足,已知⊙O 的半径为10,si n ∠COD =54.(1)求弦AB 的长;(2)CD 的长; (3)劣弧AB 的长.(结果保留三个有效数字,sin53.130.8≈,π≈3.142)第1题第3题第5题 第2题例2 如图,AB 为⊙O 的直径,CD AB ⊥于点E ,交⊙O 于点D ,OF AC ⊥于点F .(1)请写出三条与BC 有关的正确结论;(2)当30D ∠=,1BC =例 3 如图,线段AB 与⊙O 相切于点C ,连结OA 、OB ,OB 交⊙O 于点D ,已知6cm OA OB ==,AB =.求(1)⊙O 的半径; (2)图中阴影部分的面积.【真题演练】1. Rt ABC △中,90C ∠=,8AC =,6BC =,两等圆⊙A ,⊙B 外切,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( ) A .254π B .258π C .2516π D .2532π 2. 如图,在矩形空地上铺4块扇形草地.若扇形的半径均为r 米,圆心角均为90,则铺上的草地共有 平方米.3. 如图,已知AB 上,且13AB =,5BC =.(1)求sin ∠的值; BAOACBD(2)如果OD AC ⊥,垂足为D ,求AD 的长; (3)求图中阴影部分的面积(精确到0.1).4. 如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留π); (2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由. (3)当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.B。
初中数学浙教版九年级上册3.5圆周角同步练习一、单选题(共12题;共23分)1.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD平分∠ACB交⊙O于点D,若∠ABC=30°,则∠CAD的度数为( )A. 100°B. 105°C. 110°D. 1202.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°3.用直角三角板检查半圆形的工件,下列工件合格的是()A. B. C. D.4.已知A,B,C在⊙O上,△ABO为正三角形,则()A. 150°B. 120°C. 150°或30°D. 120°或60°5.如图,将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上,两条直角边分别交⊙O于A、B两点,点P在优弧AB上,且与点A、B不重合,连结PA、PB.则∠APB的大小为________度.6.如图,点A,B,C,D,E均在⊙O上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD的度数为()A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°7.AB是⊙O的弦,∠AOB=80°,则弦AB所对的圆周角是()A. 40°B. 140°或40°C. 20°D. 20°或160°8.如图,已知BC是⊙O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E,设∠AED=α,∠AOD=β,则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°9.数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )A. 勾股定理B. 勾股定理的逆定理C. 直径所对的圆周角是直角D. 90°的圆周角所对的弦是直径10.如图,已知EF是⊙O的直径,把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P,点B与点O重合,且AC大于OE,将三角板ABC沿OE方向平移,使得点B与点E重合为止.设∠POF=x,则x的取值范围是()A. 30≤x≤60B. 30≤x≤90C. 30≤x≤120D. 60≤x≤12011.如图,点A,B,D,C是⊙O上的四个点,连结AB,CD并延长,相交于点E,若∠BOD=20°,∠AOC=90°,则∠E的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 55°12.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在直径AB一侧的圆上(异于A,B两点),点E在直径AB另一侧的圆上,若∠E=42°,∠A=60°,则∠B=()A. 62°B. 70°C. 72°D. 74°二、填空题(共5题;共5分)13.如图,量角器上、两点所表示的读数分别是、,则的度数为________.14.如图,⊙O1的半径是⊙O2的直径,⊙O1的半径O1C交⊙O2于B,若的度数是48°,那么的度数是________.15.如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器零刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第18秒时,点E在量角器上对应的读数是________度.16.若点O是△ABC的外心,且∠BOC=70°,则∠BAC的度数为________.17.如图,AB是半圆O的直径,弦AC=4,∠CAB=60°,点D是弧BC上的一个动点,作CG⊥AD,连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是________.三、解答题(共5题;共40分)18.如图,AB是⊙O的直径,半径OC⊥AB,过OC的中点D作弦EF∥AB,求∠ABE的度数.19.如图,已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径,点C是弧AB的中点,M、N分别是OA、OB的中点.求证:MC=NC.20.已知:如图△ABC内接于圆O,AB=AC,D为弧BC上任意一点,连结AD,BD(1)若∠ADB=65°,求∠BAC的度数(2)求证:∠ABD=∠AEB21.如图AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.22.如图,圆内接四边形ABDC,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于E.(1)求证:∠BCD=∠CBD;(2)若BE=4,AC=6,求DE的长.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣30°=60°,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=45°,∵∠BAD=∠BCD=45°,∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+45°=105°.故答案为:B.【分析】利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则利用互余计算出∠BAC=60°,接着根据角平分线定义得到∠BCD=45°,从而利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=45°,然后计算∠BAC+∠BAD即可.2.【答案】B【解析】【解答】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,∴∠BOC+∠AOB=220°,∴∠D=110°(同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半),故答案为:B.【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.3.【答案】C【解析】【解答】解:A、直角未在工件上,故该工件不是半圆,不合格,故A错误;B、直角边未落在工件上,故该工件不是半圆,不合格,故B错误;C、直角及直角边均落在工件上,故该工件是半圆,合格,故C正确;D、直角边未落在工件上,故该工件不是半圆,不合格,故D错误,故答案为:C.【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可.4.【答案】C【解析】【解答】解:∵△ABO为正三角形,∴∠AOB=60°,当点C在优弧上的时候,∠ACB=∠AOB=30°,当点C在劣弧AB上的时候,∠ACB=180°-30°=150°,∴∠ACB的度数为150°或30° .故答案为:C.【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数,然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案.5.【答案】45【解析】【解答】解:∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角,∴∠APB= ∠AOB= ×90°=45°.【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”进行解答.6.【答案】D【解析】【解答】解:连接,,,,.故答案为:D.【分析】连接BE,利用同弧所对的圆周角相等,可求出∠BEC的度数,从而可求出∠BED的度数,然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。
圆(1)班级某某学号一、选择题1.如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为()A.20° B.40° C.50° D.70°2.如图,从一X腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为()A.10cm B.15cm C.10cm D.20cm3.如图,过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,OP交⊙O于点C,点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点,连接AD、CD,若∠APB=80°,则∠ADC的度数是()A.15° B.20° C.25° D.30°4.如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为()A.140° B.70° C.60° D.40°,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm,则这块扇形铁皮的半径是( )A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm6.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=22,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是()A.π2B.πC.22D.27.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=()A.B.C.D.8.如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接B C.若∠P=40°,则∠ABC的度数为()A.20° B.25° C.40° D.50°9.如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是()A.25° B.40° C.50° D.65°10.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O为圆心,OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为()A.E、F、G B.F、G、H C.G、H、E D.H、E、F二、填空题11.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是.12.如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为______________.13.如图,AB是⊙O的直径,AC、BC是⊙O的弦,直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧上,AB=8,BC=3,则DP=.14.如图,⊙O是△ABC的外接圆,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,则AC长为.15.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙O的半径为.三、解答题16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作⊙P;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.17.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.(1)求证:BD=CD;(2)若圆O的半径为3,求的长.18.如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结B D.(1)求证:∠A=∠BDC;(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点O在边AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点C,过点C作直线MN,使∠BCM=2∠A.(1)判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若OA=4,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积.20.如图,在△ABC中,E是AC边上的一点,且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB为直径作⊙O交AC于点D,交BE于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若AB=8,BC=6,求DE的长.21.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连结EF.(1)求证:∠1=∠F.(2)若sinB=,EF=2,求CD的长.22.如图,A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.(1)求证:CD是半圆O的切线;(2)若DH=6﹣3,求EF和半径OA的长.23.如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.(1)求证:∠ACD=∠B;(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;①求tan∠CFE的值;②若AC=3,BC=4,求CE的长.24.如图,在△AOB中,∠AOB为直角,OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、Q C.(1)当t为何值时,点Q与点D重合?(2)当⊙Q经过点A时,求⊙P被OB截得的弦长.(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值X围.答案详解一、选择题2.如图,从一X腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为()A.10cm B.15cm C.10cm D.20cm【考点】圆锥的计算.【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长,再利用弧长公式计算出弧CD的长,设圆锥的底面圆的半径为r,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r,然后利用勾股定理计算出圆锥的高.【解答】解:过O作OE⊥AB于E,∵OA=OD=60cm,∠AOB=120°,∴∠A=∠B=30°,∴OE=OA=30cm,∴弧CD的长==20π,设圆锥的底面圆的半径为r,则2πr=20π,解得r=10,∴圆锥的高==20.故选D.3.如图,过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别是A、B,OP交⊙O于点C,点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点,连接AD、CD,若∠APB=80°,则∠ADC的度数是()A.15° B.20° C.25° D.30°【分析】根据四边形的内角和,可得∠BOA,根据等弧所对的圆周角相等,根据圆周角定理,可得答案.【解答】解;如图,由四边形的内角和定理,得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°,由=,得∠AOC=∠BOC=50°.由圆周角定理,得∠ADC=∠AOC=25°,故选:C.4.如图,点A ,B ,C ,P 在⊙O 上,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,∠DCE =40°,则∠P 的度数为( )A .140° B.70° C.60° D.40°【考点】圆周角定理.【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE 的度数,再由圆周角定理即可得出结论.【解答】解:∵CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,∠DCE =40°,∴∠DOE =180°﹣40°=140°,∴∠P =∠DOE =70°.故选B .5.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm ,则这块扇形铁皮的半径是( )A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm【知识点】圆中的计算问题——弧长、圆锥的侧面积【答案】A.【解析】设这块扇形铁皮的半径为R cm ,∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长,∴270360×2πR=2π×602.解得R =40.故选择A.6.如图,在等腰Rt △ABC 中,AC =BC =22,点P 在以斜边AB 为直径的半圆上,M 为PC 的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是()A.π2B.πC.22D.2 【考点】轨迹,等腰直角三角形【答案】B【解析】取AB的中点E,取CE的中点F,连接PE,CE,MF,则FM=12PE=1,故M的轨迹为以F为圆心,1为半径的半圆弧,轨迹长为1212ππ⋅⋅=.7.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD=()A.B.C.D.【考点】锐角三角函数的定义.【分析】连接CD,可得出∠OBD=∠OCD,根据点D(0,3),C(4,0),得OD=3,OC=4,由勾股定理得出CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可.【解答】解:∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∵∠COD=90°,∴CD==5,连接CD,如图所示:∵∠OBD=∠OCD,∴sin∠OBD=sin∠OCD==.故选:D.8.如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接B C.若∠P=40°,则∠ABC的度数为()A.20° B.25° C.40° D.50°【考点】切线的性质.【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数,然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数.【解答】解:如图,∵AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,∴∠PAO=90°.又∵∠P=40°,∴∠∠PAO=50°,∴∠ABC=∠PAO=25°.故选:B.9.如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是()A.25° B.40° C.50° D.65°【考点】切线的性质;圆周角定理.【分析】首先连接OC,由∠A=25°,可求得∠BOC的度数,由CD是圆O的切线,可得OC⊥CD,继而求得答案.【解答】解:连接OC,∵圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∴AB是直径,∵∠A=25°,∴∠BOC=2∠A=50°,∵CD是圆O的切线,∴OC⊥CD,∴∠D=90°﹣∠BOC=40°.故选B.10.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以O为圆心,OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为()A.E、F、G B.F、G、H C.G、H、E D.H、E、F【考点】点与圆的位置关系.【分析】根据网格中两点间的距离分别求出,OE,OF,OG,OH然后和OA比较大小.最后得到哪些树需要移除.【解答】解:∵OA==,∴OE=2<OA,所以点E在⊙O内,OF=2<OA,所以点E在⊙O内,OG=1<OA,所以点E在⊙O内,OH==2>OA,所以点E在⊙O外,故选A二、填空题11.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是AB∥CD.【考点】圆内接四边形的性质.【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可.【解答】解:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°又∵∠C=∠D,∴∠A +∠D =180°.∴AB ∥C D .故答案为:AB ∥C D12.如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD 的面积为______________.【知识点】圆中的计算问题——扇形的计算.【答案】25.【解析】∵扇形ABD 的弧长DB 等于正方形两边长的和BC +DC =10,扇形ABD 的半径为正方形的边长5,∴S 扇形ABD =12×10×5=25.13.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 、BC 是⊙O 的弦,直径DE ⊥AC 于点P .若点D 在优弧上,AB =8,BC =3,则DP = 5.5 .【考点】圆周角定理;垂径定理.【分析】解:由AB 和DE 是⊙O 的直径,可推出OA =OB =OD =4,∠C =90°,又有DE ⊥AC ,得到OP ∥BC ,于是有△AOP ∽△ABC ,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解:∵AB 和DE 是⊙O 的直径,∴OA =OB =OD =4,∠C =90°,又∵DE ⊥AC ,∴OP ∥BC ,∴△AOP ∽△ABC ,∴,即,∴OP=1.5.∴DP=OP+OP=5.5,故答案为:5.5.14.如图,⊙O是△ABC的外接圆,直径AD=4,∠ABC=∠DAC,则AC长为2.【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理.【分析】连接CD,由∠ABC=∠DAC可得,得出则AC=CD,又∠ACD=90°,由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长.【解答】解:连接CD,如图所示:∵∠B=∠DAC,∴,∴AC=CD,∵AD为直径,∴∠ACD=90°,在Rt△ACD中,AD=6,∴AC=CD=AD=×4=2,故答案为:2.15.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙O的半径为.【考点】切线的性质.【分析】过点0作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.根据切线的性质,知OE、OF是⊙O的半径;然后由三角形的面积间的关系(S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD)列出关于圆的半径的等式,求得圆的半径即可.【解答】解:过点0作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.∵AB、BC是⊙O的切线,∴点E、F是切点,∴OE、OF是⊙O的半径;∴OE=OF;在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,∴由勾股定理,得BC=4;又∵D是BC边的中点,∴S△ABD=S△ACD,又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD,∴AB•OE+BD•OF=CD•AC,即5×OE+2×0E=2×3,解得OE=,∴⊙O的半径是.故答案为:.三、解答题16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作⊙P;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.【考点】直线与圆的位置关系;作图—复杂作图.【分析】(1)根据题意作出图形,如图所示;(2)BC与⊙P相切,理由为:过P作PD⊥BC,交BC于点P,利用角平分线定理得到PD=PA,而PA 为圆P的半径,即可得证.【解答】解:(1)如图所示,⊙P为所求的圆;(2)BC与⊙P相切,理由为:过P作PD⊥BC,交BC于点P,∵CP为∠ACB的平分线,且PA⊥AC,PD⊥CB,∴PD=PA,∵PA为⊙P的半径.∴BC与⊙P相切.17.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.(1)求证:BD=CD;(2)若圆O的半径为3,求的长.【考点】圆内接四边形的性质;弧长的计算.【分析】(1)直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数,再利用∠DCB=∠DBC求出答案;(2)首先求出的度数,再利用弧长公式直接求出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DCB+∠BAD=180°,∵∠BAD=105°,∴∠DCB=180°﹣105°=75°,∵∠DBC=75°,∴∠DCB=∠DBC=75°,∴BD=CD;(2)解:∵∠DCB=∠DBC=75°,∴∠BDC=30°,由圆周角定理,得,的度数为:60°,故===π,答:的长为π.18.如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结B D.(1)求证:∠A=∠BDC;(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长.【考点】切线的性质.【分析】(1)由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°,由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°,而∠ABD=∠ODB,可得答案;(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,根据勾股定理可求得MN的长.【解答】解:(1)如图,连接OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即∠A+∠ABD=90°,又∵CD与⊙O相切于点D,∴∠CDB+∠ODB=90°,∵OD=OB,∴∠ABD=∠ODB,∴∠A=∠BDC;(2)∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM,又∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,∴MN==.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点O在边AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点C,过点C作直线MN,使∠BCM=2∠A.(1)判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若OA=4,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积.【考点】直线与圆的位置关系;扇形面积的计算.【分析】(1)MN是⊙O切线,只要证明∠OCM=90°即可.(2)求出∠AOC以及BC,根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可.【解答】解:(1)MN是⊙O切线.理由:连接O C.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,∠BCM=2∠A,∴∠BCM=∠BOC,∵∠B=90°,∴∠BOC+∠BCO=90°,∴∠BCM+∠BCO=90°,∴OC⊥MN,∴MN是⊙O切线.(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°,∴∠AOC=120°,在RT△BCO中,OC=OA=4,∠BCO=30°,∴BO=OC=2,BC=2∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4.20.如图,在△ABC中,E是AC边上的一点,且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB为直径作⊙O交AC于点D,交BE于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若AB=8,BC=6,求DE的长.【考点】切线的判定.【分析】(1)由AE=AB,可得∠ABE=90°﹣∠BAC,又由∠BAC=2∠CBE,可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°,继而证得结论;(2)首先连接BD,易证得△ABD∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.【解答】(1)证明:∵AE=AB,∴△ABE是等腰三角形,∴∠ABE=(180°﹣∠BAC=)=90°﹣∠BAC,∵∠BAC=2∠CBE,∴∠CBE=∠BAC,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=(90°﹣∠BAC)+∠BAC=90°,即AB⊥BC,∴BC是⊙O的切线;(2)解:连接BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABC=90°,∴∠ADB=∠ABC,∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB,∴=,∵在Rt△ABC中,AB=8,BC=6,∴AC==10,∴,解得:AD=6.4,∵AE=AB=8,∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6.21.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连结EF.(1)求证:∠1=∠F.(2)若sinB=,EF=2,求CD的长.【考点】圆周角定理;解直角三角形.【分析】(1)连接DE,由BD是⊙O的直径,得到∠DEB=90°,由于E是AB的中点,得到DA=DB,根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论;(2)g根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2,推出AB=2AE=4,在Rt△ABC中,根据勾股定理得到BC==8,设CD=x,则AD=BD=8﹣x,根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】解:(1)证明:连接DE,∵BD是⊙O的直径,∴∠DEB=90°,∵E是AB的中点,∴DA=DB,∴∠1=∠B,∵∠B=∠F,∴∠1=∠F;(2)∵∠1=∠F,∴AE=EF=2,∴AB=2AE=4,在Rt△ABC中,AC=AB•sinB=4,∴BC==8,设CD=x,则AD=BD=8﹣x,∵AC2+CD2=AD2,即42+x2=(8﹣x)2,∴x=3,即CD=3.22.如图,A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.(1)求证:CD是半圆O的切线;(2)若DH=6﹣3,求EF和半径OA的长.【分析】(1)连接OB,根据已知条件得到△AOB是等边三角形,得到∠AOB=60°,根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°,根据平行线的性质得到OC⊥CD,由切线的判定定理即可得到结论;(2)根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°,解直角三角形得到BD=BC=AB,推出AE=AD,根据相似三角形的性质得到,求得EF=2﹣,根据直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解:(1)连接OB,∵OA=OB=OC,∵四边形OABC是平行四边形,∴AB=OC,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵∠FAD=15°,∴∠BOF=30°,∴∠AOF=∠BOF=30°,∴OF⊥AB,∵CD∥OF,∴CD⊥AD,∵AD∥OC,∴OC⊥CD,∴CD是半圆O的切线;(2)∵BC∥OA,∴∠DBC=∠EAO=60°,∴BD=BC=AB,∴AE=AD,∵EF∥DH,∴△AEF∽△ADH,∴,∵DH=6﹣3,∴EF=2﹣,∵OF=OA,∴OE=OA﹣(2﹣),∵∠AOE=30°,∴==,解得:OA=2.23.如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.(1)求证:∠ACD=∠B;(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;①求tan∠CFE的值;②若AC=3,BC=4,求CE的长.【考点】切线的性质.【分析】(1)利用等角的余角相等即可证明.(2)①只要证明∠CEF=∠CFE即可.②由△DCA∽△DBC,得===,设DC=3k,DB=4k,由CD2=DA•DB,得9k2=(4k﹣5)•4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得=,设EC=CF=x,列出方程即可解决问题.【解答】(1)证明:如图1中,连接O C.∵OA=OC,∴∠1=∠2,∵CD是⊙O切线,∴OC⊥CD,∴∠DCO=90°,∴∠3+∠2=90°,∵AB是直径,∴∠1+∠B=90°,∴∠3=∠B.(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,∴∠CEF=∠CFE=45°,∴tan∠CFE=tan45°=1.②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB==5,∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,∴△DCA∽△DBC,∴===,设DC=3k,DB=4k,∵CD2=DA•DB,∴9k2=(4k﹣5)•4k,∴k=,∴CD=,DB=,∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,∴△DCE∽△DBF,∴=,设EC=CF=x,∴=,∴x=.∴CE=.24.如图,在△AOB中,∠AOB为直角,OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD、Q C.(1)当t为何值时,点Q与点D重合?(2)当⊙Q经过点A时,求⊙P被OB截得的弦长.(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值X围.【考点】圆的综合题.【分析】(1)由题意知CD⊥OA,所以△ACD∽△ABO,利用对应边的比求出AD的长度,若Q与D重合时,则,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值;(2)由于0<t≤5,当Q经过A点时,OQ=4,此时用时为4s,过点P作PE⊥OB于点E,利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长;(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点,分以下两种情况,①当QC与⊙P相切时,计算出此时的时间;②当Q与D重合时,计算出此时的时间;由以上两种情况即可得出t的取值X围.【解答】解:(1)∵OA=6,OB=8,∴由勾股定理可求得:AB=10,由题意知:OQ=AP=t,∴AC=2t,∵AC是⊙P的直径,∴∠CDA=90°,∴CD∥OB,∴△ACD∽△ABO,∴,∴AD=,当Q与D重合时,AD+OQ=OA,∴+t=6,(2)当⊙Q经过A点时,如图1,OQ=OA﹣QA=4,∴t==4s,∴PA=4,∴BP=AB﹣PA=6,过点P作PE⊥OB于点E,⊙P与OB相交于点F、G,连接PF,∴PE∥OA,∴△PEB∽△AOB,∴,∴PE=,∴由勾股定理可求得:EF=,由垂径定理可求知:FG=2EF=;(3)当QC与⊙P相切时,如图2,此时∠QCA=90°,∵OQ=AP=t,∴AQ=6﹣t,AC=2t,∵∠A=∠A,∠QCA=∠ABO,∴△AQC∽△ABO,∴,∴,∴当0<t≤时,⊙P与QC只有一个交点,当QC⊥OA时,此时Q与D重合,由(1)可知:t=,∴当<t≤5时,⊙P与QC只有一个交点,综上所述,当,⊙P与QC只有一个交点,t的取值X围为:0<t≤或<t≤5.。
3.5 圆周角(1)(1)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(2)直径(或半圆)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.1.如图所示,在⊙O 中,OD ⊥BC ,∠BOD=60°,则∠CAD 的度数为(D ).A.15°B.20°C.25°D.30°(第1题) (第2题)(第3题)(第4题)2.如图所示,AB 是⊙O 的直径,点C ,D ,E 在⊙O 上,若∠AED=20°,则∠BCD 的度数为(B ).A.100°B.110°C.115°D.120°3.如图所示,在⊙O 中,AB 是直径,BC 是弦,点P 是上任意一点.若AB=5,BC=3,则AP 的长不可能为(A ).A.3B.4C. 29 D.5 4.如图所示,ABCD 的顶点A ,B ,D 在⊙O 上,顶点C 在⊙O 的直径BE 上,连结AE ,∠E=36°,则∠ADC 的度数为(B ).A.44°B.54°C.72°D.53°5.如图所示,在△ABC 中,AB 是⊙O 的直径,∠B=60°,∠C=70°,则∠BOD 的度数为(B ).A.90°B.100°C.110°D.120°(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)6.如图所示,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=32°,则∠C= 58°.7.如图所示,点B,D,C是⊙A上的点,∠BDC=130°,则∠BAC= 100°.8.如图所示,在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半⊙O,交BC于点D.若∠BAC=40°,则的度数是140°.9.如图所示,已知△ABC,以AB为直径的半圆O交AC于点D,交BC于点E,BE=CE,∠C=70°,求∠DOE的度数.(第9题) (第9题答图)【答案】如答图所示,连结AE.∵AB是半圆O的直径,∴∠AEB=90°.∴AE⊥BC.∵BE=CE,∴AB=AC.∴∠B=∠C=70°,∠BAC=2∠CAE.∴∠BAC=40°.∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°.(第10题)10.如图所示,△ABD是⊙O的内接三角形,圆心O在边AB上,C为的中点,AD分别与BC,OC交于E,F两点.求证:(1)OF∥BD.(2)若∠C=30°,则AD平分OC.【答案】(1)∵OC为半径,点C为中点,∴AF=DF.∵AO=BO,∴OF∥BD.(第10题答图)(2)如答图所示,延长CO 交⊙O 于点N.∵∠C=30°,∴∠BON=60°.∵∠AOC=∠BON,∴∠AOC=60°.∵OC 为半径,C 为中点,∴OF⊥AD.∴∠OFA=90°.∴∠A=30°.∴OF=21OA=21OC ,即AD 平分OC.11.如图所示,A ,B ,C ,D 是⊙O 上的四个点,B 是的中点,M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC=40°,则∠AMB 的度数不可能是(D ). A.45° B.60° C.75° D.85°(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)12.如图所示,⊙O 的直径AB 为8,P 是上半圆(点A ,B 除外)上任一点,∠APB 的平分线交⊙O 于点C ,弦EF 过AC ,BC 的中点M ,N ,则EF 的长是(A ).A.43B.23C.6D.2513.如图所示,A ,B ,C 为⊙O 上的三个点,∠BOC=2∠AOB,∠BAC=40°,则∠ACB= 20° .14.AB 为半圆O 的直径,现将一把等腰直角三角尺如图所示放置,锐角顶点P 在半圆上,斜边过点B ,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ 的长为2 .(第15题)15.如图所示,D 为边AC 上一点,O 为边AB 上一点,AD=DO.以点O 为圆心,OD 长为半径作圆,交AC 于另一点E ,交AB 于点F ,G ,连结EF.若∠BAC=22°,则∠EFG= 33° .16.我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.则圆心角∠AOB 的度数等于它所对的弧的度数,记为:.由此可知:命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半”是真命题,请结合图1给予证明(不要求写已知、求证,只需直接证明),并解决以下的问题.(1)如图2所示,⊙O 的两条弦AB ,CD 相交于圆内一点P ,求证:.(2)如图3所示,⊙O 的两条弦AB ,CD 相交于圆外一点P.(1)中的结论是否成立?如果成立,给予证明;如果不成立,写出一个类似的结论(不要求证明).(第16题)(第16题答图) 【答案】∵∠APB=21∠AOB,,即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半.(1)如答图所示,连结BC ,则∠APC=∠PCB+∠PBC.∵.(2)(1)中的结论不成立.类似的结论为:.(第17题17.【毕节】如图所示,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ACD=30°,则∠BAD 为(C ).A.30°B.50°C.60°D.70°18.【临沂】如图所示,∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ,∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证:DE=DB.(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC 外接圆的半径.(第18题) (第18题答图)【答案】(1)∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠DBC=∠CAD,∴∠DBC=∠BAD.∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE.∵∠DBE=∠CBE+∠DBC ,∠DEB=∠ABE+∠BAD ,∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB.(2)如答图所示,连结CD.由(1)得,∴CD=BD=4.∵∠BAC=90°,∴BC 是直径.∴∠BDC=90°.∴BC=22CD BD =42.∴△ABC 外接圆的半径=21×42=22.19.研究发现:当四边形的对角线互相垂直时,该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图1所示,已知四边形ABCD 内接于⊙O,对角线AC=BD ,且AC⊥BD.(1)求证:AB=CD.(2)若⊙O 的半径为8,的度数为120°,求四边形ABCD 的面积.(3)如图2所示,作OM⊥BC 于点M ,请猜测OM 与AD 的数量关系,并证明你的结论.图1图2(第19题)图1图2(第19题答图)【答案】(1)∵AC=BD,∴,∴AB=CD. (2)如答图所示,连结OB ,OD ,作OH⊥BD 于点H ,∵的度数为120°,∴∠BOD=120°.∴∠BOH=60°.则BH=23OB=43,∴BD=83则四边形ABCD 的面积S=21×AC×BD=96.(3)AD=2OM.证明:如答图2所示,连结OB ,OC ,OA ,OD ,作OE⊥AD 于点E.∵OE⊥AD,∴AE=DE. ∵∠BOC=2∠BAC ,而∠BOC=2∠BOM,∴∠BOM=∠BAC.同理可得∠AOE=∠ABD.∵BD⊥AC,∴∠BAC+∠ABD=90°.∴∠BOM+∠AOE=90°.∵∠BOM+∠OBM=90°,∴∠OBM=∠AOE.在△BOM和△OAE 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OA OB AOE OBM OEA OMB ,∴△BOM≌△OAE.∴OM=AE.∴AD=2OM.。
专题3.5 圆周角、圆内接四边形【十大题型】【浙教版】【题型1 圆周角的运用】........................................................................................................................................2【题型2 圆内接四边形的运用】............................................................................................................................3【题型3 利用圆的有关性质求值】........................................................................................................................4【题型4 利用圆的有关性质进行证明】................................................................................................................5【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】............................................................................................................7【题型6 利用圆的有关性质求最值】....................................................................................................................9【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】..........................................................................................................10【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】......................................................................................11【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】..................................................................................................13【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】.. (14)【知识点1圆周角定理及其推论】【题型1 圆周角的运用】【例1】(2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末)如图,⊙O 的直径是AB ,∠BPQ =45°,圆的半径是4,则弦BQ 的长是( ).A .B .C .D .【变式1-1】(2023春·广西玉林·九年级统考期末)如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,已知AB =4,CD =1,∠B =55°,∠C =65°,则BC = .【变式1-2】(2023春·江西九江·九年级校考期中)如图,△ABC 内接于☉O ,AC =BC ,连接OB ,若∠C =52°,则∠OBC 的度数为.【变式1-3】(2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末)如图,AB 为半圆的直径,AB =10,点O 到弦AC 的距离为4,点P 从出发沿BA 方向向点A 以每秒1个单位长度的速度运动,连接CP ,当△APC 为等腰三角形时,点P 运动的时间是( )A .145或4B .145或5C .4或5D .145,4或5【知识点2 圆内接四边形】【题型2 圆内接四边形的运用】【例2】(2023春·浙江衢州·九年级校联考期中)如图,在△ABC 中,AB =AC .⊙O 是△ABC 的外接圆,D 为弧AC 的中点,E 为BA 延长线上一点.(1)求证:∠B =2∠ACD ;(2)若∠ACD =35°,求∠DAE 的度数.【变式2-1】(2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,BE 是⊙O 的直径,连接AE ,若∠BCD =2∠BAD ,若连接OD ,则∠DOE 的度数是( )A .30°B .35°C .45°D .60°【变式2-2】(2023春·浙江·九年级期中)如图,⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E 、F ,若∠E =α,∠F =β,且α≠β,则∠A =(用含有a 、β的代数式表示).【变式2-3】(2023春·辽宁大连·九年级统考期末)如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC,⊙O交BC于点E.(1)求证:CD=DE;(2)若AB=12,AD=4,求CE的长度.【题型3利用圆的有关性质求值】【例3】(2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过B,C两点的⊙O交AC于点D,交AB于点E,连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF,若∠EDC=135°,AE=2,BE=4,则CF的值为().A B.C.D.3【变式3-1】(2023春·湖南长沙·九年级统考期末)如图,⊙O中,OA⊥BC,∠B=50°,则∠D的度数为()A.20°B.50°C.40°D.25°【变式3-2】(2023春·山东滨州·九年级统考期中)如图,⊙O为△ABC的外接圆,AD⊥BC,垂足为点D,直径AE平分∠BAD,交BC于点F,连接BE.(1)求证:BE=BF;(2)若AB=10,BF=5,求EF:AF的值.【变式3-3】(2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中)如图1,四边形ADBC内接于⊙O,E为BD延长线上一点,AD平分∠EDC.(1)求证:AB=AC;(2)若△ABC为等边三角形,则∠EDA=度;(直接写答案)(3)如图2,若CD为直径,过A点作AE⊥BD于E,且DB=AE=2,求⊙O的半径.【题型4利用圆的有关性质进行证明】【例4】(2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末)如图,CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线,与△ABC的外接圆⊙O交于点D,∠ECB=120°.(1)求AB所对圆心角的度数;(2)连DB,DA,求证:DA=DB;(3)探究线段CD,CA,CB之间的数量关系,并证明你的结论.【变式4-1】(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.证明:E是OB的中点.【变式4-2】(2023春·山西长治·九年级统考期末)阅读材料,解答问题:关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种,下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题:如图1,AB是⊙O的弦,点C在⊙O上,CD⊥AB于点D,在弦AB上取点E,使DE=AD,点F是BC上的一点,且CF=CA,连接BF,则BF=BE.小颖对这个问题很感兴趣,经过思考,写出了下面的证明过程:证明:如图2,连接CA,CE,CF,BC,∵CD⊥AB于点D,DE=AD,∴CA=CE.∴∠CAE=∠CEA.∵CF=CA,∴CF=CA(依据1),∠CBF=∠CBA.∵四边形ABFC内接于⊙O,∴∠CAB+∠CFB=180°.(依据2)……(1)上述证明过程中的依据1为 ,依据2为 ;(2)将上述证明过程补充完整.【变式4-3】(2023春·江苏泰州·九年级校考期末)已知⊙O为△ACD的外接圆,AD=CD.(1)如图1,延长AD至点B,使BD=AD,连接CB.①求证:△ABC为直角三角形;②若⊙O的半径为4,AD=5,求BC的值;(2)如图2,若∠ADC=90°,E为⊙O上的一点,且点D,E位于AC两侧,作△ADE关于AD对称的图形△ADQ,连接QC,试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明.【题型5翻折中的圆的有关性质的运用】【例5】(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)如图,将⊙O上的BC沿弦BC翻折交半径OA于点D,再将BD沿BD翻折交BC于点E,连接DE.若AD=2OD,则DE的值为()ABA B C D【变式5-1】(2023春·湖北恩施·九年级期末)如图,AB为⊙O的一条弦,C为⊙O上一点,OC∥AB.将劣弧AB沿弦AB翻折,交翻折后的弧AB交AC于点D.若D为翻折后弧AB的中点,则∠ABC=( )A.110°B.112.5°C.115°D.117.5°【变式5-2】(2023春·浙江宁波·九年级校考期中)如图,在⊙O中,AB为直径,C为圆上一点,将劣弧AC 沿弦AC翻折,交AB于点D,连接CD,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,则∠DCA=.【变式5-3】(2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC⊙O的半径r;(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=20∘,请求出∠DCA的度数.(3)如图2,如果AD=6,DB=2,求AC的长.【题型6利用圆的有关性质求最值】【例6】(2023春·浙江衢州·九年级校联考期中)如图,△ABC中,AB=∠ACB=75°,∠ABC=60°,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O,分别交AB,AC于E,F,连接EF,则∠BAC=;EF的最小值为.【变式6-1】(2023春·北京密云·九年级统考期末)如图,⊙O的弦AB长为2,CD是⊙O的直径,∠ADB=30°,∠ADC=15°.①⊙O的半径长为.②P是CD上的动点,则PA+PB的最小值是.【变式6-2】(2023春·湖南湘西·九年级统考期末)如图,在正方形ABCD中,AB=4,以边CD为直径作半圆O,E是半圆O上的动点,EF⊥DA于点F,EP⊥AB于点P,设EF=x,EP=y()A.B.C.D.【变式6-3】(2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末)如图,已知以BC为直径的⊙O,A为弧BC 中点,P为弧AC上任意一点,AD⊥AP交BP于D,连CD.若BC=6,则CD的最小值为.【题型7利用圆的有关性质求取值范围】【例7】(2023春·湖北武汉·九年级校考期末)如图,△ABC的两个顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为2,∠BAC=90°,AB=AC,若动点B在⊙O上运动,OC=m,则m的取值范围是.圆周,C点是BE 【变式7-1】(2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中)如图,弧BE是半径为6的圆D的14上的任意一点,△ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是( )A.12<P≤18B.18<P≤24C.18<P≤18+D.12<P≤12+【变式7-2】(2023春·福建福州·九年级校考期中)如图,⊙O的直径为10,A、B、C、D是⊙O上的四个动点,且AB=6,CD=8,若点E、F分别是弦AB、CD的中点,则线段EF长度的取值范围是()A.1≤EF≤7B.2≤EF≤5C.1<EF<7D.1≤EF≤6【变式7-3】(2023春·江苏南京·九年级统考期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径是1.过⊙O 上一点P作等边三角形PDE,使点D,E分别落在x轴、y轴上,则PD的取值范围是.【题型8利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】【例8】(2023·河北石家庄·统考一模)如图,AB是半圆O的直径,C、D、E三点依次在半圆O上,若∠C=α,∠E=β,则α与β之间的关系是()α+90°A.α+β=270°B.α+β=180°C.β=α+90°D.β=12【变式8-1】(2023·湖北襄阳·九年级校考阶段练习)如图,等边△ABC内接于⊙O,P是AB上任意一点(不与点A、B重合),连AP、BP,过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.(1)求∠APC和∠BPC的度数(2)探究PA、PB、PM之间的关系(3)若PA=1,PB=2,求四边形PBCM的面积.【变式8-2】(2023春·安徽·九年级专题练习)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,AB=BC,延长DA到点E,使得BE=BD.(1)若AF平分∠CAD,求证:BA=BF;(2)试探究线段AD,CD与BD之间的数量关系.【变式8-3】(2023·江苏·九年级假期作业)小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙O中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙O的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;(3)如图3,PA,PB组成⊙O的一条折弦.C是优弧ACB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明.【题型9利用圆的有关性质判断多结论问题】【例9】(2023春·江苏镇江·九年级统考期中)如图,点A、B、C是⊙O上的点,且∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∠ACB的平分线交⊙O于D,下列4个判断:①⊙O的半径为5;②CD的长为③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E,使得△CDE是等腰三角形;④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F,使得△CDF是直角三角形;正确判断的个数有()A.1B.2C.3D.4【变式9-1】(2023春·广东湛江·九年级统考期末)如图所示,MN是⊙O的直径,作AB⊥MN,垂足为点D,连接AM,AN,点C为AN上一点,且AC=AM,连接CM,交AB于点E,交AN于点F,现给出以下MF.结论:①AD=BD;②∠MAN=90°;③AM=BM;④∠ACM+∠ANM=∠MOB;⑤AE=12其中正确结论的个数是( )A.2B.3C.4D.5【变式9-2】(2023春·全国·九年级统考期末)已知如图,点O为△ABD的外心,点C为直径BD下方弧BCD上一点,且不与点B,D重合,∠ACB=∠ABD=45°,则下列对AC,BC,CD之间的数量关系判断正确的是()A.AC=BC+CD B AC=BC+CD C AC=BC+CD D.2AC=BC+CD 【变式9-3】(2023春·浙江·九年级期末)在一次探究活动中,方方完成了如下的尺规画图过程:第一步:在半径为1的⊙O上任取一点A,连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD;第二步:分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧,两弧交于E,以A为圆心O到E的距离为半径画弧,交⊙O于F.画图后,他得出两个结论:①AF②△ACF)A.①正确,②正确B.①正确,②错误C.①错误,②正确D.①错误,②错误【题型10构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例10】(2023春·安徽六安·九年级校考期末)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,连接PC,且满足∠PAB=∠PBC,过点P作PD⊥BC于点D,则∠APB=;当线段CP最短时,△BCP的面积为【变式10-1】(2023春·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,把△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE(点A与D对应).(1)如图,若点E落在边AB上,连接AD,求AE的长;(2)如图,若旋转角度为60°,连接AE.求AE的长;(3)如图,若旋转角度为α(45°≤α≤90°),连接AD,BF⊥AD,垂足为F.求证:C,E,F三点在同一直线上.【变式10-2】(2023春·重庆开州·九年级统考期末)如图,以直角三角形ABC的斜边AB为边在三角形ABC的同侧作正方形ABDE,正方形的对角线AD,BE相交于点O,连接CO,如果AC=1,CO=ABDE的面积为()A.20B.22C.24D.26【变式10-3】(2023春·吉林长春·九年级校考期末)如图,菱形ABCD的边长为8,∠A=60°,E是AD中点,动点P从点A出发,沿折线AB−BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,连结PE,作A关于直线PE 的对称点A′,连结A′E、A′P.设P的运动时间为t秒.(1)点D到AB的距离是.(2)直接写出A′B的最小值.(3)当A′落在菱形ABCD的边上时,求△A′PE的面积.(4)当A′P垂直于菱形ABCD的一边时,直接写出t的值.。
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系:①定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
②推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明:同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
2.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
5.圆的内接四边形:①定义:四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质:I:圆内接四边形的对角互补。
II:圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
练习题1、(2022•襄阳)已知⊙O的直径AB长为2,弦AC长为2,那么弦AC所对的圆周角的度数等于.【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC=90°,再根据一条弦对着两种圆周角可得答案.【解答】解:如图,∵OA=OC=1,AC=,∴OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°,∴∠ADC=45°,∴∠AD'C=135°,故答案为:45°或135°.2、(2022•日照)一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为.【分析】连接AC,根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径,再根据勾股定理求出AC 即可.【解答】解:连接AC,∵∠ABC=90°,且∠ABC是圆周角,∴AC是圆形镜面的直径,由勾股定理得:AC===13(cm),所以圆形镜面的半径为cm,故答案为:cm.3、(2022•永州)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠ADC=30°,则∠BOC=度.【分析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数,根据平角的定义即可得到∠BOC=180°﹣∠AOC的度数.【解答】解:∵∠ADC是所对的圆周角,∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°,∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°.故答案为:120.4、(2022•苏州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D=°.【分析】如图,连接BC,证明∠ACB=90°,求出∠ABC,可得结论.【解答】解:如图,连接BC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°﹣∠CAB=62°,∴∠D=∠ABC=62°,故答案为:62.5、(2022•湖州)如图,已知AB 是⊙O 的弦,∠AOB =120°,OC ⊥AB ,垂足为C ,OC 的延长线交⊙O 于点D .若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角,则∠APD 的度数是 .【分析】由垂径定理得出,由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD =∠BOD ,进而得出∠AOD =60°,由圆周角定理得出∠APD =∠AOD =30°,得出答案.【解答】解:∵OC ⊥AB ,∴,∴∠AOD =∠BOD ,∵∠AOB =120°,∴∠AOD =∠BOD =∠AOB =60°,∴∠APD =∠AOD =×60°=30°,故答案为:30°.6、(2022•徐州)如图,A 、B 、C 点在圆O 上,若∠ACB =36°,则∠AOB = .【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论.【解答】解:∵∠ACB =∠AOB ,∠ACB =36°,∴∠AOB =2×∠ACB =72°.故答案为:72°.7、(2022•锦州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠ADC=130°,连接AC,则∠BAC的度数为.【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数,利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可.【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=130°,∴∠B=180°﹣∠ADC=180°﹣130°=50°,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣50°=40°,故答案为:40°.8、(2022•雅安)如图,∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=72°,那么∠BOD的度数为.【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD,根据圆内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理解答即可.【解答】解:∵∠DCE=72°,∴∠BCD=180°﹣∠DCE=108°,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠A=180°﹣∠BCD=72°,由圆周角定理,得∠BOD=2∠A=144°,故答案为:144°.9、(2022•甘肃)如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,若∠ABC=110°,则∠ADC=°.【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论.【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=110°,∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣110°=70°,故答案为:70.。
圆周角(01)
一、选择题
1.如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别交⊙O于C、D两点,已知和所对的圆心角分别为90°和50°,则∠P=()
A.45° B.40° C.25° D.20°
2.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为()
A.25° B.50° C.60° D.30°
3.如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为()
A.45° B.30° C.75° D.60°
4.如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB 所对的圆周角的度数是()
A.60° B.120°C.60°或120°D.30°或150°
5.如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,∠BOD=48°,则∠BAC的大小是()
A.60° B.48° C.30° D.24°
6.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为()
A.68° B.88° C.90° D.112°
7.如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC=40°,则∠A的度数为()
A.80° B.100°C.110°D.130°
8.如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A=72°,则∠BCO的度数为()
A.15° B.18° C.20° D.28°
9.如图,在⊙O中, =,∠AOB=50°,则∠ADC的度数是()
A.50° B.40° C.30° D.25°
10.如图,BC是⊙O的直径,点A是⊙O上异于B,C的一点,则∠A的度数为()
A.60° B.70° C.80° D.90°
11.如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是()
A.55° B.60° C.65° D.70°
12.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立的是()
A.∠A=∠D B. =C.∠ACB=90°D.∠COB=3∠D
二、填空题
13.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,若∠AOC=80°,则∠B= .
14.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=130°,则∠BOD= °.
15.如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC 的度数为.
16.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O在格点上,则∠AED的正切值为.
17.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=40°,则∠ABC的度数为.
18.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为的中点.若∠A=40°,则∠B= 度.
19.如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为.
20.如图,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠ACD=40°,则∠BAD= 度.
21.如图,A、B、C三点在⊙O上,且∠AOB=70°,则∠C= 度.
22.如图,线段AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠AOC=80°,点P是线段AB延长线上的一动点,连接PC,则∠APC的度数是度(写出一个即可).
23.如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°,给出
以下五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧是劣弧的2倍;⑤AE=BC,其中正确的序号是.
24.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,则∠CAD= 度.
25.如图,点A,B,C是⊙O上的点,OA=AB,则∠C的度数为.
26.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使顶点C在半圆上,点A、B的读数分别为100°、150°,则∠ACB的大小为度.
三、解答题
27.如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D、E,且=.(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.
28.在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
29.如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状:;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.
30.已知:如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.(1)求BD的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
圆周角(01)
参考答案
一、选择题(共12小题)
1.D;2.A;3.D;4.C;5.D;6.B;7.D;8.B;9.D;10.D;11.C;12.D;
二、填空题(共14小题)
13.40°;14.100;15.110°;16.;17.50°;18.70;19.61°;20.50;21.35;22.30;23.①②④;24.36;25.30°;26.25;
三、解答题(共4小题)
27.;28.;29.等边三角形;30.;。