2017年中考数学专项复习《圆周角1》练习 浙教版 精品

3.5 圆周角一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，点A、B、M在⊙O上的动点，要是△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有 ( )．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB= ( )．A. 150∘B. 135∘C. 115∘D. 120∘3. 如图，⊙O中，∠CBO=45∘，∠CAO=15∘，则∠AOB的度数是 ( )A. 75∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连接AC，BC，CD，OD，若∠DOB=140∘，则∠ACD= ( )A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45∘，则∠B的度数为 ( )A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为 ( )A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 75∘7. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72∘，则∠BCO的度数为 ( )A. 15∘B. 18∘C. 20∘D. 28∘8. 如图所示，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为 ( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 20∘9. 如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC= 54∘，连接AE，则∠AEB的度数为 ( )A. 36∘B. 46∘C. 27∘D. 63∘10. 如图，正方形ABCD的对角线相交于O，点F在AD上，AD=3AF，△AOF的外接圆交AB于E，则AEAF的值为 ( )A. 32B. 3 C. 53D. 2二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，已知AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，∠BOC=100∘，则∠B的度数为．12. 如图，⊙O的半径是2，直线与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上两个动点，且在直线的异侧，若∠AMB=45∘，则四边形MANB面积的最大值是．13. 如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45∘，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是14. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30∘，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．15. 直径为10 cm的⊙O中，弦AB=5 cm，则弦AB所对的圆周角是．16. 如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55∘，则∠BOC的度数是．17. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35∘，则∠B+∠E=．18. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50∘，∠B=30∘则∠ADC的度数为．⏜的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的19. 如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN半径为1，则AP+BP的最小值是．20. 如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45∘，以4√2为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D．Ⅰ如图1，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，连接BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC=∠CBE；Ⅱ如图2，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O交于点E，连接BE，（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCB的外接圆与y轴交于点A(0,√2)，∠OCB=60∘，∠COB=45∘，求OC的长．23. 如图，△ABC外接圆⊙O半径为r，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D，BE、AD交于点K，AK=r．求∠BAC的度数．答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. D6. C7. B8. C9. A 10. D第二部分11. 25∘12. 4√13. 3√14. 10.515. 30∘或150∘16. 70∘17. 215∘18. 110∘19. √20. 2+2√2+2√7第三部分21. （1）2（2）（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系成立．证明：连接AD．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90∘．∴∠AEB+∠ADB=180∘．∵∠AEB+∠ADB+∠CBE+∠EAD=360∘，∴∠CBE+∠EAD=180∘．∵∠DAC+∠EAD=180∘，∴∠CBE=∠DAC．∵AB=AC，∴∠BAC=2∠DAC．∴∠BAC=2∠CBE．22. 连接AB、AC，作AD⊥OC于D．∵∠AOB=90∘∴AB为直径．⏜=BO⏜，∠AOB=90∘，∵BO∴∠OAB=∠OCB=60∘，∴∠ABO=∠ACO=30∘．∵∠COB=45∘，∴∠CAB=45∘．∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∴∠ABC=45∘，∴∠AOC=45∘．∵OA=√2，∴AD=OD=1，∴CD=√=√，∴OC=1+√23. 连接AO并延长与⊙O交于点H，延长BE与⊙O交于点F，连接AF，OF，CH，如图．∵∠AKF+∠KAE=90∘，∠KAE+∠ACD=90∘，∴∠AKF=∠ACD．∵∠ACD=∠AFK，∴∠AKF=∠AFK．∴AF=AK=r．∴△AOF是等边三角形．∴∠OAF=60∘．∵AH是⊙O的直径，∴∠ACH=90∘．∴CH∥BF．∴∠CBF=∠BCH．∵∠BCH=∠BAH，∠CBF=∠CAF，∴∠BAH=∠CAF．∵∠OAF=60∘．∴∠BAC=60∘．。

圆周角—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2016•张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.（2016•济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是________.9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于H ，BD∥OC，则∠B 的度数是 .10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝2 3 ，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上，且∠POM ＝45°，则AB ＝ .（第11题图） （第12题图）12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．三、解答题13. 如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于F ，AE 为⊙O 的直径，试问两弦BE 与CF 的大小有何关系，说明理由．14．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠D=70°，求∠CAD 的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB 的长．15．如图，⊙O 中，直径AB =15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ．（第10题图）(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．故选D．2.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A；【解析】∠BAD=12∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8.【答案】20°.【解析】连接CO，如图：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°.9．【答案】60°；10．11．【答案】；【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x²+（2x）²＝5²， x＝, 即 AB的长＝.第11题第12题12．【答案】90°；【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF．理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，．∴BE CF∴BE=CF．14.【答案与解析】解：（1）∵OA=OD ，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD ﹣∠D=40°，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C=90°，∵OD ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，即OD ⊥AC ， ∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE ⊥AC ，∴AE=AC=4，设OA=x ，则OE=OD ﹣DE=x ﹣2，∵在Rt △OAE 中，OE 2+AE 2=OA 2，∴（x ﹣2）2+42=x 2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线易证OF=OE ，OA=OB ， 所以AF=BE ，AF+EF=BE+EF ，即AE=BF ．(2)四边形CDEF 的面积是定值.连结OC ，则， 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯＝54(cm 2)．。

浙教版九年级数学上册同步测试：3.5 圆周角一、选择题1．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（）A．14°B．28°C．56°D．84°3．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°8．下列四个图中，∠x是圆周角的是（）A．B．C．D．9．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°10．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A ．B ．2C ．2D ．411．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于（ ）A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°12．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是（ ）A ．AD=AB B ．∠BOC=2∠DC ．∠D +∠BOC=90° D ．∠D=∠B13．如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB=40°，则∠A 的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．100°15．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）A．20°B．46°C．55°D．70°16．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°17．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD 平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD二、填空题18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是．19．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N 两点，则∠APB的范围是．20．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．21．已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是．22．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是．23．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．24．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．25．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=．26．如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5cm，则CD等于cm．27．如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB=．三、解答题28．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：郊县人数/万人均耕地面积/公顷A 20 0.15B 5 0.20C 10 0.18求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；（2）先化简下式，再求值：，其中，；（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．29．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．30．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：（1）△AEB∽△OFC；（2）AD=2FO．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.4圆心角、3.5圆周角》优生辅导综合练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°4．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（）A．158°B．58°C．64°D．116°5．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°6．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点D在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和AD交于点E，已知AC＝8cm，则这个圆圈上的弦CE长是（）A．6cm B．6cm C．4cm D．cm 二．填空题7．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝50°，则∠BAD的大小为°．8．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．若∠BAC＝44°，BD＝2，则弧AE的度数是，DC的长为．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为．10．在半径为r的圆中，长度为r的弦所对的圆周角的度数是．11．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为．12．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC 等于度．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，以点D为圆心，CD长为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点E，若的度数为60°，则直径BC长为．14．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C旋转到C′，则∠C′AB＝°．15．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA＝OB＝1，AB＝，在⊙O上一点C，使BC＝，则∠BAC的度数为．三．解答题16．如图，在下列4×4（边长为1）的网格中，已知△ABC的三个顶点A，B，C在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个格点D，并写出点D的坐标．（1）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后所得的三角形，点A旋转后落点为D；（2）经过A，B，C三点有一条抛物线，请找到点D，使点D也落在这条抛物线上；（3）经过A，B，C三点有一个圆，请找到一个横坐标为2的点D，使点D也落在这个圆上，①点D的坐标为；②点D的坐标为；③点D的坐标为．17．如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．（1）求证：AC＝BD；（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，连接CO，CB．（1）若AM＝2，BM＝8，求CD的长度；（2）若CO平分∠DCB，求证：CD＝CB．19．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．21．如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：（1）BC平分∠ACE；（2）AB∥CE．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．23．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，且OC平分∠ACD，延长AC与DB交于点E，过点C作CF⊥OC交DE于点F．（1）求证：∠A＝∠E．（2）若BF＝5，，求⊙O的半径．24．如图，Rt△ABC中，AC＝CB，点E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB 于点Q，D．（1）如图1，若点D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B；（2）在（1）问的条件下：①如图2，连接CD，交EF于H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长度．②如图2，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比（直接写出答案）．（3）如图3，连接CQ，CD，若AE+BF＝EF，求证：∠QCD＝45°．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣130°＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．故选：C．2．解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．3．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．4．解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．5．解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．6．解：作AH⊥CE于H，如图，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠BCE＝∠BAD＝30°，∴∠ACE＝60°，在Rt△ACH中，CH＝AC＝×8＝4cm，∴AH＝CH＝4cm，∵∠AEC＝∠ABC＝45°，∴AH＝HE＝4cm，∴CE＝CH+HE＝（4+4）cm．故选：C．二．填空题7．解：连接BD，∵BD是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40．8．解：连接OE，AD，∵OA＝OE，∠BAC＝44°，∴∠BAC＝∠OEA＝44°，∴∠AOE＝92°，∴弧AE的度数是92°，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BD＝2，∴CD＝2．故答案为：92°，2．9．解：连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC＝2，故答案为：2．10．解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，则由垂径定理知，点D是AB的中点，∴AD＝AB＝r，∴∠AOD＝45°，∴∠AOB＝2∠AOD＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°，故答案为：45°或135°．11．解：连接AO，CO，则∠AOC＝2∠ADC，∠BOC＝2∠BAC，∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝2∠BAC+2∠ADC＝2×15°+2×20°＝70°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝55°，故答案为：55°．12．解：∵OA⊥BC，∴∠OEB＝90°，∵∠OBC＝20°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝70°，∴的度数是70°，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴＝，∴的度数是70°，∴圆周角∠ADC＝＝35°，故答案为：35．13．解：如图，连接BE，EC．∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∵的度数＝60°，∴∠BCE＝×60°＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，∵DE＝DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC＝CD＝6，∴BC＝4．故答案为：．14．解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°；同理可得△OAD′为等边三角形，∴∠OAD′＝60°，∴∠D′AB＝60°+60°＝120°；∵AC′为正方形AB′C′D′的对角线，∴∠D′AC′＝45°，∴∠C′AB＝∠D′AB﹣∠D′AC′＝120°﹣45°＝75°．故答案为75．15．解：如图，作OH⊥BC于H．连接AC．∵OH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴∠OBH＝30°，∵OA＝OB＝1，AB＝，∴AB2＝OA2+OB2，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝45°+30°＝75°，∴∠BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，作点C关于直线OB的对称点C′，连接AC′，BC′，CC′，∵∠OBC＝∠OBC′＝30°，∴∠CBC′＝60°，∵BC＝BC′，∴△BCC′是等边三角形，∴∠BCC′＝60°，∴∠BAC′＝180°﹣60°＝120°，故答案为60°或120°．三．解答题16．解：（1）如图，点B的对应点为B′，点A的对应点为点D（4，2）；故①答案为：（4，2）；（2）抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，故点D（3，2），故②的答案为：（3，2）；（3）AB中垂线的表达式为：y＝x，BC的中垂线为：x＝，则圆心O为：（，），设点D（2，m），则OD＝OB，（）2+（）2＝（2﹣）2+（m﹣）2，解得：m＝0或3（舍去0），故点D（2，3）；故③的答案为（2，3）．17．（1）证明：∵B，C是的三等分点，∴＝＝，∴+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接CD，AD，∵∠BDC＝25°，＝＝，∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，∴∠BEC＝∠AED＝130°．18．解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM＝DM，∵AM＝2，BM＝8，∴AB＝10，∴OA＝OC＝5，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，∴CM＝＝4，∴CD＝8；（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，∵CO平分∠DCB，∴OM＝ON，∴CB＝CD．19．（1）证明：∵AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，∴⊙O的直径＝2r＝26．20．（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．21．证明：（1）∵AB＝BE，∴，∴∠ACB＝∠BCE，∴BC平分∠ACE；（2）连接OC、OB，∵OA、OB、OC是⊙O半径，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ABO＝∠ACO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AB＝BE，∴AC＝BE，∴，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥CE．22．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．23．（1）证明：由题意∠ACO＝∠A＝∠D．∵OC平分∠ACD，∴∠ACO＝∠OCD，∴∠OCD＝∠D．∴OC∥DE，∴∠E＝∠ACO，∴∠E＝∠A．（2）解：∵，∴设BD＝3x，OB＝4x，由（1）得∠E＝∠A＝∠CDE，OC∥DE．∵CF⊥OC，∴CF⊥DE，∴EF＝DF＝3x+5．∴BE＝3x+10，∵∠E＝∠A，∴AB＝BE，即3x+10＝8x，解得x＝2∴半径OB＝4x＝8．24．（1）证明：连接CD．在Rt△ABC中，∵AC＝CB，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝45°，∵∠DEF＝∠DCB，∴∠DEF＝∠B．（2）解：①如图2﹣1中，当EH＝HD，可证四边形CFDE是正方形CF＝2．如图2﹣2中，当EH＝ED时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°，∵∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴BD＝BF＝2，∴CF＝4﹣2．如图2﹣3中，当DA＝FH时，点E于A重合，点H与C重合，CF＝0．综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4﹣2．②如图2﹣4中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DF．∵CA＝CB，AD＝DB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝DA＝DB∴DE＝DF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，∴DM＝DN，可得四边形DMCN是正方形，∴DM＝CM＝CN＝DN，∵＝＝＝＝，∴可以假设DN＝3k，EC＝4k，则AC＝BC＝6k，AE＝CF＝2k，∴＝＝．（3）证明：连接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．∵ER∥OH∥FK，EO＝OF，∴RH＝HK∴OH＝（ER+FK），∵ER＝AE，FK＝FB，∴OH＝（AE+BF）＝EF＝OE＝OQ，∴∠OQD＝∠ODQ＝45°，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝45°．。

与圆有关的计算【牛刀小试】1. 如图，在⊙O 中，60AOB ∠=，3cm AB =， 则劣弧AB⌒ 的长 为 cm ．2. 翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，AB ⌒ 的长度为9米，那么半径OA ＝ 米．3. 如图，已知扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为__________ 2cm .(结果保留π）4. 已知扇形的半径为2cm ，面积是243cm π，则扇形的弧长是 cm ，扇形的圆心角为 °．5. 如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 ．【考点梳理】1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 .2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯ = = .3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）【典例分析】例1 如图，CD 切⊙O 于点D ，连结OC ，交⊙O 于点B ，过点B 作弦AB ⊥OD ，点E 为垂足，已知⊙O 的半径为10，si n ∠COD =54．(1)求弦AB 的长；（2）CD 的长； （3）劣弧AB 的长.（结果保留三个有效数字，sin53.130.8≈，π≈3.142）第1题第3题第5题 第2题例2 如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当30D ∠=，1BC =例 3 如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6cm OA OB ==，AB =.求（1）⊙O 的半径； （2）图中阴影部分的面积．【真题演练】1. Rt ABC △中，90C ∠=，8AC =，6BC =，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A ．254π B ．258π C ．2516π D ．2532π 2. 如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为r 米，圆心角均为90，则铺上的草地共有 平方米．3. 如图，已知AB 上，且13AB =，5BC =．（1）求sin ∠的值； BAOACBD（2）如果OD AC ⊥，垂足为D ，求AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．4. 如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留π）； （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．B。

初中数学浙教版九年级上册3.5圆周角同步练习一、单选题（共12题；共23分）1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为( )A. 100°B. 105°C. 110°D. 1202.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°3.用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）A. B. C. D.4.已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则（）A. 150°B. 120°C. 150°或30°D. 120°或60°5.如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB.则∠APB的大小为________度．6.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°7.AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（）A. 40°B. 140°或40°C. 20°D. 20°或160°8.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°9.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )A. 勾股定理B. 勾股定理的逆定理C. 直径所对的圆周角是直角D. 90°的圆周角所对的弦是直径10.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x，则x的取值范围是（）A. 30≤x≤60B. 30≤x≤90C. 30≤x≤120D. 60≤x≤12011.如图，点A，B，D，C是⊙O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 55°12.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（）A. 62°B. 70°C. 72°D. 74°二、填空题（共5题；共5分）13.如图，量角器上、两点所表示的读数分别是、，则的度数为________.14.如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是________.15.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第18秒时，点E在量角器上对应的读数是________度．16.若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为________.17.如图,AB是半圆O的直径,弦AC=4,∠CAB=60°,点D是弧BC上的一个动点,作CG⊥AD,连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是________.三、解答题（共5题；共40分）18.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，求∠ABE的度数.19.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．20.已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数（2）求证：∠ABD=∠AEB21.如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．22.如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E.（1）求证：∠BCD=∠CBD；（2）若BE=4，AC=6，求DE的长.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°.故答案为：B.【分析】利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠BAC=60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD=45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可.2.【答案】B【解析】【解答】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,∴∠BOC+∠AOB=220°,∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,故答案为：B.【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.3.【答案】C【解析】【解答】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，故答案为：C.【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可.4.【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧上的时候，∠ACB=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上的时候，∠ACB=180°-30°=150°，∴∠ACB的度数为150°或30° .故答案为：C.【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数，然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案.5.【答案】45【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角，∴∠APB= ∠AOB= ×90°=45°.【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”进行解答.6.【答案】D【解析】【解答】解：连接，，，，．故答案为：D．【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。

圆（1）班级某某学号一、选择题1.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．70°2.如图，从一X腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm3.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°4.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（）A．140° B．70° C．60° D．40°，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm6.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π2B．πC．22D．27.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．8.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接B C．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°9.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25° B．40° C．50° D．65°10.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F二、填空题11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是．12.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______________.13.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为．15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．17.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．18.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结B D．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．20.如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．21.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．22.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．23.如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．24.如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、Q C．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值X围．答案详解一、选择题2.如图，从一X腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【考点】圆锥的计算．【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．3.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．【解答】解；如图，由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，由=，得∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=25°，故选：C．4.如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE =40°，则∠P 的度数为（ ）A ．140° B．70° C．60° D．40°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE =40°，∴∠DOE =180°﹣40°=140°，∴∠P =∠DOE =70°．故选B ．5.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是( )A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm【知识点】圆中的计算问题——弧长、圆锥的侧面积【答案】A.【解析】设这块扇形铁皮的半径为R cm ，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴270360×2πR＝2π×602.解得R ＝40.故选择A.6.如图，在等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π2B．πC．22D．2 【考点】轨迹，等腰直角三角形【答案】B【解析】取AB的中点E，取CE的中点F，连接PE，CE，MF，则FM＝12PE＝1，故M的轨迹为以F为圆心，1为半径的半圆弧，轨迹长为1212ππ⋅⋅=.7.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．8.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接B C．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°【考点】切线的性质．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°．又∵∠P=40°，∴∠∠PAO=50°，∴∠ABC=∠PAO=25°．故选：B．9.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25° B．40° C．50° D．65°【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．【解答】解：连接OC，∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∴AB是直径，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．故选B．10.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．【解答】解：∵OA==，∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，OF=2＜OA，所以点E在⊙O内，OG=1＜OA，所以点E在⊙O内，OH==2＞OA，所以点E在⊙O外，故选A二、填空题11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°又∵∠C=∠D，∴∠A +∠D =180°．∴AB ∥C D ．故答案为：AB ∥C D12.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为______________.【知识点】圆中的计算问题——扇形的计算.【答案】25.【解析】∵扇形ABD 的弧长DB 等于正方形两边长的和BC ＋DC ＝10，扇形ABD 的半径为正方形的边长5，∴S 扇形ABD ＝12×10×5＝25.13.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、BC 是⊙O 的弦，直径DE ⊥AC 于点P ．若点D 在优弧上，AB =8，BC =3，则DP = 5.5 ．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB 和DE 是⊙O 的直径，可推出OA =OB =OD =4，∠C =90°，又有DE ⊥AC ，得到OP ∥BC ，于是有△AOP ∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB 和DE 是⊙O 的直径，∴OA =OB =OD =4，∠C =90°，又∵DE ⊥AC ，∴OP ∥BC ，∴△AOP ∽△ABC ，∴，即，∴OP=1.5．∴DP=OP+OP=5.5，故答案为：5.5．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为2．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD，又∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．【解答】解：连接CD，如图所示：∵∠B=∠DAC，∴，∴AC=CD，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=6，∴AC=CD=AD=×4=2，故答案为：2．15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【考点】切线的性质．【分析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为：．三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．【考点】直线与圆的位置关系；作图—复杂作图．【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA 为圆P的半径，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，⊙P为所求的圆；（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD=PA，∵PA为⊙P的半径．∴BC与⊙P相切．17.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣105°=75°，∵∠DBC=75°，∴∠DCB=∠DBC=75°，∴BD=CD；（2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°，∴∠BDC=30°，由圆周角定理，得，的度数为：60°，故===π，答：的长为π．18.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结B D．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．【分析】（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．【解答】解：（1）MN是⊙O切线．理由：连接O C．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，∴∠BCM=∠BOC，∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，∴∠BCM+∠BCO=90°，∴OC⊥MN，∴MN是⊙O切线．（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，∴BO=OC=2，BC=2∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4．20.如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；（2）首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】（1）证明：∵AE=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠CBE，∴∠CBE=∠BAC，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，∴AC==10，∴，解得：AD=6.4，∵AE=AB=8，∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．21.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；（2）g根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2，推出AB=2AE=4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC==8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=2，∴AB=2AE=4，在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，∴BC==8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，∵AC2+CD2=AD2，即42+x2=（8﹣x）2，∴x=3，即CD=3．22.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OB，∵OA=OB=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠FAD=15°，∴∠BOF=30°，∴∠AOF=∠BOF=30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC=∠EAO=60°，∴BD=BC=AB，∴AE=AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH=6﹣3，∴EF=2﹣，∵OF=OA，∴OE=OA﹣（2﹣），∵∠AOE=30°，∴==，解得：OA=2．23.如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．②由△DCA∽△DBC，得===，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA•DB，得9k2=（4k﹣5）•4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接O C．∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO=90°，∴∠3+∠2=90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B=90°，∴∠3=∠B．（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴===，设DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA•DB，∴9k2=（4k﹣5）•4k，∴k=，∴CD=，DB=，∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，∴△DCE∽△DBF，∴=，设EC=CF=x，∴=，∴x=．∴CE=．24.如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、Q C．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值X围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值X围．【解答】解：（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴+t=6，（2）当⊙Q经过A点时，如图1，OQ=OA﹣QA=4，∴t==4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，由垂径定理可求知：FG=2EF=；（3）当QC与⊙P相切时，如图2，此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=，∴当＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值X围为：0＜t≤或＜t≤5．。

3.5 圆周角(1)(1)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(2)直径(或半圆)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．1.如图所示，在⊙O 中，OD ⊥BC ，∠BOD=60°，则∠CAD 的度数为(D ).A.15°B.20°C.25°D.30°(第1题) （第2题）(第3题)(第4题)2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED=20°，则∠BCD 的度数为(B ).A.100°B.110°C.115°D.120°3.如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是上任意一点.若AB=5，BC=3，则AP 的长不可能为(A ).A.3B.4C. 29 D.5 4.如图所示，ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连结AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数为(B ).A.44°B.54°C.72°D.53°5.如图所示，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD 的度数为(B ).A.90°B.100°C.110°D.120°(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)6.如图所示，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58°.7.如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC= 100°．8.如图所示，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径作半⊙O，交BC于点D.若∠BAC=40°，则的度数是140°.9.如图所示，已知△ABC，以AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．(第9题) （第9题答图）【答案】如答图所示，连结AE.∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB=90°.∴AE⊥BC.∵BE=CE，∴AB=AC.∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE.∴∠BAC=40°.∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°.(第10题)10.如图所示，△ABD是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，C为的中点，AD分别与BC，OC交于E，F两点.求证：(1)OF∥BD．(2)若∠C=30°，则AD平分OC．【答案】(1)∵OC为半径，点C为中点，∴AF=DF.∵AO=BO，∴OF∥BD.（第10题答图）(2)如答图所示，延长CO 交⊙O 于点N.∵∠C=30°，∴∠BON=60°.∵∠AOC=∠BON，∴∠AOC=60°.∵OC 为半径，C 为中点，∴OF⊥AD.∴∠OFA=90°.∴∠A=30°.∴OF=21OA=21OC ，即AD 平分OC.11.如图所示，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是的中点，M 是半径OD 上任意一点.若∠BDC=40°，则∠AMB 的度数不可能是(D ). A.45° B.60° C.75° D.85°（第11题） (第12题) （第13题） （第14题）12.如图所示，⊙O 的直径AB 为8，P 是上半圆(点A ，B 除外)上任一点，∠APB 的平分线交⊙O 于点C ，弦EF 过AC ，BC 的中点M ，N ，则EF 的长是(A ).A.43B.23C.6D.2513.如图所示，A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 20° .14.AB 为半圆O 的直径，现将一把等腰直角三角尺如图所示放置，锐角顶点P 在半圆上，斜边过点B ，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ 的长为2 .(第15题)15.如图所示，D 为边AC 上一点，O 为边AB 上一点，AD=DO.以点O 为圆心，OD 长为半径作圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连结EF.若∠BAC=22°，则∠EFG= 33° ．16.我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.则圆心角∠AOB 的度数等于它所对的弧的度数，记为：.由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半”是真命题，请结合图1给予证明(不要求写已知、求证，只需直接证明)，并解决以下的问题．(1)如图2所示，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于圆内一点P ，求证：．(2)如图3所示，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于圆外一点P.(1)中的结论是否成立？如果成立，给予证明；如果不成立，写出一个类似的结论(不要求证明).(第16题)（第16题答图） 【答案】∵∠APB=21∠AOB，,即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半.(1)如答图所示，连结BC ，则∠APC=∠PCB+∠PBC.∵.(2)(1)中的结论不成立.类似的结论为：.（第17题17.【毕节】如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为(C ).A.30°B.50°C.60°D.70°18.【临沂】如图所示，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE=DB.(2)若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC 外接圆的半径.（第18题） （第18题答图）【答案】(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAD.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.∵∠DBE=∠CBE+∠DBC ，∠DEB=∠ABE+∠BAD ，∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB.(2)如答图所示，连结CD.由(1)得，∴CD=BD=4.∵∠BAC=90°，∴BC 是直径.∴∠BDC=90°.∴BC=22CD BD =42.∴△ABC 外接圆的半径=21×42=22.19.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图1所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC=BD ，且AC⊥BD.(1)求证：AB=CD.(2)若⊙O 的半径为8，的度数为120°，求四边形ABCD 的面积.(3)如图2所示，作OM⊥BC 于点M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论.图1图2（第19题）图1图2（第19题答图）【答案】(1)∵AC=BD，∴，∴AB=CD. (2)如答图所示，连结OB ，OD ，作OH⊥BD 于点H ，∵的度数为120°，∴∠BOD=120°.∴∠BOH=60°.则BH=23OB=43，∴BD=83则四边形ABCD 的面积S=21×AC×BD=96.(3)AD=2OM.证明：如答图2所示，连结OB ，OC ，OA ，OD ，作OE⊥AD 于点E.∵OE⊥AD，∴AE=DE. ∵∠BOC=2∠BAC ，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC.同理可得∠AOE=∠ABD.∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°.∴∠BOM+∠AOE=90°.∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE.在△BOM和△OAE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OA OB AOE OBM OEA OMB ,∴△BOM≌△OAE.∴OM=AE.∴AD=2OM.。

专题3.5 圆周角、圆内接四边形【十大题型】【浙教版】【题型1 圆周角的运用】........................................................................................................................................2【题型2 圆内接四边形的运用】............................................................................................................................3【题型3 利用圆的有关性质求值】........................................................................................................................4【题型4 利用圆的有关性质进行证明】................................................................................................................5【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】............................................................................................................7【题型6 利用圆的有关性质求最值】....................................................................................................................9【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】..........................................................................................................10【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】......................................................................................11【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】..................................................................................................13【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】.. (14)【知识点1圆周角定理及其推论】【题型1 圆周角的运用】【例1】（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，⊙O 的直径是AB ，∠BPQ =45°，圆的半径是4，则弦BQ 的长是（ ）．A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2023春·广西玉林·九年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，已知AB =4，CD =1，∠B =55°，∠C =65°，则BC = ．【变式1-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，△ABC 内接于☉O ，AC =BC ，连接OB ，若∠C =52°，则∠OBC 的度数为．【变式1-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，AB 为半圆的直径，AB =10，点O 到弦AC 的距离为4，点P 从出发沿BA 方向向点A 以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP ，当△APC 为等腰三角形时，点P 运动的时间是( )A ．145或4B ．145或5C ．4或5D ．145，4或5【知识点2 圆内接四边形】【题型2 圆内接四边形的运用】【例2】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ．⊙O 是△ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：∠B =2∠ACD ；(2)若∠ACD =35°，求∠DAE 的度数．【变式2-1】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，若∠BCD =2∠BAD ，若连接OD ，则∠DOE 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°【变式2-2】（2023春·浙江·九年级期中）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E 、F ，若∠E =α，∠F =β，且α≠β，则∠A =（用含有a 、β的代数式表示）．【变式2-3】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．(1)求证：CD=DE；(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度．【题型3利用圆的有关性质求值】【例3】（2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F．连接BF，CF，若∠EDC=135°，AE=2，BE=4，则CF的值为（）．A B．C．D．3【变式3-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，则∠D的度数为（）A．20°B．50°C．40°D．25°【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．(1)求证：BE=BF；(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值．【变式3-3】（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC.(1)求证：AB=AC；(2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA=度；（直接写答案）(3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半径.【题型4利用圆的有关性质进行证明】【例4】（2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠ECB=120°．(1)求AB所对圆心角的度数；(2)连DB，DA，求证：DA=DB；(3)探究线段CD，CA，CB之间的数量关系，并证明你的结论．【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB的中点．【变式4-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）阅读材料，解答问题：关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE=AD，点F是BC上的一点，且CF=CA，连接BF，则BF=BE．小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，∵CD⊥AB于点D，DE=AD，∴CA=CE．∴∠CAE=∠CEA．∵CF=CA，∴CF=CA（依据1），∠CBF=∠CBA．∵四边形ABFC内接于⊙O，∴∠CAB+∠CFB=180°．（依据2）……(1)上述证明过程中的依据1为 ，依据2为　；(2)将上述证明过程补充完整．【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考期末）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD=CD．(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．①求证：△ABC为直角三角形；②若⊙O的半径为4，AD=5，求BC的值；(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明．【题型5翻折中的圆的有关性质的运用】【例5】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，将⊙O上的BC沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将BD沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则DE的值为（）ABA B C D【变式5-1】（2023春·湖北恩施·九年级期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA=．【变式5-3】（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20∘，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．【题型6利用圆的有关性质求最值】【例6】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，△ABC中，AB=∠ACB=75°，∠ABC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB，AC于E，F，连接EF，则∠BAC=；EF的最小值为．【变式6-1】（2023春·北京密云·九年级统考期末）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB=30°,∠ADC=15°．①⊙O的半径长为．②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是．【变式6-2】（2023春·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF=x，EP=y（）A．B．C．D．【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC 中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC=6，则CD的最小值为．【题型7利用圆的有关性质求取值范围】【例7】（2023春·湖北武汉·九年级校考期末）如图，△ABC的两个顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为2，∠BAC=90°，AB=AC，若动点B在⊙O上运动，OC=m，则m的取值范围是．圆周，C点是BE 【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，弧BE是半径为6的圆D的14上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（ ）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18＋D．12＜P≤12＋【变式7-2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（）A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6【变式7-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O 上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是．【题型8利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】【例8】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若∠C=α，∠E=β，则α与β之间的关系是（）α+90°A．α+β=270°B．α+β=180°C．β=α+90°D．β=12【变式8-1】（2023·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.（1）求∠APC和∠BPC的度数（2）探究PA、PB、PM之间的关系（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积．【变式8-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB=BC，延长DA到点E，使得BE=BD．(1)若AF平分∠CAD，求证：BA=BF；(2)试探究线段AD，CD与BD之间的数量关系．【变式8-3】（2023·江苏·九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是优弧ACB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．【题型9利用圆的有关性质判断多结论问题】【例9】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（）A．1B．2C．3D．4【变式9-1】（2023春·广东湛江·九年级统考期末）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下MF．结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③AM=BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=12其中正确结论的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5【变式9-2】（2023春·全国·九年级统考期末）已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（）A．AC=BC+CD B AC=BC+CD C AC=BC+CD D．2AC=BC+CD 【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD；第二步：分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．画图后，他得出两个结论：①AF②△ACF）A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误【题型10构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例10】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB=∠PBC，过点P作PD⊥BC于点D，则∠APB=；当线段CP最短时，△BCP的面积为【变式10-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE（点A与D对应）．(1)如图，若点E落在边AB上，连接AD，求AE的长；(2)如图，若旋转角度为60°，连接AE．求AE的长；(3)如图，若旋转角度为α(45°≤α≤90°)，连接AD，BF⊥AD，垂足为F．求证：C，E，F三点在同一直线上．【变式10-2】（2023春·重庆开州·九年级统考期末）如图，以直角三角形ABC的斜边AB为边在三角形ABC的同侧作正方形ABDE，正方形的对角线AD，BE相交于点O，连接CO，如果AC=1，CO=ABDE的面积为（）A．20B．22C．24D．26【变式10-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠A=60°，E是AD中点，动点P从点A出发，沿折线AB−BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，连结PE，作A关于直线PE 的对称点A′，连结A′E、A′P．设P的运动时间为t秒．(1)点D到AB的距离是．(2)直接写出A′B的最小值．(3)当A′落在菱形ABCD的边上时，求△A′PE的面积．(4)当A′P垂直于菱形ABCD的一边时，直接写出t的值．。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。