2020届 广东省肇庆市 高三下学期第三次统测数学(文)试题(解析版)

2020届广东省肇庆市高三第三次统一检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ﹣1≥0}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≥0}，则∁R （A ∪B ）＝（ ） A ．[﹣2，1]B ．[1，4]C ．（﹣2，1）D ．（﹣∞，4）2．复数z 的共轭复数z 满足()234i z i +=+，则z ＝（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．l +2iD ．1﹣2i3．在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 8﹣S 3＝45，则a 6的值是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．94．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4B ．3C ．-4D ．-35．设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．3C ．4D ．56．命题p ：曲线y ＝x 2的焦点为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，；命题q ：曲线2214y x -=的渐近线方程为y ＝±2x ；下列为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∨（￢q ）D ．（￢p ）∧（￢q ）7．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2021年全年总收入与2021年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2021年原材料费用是2021年工资金额与研发费用的和B ．该企业2021年研发费用是2021年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C ．该企业2021年其它费用是2021年工资金额的14D ．该企业2021年设备费用是2021年原材料的费用的两倍8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π9．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知角θ的终边经过点（2，﹣3），将角θ的终边顺时针旋转4π后，角θ的终边与单位圆交点的横坐标为（ ）A B ． C D ．11．已知a ＝2log 3b log =，c ＝5log ，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c12．若函数()2sin ?cos cos f x x x x a x =++在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[]-11， B ．[]-13， C ．[]-33，D ．[]-3-1，二、填空题13．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚316432， __________天后两只老鼠打穿城墙．14．6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为__________．15．已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左支上一点，12,F F 是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是______ . 16．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，△ABD 沿对角线BD 翻折，形成三棱锥A ﹣BCD ．①当AC =A ﹣BCD 的体积为13；②当面ABD ⊥面BCD 时，AB ⊥CD ； ③三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为定值． 以上命题正确的是_____．三、解答题17．已知在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，2B Cbsin asinB +=. （1）求A ；（2）若b ＝4，c ＝6，求sinB 的值.18．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，且CA ＝CB 1．（1）证明：面CBA 1⊥面CB 1A ；（2）若∠BAA 1＝60°，A 1C ＝BC ＝BA 1，求二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．19．已知点F 1为椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的左焦点，12P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆上，PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆的方程：（2）已知直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l AOB ∠的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．20．东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的22⨯列联表：完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？ （2）（i ）X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望()EX ；（ii ）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于()E X 的车辆数，求()2P ξ≥的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21．设函数()f x ()20xax x aa e++=＞，e 为自然对数的底数． （1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2212x y +=.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，P 的极坐标为3π⎫⎪⎭，，直线l 过点P .（1）若直线l 与OP 垂直，求直线l 的直角标方程： （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且138PA PB ⋅=，求直线l 的倾斜角. 23．设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |，ab ＞0.（1）当a ＝1，b ＝1时，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若f （x ）的最小值为2，求41a b+的最小值.参考答案1．C 【分析】根据已知求出A ，B ，再求A ∪B ，进而求其补集． 【详解】∵A ={x |x ﹣1≥0}={x |x ≥1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≥0}={x |x ≤﹣2或x ≥4}， ∴A ∪B ={x |x ≤﹣2或x ≥1}，则∁R (A ∪B )=(﹣2,1). 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的基本运算，属于基础题. 2．A 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，再由共轭复数的概念得答案. 【详解】由()234i z i +=+=5，得()()()5252222i z i i i i -===-++-， ∴z ＝2+i . 故选：A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题. 3．D 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为S 8﹣S 3＝a 4+a 5+a 6+a 7+a 8＝45， 由等差数列的性质可得，5a 6＝45， 则a 6＝9. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题.4．D 【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥，再结合图形求出BC 与CA 方向上的投影即可.详解：如图所示：AB AC AB AC +=-， 0AB AC ∴⋅=， ∴AB AC ⊥，又4AB =，3AC =，BC ∴在CA 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB π=-∠=-∠=-，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题. 5．D 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可． 【详解】解：作出x ，y 满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中(2A ，1 )，(1,1)B ，O 为坐标原点设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值(z F ∴=最大值 2，1)2215=⨯+=． 故选：D ． 【点睛】本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 6．B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得到选项. 【详解】曲线y ＝x 2的焦点为（0，14），所以P 是假命题；p ⌝是真命题， 曲线2214y x -=的渐近线方程为y ＝±2x ，q 是真命题，所以p q ⌝∧是真命题. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查. 7．B【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】解：由折线图可知：不妨设2021年全年的收入为t ，则2021年全年的收入为2t .对于选项A ，该企业2021年原材料费用为0.3×2t ＝0.6t ，2021年工资金额与研发费用的和为0.2t +0.1t ＝0.3t ，故A 错误；对于选项B ，该企业2021年研发费用为0.25×2t ＝0.5t ，2021年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t +0.15t +0.15t ＝0.5t ，故B 正确；对于选项C ，该企业2021年其它费用是0.05×2t ＝0.1t ，2021年工资金额是0.2t ，故C 错误； 对于选项D ，该企业2021年设备费用是0.2×2t ＝0.4t ，2021年原材料的费用是0.15t ，故D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属于基础题． 8．B 【分析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案. 【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径2R ==，所以外接球的表面积22446πππ===S R . 故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中. 9．C 【分析】根据函数sin (0)y ax b a =+>的图象求出a 、b 的范围，从而得到函数log ()a y x b =-的单调性及图象特征，从而得出结论． 【详解】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题． 10．B 【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出sin θ，cos θ，设角θ的终边顺时针旋转4π后得到的角为角α，则cos α＝cos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．∵角θ的终边经过点(2,﹣3)，∴sin θ==，cos θ==， 设角θ的终边顺时针旋转4π后得到的角为角α，∴cos α＝cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭2=(cos θ+sin θ)2=⎝⎭=∴终边与单位圆交点的横坐标为. 故选：B ． 【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义以及两角和与差三角函数公式的应用，属于基础题． 11．D 【分析】把a ，b ，c 化为122log a =，b log=c log=，比较大小111352325＞＞，则c >a >b ，即可得解. 【详解】∵a ＝2log 33log b =c ＝5log ，∴122loga =，133logb =155logc =∵612322⎛⎫= ⎪⎝⎭，612333⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴113232>,又1120522⎛⎫= ⎪⎝⎭，1150255⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴115225>， ∴c ＞a ＞b . 故选：D ．本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了推理能力和运算求解能力，属于基础题. 12．A 【分析】()2sin ?cos f x x x cosx a x =++在(),-∞+∞单调递增，等价于()'0f x ≥恒成立，换元后可得()0g t ≥在[]1,1-上恒成立，利用二次函数的性质可得结果. 【详解】()2sin ?cos f x x x cosx a x =++，()'2cos2sin f x x a x ∴=+-22sin sin 3x a x =--+，设sin ,11x t t =-≤≤，()()2'23f x g x t at ==--+， ()f x ∴在(),-∞+∞递增， ()0g t ∴≥在[]1,1-上恒成立，因为二次函数图象开口向下，()()101110g a g ⎧≥⎪∴⇒-≤≤⎨-≥⎪⎩，a 的取值范围是[]1,1-，故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围， 13．6 【解析】大老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为12的等比数列．所以距离之和111()1213122164611223212nnn n n S n ---=+=-+=⇒=--所以这两只老鼠相逢所需天数为6天. 14．-320 【分析】先求6(2)+x y 展开式的通项公式1r T +，再求6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项，最后求展开式中43x y 的系数. 【详解】易知6(2)+x y 展开式的通项公式为616(2)-+=r r r r T C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项为3336(2)⋅x C x y 与2426(2)(2)-⋅y C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为332466222160480320⨯-⨯⨯=-=-C C .故答案为：-320 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力. 15【分析】根据题意得21PF PF ⊥，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义求解离心率. 【详解】由题：双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线，O 是12F F 的中点， 所以渐近线与1PF 平行，所以21PF PF ⊥，121PF PF b k a PF ==，222214PF PF c += 所以212,2PF b PF a ==，又212PF PF a =+ 所以222222224,4,4,5b a b a c a a c a ==-==，所以225c a=，离心率e =【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于根据题意找出等量关系，结合几何特征求解. 16．③ 【分析】在①中，由题意可得AB ⊥平面ACD ，利用A BVD B ACD V V --=即能求出三棱锥A ﹣BCD 的体积；在②中，过点A 作AE ⊥平面BCD ，交BD 于E ，则AE ⊥CD ，即可得 AB 与CD 不垂直；在③中，三棱锥A ﹣BCD 外接球的球心为O ，从而三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为定值． 【详解】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∴AC =BD=△ABD 沿对角线BD 翻折，形成三棱锥A ﹣BCD ．在①中，当AC =, 2224AC AB BC +==，2224AC CD AD +==， ∴AB AC ⊥，CD AC ⊥， 又AB AD ⊥，∴AB ⊥平面ACD ，∴1132A BVD B ACD V V AC CD AB --==⨯⋅⋅=，故①错误； 在②中，当面ABD ⊥面BCD 时，过点A 作AE ⊥平面BCD ，交BD 于E ， 则AE ⊥CD ，又CD 与平面ABD 不垂直，故AB 与CD 不垂直，故②错误；在③中，取BD 的中点O ，连接OA 、OC ，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD 2=，∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的球心为O ， ∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为定值，故③正确． 故答案为：③． 【点睛】本题考查了空间位置关系及三棱锥体积、外接球相关问题的求解，考查了推理论证能力，属于中档题．17．（1）3A π=（2）sinB =【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围0＜A ＜π，0＜B ＜π即可解得A 的值.（2）由余弦定理可得a 的值，由正弦定理可求sinB 的值. 【详解】 （1）由2B C bsin+=asinB 及正弦定理可得2B CsinBsin sinAsinB +=，因为A +B +C ＝π，所以222B C A AsinBsinsinBsin sinBcos π+-==， 又222A AsinAsinB sin cos sinB =，所以2222A A AsinBcos sin cos sinB =，因为0＜A ＜π，0＜B ＜π，所以002AcossinB ＞，＞， 所以122A sin =，因此26A π=，即3A π=.（2）由余弦定理可得222121636246282a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =由正弦定理得b a sinB sinA =，得7bsinA sinB a ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 18．（1）证明见解析；（2）35． 【分析】（1）设AB 1与A 1B 交于O ，连接OC ，先证明AB 1⊥平面CA 1B ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由A 1C ＝BC ，故CO ⊥A 1B ，又（1）知OC ⊥AB 1，AB 1∩A 1B ＝O ，故OC ⊥平面ABB 1A 1，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面CA 1B 1和平面C 1A 1B 1的法向量，利用夹角公式求出即可． 【详解】（1）证明：设AB 1与A 1B 交于O ，连接OC ，如图， 因为侧面ABB 1A 1是菱形，所以AB 1⊥A 1B ， 又CA ＝CB 1，所以OC ⊥AB 1，又A 1B ∩CO ＝O ， 故AB 1⊥平面CA 1B ，又AB 1⊂平面CAB 1，故平面CBA 1⊥平面CB 1A ；（2）由A 1C ＝BC ，故CO ⊥A 1B ，又（1）知OC ⊥AB 1，AB 1∩A 1B ＝O ，故OC ⊥平面ABB 1A 1，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设A 1C ＝BC ＝BA 1＝2，则OC ==则(00C，()10B ，，A 1(0,﹣1,0)，B (0,1,0)，由()1110CC BB ==--，，得(11C -， 所以()110A B =-，，(10AC =，(11AC =-， 设平面CA 1B 1的一个法向量为()m x y z =，，，由1113030A B m x y ACn y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得()131m =-，，， 设平面C 1A 1B 1的一个法向量为()n a b c =，，，由11113030A B n a b A C n a ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，得 ()131n =，，， 故cos 131355m n m n m n ⋅+-=⋅＜，＞==，又二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1为锐角， 故二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值为35． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定及向量法求二面角的余弦值，考查了空间思维能力和数学运算能力，属于中档题．19．（1）22x +y 2＝1；（2）∠AOB 为定值2π 【分析】（1）由PF 1⊥x 轴，及点P 的坐标可得F 1的坐标，即c 的值，将P 的坐标代入，由a ，b ，c 之间的关系的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l 的方程，代入椭圆中求出A ，B 的坐标，进而可得数量积OA OB ⋅的值为0，可得∠AOB2π=；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积OA OB ⋅的表达式，可得恒为0，即∠AOB 恒为定值2π【详解】（1）因为PF 1⊥x轴，又1P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，可得F 1(﹣1，0)，所以c =1，22112a b+=1，a 2=c 2+b 2， 解得a 2=2，b 2=1，所以椭圆的方程为：22x +y 2=1；（2）当直线l 的斜率不存在时，由原点O 到直线l的距离为3， 可得直线l 的方程为：x =±代入椭圆可得A)，B)或A()，B(-， 可得0OA OB ⋅=，所以∠AOB 2π=；当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为：y =kx +m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由原点O 到直线l=，可得3m 2＝2(1+k 2)，①直线与椭圆联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得(1+2k 2)x 2+4km x +2m 2﹣2=0， ∆=16k 2m 2﹣4(1+2k 2)(2m 2﹣2)>0，将①代入∆中可得∆=16m 2+8>0，x 1+x 22412km k -=+，x 1x 2222212m k-=+， y 1y 2＝k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2()22222222241212k m k mm k k-=-+++222212m k k -=+， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+22222222222322121212m m k m k k k k----=+=+++， 将①代入可得OA OB ⋅=0， 所以∠AOB 2π=；综上所述∠AOB 2π=恒成立．【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合，考查了运算能力，属于中档题． 20．（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i ）分布列见解析，()1465E X =．；（ii ）()812125P ξ≥=【分析】（1）先根据频数分布表填写22⨯列联表,再将数据代入2K 公式求解即可；（2）（i ）X 的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii ）先求得()314.655P X >=,则3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭,进而求得概率即可 【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为1001002000.41000++=,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时, 则22⨯列联表如下：根据上表数据代入公式可得()221002030104050079427063070604063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．．所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关 （2）（i ）由题意知：X 的可取值为5,8,11,15,19,30,则()()()()11115,8,11,15,101055P X P X P X P X ======== ()()7119,302020P X P X ====所以X 的分布列为：∴()111171581115193014.651010552020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （ii ）由题意得()171314.65520205P X >=++=,所以3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以()()()23233239227812233555255125125P P P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+= 【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查二项分布,考查离散型分布列及期望,考查数据处理能力与运算能力21．（1）()f x 的单调增区间为1,1a x a -⎛⎫∈⎪⎝⎭，单调减区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）0＜a 12e -≤． 【分析】（1）求导得()()11x a a x x a f x e -⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=，求得()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解； （2）ax 2+x +a ﹣e xx +e xln x ≤0成立⇔2xax x ae++≤x ﹣ln x ，由（1）可得当x ＝1时，函数y 2xax x ae++=取得极大值21a e +，令g （x ）＝x ﹣ln x ,(x >0)，利用导数研究其单调性即可得出x ﹣ln x ≥1．进而得出a 的取值范围． 【详解】（1）函数()()20xax x af x a e++=>，e 为自然对数的底数， 则()()11xa a x x a f x e -⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=， 令()0f x '=可得11x =，21111a x a a-==-<， ∴当1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1,1a x a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； ∴()f x 的单调增区间为1,1a x a -⎛⎫∈⎪⎝⎭，单调减区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax 2+x +a ﹣e xx +e xln x ≤0成立⇔2xax x ae++≤x ﹣ln x ，x ∈(0,+∞), 由（1）可得当x =1函数y 2xax x ae++=取得极大值21a e +， 令g (x )= x ﹣ln x ,(x >0)，g ′(x )= 11x-， 可得x =1时，函数g (x )取得极小值即最小值．∴x ﹣ln x ≥g (1)=1，当(]0,1a ∈时，21a e +即为函数y 2xax x ae ++=的最大值， ∴2xax x ae++≤x ﹣ln x 成立⇔21a e +≤1，解得a 12e -≤； 当()1,a ∈+∞时，211a e +>，不合题意； 综上所述，0<a 12e -≤．【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（1）203x y +-=（2）2π【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换求出结果. （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦函数的值的应用求出结果. 【详解】（1）P 的极坐标为3π⎫⎪⎭，32，）， 所以直线OP的斜率为k =l的斜率为13k =-， 所以直线l的方程为32y x -=⎝⎭，整理得203x y +-=， （2）把直线的方程转换为参数方程为232x tcos y tsin θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程为2212x y +=的方程为)22213(2)604cos sin t sin t θθθθ++++=.所以122213134||28PA PB t t cos sin θθ⋅=⋅==+， 则：cos 2θ+2sin 2θ＝2，由于cos 2θ+sin 2θ＝1， 所以sinθ＝1（负值舍去）， 所以2πθ=，故直线的倾斜角为2π. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23．（1）{x |3322x -＜＜}（2）92【分析】（1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3，然后对x 分类去绝对值，化为关于x 的一元一次不等式求解，取并集得答案；（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立.可得f （x ）的最小值为|b +a |＝2.结合ab ＞0，得|b +a |＝|a |+|b |＝2，则()41411412a b a b a b a b ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3，当x ≥1时，可得x ﹣1+x +1＜3，解得1≤x 32＜； 当﹣1＜x ＜1时，可得﹣x +1+x +1＜3，得2＜3成立； 当x ≤﹣1时，可得﹣x +1﹣x ﹣1＜3，解得32-＜x ≤﹣1. 综上所述，原不等式的解集为{x |3322x -＜＜}；（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立. ∴f （x ）的最小值为|b +a |，即|b +a |＝2. 又∵ab ＞0，∴|b +a |＝|a |+|b |＝2，∴()41411412a b a b a b a b ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭141955222b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝. 当且仅当4b aa b=时，等号成立， ∴41a b +的最小值为92. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题.。

广东省肇庆市数学高三理数12月第三次联合质量测评试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·湖南模拟) 已知复数，复数，给出下列命题：① ；② ；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁UM）=（）A . {1，3}B . {1，5}C . {3，5}D . {4，5}3. （2分） (2018高二上·泸县期末) 已知命题：，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知等差数列的前项和为，若，则（）A . 3B . 9C . 18D . 275. （2分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A . 10B . -10C .D . -7. （2分）(2017·河北模拟) 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体最长的棱长度为（）A .B .C . 3D .8. （2分）在三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是三角形ABC的重心，则 =（）A . + +B . + +C . + +D . + +9. （2分）在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A .B . -C .D .10. （2分）已知函数f（x）=xex ，则f（x）min=（）A . ﹣1B . ﹣eC . -D . 不存在11. （2分） (2016高二上·河北期中) 已知F1 ， F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A . y=sinxB . y=sin2xC . y=tan2xD . y=cos2x二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·辽宁期末) 若满足不等式 , 则的最大值为________.14. （1分） (2016高二下·洛阳期末) （ax+ ）•（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________（用数字作答）15. （1分） (2017高三下·绍兴开学考) 已知点A（﹣1，0），点B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是3，则点M轨迹是________．16. （1分）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高二下·宾阳开学考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos = ，bccosA=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求a的值．18. （10分）(2017·日照模拟) 某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车挖掘机出租天数1234567车辆数51030351532B型车挖掘机出租天数1234567车辆数1420201615105（Ⅰ）根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅱ）如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．19. （10分） (2019高二上·汇川期中) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO＝CO.（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）若AD＝2AB＝4， PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P－BC－D的大小为，求直线BP 与平面MAC所成角的正弦值.20. （10分） (2019高二上·浙江期中) 如图，已知是椭圆的一个顶点，的短轴是圆的直径，直线，过点P且互相垂直，交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点Ⅰ 求椭圆的标准方程；Ⅱ 求面积的最大值．21. （10分） (2016高二下·右玉期中) 已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．22. （10分）(2018·南阳模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆，圆 ,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设曲线（为参数且）, 与圆交于，求的最大值.23. （10分）(2019·湖南模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =U （ ）A ．{}0,2,4,6B ．{}0,2C ．{}0,1,2,3,4,6D ．{}0,1230246,,,,,, 【答案】C【解析】【分析】先求集合B ，再根据并集定义求结果.【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝Q U . 故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】 22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点为12⎛-⎝⎭，在第二象限. 故选：B【点睛】3．已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =（ ）A ．1B ．1-C ．D 【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得155a a +=，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，且231533a a a a =⋅=∴=故选：D【点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．“()()110m a -->”是“log 0a m >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 当()() “110m a -->”时，则11m a >⎧⎨>⎩或11m a <⎧⎨<⎩ 此时a log m 可能无意义，故0a log m >不一定成立，而当0a log m >时，则11m a >⎧⎨>⎩或0101m a <<⎧⎨<<⎩，“()() 110m a -->”成立 故“()() 110m a -->”是0a log m >的一个必要不充分条件。

2020年广东省肇庆市加美学校高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值．【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．2. 下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5参考答案：C解析：因为,故选C.3. （5分）（2015?嘉兴一模）已知直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，则a=（）A． 1或﹣1 B． 1 C．﹣1 D． 0参考答案：D【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案．解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，∴1×a+1×a=0，即2a=0，解得：a=0．故选：D．【点评】：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．4. 若集合A={0，2，x}，B={x2}，A B=A，则满足条件的实数x有 ( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：B5. 函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】由y=0可得lg|x+1|=，分别画出函数y=lg|x+1|和y=的图象，通过图象观察，即可得到所求个数．【解答】解：由y=0可得lg|x+1|=，分别画出函数y=lg|x+1|和y=的图象，由图象可得它们有3个交点，则函数的零点个数为3．故选：C．6. 已知集合, 则∩（）A． B． C． D．参考答案：D略7. 已知等差数列中，前项和，且，则等于（）A．45 B. 50 C． 55 D．不确定参考答案：B8. 在复平面内,复数所对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：A本题考查复数的运算与坐标表示.,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选A.9. 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）参考答案：CA(0,0,0),E(4,3,12),(8,6,0),(,7,4),(11,,9),，,,……10. 不等式的解集是A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M 为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=（注：S、S△、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆的半径r，运用三角形的面积公式和双曲线的定义，以及离心率公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径r，由满足S=S△+λS，可得r?|PF1|=r?|PF2|+λ?r?|F2F1|，即为|PF1|=|PF2|+λ?|F2F1|，即为|PF1|﹣|PF2|=λ?|F2F1|，由点P为双曲线右支上一点，由定义可得2a=λ?2c，即a=λc，由e===3，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力，属于中档题．12. 已知则的值为．参考答案：13. 曲线在点(－1，－1)处的切线方程为 .参考答案：14. 已知，则=____________.参考答案：略15. 设是的展开式中项的系数（、、、…），则_____________.参考答案：16. 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则?= ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出BD及两向量夹角，代入向量的数量积公式计算．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°，∠BDC=30°，BD==．∴==．17. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P （﹣3，）．则tan2α的值为 ． 参考答案：﹣略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =U （ ）A ．{}0,2,4,6B ．{}0,2C ．{}0,1,2,3,4,6D ．{}0,1230246,,,,,, 【答案】C【解析】【分析】先求集合B ，再根据并集定义求结果.【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝Q U . 故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】 22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点为12⎛-⎝⎭，在第二象限. 故选：B【点睛】3．已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =（ ）A ．1B ．1-C ．D 【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得155a a +=，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，且231533a a a a =⋅=∴=故选：D【点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．“()()110m a -->”是“log 0a m >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 当()() “110m a -->”时，则11m a >⎧⎨>⎩或11m a <⎧⎨<⎩ 此时a log m 可能无意义，故0a log m >不一定成立，而当0a log m >时，则11m a >⎧⎨>⎩或0101m a <<⎧⎨<<⎩，“()() 110m a -->”成立 故“()() 110m a -->”是0a log m >的一个必要不充分条件。