数字信号处理DSP第六章2.1

共轭
,
s1 = −Ω c , s2 = Ω c e s4 = Ωc ,
2 −j π 3 1 j π 3
s3 = Ωce
1 −j π 3
,
共轭
s5 = Ωce
s5 s4
s0 s1 s2
s3
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的2N个极点中只取S平面的 左半平面的N个极点为Ha(s)的极点，而右半平面的N个极点构成 Ha(-s)的极点。
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
因此，对于巴特沃思滤波器情况下, 设计的实质就是求解 由设计参数所决定的滤波器阶次N和3dB截止频率Ωc。 设计指标： αp, Ωp， αs, Ωs。
阶数N的求法？
α p = −10lg | H a (e
目的：由幅度平方函数|Ha(j Ω)|2来确定系统函数Ha(s)
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(jΩ)|2来表示，即
| H a ( jΩ) | = H a ( jΩ) H ( jΩ)
2 * a
由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(j Ω )满足
* Ha ( jΩ) = H a ( − jΩ)
所以
| H a ( jΩ) |2 = H a ( jΩ) H a ( − jΩ) = H a ( s ) H a ( − s ) |s = jΩ
若由设计指标αp, Ωp，αs, Ωs，求出幅度平方函数|Ha(jΩ)|2，由 幅度平方函数就很容易得到所需要的系统函数Ha(s)。
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
Ω
o
带阻
Ω
o
Ω
各种理想模拟滤波器的幅频特性
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟滤波器描述方法： 单位冲激响应ha(t)、系统函数Ha(s)和频率响应函数 Ha(jΩ)以及线性常系数微分方程。但设计模拟滤波器 时的设计指标一般由幅频响应函数|Ha(jΩ) |给出。 模拟滤波器设计： 根据由|Ha(jΩ) |给出的设计指标，求系统函数Ha(s)。 工程实际：用损耗函数（衰减函数）A(Ω) A(Ω)=-20lg |Ha(jΩ) | = -10 lg|Ha(jΩ) |2 dB
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
选频模拟滤波器滤波特性：低通、高通、带通和带阻。 各种模拟滤波器设计思路： 总是先设计低通原型滤波器，再通过频率变换将低通 滤波器转换成希望设计的类型。
H a ( j Ω)
H a ( jΩ)
H a ( j Ω)
H a ( j Ω)
低通
o
高通
Ω
o
带通
H a (s) =
2
( jΩ c )
s
2N
2N 2N
+ ( jΩ c )
=
N N Ω −Ω ( c )( c ) 2 N −1 k =0
∏ ( s − s ) ∏ ( s − s ) ∏ ( −s + s )
k k =0 k k =0 N +k
=
N −1
N Ωc
⋅
N −1
N Ωc
=
Ω
N −1 k =0
Ha(s)因果稳定，极点落在s平面的左半平面，相应地， Ha(-s)的极点落在s平面的右半平面。
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
S平面
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
6.2.2 巴特沃斯低通滤波器设计 巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为 1 2 | H a ( jΩ) | = 2N 1 + (Ω / Ω c )
N c k
∏ ( s − s ) ∏ ( −s − s )
k =0 k
⋅
Ω
N −1
N c
= H a ( s) H a (− s)
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
H a (s) =
∏ (s − s )
k =0 k
N −1
N Ωc
(1)
为使设计公式和图表统一，一般对频率进行归一化， 巴特沃斯滤波器对3dB截止频率Ωc归一化。
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
H a ( jΩ)
1
2
巴特沃思低通滤波器幅度特性与Ω和N的关系
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
(3) 巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性，即N阶 巴特沃思低通滤波器在Ω＝0处幅度平方函数|Ha(jΩ)|2的前(2N-1) 阶导数为零，因而巴特沃思滤波器又称为最平幅度特性滤波器。 随着Ω由0增大， |Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平 坦， 过渡带越窄。 (4)当Ω>Ωc时， |Ha(jΩ)|2也随Ω的增加而单调减小，但Ω/Ωc>1, 比通带衰减速度快得多，N越大，衰减速度越大。
s N + k = − sk
sN −1− k = s ，
s2 N −1− k = s
∗ N +k
k=0,1, …,N-1 k=0,1, …,N-1 k=N,N+1, …,2N-1
∗ k
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例如N=3， 6个极点分布：
s0 = Ω c e
反号
2 j π 3
式中，pk为归一化极点(对Ωc)，用下式表示：
pk = e
1 2 k +1 jπ ( + ) 2 2N
, k = 0,1, ⋅⋅⋅, N − 1
只与N有关
(3)
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
因此，根据技术指标求出阶数N，按照(3)式求出N个归 一化极点，则由(2)式求出归一化低通原型系统函数 Ga(p)，然后对Ωc去归一化，得到系统函数Ha(s)。 如果将Ga(p)分母展开为p的N阶多项式
⎤ ⎥ ⎥
(4)
上式符号表示上取整。
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如果技术指标中没有给出Ωc，用下式求出
Ω c = Ω p (10
0.1a p
− 1)
−
1 2N
(5)
满足通带指标，阻带指标有富余
或
Ωc = Ω s (100.1as − 1)
−
1 2N
(6)
满足阻带指标，通带指标有富余
jΩp
s
) | = −20lg(1 − δ1 ) 通带最大衰减
2
α s = −10lg | H a (e jΩ ) |2 = −20lg δ 2
将巴特沃斯幅度平方函数代入上式
阻带最小衰减
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得到
Ω p 2N ⎧ 0.1a p ⎪1 + ( ) = 10 Ωc ⎪ ⎨ ⎪1 + ( Ω s ) 2 N = 100.1as ⎪ Ωc ⎩
由|Ha(jΩ)|2求Ha(s)的原则
设 Ha(s) 有一个极点（或零点）位于 s=s0 处，由于冲激响应 ha(t) 为实函数，则极点（或零点）必以共轭对形式出现，因而 s=s 0*处也一定有一极点（或零点），所以与之对应Ha(-s)在 s=s0和-s0*处必有极点（或零点）。Ha(s)Ha(-s)在虚轴上的零点（或 极点）一定是二阶的， Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布是呈象限 对称的，如图所示。
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6.2 常用模拟滤波器的设计
常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（Butterworth）滤波器、 切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔 （Bessel）滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲 线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃 思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性 在通带或者在阻带有幅度等波纹波动，可以提高选择性；贝塞尔 滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器在通带和阻带 内均为等波纹幅频特性，过渡带较窄，有较好的选择性。这样根 据具体要求可以选用不同类型的滤波器。
N为正整数，代表滤波器的阶数；Ωc为3dB通带截止频率 (1) 当Ω=0时，|Ha(j0)|=1，即在Ω=0处无衰减。 (2) 当Ω=Ωc时，|Ha(jΩc)|=1/ 2=0.707，-20lg|Ha(jΩc)|=3 dB，
Ωc为3 dB截止频率。当Ω=Ωc时，不管N为多少，所有的特性
曲线都通过－3 dB点，或者说衰减为 3 dB(3dB不变性)。
第六章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计
将幅度平方函数代入Ω=s/ j，写成一般复变量s的函数：
Hale Waihona Puke H a ( s) H a (− s) =
1 ⎛ s ⎞ 1+ ⎜ ⎜ jΩ ⎟ ⎟ ⎝ c⎠
2N
=
s
2N
( jΩ ) + ( jΩ )
2N c c
2N
易知，巴特沃思滤波器的零点全部在s=∞处，在有限S平面内只有 极点，因而属于所谓“全极点型”滤波器。Ha(s)Ha(-s)的极点为
1 Ga ( p ) = N -1 N 2 b0 + b1 p + b2 p + " + bN -1 p + p
系数{bk，k=0,1, …，N-1}以及极点 {pk，k=0,1, …，N-1} 都可以通过查表得到。
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巴特沃斯归一化低通滤波器参数