数字信号处理朱冰莲第六章习题答案

第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。

(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。

(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。

(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。

(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。

第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。

通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。

解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N 。

（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。

（3）按照(6.3.13)式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =L ，将极点k p 代入式得滤波器的系统函数()a H s 。

****************2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率： 去归一化()()a n csH s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。

解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N =L 和归一化的系统函数然后利用式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。

()()a n c H s H s =Ω (6.3.9)*********************%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 设模拟滤波器的系统函数为：用脉冲响应不变法将()a H s 转换成数字滤波器的系统函数()H z ，并确定数字滤波器在ωπ=处的频谱混叠失真幅度与采样间隔T 的关系。

6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。

求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。

解：（1）求阶数N 。

lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。

） （2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按（6.11）式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。

由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式，则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。

第一章 作业题 答案############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧=的频谱结构。

式中()()01,()0,n p t r t n t r t ττ∞=-∞=-≤≤⎧=⎨⎩∑其他解：实际的采样脉冲信号为：()()n p t r t n τ∞=-∞=-∑其傅里叶级数表达式为：()000()jk tn p t Sa k T eTωωτω∞=-∞=∑采样后的信号可以表示为：()()()ˆa a xt x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导：()()()()()()()()()()()()()0000000000000ˆˆsin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k ta k ak a k X j x t e dtx t Sa k T e e dtTSa k T x t e e dtTSa k T x t edtTSa k T X j jk Tk T X j jk T kωωωωωωωωτωωτωωτωωτωωωωωω∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞∞---∞=-∞∞=-∞∞=-∞Ω=====-=-⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s πΩ=rad/s ，采样后所得采样信号()a x t ∧经理想低通滤波器()G j Ω进行恢复，已知()41/4,,4G j ππ⎧Ω≤⎪Ω=⎨Ω>⎪⎩今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)a a x t t x t t ππ==和，对应的输出信号分别为12()()a a y t y t 和，如题1.5图所示，问12()()a a y t y t 、有没有失真，为什么？题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：()()1ˆa a s k X j X j jk T ∞=-∞Ω=Ω-Ω∑8s πΩ=，12πΩ=，25πΩ=，折叠频率为2s Ω，而滤波器对4πΩ≤的信号通过，因此有如下图：结论：1）1()a y t 不失真、2()a y t 失真。

页脚内容1数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。

解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。

2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。

○1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即页脚内容2f s ≥2f m○2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，页脚内容3若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。

第六章 习题及参考答案一、习题1、已知一个由下列差分方程表示的系统，x(n)、y(n)分别表示该系统的输入、输出信号：)1(21)()2(61)1(65)(-+=-+--n x n x n y n y n y （1）画出该系统的直接型结构； （2）画出该系统的级联型结构； （3）画出该系统的并联型结构。

2、已知某系统的系统函数为：)6.09.01)(5.01()9.21)(1()(211211------++-+-+=z z z z z z z H 请画出该系统的级联型结构。

3、已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为)(8.0)(5n R n h n =， （1）求该滤波器的系统函数； （2）画出该滤波器的直接型结构。

4、已知滤波器的系统函数为：3213218.09.09.018.04.16.01)(-------+-+--=zz z z z z z H 请画出该滤波器的直接型结构。

5、已知滤波器的系统函数为：)8.027.11)(5.01()44.11)(1(3)(211211------+--+--=z z z z z z z H 请画出该滤波器的级联型结构和并联型结构。

6、已知某因果系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)-25-3求该系统的系统函数和单位脉冲响应。

7、已知某系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)求该系统的系统函数和极点。

8、已知IIR 滤波器的系统函数为：4.035.04.046.16.14)(2323++++--=z z z z z z z H （1）画出级联型网络结构，要求利用MATLAB 分解H(z); （2）用MATLAB 验证所求的级联型结构是否正确。

9、已知IIR 滤波器的系统函数为：3213214.035.04.016.141.158.12.5)(-------++-++=zz z z z z z H （1）画出该系统的并联型网络结构，要求用MATLAB 分解； （2）用MATLAB 验证（1）中所求的并联型结构是否正确。

第六章 快速傅里叶变换(FFT)1. 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs,每次复加需20μs,今用来计算N=1024点的DFT[x(n)],问用直接运算需要多少时间,用FFT 运算需要多少时间。

解：ss FFT ss FFT N N a N N N m ss DFT s DFT DFT N a m FFT FFT DFT DFT μμμμμμμ23221027682666221020482010241051210512010240log ),10242(,5120log 210820104,10410104,104104102444⨯=⨯⨯=⨯======⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯===作复加所需时间作复乘所需时间作复加所需时间作复乘所需时间作复乘 2. 用图6.8所示流程图验证图6.7所示的8点变址运算。

证明：由图6.8知取A=x(0),B=x(4)N=8X(k)=12/,,1,0),()(21-=+N k k X W k X k NX(N/2+k)=12/,,1,0),()(21-=-N k k X W k X k N5.试证实以下流图是一个N=8的FFT 流图.其输入是自然顺序的,而输出是码位倒置顺序的,试问这个流图是属与时间抽取法还是频率抽取法?并比较与书中哪一个流图等效。

解：这个流图属于频率抽取法。

6.试设计一个频率抽取的8点FFT 流图,需要输入是按码位倒置顺序而输出是按自然顺序的。

解:设计的流图为第五题的流图左右翻转180度。

∑∑-=-==+=1202/21202/1)()12()()2(N k kr N N k kr N W k x r X W k x r X7.试用图6.14(a)中的蝶形运算设计一个频率抽取的8点IFFT 流图。

解：X(0) 1/2 x(0) X(4) x(1)X(2) x(2)X(6) x(3)X(1) x(4)X(5) x(5)X(3) x(6)X(7) x(7)9.试作一个N=12点的FFT 流图,请按N=2,2,3分解,并问可能有几种形式?解：可能有三种先分成2组，每组有6各点，后每组内再分成两组322⨯⨯=N时间顺序为x(0),x(4),x(8),x(2),x(6),x(10),x(1),x(5),x(9),x(7),x(11)频域顺序为X(0),X(1),X(2),X(3),X(4),X(5),X(6),X(7),X(8),X(9),X(10),X(11)流图如图6.18解：由题可得∑∑-=-=-=-=∴-⋅⋅⋅====102210)(|)(1,,1,0,)()(N n kn Nj z z k N j k N n ne n x z X N k e z z z n x z X k ππ由于(a)将M 点序列分成若干段N 点序列，设段数为k 即N k M kN )1(-≥>并令kn N j N n k i i z z k en y z X N n N k M N k M n N k n x n y N n x n y n x n y k π21010110)]([[|)(11)1(,01)1(0],)1([)()()()()(--=-==-∑∑=⎩⎨⎧-≤<------≤≤-+=+==若用N 点FFT 计算)(k z X 先由x(n)形成)(n y i ，再计算∑-=10)(k i i n y 的N 点FFT 即可(b)先将序列添加一点等于零的点，使得⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1,010),()(0N n M M n n x n x再计算)(0n x 的N 点FFT 即10,)(|)(20-≤≤=∑-=N k e n x z X kn N j z z k π即可13.已知X(K),Y(K)是两个N 点实序列x(n),y(n)的DFT 值,今需要从X(K),Y(K)求x(n),y(n)值,为了提高运算效率试设计用一个N 点IFFT 运算一次完成。

1．、2． 用冲激响应不变法将以下 )(s H a变换为变换为 )(z H ，抽样周期为T 。

为任意正整数 ,)()( )2()()()1(022n s s As H b a s as s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nTt a===，T 为抽样间隔。

这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。

②第（②第（22）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,na n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出可求出 )()()(kT Th t Th k h a kTt a===，|又 dz z dX z k kx )()(-⇔，则可递推求解。

解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nT a jb nT a T h n Th nT e e u n -+--==+ 11011() () 211naT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑ 2211cos 21cos 1 ------+--⋅=z e bT z e bT z e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L 可得：可得： n a s s As H )()(0-=))()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则 )()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==- dzz dX zk kx az k u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n kkT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e ATz H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(s s s H a ++=而而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs 来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π：设系统抽样频率为设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。

第六章 习题解答(部分)［1］解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。

因此，当时，ms T 01.0=TT cc 8πω==Ω，Hz T f c c 6251612==Ω=π 当s T µ5=时， TT c c 8πω==Ω，Hz T f c c 125001612==Ω=π［2］解：的极点为：，)(s H a jb a s +−=1jb a s −−=1将部分分式展开： )(s H a )(21)(21)(jb a s j jb a s js H a +−−−+−−−=所以有1)(1)(121121)(−+−−−−−−+−=z e j z e j z H T jb a T jb a通分并化简整理得：TT T e z bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(−−−−−−+−=［3］解：归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为：B⋅ΩΩ−Ω=Ω22s rad p p /1002210×=ΩΩ=Ωπ，s rad B /2002×=π，dB p 2=δs rad s /80021×=Ωπ，s rad s /124022×=Ωπ，dB s 15=δ因此，归一化原型低通滤波器的通带频率p Ω取1，通带处最小衰减为2dB 。

同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：9375.31221=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs ， 1597.62222=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs因此，归一化原型低通滤波器的阻带频率9375.3),min(21=ΩΩ=Ωs s s ，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最大衰减为15dB 。

利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器)(s H 利用归一化原型低通滤波器的指标，得巴特沃斯低通滤波器阶数N444.19372.31lg 2110110lg 5.12.0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≥N 取，查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数 2=N 14142.11)(2++=s s s H LP由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器22202220222)(4142.1)()()(202B s sB s s B s s H s H Bs s s LP BP +Ω++Ω+==⋅Ω+= ［4］解：（1）用冲激响应不变法① 确定数字滤波器指标rad p 3/πω=，dB p 3=δ rad s 5/4πω=，dB s 15=δ② 将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。

第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。

通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。

解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N 。

（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。

（3）按照(6.3.13)式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =L ，将极点k p 代入式得滤波器的系统函数()a H s 。

****************0.110.11(10)lg (10) 3.36832lg(/)p s a a p s N --⎡⎤⎢⎥⎣⎦==ΩΩ2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率：cp ΩΩ== 212,1,2,,k N j Nk c p ek N π+-=Ω=L11()()n Nnkk H s s p==-C去归一化()()a n cs H s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。

解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N =L 和归一化的系统函数11()()n Nnkk H s s p==-∏2101211N NN a a s a s a s s--=+++++K 然后利用式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。