数字信号处理胡广书第6章_滤波器组(完整版).

在实际工作中，由于要处理的信号一般都是 实信号，因此总希望滤波器组中的所有 2M 个滤波器的系数也都是实的。得到实系数 的M通道均匀滤波器组的一般有两个途径， 一是分别设计H0(z), ... ,HM-1(z);二是利用余弦 调制。和DFT滤波器组类似，余弦调制滤波 器组也是先设计一个低通原型滤波器h(n),然 后令
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念 6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器 6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器 6.3 半带滤波器设计 6.4 多抽样率系统的应用简介
6.1 滤波器组的基本概念
| H 0 (e j ) |


| H 0 (e j ) | 0,
j

2
Fra Baidu bibliotek
2

j ( )
频带
H1 ( e ) H 0 ( e
)
图6.2.2 两通道滤波器组 (a)系统框图；(b)镜像对称的幅频特性
6.2.3 第M(Mth)带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第 0相， M E0 ( z ) 也即 恒为一常数，即 (6.2.3) l 1 那么，其单位抽样响应必有 c (6.2.4) h( Mn) e (n)
k 0 k 1
k M 1
2 ( M 1) M
k 0
2
b.有混叠

0
2 M
图6.1.2 分析滤波器组的频率响应
H0 ( z)
x0 (n)
M
v0 (n)
v1 (n)
M M
u0 ( z )
u1 ( z )
G0 ( z ) G1 ( z )
ˆ ( n) x
x ( n)
H1 ( z )
图6.1.1 （a）分析滤波器组， （b）综合滤波器组。
也就是说综合滤波器组G0(z),G1(z),...,GM-1(z) 的作用：去除插值后的镜像；实现真正的 插值；重建原信号
Hk (e j )
k 0
k 1
k M 1
2 ( M 1) M
k 0
a.无混叠

0
2 M
2
Hk (e j )
H0
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
0
8
2 8
3 8
4 8
5 8
6 8
7 8


6.2.2 正交镜像滤波器组 （ Quadrature Mirror Filter Bank, QMFB)
令M=2，由图6.1.3，可得到一个两通道的滤波器 组如图6.2.2（a）所示。两通道分析滤波器的频 域关系有
概念：一个滤波器组是指一组滤波器，它们 有着共同的输入，或有着共同的相加后的 输出,如图6.1.1所示。
x ( n)
H0(z)
x 0 ( n)
x 1 ( n)
ˆ0 ( n) x
ˆ1 (n) x
G0(z) G1(z)
H1(z)

HM-1(z)

x M 1 (n)
ˆM 1 (n) x
GM-1(z)
ˆ ( n) x
0
H ( z) c
M 1
l M z E ( z ) l
满足（6.2.4）式的滤波器h(n)称为第M带滤波器 （Mth filter）又称Nyquist(M)滤波器。（6.2.4）式 的含意是，除了在n=0这一点外，h(n)在的整数 倍处恒为零，如图6.2.3所示。
0
n0 其它
c
x1 (n)
M
H M 1 ( z)
xM 1 (n)
M
vM 1 (n)
M
uM 1 ( z )
GM 1 ( z)
图6.1.3 M通道滤波器组
H 0 (e jw ), H k (e jw ) H0 (ei ( w2k / M ) )
x ( n )对 x ( n ) 的失真原因： 图6.1.3的系统中， • 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及 抽样频率不满足： f s 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在通 带内不“平”，而其相频特性不具有线性 相位所致； • 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误差 来源于信号编码或处理算法，它和滤波器 组无关。
h( n)
n
图6.2.3 某一th滤波器的单位抽样响应（M=3）
x ( n)
↑L=M
y ( n)
H(z)
图6.2.4 为th滤波器时对插值后的滤波
如果将这样一个滤波器接在一个L 倍插值器后，且L=M， 如图6.2.4所示，那么 M 1 (6.2.5) M l M Y ( z ) H ( z ) X ( z ) c z El ( z ) X ( z M )


l 1

该式意味着y(Mn)=cx(n)，这就是说，将x(n)作L=M倍的插 值后，再经一个Mth滤波器，x(n)中所有的值乘以c后变为 y在Mn处的值。若c=1，则y(Mn)=cx(n)，在n的非M整数 倍处，即是插值的结果。

6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器
6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器
6.2.1 最大均匀抽取滤波器组
设某一滤波器组有K个分析滤波器H0(z) , ... , HK-1(z) ,这K个滤波器有关系 k H k ( z) H 0 ( zWK ) j j ( 2 K ) k 0,1,, K 1 H ( e ) H e 即 ， k 0 x ( n) 经 则称该滤波器组为均匀滤波器组。 Hk(z)滤波后变成一个个自带信号，因此可以 进一步的抽取以降低其抽样率。如果作M倍 的抽取，并且M=K，那么称该滤波器组为 最大均匀抽取滤波器组（maximally decimated uniform filter bank），称这种情况为临界抽样 （critical subsampling）这是因为M=K是保证 实现准确重建的最大抽取数。
从而可以得到M个分析滤波器H0(z), ... ,HM-1(z)的 幅频特性都是相对w=0为偶对称的，如图所示， M=8。由图可得，H0(z)是低通滤波器，H7(z)是 高通滤波器，而H1(z), ... ,H6(z)是带通滤波器， 并且它们具有相同的带宽，都是 /8 。
Hk (e j )
M 8