知识提要
第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和
1.数列的极限：n 无限增大，a n 无限趋近一个常数 A. (1)数列极限的运算法则(加法、乘法法则可推广到有限多个数列) 如果 lim a n =A , n lim b n =B 存在, n
那么①lim(a n b n ) n lim a n n lim b n A B ； n ② lim(a n b n )
n lim a n lim b n n n lim a n n lim b n
n A 評0).
(2 )数列极限的几种类型： ①有理分式型：同除以某个非零因式; 0( q 1) 1(q 1) 不存在(q 不存在(
q ③指数型lim q n n 1)' 1) ②求和型: ④ lim S n n 无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和 表示数列S.的极限，可先求S n ,再求极限;
无穷运动的归宿，直接考虑极限位置； 无穷数列各项的和.
2.无穷等比数列各项的和： 若 0，则 lim S n
n q (1) S 1,q 0; 注意区别: ⑻
lim q n 存在 1 q 1; (b) lim q n n Iql 1； (c)无穷等比数列各项和存在 1,q 0 (2)无穷等比数列建模：①求出首项
a 1 :②找到a n 与a n 1的关系式；③利用 a
-求出答案.
q
典型例题
【例1】求极限:
(1) lim n n) 3n (2 n 1) (2) lim n
2n 1 3n 1 2n
2 3n
n (3) l n im 2?T ^n1 ;(4) 若 lim( 3n n
an b) 6， 【例2】已知无穷等比数列
a n ，且 lim a a 2 L
n
a ，求首项a 1的取值范围
【例3】在半径为R 的圆内作内接正三角形，在这三角形内作内切圆，在第二个圆内又作内接正三角形,
如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和是
(
)
9、 10、下列命题中假命题的个数为（
)
(A)
(B)
2
(C)
2 R (D)都不是
【例4】已知数列 q
a n
0是一个首项为a ，公比为q 的等比数列,
S n 是它的前 n 项和，求lim
n
a n a
S n
巩固练习
1、 2、 1 数列一, 2 lim (2 n n
11 3,4, 2 ~~2 n ,(
1)n 3、 计算：lim
n
4、 n
im
（匕
5、 等差数列
6、 若 lim( n n
7、 a n
5n[
4
求和0.9 已知数列 n 1
)
n 2
n
1 L 8 1 1 4_ 1 3 9
7 10 ,的极限为
1 (3n 2)(3n
b n 的前n 项为S n 、T n ，若 S n T n
竺V ，则lim
4n 2 n
a n
b n
an ） b ，则常数a, b 构成点
（a,b ）的坐标为
0.09 0.009 L a
n 与b n 都是等差数列，且 n im t 2,则n im
a ?
b 1 b 2
b n
2n 1
右lim 2x 1
存在，则实数x 的取值范围是
n
①若lim n
a n 2 A 2 (A
0)，则 lim n
a n A 或 lim a n A
n
②若a n b n 且 lim
a n
n P 』m b n q ，则p ③若 lim(a n b n ) 0, n 则 lim a n n
lim b n
n
④若数列 a n , b n 均无极限，则数列 a n b n a n b n
也一定无极限
⑤首项为1公比为2 的无穷等比数列各项和
(A) (B)
5
(C )
(D) 4
11、若 log a log b
0，则 lim n
n
a n a I 乞的值为
b n
12、已知数列 r 曰 a n 疋 个以q 为公比的等比数列，则lim a n 0是lim S n n n " (A )充分非必要条件(B )必要非充分条件(C )充要条件(D )既非充分又非必要条件 13、一个无穷等比数列首项为 2,公比为负数，各项和为 (A ) 0 S 1 (B ) S 2 2 2 已知点 A(0,—),B(0, -),C(4 n n S ，则 0 S 2 )
(D) 1 S 2 14、 2 -,0)
n ，其中 n 为正整数, 设 S n 表示 ABC 外接圆的面积，则 lim n S n 15、 已知数列a n ，对于任意的正整数 1,
n , a n , (1 n 1、n 2009
2(3)
2009) .(n 2010)，设S n 表示数列a n 的前n 项和.下列说法正确的有 ① lim a n 1 ② lim
a n
n ③lim n S n 2009 ,(1 1 . (n n 2009)
( n N* ［④ lim 2010) n 2008 ⑤ lim S n 1
n
16、若 lim n 3a n pb n
7a n 3b n c 2
b, c, p R ，则p 1 . 32 2,33 Sin
17、已知数列1sin0,in — 3 3? 丄,3n sin °2 3 2 1 ,L ，则该数列所有项之和为 18、已知 b n 1 kb n
3，若 lim b n 5，则 k n
19、设正数等比数列
lga n 1 lg a n 2
■■- lga 2n
a
n
,a 2
4
电
16
,
|小
)
20、已知等比数列a n的前n项和为S n，首项a11，公比为xx 0，求lim色.
n S n
21、已知数列a n中，a. 0,前n项的和为& ,且满足8S n
a n
(1) 求证：数列a n是等差数列
2
a
n
(2) 若数列b n满足b n t 1 t 1 , T n为数列b n的前n项和，求limT n
n
22、已知a n是公差为d的等差数列，b n是公比为q的等比数列?找出所有数列a n和b n，使对
a n 1
b n，并说明理由
第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和 知识提要 1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A （1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）. 如果n n a ∞ →lim =A ，n n b ∞ →lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； ②B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n n a a A B b b B →∞ →∞→∞ ==≠. （2）数列极限的几种类型： ①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和. ③指数型0(1) 1(1)lim ;(1)(1)n n q q q q q →∞ ? 不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞?????表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和 2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1 lim 1n n a S S q →∞ == -存在. （1）1 1,0;1q q a S q <≠???=?-? 注意区别： (a)11lim ≤<-?∞→q q n n 存在; (b)1||0lim
下面是常用的一些求和公式：
a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数) 称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数. 通项公式 前n项和 等差中项 a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数. 通项公式 前n项和 等比中项
无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
等比数列求和公式 万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π 2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义
沪教版（上海 ）无穷等比数列的各项和（1） 教学目标 1．理解无穷等比数列的各项和的定义； 2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和； 3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别； 4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识. 教学重点及难点 教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义. 教学过程 （一）、引入 提问：0.9? 和1哪个数大？ 可能你会认为0.91? <, 事实上，换一个角度来看： ()10 0.90.9990.90.090.0009n -? =??????=++???+???+???个 现在就是求()10 0.90.090.0009n -?????????个， ，，，的各项和 分析:求数列各项的和S ,就是求数列全部的和,无穷数列无穷项怎么相加,这需要新的思维,根据和的基本含义,要把它们加起来，它的基础是前n 项和n S ，当n 越来越大时，n S 就会无限趋近这个各项和的S ，所以这个S 应该是n S 的极限。 于是可以把数列 ,0900.0,,09.0,9.0各项和看作前n 项和n S 当n →∞时的极限。 ()10 0.90.090.0009n -?????????个，，，，是首项为0.9，公比为 1 10 的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110 n n n n S -????-?? ?????????=++???+???==- ???-个.
从而110.91111010n n n n n n n lim S lim lim lim ? →∞→∞→∞→∞ ?????? ==-=-=?? ? ????????? . （二）、讲授新课 1、无穷等比数列的各项和的公式的推导 提问：在问题1的讨论中，我们将0.9? 看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？ 不存在时当n n n S na S q ∞ →==lim ,,11, 当1≠q 时, q q a q a q q a S n n n ---=--= 111)1(111 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下： ∴ )11(lim 1)1(lim lim 111q q a q a q q a S n n n n n n ---=--=∞→∞→∞→ q q a q a q q a q a n n n n n ---=---=∞→∞→∞→1lim 11lim 1lim 1111. ∵ 0||1q <<，∴0n n lim q →∞ =.∴ 1 1n n a lim S q →∞ = -． 当11-≤>q q 或时,n n q ∞ →lim 不存在,n n S ∞ →∴lim 不存在. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式． 2、无穷等比数列的各项和的定义 提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下． 我们把0||1q <<的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示. 1 1a S q = -（0||1q <<）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在．
数列 07 数列的求和（错位相减法求和） 一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+； 等比：11(1)(1) (1)1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时， （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ()2 1321+= ++++n n n Λ；n n n +=++++2 2642Λ； 2531n n =++++Λ； ()()61213212222++=++++n n n n Λ；()2 3 33321321?? ?? ??+=++++n n n Λ q a S -= 11 【考点讲解】
（3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并. 形如：n n b a +其中???? ?是等比数列 是等差数列n n b a ，()()???∈=∈-==** N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, （6）合并求和：如求2 2222212979899100-++-+-Λ的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： 111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ?? =- ?-+-+?? 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=-??+++++?? ；n n n n -+=++11 1. 【错位相减法例题解析】 1.【2018优选题】求和：n n n S 2 1 813412211?++?+?+? =Λ 【解析】由n n n S 21 813412211?++?+?+?=Λ 得：()n n n n n S 21 21121321211132?+?-++?+?+?=-Λ（1） 14322 1 21)1(2132122121+?+?-++?+?+?=n n n n n S Λ（2） 将（1）—（2）得：231111111 222222 n n n S n +=++++-?L
【课堂例题】 例1.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比q 满足||1q <，求证：11 11 1n n a a q q ∞ -== -∑. 例2.在Rt ABC ?内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a . 若1,2AB BC ==，求所有正方形的面积的和. 例3.一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天服用0.05mg ,设体内的药物每天有20%通过各种渠道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的水平？ 例4.一个动点P 从原点(0,0)O 开始先沿x 轴正方向移动一个单位，然后沿y 轴正方向移动 12个单位，接着又沿x 轴正方向移动14个单位，再沿y 轴正方向移动1 8个单位，无限进行下去，求点P 的极限位置. 1a 2a A B C
【知识再现】 1.无穷等比数列{}n a 中，1*1,n n a a q n N -=∈，当公比q 满足 时， 无穷级数 121 n n n a a a a ∞ ==++++∑ 收敛于 ， 该值就称为此无穷等比数列各项的和. 【基础训练】 1.无穷等比数列1 11 {(1) }4 n n ---? 各项的和是 . 2.无穷等比数列{}n q 各项的和是3，则q = . 3.计算：1112411139 +++=+++ . 4.已知无穷等比数列{}n a 各项的和为2，求首项1a 的取值范围. 某同学的解答过程如下，请问结果是否正确？若不正确请改正他(她)的错误. 解：设该数列公比为q ， 1 1221n a a a a q ++++= =- ，因此112a q =- 因为||1q <，所以1|1|12 a -< 从而解得：104a << 解毕 . 5.如图，已知等边ABC ?的边长为1，联结这个三角形各边的中点得到一个小的111A B C ?，又联结111A B C ?的中点得到一个更小的222A B C ?，无限继续下去，求所有三角形的周长之和与面积之和. 6.已知数列{}n a 是无穷等比数列，且1231 1n a a a a a +++++= ， 求实数1a 的取值范围. A B C 1 1 B 1 A 2 C 2 B 2 A
无穷递缩等比数列的和 奉化中学(315500) 杨亢尔 1.教材分析 本节课题取材于人教版普通高中《数学》第三册（选修Ⅱ）第二章“数列”阅读材料----无穷等比数列的和，其主要内容是无穷递缩等比数列的求和公式及简单应用。教材在前面已介绍了数列的有限项的和，利用极限这个工具，不难将有限和转化到“无限和”。这样引伸，既符合学生的认知规律，也有助于加深体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想。本课内容蕴涵着丰富的数学思想方法和广泛的实际应用，对于开扩学生思路，激发学习数学的兴趣，都能起到较好的作用。 新编教科书增加“阅读材料”，不仅是为了扩展学生的知识，培养学生学习数学的兴趣，更重要的是为了充分展现数学的科学价值和人文价值。如何指导学生自学阅读并深入研究，最大限度地发挥其功能，是教师应该认真思考和对待的问题。 2.学情分析 无穷递缩等比数列及其它无穷数列的求和问题，主要用到数列求和方法、等比数列的求和公式、数列极限的概念及运算法则等知识，这些内容学生理解起来并不困难。无穷递缩等比数列求和公式的应用也十分广泛，对本节内容进行适当的拓展研究，通过学习、总结、探究和反思，挖掘出具有较深层次的知识，既丰富知识内容，完善知识结构，提高解题能力，也符合“源于教材，高于教材”的教学原则。 3.教学目标 1、理解数列的前n的和与所有项的和的联系与区别，掌握无穷递缩等比数列的求和公式的推导，能利用无穷递缩等比数列的求和公式解决某些简单问题； 2、进一步提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，提高学生的阅读能力、观察能力、归纳能力，培养学生获取数学知识和应用数学的能力，培养交流合作精神； 3、培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，在解题教学中揭示生活哲理，体会数学的
数列 数列的求和（裂项相消法求和） 一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+； 等比：11(1)(1) (1)1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时， （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ()2 1321+= ++++n n n Λ； n n n +=++++22642Λ； 2531n n =++++Λ； ()()61213212222++=++++n n n n Λ；()2 3 33321321?? ????+=++++n n n Λ （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， q a S -= 11 【考点讲解】
那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝,,n n b n c n ?????为奇数 为偶数 的数列， 其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如：n n b a +其中???? ?是等比数列 是等差数列n n b a ，()()???∈=∈-==** N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, （6）合并求和：如求2 2222212979899100-++-+-Λ的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： 111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ?? =- ?-+-+?? 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=-??+++++?? ；n n n n -+=++11 1. 1.【2019年优选题】 +?411+?741Λ+?10 71=+-+)13)(23(1n n ( ) 【真题分析】
第二十教时 教材：求无穷递缩等比数列的和 目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。 过程： 一、例题： 例一、已知等比 数列，求这个数列的前n项和；并求 当 时，这个和的极限。 解：公比 , 解释：“无穷递缩等比数列” 1?当时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项
二、小结： 三、作业： 1． 2．，则a的取范围是a>3 或a<1 3．2 4．正项等比数列的首项为1，前n项和为S n，则1或q 5． 6．已知，则2 7．若，则r的取范围是(-2，0> 8．无穷等比数列{}中，(1>若它的各项和存在，求的范围；若它的各项和为，求。 (> 9．以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点A1，B1，C1，D1，再在正方形A1B1C1D1内用同样的方法得到又一个正方形A2B2C2D2，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
无穷等比数列各项的和（5月4日） 教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式； 教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用 教学过程： 一、复习引入 1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________ 2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列 ΛΛ,2 1,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广 二、新课讲授 1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列ΛΛ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为 q a S -=11 )1( A C h 第4题三、课堂小结： 1、无穷等比数列各项的和公式； 2、化循环小数为分数的方法 四、练习与作业 1、求下列无穷等比数列各项的和： （1）；Λ,83,21,32,98 -- （2）Λ，，，，75 4154311326 （3）Λ，，，131 31131 3+--+ （4）)1(,,,,1 32<--x x x x Λ， 2、化循环小数为分数： （1）。。72.0 （2）。。603.0 （3）。832.1 （4）。。3204.0- 3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和. 4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h （1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和 （2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和； （3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2 无穷递缩等比数列求和教学案例及反思 如“无穷递缩等比数列求和”是在学生学习了数列及数列极限等知识的基础上提出来的，它与数列、方程、函数和极限等知识有内在的联系，能与实际生产和生活中的问题相结合，但是，学生对无穷数列各项和，有限到无限的思想方法，以及用极限的方法去解决实际问题还缺少思想基础，因此，我在设计这一节课时，设计情景，提出问题，通过实际问题、具体问题，以引起学生情感体验，引导学生学会建构、探究，最终达成教学目标。 （一）设计情境——提出问题 问题1：如果不停地往一只空箱子内放东西，箱子会满吗？为什么? 这问题表面上看是一个游戏，事实上，它隐含着无穷数列各项和知识，有一定的趣味和魅力，能引起学生的思考，不同层次的学生都有发言权，也不乏味，有能力发展点、个性和创新精神培养点，学生从实际背景出发，通过动脑思考，动手操作，动口说明，能经历从抽象表示到符号变换和检验应用全过程，能培养学生的数学建模能力。 （二）自主探究——感知问题 我提示学生用数学眼光去看上述问题，即将上述问题转化为数学模型,然后让学生展开讨论。 （三）合作交流——形成共识 （1）问题1的讨论结果： S1：箱子即使很大也会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,…设第n次放入的量为an，…,则a1＋a2＋a3＋…＋an＋…可能很大，总能放满箱子。 S2：箱子即使很小也不会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,…第n次放入的量为an ，…,则a1＋a2＋a3＋…＋an＋…可能也很小。 （2）引导学生对问题进行探究，构建数学模型 问题2：你能尽可能多地举出箱子不会满的例子吗？ S3：把一支粉笔的一半放入空箱子中去，剩下粉笔的一半再放入空箱子中去，如此下去，…，放入空箱子中的充其量也只有一支粉笔，不会满，其数学模型是：a＋a＋a＋…=a(a 是粉笔的长) S4：把一杯水的倒入空容器中去，剩下水的再倒入空容器中去，如此下去，…，倒入容器中的只有一杯水，也不会满，其数学模型是： b＋b＋b＋…=b(b是一杯水) 数列 09 数列的求和( 分组求和、倒序相加法) 一、具体目标： 一、二、知识概述：具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+； 等比：11(1)(1) (1)1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时， （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ()21321+= ++++n n n Λ； n n n +=++++22642Λ； q a S -= 11 【考点讲解】 2531n n =++++Λ； ()()61213212222++= ++++n n n n Λ；()2 3 33321321?? ????+=++++n n n Λ （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝,,n n b n c n ?? ???为奇数为偶数 的数列， 其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如：n n b a +其中???? ?是等比数列 是等差数列n n b a ，()()???∈=∈-==** N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1n n a f n =-类型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求2 2 2 2 2 2 12979899100-++-+-Λ的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： 111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ?? =- ?-+-+?? 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=-??+++++?? ；n n n n -+=++11 1. 0无极限; 0.9 1。 上述两个问题有共同的特征： 都是无穷等比数列， 且它们的公比q 的绝对值都小于1。 F 面，我们来讨论一般无穷等比数列的前 n 项和的极限。 知识结构】 设等比数列｛a .｝的首项为 印佝 0），公比为q （q 0），其前n 项和为S n ，则 na n q 1, 第十讲：无穷等比数列的所有项的和 1 1 1 问题1:边长为1的正方形可以分割为： 丄丄丄 2 4 8 无限趋近于1,即极限为1 ； 1是如何才能求出呢？ —...，显然，无限的加下去的面积 16 n 11 1 1 1 1 2 2 先求等比数列一，—，—， ...的前n 项和S n 2 4 8 n 1 1 2 1 ,（S n 也是数 列） 2 则 lim Sn lim 1 n n 问题2、无限循环小数0.9 0.999.... 0.9 0.09 0.009 0.0009 就是等比数列0.9,0.09,0.009,0.0009,...的每一项一直无限的加下去, 该等比数列的前 n 项的和为 S n 9 — 10 2 丄 10 3 丄 10 1 10 n 1 °.9[1 10 ] 1丄 10 10 于是把0.9看作 S n 当n 时的极限，即 0.9 lim ： lim n n 10 1，因此 S n ,q 1;⑴当q1时，lim S n n lim (a1n), a i n 0无极限; 2. n s aa \1 7 a1[1 aa aa (4) 1 时, 我们把 列各项的和 lim 才lim [1 ( 1门无极限; n 2 n lim S n lim n n 1的无穷等比数列的前 （即无穷等比数列所有项的和） 理解：（1 ）a 1 a 2 a 3 ..lim [a1 n a 2 （2）任何等比数列都有 的值, 只有 印 （1 81 lim (1 q n )无极限。 n n 项和S n 当n 时的极限叫做无穷等比数 ，并用符号S 表示，即 q (0 1) 。 a 3 a n ] lim S n n S,(0 |q| 1)； 1时才有无穷等比数列的所有项的和 这 个意义。 【典型例题】 例1、化循环小数为分数 (1)0.29 ； ( 2) (1) 0.29 0.13 (2) 0.1 3 0.29 0.13 0.0029 0.0013 0.000029 0.000013 0.29 1 0.01 0.13 1 0.01 29 99 ； 13 99 例 2、（ 1） lim n 1 2n 1_ n 1 1 L 2 4 1 1 L 3 9 3 （2 ）等比数列 1 {a n }的公比为 一，则lim 3 4 a 2 n a ? 84 a n a 2n lim (a 1 a 2 ... a n ) 分析：原式 — lim (a 2 a 4 ... a 2n ) 数列 07 数列的求和（错位相减法求和） 一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2.掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+； 等比：11(1)(1) (1)1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时， （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ()21321+= ++++n n n Λ；n n n +=++++2 2642Λ； 2531n n =++++Λ； ()()61213212222++=++++n n n n Λ；()2 3 33321321?? ????+=++++n n n Λ （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． q a S -= 11 【考点讲解】 下面是常用的一些求和公式: a i , a i +d, a i +2d, a i +3d, .... (d 为常数) 称为公差为d 的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数 前n 项和 等差中项 a i , a i q, a 称为公比为q 的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数 前n 项和 更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 ⑴ 等比数列：a (n+i)/an=q (n € N)。 (2) 通项公式：an=ai x qA(n-i )； 推广式：an=arr X q A (n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*ai (q=i) Sn=ai(i-qAn)/(i-q) =(ai-an*q)/(i- q) (q 工i) (q 为比值，n 为项数) ⑷性质： ① 若 m 、n 、p 、q € N ，且 m + n=p +q ,贝U am*an=ap*aq ； ② 在等比数列中，依次每 k 项之和仍成等比数列. ③ 若 m 、n 、q € N ，且 m+n=2q ，贝U am*an=aqA2 (5) "G 是a 、b 的等比中项""GA2=ab (G 工0 ". ⑹在等比数列中，首项 ai 与公比q 都不为零. 注意：上述公式中 an 表示等比数列的第 n 项。 等比数列 如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 等比中项 无穷递减等比级数的和 K-1 通项公式 二％十依一 1)川 i q , a i q 3....,（q 为常数） 这个数列就叫做等比数列 这个常 高中数学无穷递降等比数列求和公式 无穷递减等比数列 a,aq,aq^2……aq^n 其中，n趋近于正无穷，q<1 注意： (1)我们把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存有，当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存 有的。 (2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S= S=a/(1-q) 等比数列求和公式算法 想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求 和公式 设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公 比不为1时 Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1) 将这个式子两边同时乘以公比q，得 qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n 两式相减，得 (1-q)Sn=a1-a1q^n 所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1- q^n)]/(1-q) 对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式 S=a/(1-q) 高中数学选择题解题方法 一、直接法 直接从题设的条件出发，使用相关的概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和计算来得出题目的结论。 二、特例法 包括选择符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，代入或者比照选项来确定答案。 这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率极大的方法。 三、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地表现，降低思维难度，是解决数学问题的有力策略。 四、估值判断 有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，对数值实行估算，或者对位置实行估计，就能够避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。 五、排除法(代入检验法) 充分使用选择题中的单选的特征，即有且只有一个准确选项这个信息，通过度析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的的一种解法。 无穷等比数列各项的和 1.无穷数列{ 2 3n 1 2 ++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n ??? ??-+-+-++++319131121814121 （43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a =，公比0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…= 0.31 10.13 =- 4.求下列无穷等比数列各项的和： （1）； ,83,21,32,98-- （2） ，，，，75 4154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1+ +++ 2 21 212 1= （2） +?++++++++-12 31211218161413121n n = 6.无穷等比数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公比为 ，首项是 （2）数列中每一项都是它后面所有项和的4倍，且625 16 5= a ，则它的所有偶数项的和为 （3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围 7.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n = 4 1 ,则首项a 1的取值范围是 A. （0，41） B.（0，21） C.（0，41）∪（21,41） D.（0，41）∪（2 1 ，1） 8.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞ →n lim （ 2 1 )21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________. 9.已知数列()n n t a 21-=，若∞ →n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围 10.若∞ →n lim （1+αtan +()() 1 2 tan tan -++n αα ）存在，求α的取值范围 11.一个球自高为6m 的空中自由下落，每次着地后回弹高度为原来高度的三分之一，到球停 在地面上为此，球经过的路程的总和为 湖南省师范大学附属中学高一数学教案：求无穷递缩等比数列的和 教材：求无穷递缩等比数列的和 目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。 过程： 一、 例题： 例一、 已知等比数列 ΛΛ,2 1 ,81,41,21n ，求这个数列的前n 项和；并求当∞→n 时，这个和的极限。 解：公比 21=q , n n n n q q a S 2112 11] )21(1[211)1(1-=--=--= 101)21 (1)211(lim lim lim =-=-=-=∴∞ →∞→∞→n n n n n n S 解释：“无穷递缩等比数列” 1? 当∞→n 时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n 项） 2? 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩” 3? 数列{a n }本身成GP 小结：无穷递缩等比数列前n 项和是q q a S n n --=1) 1(1 当∞→n 时， )1(11)1(lim lim lim lim 11n n n n n n n q q a q q a S S -?-=--==∞ →∞→∞→∞→ q a S -= ∴11 其意义与有限和是不一样的 例二、 求无穷数列ΛΛ,0003.0,003.0,03.0,3.0各项和。 解：10 1 3.003.0,1033.01=== =q a 319310 11103 ==-=∴S 例三、 化下列循环小数为分数： 1．? ?31.2 2．? ? 1231.1 2 1 4 1 8 1 解：1．9913 299132100 1110013 2100001310013231.2=+=-+=+++ =??ΛΛ 2．33344 199901320110 111000013 1.110 32110321103211.11231.13 1074==-+=++++=??ΛΛ 小结法则： 1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数。 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。 例四、 某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。 解：设首项为a ，公比为 q ，( | q | <1 ) 则 11 24 )1(1153811)2(61)1(41)2()1(222 = =?=-+???→ ????????=-=-÷a q q q q a q a ：代入得： ∴各项的立方和：67768) 11 5(1) 1124( 133 3 3= -=-=q a S 例五、 无穷递缩等比数列{a n }中， 2 1 )(21lim = +++∞ →n n a a a ΛΛ，求a 1的范围。 解： 1|21|01 ||0212 1 111 1<-<∴<<-=?=-a q a q q a Θ 2 11021 1011440111112 1 ≠ ?? ? ??<<∴≠<
无穷递缩等比数列求和教学案例及反思
2020年高考数学(理)之数列 专题09 数列的求和( 分组求和、倒序相加法)(解析版)
第十讲：无穷等比数列的所有项的和(教师)
高考数学(理)之数列 专题07 数列的求和(错位相减法求和)(解析版)
常用的一些求和公式
高中数学无穷递降等比数列求和公式
无穷等比数列各项的和答案
高中数学： 求无穷递缩等比数列的和教案
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