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固体物理 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数

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第三章2固体物理晶格热容

第三章2固体物理晶格热容

T CV 9 Nk B D
T 4 nx 9 Nk B x ne dx D 0 n 1 利用积分公式和求和公式：

3
0
m a
e
m 1 m! d m 1 m 1 a a
17
T CV 9 Nk B D
m

0
kB k BT exp k BT
2
exp k T B 1
2
g d
如果某种晶体的晶格振动模式密度g()已知，我 们即可根据上式求出晶格热容来。
6
二、晶格热容模型 1. Dulong－Petit定律 实验发现，在常温下大多数固体的热容量差不多都等 于6 cal/mol.K，这个结果就称为Dulong－Petit定律。 经典统计理论的解释：根据经典统计的能量均分定理， 每一个简谐振子的统计平均能量为kBT，一摩尔固体中有 N0个原子，有3N0个简谐振子。所以，晶体的振动能为： E 3N 0k BT
V 2 g d 3 q 4 q dq 3 3 4 q dq 8 2 V d 3 3 4 8 c c
2
3V 2 g 2 3 2 c
m
由
g d 3N 0
qx
kBT
19
因此，低温下晶格热容的贡献主要来自于 kBT 的长 波声子的贡献。
在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为
3 3 3
qT T T q m m D
而每个被激发的振动模式（声子）具有的能量为kBT。 因此，由于热激发，系统所获得的能量为：

第三章材 晶格振动与热学性质

第三章材 晶格振动与热学性质

（3-7）

x2 n 1 A e x2 n 2
i[ q ( 2 n 2 ) a t ] Be
i[ q ( 2 n 1) a t ]
（3-8）

将式（3-8）代入式（3-7），得
m 2 A (e iqn e iqa ) B 2 A 2 iqn iqa M B (e e ) A 2 B


格波的波长 = 2/q。若令n代表沿格波传播方向的单 2 位矢量，则q = n ，这就是格波的波矢。 波速（相速） p / q 。 将式（3-4）代入到运动方程组式（3-3）中，可得
2 [1 cos(qa)] m
2
（3 -5）
2
qa sin m 2

二、一维双原子复式晶格的振动

对于由两个不同原子组成的一维双原子链，设相邻同 种原子间的距离为2 a（2a 是这种复式格子的晶格常 数），如图3-4所示，质量为 m 的原子位于…2 n－1， 2n＋1，2n＋3…各点；质量为M的原子位于…2n－2， 2n，2n＋2…各点。

类似于方程（3-3）得到
（3-1）


其中首项为常数，次项为零（因为在平衡时势能取极 小值）。当 很小，即振动很微弱时，势能展开式中 可只保留到2项，则恢复力为


其中首项为常数，次项为零（因为在平衡时势能取极 小值）。当 很小，即振动很微弱时，势能展开式中 可只保留到2项，则恢复力为 d 2U dU （3-2） 2 dr d a 这叫做简谐近似。上式中的 称为恢复力常数，在简谐 近似下，认为当原子离开其平衡位置发生位移时它受 到的相邻原子作用力（恢复力）与该原子的位移成正 比。如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子所受 到的总作用力是 ( xn1 xn ) ( xn xn1 ) ( xn1 xn1 2 xn )

《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质

《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质

第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。

第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT

第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT

(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件
（周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 u N 1
N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
即：
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( 只l 能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
设 un,1、u是n,相2 应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
Mun,1 2un,1 un,2 un1,2 mun,2 2un,2 un1,1 un,1
类似于前面的讨论，可取解的形式为：
代入运动方程得：
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
解关于2的一元二次方程得：
2
(q)
mM mM

第3章 晶格振动与晶体热学性

第3章 晶格振动与晶体热学性
1/70
晶格周期性使晶格振动具有波的形式——格波。 格波研究 首先，考虑一维，计算原子间相互作用力； 写出原子运动方程，最后求解方程。 推广到三维情况 本章重点： 一维单/双原子链模型及其色散关系的推导； 晶格比热(爱因斯坦模型/德拜模型)； 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导；
2/70
§3.1 一维原子链的振动
首先，简谐振子运动方程：
ma f m d 2x kx dt 2
2
一维简单晶格运动方程
2
k m
一维原子链/布喇菲格子每个原子质量 布喇菲格子每个原子质量m，平衡时原子 间距a。第n个原子平衡位置rn=na，相对平衡位置位移 xn(n=1, (n=1, 2, …N)。相邻原子相对位移: xn-xn-1, xn-xn+1
n n+1 n+2
E总 E动 E势
p 1 kx 2 2m 2
2
k
d E势 dx
3/70
n-2
n-1
2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
第一个近似
4/70
力常数==势函数二阶导数
n-2
n-1
n
n+1
n+2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
设方程组有下列形式解(行波解)： 比较行波A A0ei ( kxt ) i ( qna t )
1
纵格波波形
色散关系讨论
(1) 两个特点： 两个特点：
2

m
sin(
qa ) 2

固体物理基础第3章 晶格振动理论

固体物理基础第3章 晶格振动理论
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第3章 晶格振动理论
图3.3 一维单原子链的玻恩-卡曼周期性边界条件
17
第3章 晶格振动理论 下面对式(3.5)所表示的一维单原子链的色散关系做一些
表面上看来，对于一个波数q应该对应±ω(q)两个频率， 而一组(ω(q)，q)确定一个格波，所以总共应该有2N个格波。 但是，由于ω是q的偶函数，只需要取式(3.5)的正根就足够 了，因为q和-ω(q)确定的解与由-q和ω(q)=ω(-q) 确定的解 是同一个解，反映晶格原子的振动情况也就完全相同。因此 式(3.5)可进一步写成：
别表示 q π (对应波长λ=4a)和 q 5 π(对应波长 4 a
2a
2a
5
11
第3章 晶格振动理论 的两个波。对于连续波而言，这是两个完全不同的波，然而， 由于晶格的周期性，这两个波反映一维单原子链中原子的振 动情况却是完全相同的，这就是为什么要把波数q的取值限 定在一个周期内，也就是第一布里渊区的原因。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。

第三章晶格振动和晶体的热学性质在...

第三章
晶格振动和晶体的热学性质
在前面的讨论中，我们都把组成晶体的原子看成是固定在平衡位置上不动，实际晶 体中的粒子并非如此，而是会在平衡位置附近作微小的振动。由于晶体内原子间存在着 相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波。 因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统。这个系统的运动就叫晶格振动。 晶格振动是固体中原子的热运动，是对晶体热能的主要贡献。因此，晶体的热学性 质，如比热、热膨胀和热传导等就与晶格振动密切有关。由于晶格振动造成对原子周期 排列的偏离，可视为一种动态缺陷，因此会对在晶体中运动的其它粒子，如电子和光子 产生影响，而与晶体的电学、光学性质乃至介电性质等有关。本章就介绍晶格振动的基 本特征并以此为基础来认识晶体的热学性质。
（3.15）
式（3.15）的试探解仍为角频率为ω的简谐振动
x2 n+1 = Aei[ωt −q ( 2 n+1) a ] x2 n+2 = Bei[ωt −q ( zn+2) a ]
（3.16）
由于两种原子不同，它们的振幅也不一样，我们分别以 A 和 B 表示。将式（3.16） 代入方程（3.15） ，可以得到
5
图 3.3 为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为 a，相邻同种原子（即等效点） 图 3-3 一维双原子链 之间的距离则为 2a，因此，该晶格常数为 2a。质 量为 m 的小原子用奇数表示，质量为 M 的大原子 ，我们得到如下运动方程: 用偶数表示，原子间的力常数均为β。类同于式（3.4）
m
d 2 x2 n+1 = β ( x2 n+ 2 + x2 n − 2 x2 n+1 ) dt 2 d 2 x2 n + 2 M = β ( x2 n+3 + x2 n+1 − 2 x2 n+ 2 ) dt 2

固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。

只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。

由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。

对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。

和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。

这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。

若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。

当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。

晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。

ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。

若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。

23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。

固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质


注意：
（1）振子并不是组成固体的真实粒子，振子的振动代表简正坐标 的振动，并不是真实粒子的振动。格波的振动频率—简正坐标振 动的圆频率。 （2）简正变换的物理实质可以作以下解释： N个独立粒子——3N个无相互作用的简谐振子。 固体中每一个粒子受到其它N-1个粒子的作用。当作用力近似为 简谐力时，可将固体看成近似由3N个谐振子组成。条件： （a）简谐力近似，若不是，则格波不独立——声子由湮没，产生 （b）简正坐标的振动——集体运动的描述。
事实上：
晶格动力学的发展是在研究热学性质中建立起来的。 晶格动力学是固体物理学中的重要组成部分。晶格动力学 的前身就是比热理论。 从固体比热的发展阶段看： * 从Einstein模型 ，Debye模型，——格波模型，最后形成 晶格动力学，并用来进一步处理其它问题。 * 关于固体比热的研究，不单是解决固体比热的问题。而 是具有更重要的意义。 * 为使比热理论值与实验值相符合，能对固体晶格运动方 式有比较正确的认识，提出一些模型，而这些认识模型成 为固体许多领域的重要基础。 比如：声子的概念，元激发 概念等。在固体物理学的其他领域有更广泛的应用。 结论：晶格振动与固体的力、热、声、光、电、磁等各种性 质有着密切的关系。
mi i
Qi i2Qi 0
a
j
ij
Q j aij A sin( i t )
由此可见，全部原子都以一种频率运动，差别仅在于振幅和 相位的不同. 而且每个原子的真正位移是各种简正振动的叠加。 也可以这样理解：N个原子的热振动可看作是一个有３N个独 立简谐振动的叠加系统，系统总能量是３N个相互独立的谐振子的 能量和，即可以把N个粒子组成的相互作用能为V的固体看成是相 互独立的3N个谐振子的集合。

第三章 晶格振动与晶体的热学性质


上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1


2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2

2
2


2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
原子的振动实际上没有任何不同。
(7)长波极限，当 q 0 时，sin qa 2 qa 2
1
波速
v

a


m

2
角频率 a q v q
m
与连续介质中弹性波的色散关系一致
两原子间的相位差
qa
0 ，波长


2
q


一个波长范围内包含了许多原子
因此，长波极限下，一维单原子晶格的格波可 以看做是弹性波，晶体可以看做是连续介质
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
将试探解代入原运动方程可以得到色散关系
2
q


M1M 2

M1

M2

M12

M
2 2

2M1M
2
cos
qa
1 2
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1 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为，则晶格振动的模式书为24N/ 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。 4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。

14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为  ，准动量为 q 。

15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V的晶体，波矢空间中的波矢密度为：3)2(V ；对二维面积为S的晶体，

波矢空间中的波矢密度为：2)2(S ；对一维长度为L的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2

L。

二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。

2.波恩-卡门条件 2

即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度

波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3c)2(V，Vc为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 6.简谐近似 答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。 7.格波 答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。 三、简答题 1. 试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性. 特点： 1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动； 2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。 局限性： 1） 在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。 2） 德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。

2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

3. 晶体中声子数目是否守恒? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为

, 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 3

4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为

. 因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.

5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 答：设温度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.

6. 高温时, 频率为 的格波的声子数目与温度有何关系? 答：温度很高时, , 频率为 的格波的(平均) 声子数为

. 可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.

7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 8. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。

答：由一维单原子链的色散关系2sin2qam

可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2/2sinqaqamaqp 群速度为

2cosqamqadqdg



9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？ 答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原

子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的 4

有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第Nt+j个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无

限大，波矢q的取值将趋于连续。 10. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动？图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动？

答: 上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。 由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？ 答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N，模式取值数=晶体的总自由度数。 11.对于初基晶胞数为N的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少？ 答：2N，6N。 12.在三维晶体中，格波独立的点数N，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少？ 答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn，格波总支数是3nN，对每个波矢q，有3支声学波，（3n-3）支光学波。 13.试述长光学波与长声学波的本质区别? 答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。 14. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。 15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?

答:按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz1013, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献 5

大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。 16. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符。

四、证明计算 1. 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程，

22222

xuvtu

证明： 第n个原子的运动方程为

)2(1122nnnnuuutum



因为 niqanueu1 niqanueu1 所以第n个原子的运动方程化为

niqaiqanueetum)2(22

在长波近似下， 2)(211,0iqaiqaeqaiqa

运动方程又化为 )1()(2222nnuqatum



在长波近似下，当l为有限整数时， 1lim00iqlaqnlnqeimlu

u

上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动．因此（ l ）式可统一写成

)2()(2222lnlnuqatum



观上的质点位移u，从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离aln)(可视为准连续坐标x，即 uAeAeutqxitlnqiln][])([

于是（2）化成

22222

xuvtu

其中