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固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
固体物理第三章班级成绩学号Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质姓名(lattice vibration and its heat characteristics)⼀、简要回答下列问题(answer the following questions):1、在晶格常数为a 的⼀维单原⼦晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原⼦振动状态有⽆不同? 试画图加以说明。
［答］对于⼀维单原⼦链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π／4a ，⼆者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原⼦振动状态不同。
如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原⼦的振动状态相同。
2、什么叫简正振动模式？简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是否是⼀回事？［答］在简谐振动下，由N 个原⼦构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独⽴的谐振⼦的振动，每⼀个谐振⼦的振动模式称为简正振动模式。
格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。
简正振动数⽬、格波数⽬或格波振动模式数⽬是是⼀回事，其数⽬等于晶体中所有原⼦的⾃由度之和，即等于3N 。
3、晶体中声⼦数⽬是否守恒？在极低温下，晶体中的声⼦数与温度T 之间有什么样的关系？［答］频率为ωi 的格波的平均声⼦数为： 11)(/-=Tk i B en ωω即每⼀个格波的声⼦数都与温度有关，因此晶体中的声⼦数⽬不守恒，它随温度的改变⽽改变。
以德拜模型为例。
晶体中的声⼦数⽬为ωωωωd g n N D)()('0=其中令 T k x B ω= 则 123'2/033233-=x TB e dxx C T k V N D θπ在极低温度下，θD ／T →∞，于是 331332332033233)2(23123'T nC T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑∞=∞=-=ππ即在温度极低时，晶体中的声⼦数⽬与T 3成正⽐。
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
第三章 晶格振动 参考答案 20113.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ第2n+1个原子所受的力nn n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++这两个原子的运动方程：n n n n n n n n u u u um u u u um 221211221121211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+方程的解⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==q a n t i n q a n t i n Beu Aeu 2)12(122)2(2ωω代入到运动方程，可以得到B A e e B m A B e e A m q a i q a i q ai q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--- 经整理，有0)(0)(22122212221221=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q ai q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足,.,22122212221221=-+++-+--ωββββββωββm eeeem q a i q ai q a i q a i根据上式，有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa3.2具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为M ，晶格常量为a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为β，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明此二维系统的格波色散关系为）（a q a q y x cos cos 22M 2--=βω。
固体物理学答案朱建国版3HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编着）》使用2022年4月28日第1章晶体结构 0第2章晶体的结合 (11)第3章晶格振动和晶体的热学性质 (17)第4章晶体缺陷 (26)第5章金属电子论 (30)第1章 晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f =2a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b那么，RfRb =31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点若ABC 面的指数为（234），情况又如何答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。
若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角 ，如下表所示。
1 简单斜方2 简单正方3 简单六角4 简单长方5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
第三章 晶格振动 参考答案 20113.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ第2n+1个原子所受的力nn n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++这两个原子的运动方程：n n n n n n n n u u u um u u u um 221211221121211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+方程的解⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==q a n t i n q a n t i n Beu Aeu 2)12(122)2(2ωω代入到运动方程，可以得到B A e e B m A B e e A m q a i q a i q ai q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--- 经整理，有0)(0)(22122212221221=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q ai q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足,.,22122212221221=-+++-+--ωββββββωββm eeeem q a i q ai q a i q a i根据上式，有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa3.2具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为M ，晶格常量为a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为β，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明此二维系统的格波色散关系为）（a q a q y x cos cos 22M 2--=βω。
解：如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第l,m 原子受到（l+1,m ），（l-1,m ），（l,m+1），（l,m-1）四个原子的作用力为：（l+1,m ）对它的作用力=），（m l u ,m 1,l u -+β （l-1,m ）对它的作用力=），（m l u ,1m l,u --β （l,m+1）对它的作用力=），（m l u ,1m l,u -+β （l,m-1）对它的作用力=）（1,m l,u --m l u β。
由于（l+1,m ）和（l-1,m ）对它的作用力以及（l,m+1）和（l,m-1）对它的作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可以写为：[])2u (2u d ,1,1m l,,,1m 1,l 2,2m l m l m l m l ml u u u u dtu M -++-+=-+-+）（β 设解的形式为()[]t a mq a lq i u u y x m l ω-+=ex p 0,代入运动方程后，得到色散关系()()a q a q ee e e M y x aiq aiq a iq a iq y y xxcos cos 2242--=-+++-=--ββω3.3(a)解：对于一维单原子链，简正振动格波的色散关系表述为sin m aq aq ωπωπ== （1） 式中，,,a m β和q 分别代表恢复力常数，晶格常数，原子质量和格波波矢。
上面表明，ω是q 的偶函数。
设g （q ）表示q 空间中单位间隔内振动方式数，()g ω表示单位频率间隔内的振动方式数，于是有12102()()ma ag d g q dq ωωω-=⎰⎰=1202()a g q dq ⎰（2）从（1）式知道，当q=0时，0ω=：当q=1/2a ±时，m ωω= （2）式左边可以写成为120()()ma d g d g dq dqωωωωω=⎰⎰（3） 从（2）（3）式可以得到()2()d g g q dq ωω= 即()2()dqg g q d ωω=波矢空间的态密度g(q)1()1g q NaNa== 式中N 为晶格原子总数。
又从（1）式得到21/2cos (1sin )m m d a aq a aq dq ωπωππωπ==-=1/20()m a πωω- 代入（4）既得221/21()2()2()m dq g g q Na d a ωωπωω==-=221/221()mNπωω-或21/224()()N g mβωωπ-=-3.5(a)证明：在振动能级很密集，振动频率可以认为是准连续的情况下，晶格振动的总能量表达为1()21mB k T E g d e ωωωωωω⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪-⎩⎭⎰因此比热利用写成202()()()(1)B m B k TV V B B k TE e C k g d T k Teωωωωωω∂==∂-⎰把频率分布221/221()()mNg ωπωω=-代入上式，并令B x k T ω= m D B k ωΘ=则比热表示为2021/222()[1()](1)D T xBx DDNk T x e dxT x e πΘ⨯Θ--Θ⎰ （1） 在低温因为1m DB mBT T x k T k ωωωω==Θ因而21/2224413[1()]1()()28D D DT T T x x x --=+++ΘΘΘ在低温极限下，0DT→Θ 则有2202()(1)x BV x D Nk T x e C dx e π∞=Θ-⎰ 因为2222(1)(1)x x x x x e x e e e --=--=22(123)xx xxe e e---+++=223(23)x x x x e e e ---++ 21nx n x nx ∞-==∑2222001112(1)x nx x n n x e dx nx x dx e n∞∞∞∞-====-∑∑⎰⎰ =23π所以2222()()33BB V D mNk Nk T C T πππω==Θ3.9格林艾森常数。
（a ）证明频率为ω的声子模式的自由能为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T k T k B B 2sinh 2ln ω ；（b ）如果∆是体积的相对变化量，则晶体的自由能密度可以写为∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆=∆→T k q T k B T F B B 2sinh 2ln 21),(2ω 其中B 为体积弹性模量。
假定⎪⎭⎫⎝⎛→q ω与体积关系为()()∆-=γωωq q d，γ为格林艾森常数，且与模q无关。
证明当⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆∑T k q q B B q 2)(coth )(21ωωγ 时，F 对于∆为极小。
利用内能密度的定义，证明∆可近似表达为B T U )(γ=∆。
解：（a ）双曲函数 基本定义sinh x =(e x – e -x )/2 cosh x =(e x + e -x )/2 tanh x =sinh x / cosh x coth x = 1 / tanh x考虑频率为ω的声子模，配分函数为12222/20212sinh 211...)1(eZ -------∞⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-=+++==∑T k e e e e eeeB T k Tk Tk Tk Tk Tk Tk T k n B B B B B B B B ωωωωωωωωω (1)故自由能为⎥⎦⎤⎢⎣⎡==T k T k Z T k B B B 2sinh 2ln ln - F ω (2) (b)晶体的自由能为,2sinh 2ln E(V) T)F(V,∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=q B B T k T k ω （3） E(V)为0K 时晶体的内能，第二项为所有声子模的贡献。
若晶体体积改为V δ，则∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+q B T k T 2V)V (sinh 2ln k V)E(V T)V,F(V B δωδδ 而()2202221E(V)V 21E(V)T)V,E(V ∆+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+B V E δδ其中022B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=V E 为体积模量，V Vδ=∆，于是与∆有关的自由能为∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∆=∆k B B T k V V T k 2)(sinh 2ln B 21T),F(2δω （4） 其中∆-=∂∂+=∂∂+=+ωγωδωωωωδωωδωq VVV V V V VV V V )()()()( （5） VV V q ln ln )(∂∂-=∂∂-=ωωωγ为格林艾森常数。
假定q γ与模式q 无关，即γγ=q ，则由T),F(∆对∆的极小条件∑∑∆∂+∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆∂∂+∆=∆∂∂q B q B B T k T k T k V)V 2coth 21B 2V V sinh 2ln B F δωωδω（）（ （6）利用（5）式，γωδω-=∆∂+∂V )V （，由此有∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆q B T k 2coth 21B ωωγ （7） 平均热能为∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=q B q B B V T k T k k T F T F T U 2coth 212sinh 2ln T -T T T F -T )(2V2ωωω ）（ （8）这里假设ω与T 无关。
将（8）式代入（7）式得 B )(T U γ=∆3.10 假定作用在n 平面上总的力为()n p n pp n u u F -=+∑β 其中晶面间的力常数p β为pa pa k A p 0sin =β，这里A 和0k 为常数，p 取所有整数。
这种形式的力常数主要出现在电子—声子相互作用很强的金属中。
(1)利用此式和晶格振动方程证明，声子色散关系为)cos 1(2)(02qpa M q p p -=∑>βω(2) 计算q q ∂)(2ω的表达式。
证明当0q k ±=时，q q ∂)(2ω为无穷大，并讨论)(2q ω的变化情况。
解：（1）设第n 个原子面对平衡位置的位移为n x ，第n+p 和n-p 个原子面位移为n p x +和n p x -，则第n+p 和第n-p 个原子面对第n 个原子面的作用力可以写成()()(2)p p n p n p n n p p n p n p n f x x x x x x x βββ+-+-=---=+-晶体中每个原子面对第n 个原子面都有相互作用力，所以第n 个原子面的运动方程为00(2)n p p n p n p n p p mx f x x x β+->>==+-∑∑ 试探解为(2)i t naq n x Ae ωπ-=代入到运动方程中得到2220(2)i paq i paq p p m e e ππωβ->-=+-∑=0(2cos(2)2)p p paq βπ>-∑ 故格波的色散关系为220024(1cos(2)sin ()p p p p paq paq m m ωβπβπ>>=-=∑∑ （2） 若面间力常数取papa k A p 0sin =β的形式，代入色散关系)cos 1(2)(02qpa M q p p -=∑>βω中得到)cos 1(sin 2)(002qpa pa pa k A M q p -=∑>ω 和∑>•=∂∂002pq sin sin 2)(p a pa k M A q q ω 当0q k ±=时，∑∞==∂∂1022sin 2)(p pa k M A q q ω 右边级数发散，即∞→∂∂q q )(2ω。
