固体物理基础第3章 晶格振动理论
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固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理05-晶格振动
周期性边界条件（Born-Karman边界条件）
包含N个原子的环状链。当系统移动N个原子后，振动情况完全复原。
i t naq u ( q ) Ae 格波解： n
周期性边界条件要求： e
iNaq
1
或
2 qn Na
n 为整数
周期性边界条件（Born-Karman边界条件）
b1 b 2 b 3 * N1 N 2 N 3 N
每个q 点有3n支模式，总共有3nN支模，正好是nN个 原子的全部自由度，即已包含所以得振动模式。
Pb的格波谱
无光学模 Why?
Cu的格波谱
光学支 金刚石的振动谱
声学支
作
业
1.分别画出 M=m, 1.5m, 2m 的一维双原子链的色散关系图。
上述方程有 解的条件是：
m 2 2 2 cos aq
2 cos aq M 2
2
0
最后解得方程：
2
( M m) Mm
( M m ) 2 4 Mm sin 2 aq
β(M m) 4 Mm 2 sin aq 1 1 2 Mm ( M m)
u ( x, q ) Ae i t qx
连续介质波中的x表示为空间中的任意一点，而晶格中的格波只 能取na格点的位置。在格波中将aq改变2π的整数倍，原子的实 际振动没有任何不同。可以将q的取值范围限制在：
a
q
a
第一布里渊区
q 取第一布里渊区外的值，不能提供新的波解。
对于格波白色和黑色的这两种波动解是等价的（只在离散 的晶格上有振动），但对连续介质波来说，这两个波是不 一样的。
固体物理第三章
19
格波 —— 短波极限情况 ( q →
πa)源自aq ω = 2 β / m sin( ) 2
ωmax = 2 β / m
长波极限下 ( q → 0) ，相邻两个原子之间的位相差
q(n + 1)a − qna = qa ⇒ 0
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下 q ⇒
π
a
2π λ= = 2a q
2
17
格波 —— 长波极限情况
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
aq ω=2 sin( ) m 2
当 q→0
β
qa qa sin( ) ≈ 2 2
ω = a β /m q
ω =VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
18
相邻原子之间的作用力 f = βδ 长波极限情况
o xij = x o − xio j
(3.1.2)
u ij = u j − u i
xn −1
•0
un −1
•0
u
n
xn xn
•0
un +1
xn +1
x
4
a
5
设两原子间的相互作用势能为 ϕ ( xij ) ，且只考虑二 体相互作用，则总的相互作用能为
1 N U = ∑ ϕ ( xij ) 2 i≠ j
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
相邻原子位相差 aq ⇒ 2π + aq
π
4a 2a 相邻原子位相差 aq1 = π / 2 2π 5π 两种波矢的格波中，原子 两种波矢的格波中， = 格波2(Green)波矢 q2 = 的振动完全相同， 4a / 5 2a 的振动完全相同，相邻原 相邻原子的位相差 aq2 = 2π + π / 2 子的位相差 − π < aq ≤ π
格波 —— 短波极限情况 ( q →
πa)源自aq ω = 2 β / m sin( ) 2
ωmax = 2 β / m
长波极限下 ( q → 0) ，相邻两个原子之间的位相差
q(n + 1)a − qna = qa ⇒ 0
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质 短波极限下 q ⇒
π
a
2π λ= = 2a q
2
17
格波 —— 长波极限情况
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
aq ω=2 sin( ) m 2
当 q→0
β
qa qa sin( ) ≈ 2 2
ω = a β /m q
ω =VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
18
相邻原子之间的作用力 f = βδ 长波极限情况
o xij = x o − xio j
(3.1.2)
u ij = u j − u i
xn −1
•0
un −1
•0
u
n
xn xn
•0
un +1
xn +1
x
4
a
5
设两原子间的相互作用势能为 ϕ ( xij ) ，且只考虑二 体相互作用，则总的相互作用能为
1 N U = ∑ ϕ ( xij ) 2 i≠ j
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
相邻原子位相差 aq ⇒ 2π + aq
π
4a 2a 相邻原子位相差 aq1 = π / 2 2π 5π 两种波矢的格波中，原子 两种波矢的格波中， = 格波2(Green)波矢 q2 = 的振动完全相同， 4a / 5 2a 的振动完全相同，相邻原 相邻原子的位相差 aq2 = 2π + π / 2 子的位相差 − π < aq ≤ π
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理第三章
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qa qa sin m sin 或者： 2 m 2 2
m 2
m
2 a
——色散关系
为截止频率
2 i a
由上可见，ω与q的关系具有明显的周期性， ω是q的周
期函数，周期为 ，q与 q q （i为整数）对应于 ，q与 q 相应 同样的角频率ω，而且由
相邻原子的位相差：
格波2（绿色标示）的波矢： 相邻原子的位相差：
—— 两种波矢下，格波描述的原子振动是完全相同。
所以，为了保证 un 的单值性，只须将q限制在 , a a （a为晶格常数），这恰好是一维布拉菲格子的第一布里渊区。
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m
2
2
q
弹q
在长波极限下，一维单原子晶 格格波的色散关系和连续介质中 弹性波的色散关系一致。
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下面再比较一下长波近似下，格波与弹性波的相速度
弹性波的相速度： 弹 C
C——弹性模量 ρ——连续介质密度
晶格振动与格波的传播是不可分割的物理现象。
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模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，
原子质量为m.
u n 代表第n个原子离开平衡位置的位移。
第n个原子和第n+1个原子间的相对位移是
un 1 un
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固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
固体物理晶格振动
3. 量子描述
1 3N 2 H = pi i2Qi2 2 i =1
根据经典力学写出的哈密顿量, 可以直接用来作为量子力学分 析的出发点, 只要把 pi 和 Qi 看作量子力学中的正则共轭算符
3N 1 2 2 2 2 i Qi (Q1 , Q2 ,, Q3 N ) 2 Qi i =1 2 = E (Q1 , Q2 ,, Q3 N )
方程的一般解： un = Aj e
j
i j t naq j
=
1 Nm
Q q, t einaq
q
Q(q, t ) = Nm A j e
i j t
线性变换系数正交条件：
1 N
e
n
ina q q
= q , q
系统的总机械能化为(详细推导过程见后面附录部分)
处理小振动问题时往往选用 位移矢量u (t) 的 3N 个分量 n 与平衡位置的偏离为宗量 写成ui (i=1,2,…,3N)
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级 数
V 1 3 N 2V V = V0 ui 2 i , j =1 ui u j i =1 ui 0
q=
2π s Na
晶格振动波矢只能取分立的值, 即是量子化的. 为了保证un的单值性, 限制q在一个周期内取值
< q
N N , 0, 1, 2, , 1), ( 2), ( 3), 1, 2 2
N N <s 2 2
2π q= s Na 波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
1 2 晶体链的动能： T = mun 2 n 1 2 晶体链的势能： U = un un 1 2 n 1 1 2 2 系统的总机械能： H = mun un un1 2 n 2 n
固体物理第三章
晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为在波矢空间中每一个可能的在波矢空间中每一个可能的qq所占据的线度为所占据的线度为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为单位长度波矢代表点数目单位长度波矢代表点数目二一维复式格子二一维复式格子晶格由质量分别为晶格由质量分别为mm和和mm的两种不同原子构成的一维复式格子晶的两种不同原子构成的一维复式格子晶格常数格常数2a2a相邻同种原子间的距离
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
固体物理 第三章 晶格振动ppt课件
质量加权坐标下：
3N
独立的谐振子 声子
qk b ikq i 0
i 1
k 1 , 2 , , 3 N
q A si n( k kl lt l)
l 1
3 N
简正坐标下：
0 Q Q t ) l l sin( l 1
l 1 , 2 , , 3 N
第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）
f f f ( x x 2 x ) n n , n 1 n , n 1 n 1 n 1 n
第n个原子的牛顿运动方程：
mx β( x x 2 x ) n n 1 n 1 n
每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组 试解：
固体物理 第三 章 晶格振动
3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能Uqi 按 q i 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 2 U 1 U 高阶项 U U ( ) q ( ) q q 0 0 i 0 i j q 2 q q i ij i i j 其中 U0 0 平衡位置处的势能为零势能点 U q 0 平衡位置处势能为极小值 i 0 2U 略去高阶项（简谐近似） bij q q i j 0
则原子间相互作用力
0
2
du du d u f ( x ) 2 x x dx dx dx x x 0
0
2
作用力常数
近似1：原子间作用力简化为弹性力。 近似2：只考虑最近邻原子间作用力
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一维无限长单原子链
a 1 n2a n
3.1晶体中原子的微振动 声子
3N
独立的谐振子 声子
qk b ikq i 0
i 1
k 1 , 2 , , 3 N
q A si n( k kl lt l)
l 1
3 N
简正坐标下：
0 Q Q t ) l l sin( l 1
l 1 , 2 , , 3 N
第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）
f f f ( x x 2 x ) n n , n 1 n , n 1 n 1 n 1 n
第n个原子的牛顿运动方程：
mx β( x x 2 x ) n n 1 n 1 n
每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组 试解：
固体物理 第三 章 晶格振动
3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能Uqi 按 q i 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 2 U 1 U 高阶项 U U ( ) q ( ) q q 0 0 i 0 i j q 2 q q i ij i i j 其中 U0 0 平衡位置处的势能为零势能点 U q 0 平衡位置处势能为极小值 i 0 2U 略去高阶项（简谐近似） bij q q i j 0
则原子间相互作用力
0
2
du du d u f ( x ) 2 x x dx dx dx x x 0
0
2
作用力常数
近似1：原子间作用力简化为弹性力。 近似2：只考虑最近邻原子间作用力
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一维无限长单原子链
a 1 n2a n
3.1晶体中原子的微振动 声子
固体物理基础第3章 晶格振动理论
14
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
固体物理：3-1 一维晶格的振动
弹性恢复力系数
4
第n个原子受到近邻原子的 作用力（最近邻近似）为： 第n个原子的运动方程：
5
通式 Born-Karman周期性边界条件
简谐振动
第n’个原子的位移： 若 若 格波，其中q为波矢
两个原子 位移相同
两个原子 位移相反
6
说明：原子的运动不是孤立的，而是以行波形式在晶体中 传播，不同原子通过相位qna相关联。对于每一波矢q，每 个原子的运动情况均由通解所描述，所以由波矢q所确定 的行波是晶体中原子的一种集体运动，这种波称为格波。
晶格振动的 普遍规律
24
a1,a2,a3为晶体原胞的基矢，沿基矢方向晶体各有N1,N2,N3 个原胞。共有N= N1N2N3个原胞；晶体由n种不同原子构成， 原子的质量分别为m1,m2…mn ，每个原胞中n个不同原子平 衡位置的相对坐标为r1,r2…rn.设顶点的位置矢量为
Rl l1a1 l2a2 l3a3
晶格振动的模式数目等 于原子的自由度数之和。
2、声学波与光学波
q0
sin2(qa/2)
(qa/2)2
18
当q0时，波速中无q，即传播速度 与波矢无关，弹性波，类似于声波 A格波为声学波，频率可以到0(实际到无限低)。整体运动。
omin> Amax
o格波为光学波，频率大概在远红外波段。 原子间相对运动，与电磁波耦合。
19
20
声学波： q0
A0
B/A1
对于长声学波，相邻原子的 位移相同，描述的是刚性的 运动，代表原胞质心的运动。
21
光学波：
长光学波， q0
Mu2n mu2n1 0 M m
22
光学波:产生交变的偶极矩， 可以和外界电磁波发生耦合
4
第n个原子受到近邻原子的 作用力（最近邻近似）为： 第n个原子的运动方程：
5
通式 Born-Karman周期性边界条件
简谐振动
第n’个原子的位移： 若 若 格波，其中q为波矢
两个原子 位移相同
两个原子 位移相反
6
说明：原子的运动不是孤立的，而是以行波形式在晶体中 传播，不同原子通过相位qna相关联。对于每一波矢q，每 个原子的运动情况均由通解所描述，所以由波矢q所确定 的行波是晶体中原子的一种集体运动，这种波称为格波。
晶格振动的 普遍规律
24
a1,a2,a3为晶体原胞的基矢，沿基矢方向晶体各有N1,N2,N3 个原胞。共有N= N1N2N3个原胞；晶体由n种不同原子构成， 原子的质量分别为m1,m2…mn ，每个原胞中n个不同原子平 衡位置的相对坐标为r1,r2…rn.设顶点的位置矢量为
Rl l1a1 l2a2 l3a3
晶格振动的模式数目等 于原子的自由度数之和。
2、声学波与光学波
q0
sin2(qa/2)
(qa/2)2
18
当q0时，波速中无q，即传播速度 与波矢无关，弹性波，类似于声波 A格波为声学波，频率可以到0(实际到无限低)。整体运动。
omin> Amax
o格波为光学波，频率大概在远红外波段。 原子间相对运动，与电磁波耦合。
19
20
声学波： q0
A0
B/A1
对于长声学波，相邻原子的 位移相同，描述的是刚性的 运动，代表原胞质心的运动。
21
光学波：
长光学波， q0
Mu2n mu2n1 0 M m
22
光学波:产生交变的偶极矩， 可以和外界电磁波发生耦合
固体物理--第三章 晶格振动ppt课件
5
2a
2
q2 q1 a
5
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
6
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
子数不守恒。
11
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程：
M n n n1 2n
m n n n1 2 n
试 解：
it naq
Ae n
{ Bei
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
18
2. 声学波（acoustic branch）
n n
M
m
2m
cos
1 2
aqei
12aq
M 2 m2 2Mm cosaq
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
7
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：
3 晶格振动【固体物理】
第三章 晶格振动和晶体的热 学性质
在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动.
实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做微振动
0 K下仍在振动－－ 零点能.
由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,
而是以波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波
yAcos(t0)
yAcos[(tux)0]
晶体可视为一个相互耦合的振 动系统，这种运动就称为晶格振动.
晶格振动是原子的热运动, 对晶体热学性能起主要贡献
比热、热膨胀和热传导等
晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动.
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. --- 简谐近似
先考虑一维情况，再推广到三维情况
3.1 一维单原子链
模型假设
考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格,原子间 距(晶格常量)为a，原子质量为m.
22 2
2
波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
N个独立的格波，
也即 N个不同频率
或者
N个独立的振动模式 (简振模) q
波矢的数目=晶体原胞的数目
3.2 一维双原子链
大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子, 这就是复 式格子.最简单的复式格子为一维双原子链.
（1）运动方程
考虑两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子
2 qa
(与机械波不同)
2
由于原子的不连续性.
m
2
aq
sin
m2
2π/a π/ a
0
π/a
2π / a q
长波近似
q2π0, a
2sinaq2aq aq
m 2 m2 m
频率与波矢为线性关系.
在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动.
实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做微振动
0 K下仍在振动－－ 零点能.
由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,
而是以波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波
yAcos(t0)
yAcos[(tux)0]
晶体可视为一个相互耦合的振 动系统，这种运动就称为晶格振动.
晶格振动是原子的热运动, 对晶体热学性能起主要贡献
比热、热膨胀和热传导等
晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动.
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. --- 简谐近似
先考虑一维情况，再推广到三维情况
3.1 一维单原子链
模型假设
考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格,原子间 距(晶格常量)为a，原子质量为m.
22 2
2
波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
N个独立的格波，
也即 N个不同频率
或者
N个独立的振动模式 (简振模) q
波矢的数目=晶体原胞的数目
3.2 一维双原子链
大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子, 这就是复 式格子.最简单的复式格子为一维双原子链.
（1）运动方程
考虑两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子
2 qa
(与机械波不同)
2
由于原子的不连续性.
m
2
aq
sin
m2
2π/a π/ a
0
π/a
2π / a q
长波近似
q2π0, a
2sinaq2aq aq
m 2 m2 m
频率与波矢为线性关系.
第三章 晶格的振动
2 2 m M sin qa 2 1 (m M ){1 [1 ]} 2 mM ( M m) 2 sin 2 qa M m 2 1 sin qa M m
2）对于光频支 1 •当q=0时， 2 2 {( m M ) [m 2 M 2 2m M ] 2 } mM 2 M m 2 Mm
2 2
1 2
2 max
2 min
2
2
,q 0
光频支
2 2 ( ) m 1 2 2 ( ) M
1
2 ,q m 2a
1max
2 ,q M 2a
声频支
1min 0, q 0
2a
0
2a
q
一维复式晶格的色散关系
4. 结果讨论 1）对于声频支 1 •当q=0时， 12 {( m M ) [m 2 M 2 2m M] 2 } 0
2
1 2
分析：对于一维复式格子，可以存在两种不 同的 格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。 声频支：
2 1
mM
{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
2 2
1 2
光频支：
2 2
Hale Waihona Puke mM{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
mM 其中 为约化质量 mM
•当 q
2a
2 2 时， 2 {( m M ) [ M m]}
mM m
5. 声频支和光频支的振动特点 1）声频支 2 ( 2 m 两种原子的振幅比： 1 ) A 2 cos qaB 0
2）对于光频支 1 •当q=0时， 2 2 {( m M ) [m 2 M 2 2m M ] 2 } mM 2 M m 2 Mm
2 2
1 2
2 max
2 min
2
2
,q 0
光频支
2 2 ( ) m 1 2 2 ( ) M
1
2 ,q m 2a
1max
2 ,q M 2a
声频支
1min 0, q 0
2a
0
2a
q
一维复式晶格的色散关系
4. 结果讨论 1）对于声频支 1 •当q=0时， 12 {( m M ) [m 2 M 2 2m M] 2 } 0
2
1 2
分析：对于一维复式格子，可以存在两种不 同的 格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。 声频支：
2 1
mM
{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
2 2
1 2
光频支：
2 2
Hale Waihona Puke mM{(m M ) [m M 2m M cos(2qa)] }
mM 其中 为约化质量 mM
•当 q
2a
2 2 时， 2 {( m M ) [ M m]}
mM m
5. 声频支和光频支的振动特点 1）声频支 2 ( 2 m 两种原子的振幅比： 1 ) A 2 cos qaB 0
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质3-1 一维晶格的振动一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。
用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。
(2)振动方程和解平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =-)(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ，t 时刻为)()(0r r u r u δ+=)()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332220)(d d 61)(d d 21d d )(000r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=3332220000d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力:⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2332200d d 21d d d d nk r nk r nkx r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。
) 得: nk nk r nkx x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 022d d r r u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β()k n kn x x f --=∑β原子的振动方程: ()k n knx x mx--=∑β..只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：()()11..+-----=n n n n x x x x n m x ββ ()11..2+----=n n n x x x nm x β给出试探解：()naq t i n A x --=ωe ])1([1e aq n t i n A x +--+=ω原子都以同一频率ω，同一振幅A 振动,其中naq 表示第n 个原子在t=0时刻的振动相位，相邻原子间的位相差为aq 。
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第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
每个原子的振动位移画在垂直于原子链的方向(即为横波，
实际晶格振动中同时存在横波和纵波)，图中实线和虚线分
5
第3章 晶格振动理论
3.1.2 长波近似
下面将验证方程(3.1)具有下列“格波”形式的解：
n Aei(tnaq)
(3.2)
考虑一种极限情形，假设晶格常数a相对于波长λ足够小
(λ>>a)，即把晶体视为连续媒质，称之为长波近似。于是可
以把方程(3.1)中的离散量过渡到连续量：
a→Δx
na→x
μn=μ(na，t)→μ(x，t) μn-1=μ(na-a，t)→μ(x-Δx，t) μn+1=μ(na+a，t)→μ(x+Δx，t)
22(1cosqa)4sin2(qa)
m
m2
式(3.5)与n无关，表明方程(3.1)的N个特解的角频率ω与波数
q之间都满足式(3.5)
通常把角频率ω与波数q之间的关系称为色散关系。
9
第3章 晶格振动理论
综上可知，一维单原子链振动时产生格波，格波总数等 于方程(3.1)独立解的个数N，即一维单原子链的自由度。格 波具有与连续媒质中弹性波完全相同的形式，区别在于式 (3.4)所表示的连续波中x可以是空间任意点，而在式(3.2)所 表示的格波中只能取x=na(n=1~N)的格点位置。由此可知， 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，而每一个 原子又都同时参与N个格波的振动。对于一个格波解而言， 不同原子之间存在相位差，相邻原子间相位差为qa。格波与 连续波的一个重要区别就在于波数q的涵义不同，可以注意 到，如果在式(3.2)中把qa改变一个2π的整数倍，则所有原子 的振动实际上完全没有任何不同。这表明qa可以限制在下面 的范围内：
14
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
12
第3章 晶格振动理论
图3.2 格波波数q的不唯一性的图示
13
第3章 晶格振动理论 3.1.4 周期性边界条件
在求解一维单原子链振动问题的过程中，有一个问题不 难发现，即在建立式(3.1)所示的原子运动状态方程时，按照 近邻作用近似，原子链两端原子的受力情况与内部原子是不 同的。尽管只有少数原子的运动方程发生了变化，但却给联 立方程组的求解制造了很大的困难。这就是数理方程中所涉 及到的边界条件的问题。历史上曾针对这一问题提出了多种 边界条件的模型，比如双端原子固定或单端固定等，而玻恩 -卡曼(Born-Von Karman)提出的周期性边界条件更能反映晶
别表示 q π (对应波长λ=4a)和 q 5 π(对应波长 4 a
2a
2a
5
11
第3章 晶格振动理论 的两个波。对于连续波而言，这是两个完全不同的波，然而， 由于晶格的周期性，这两个波反映一维单原子链中原子的振 动情况却是完全相同的，这就是为什么要把波数q的取值限 定在一个周期内，也就是第一布里渊区的原因。
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
(3.4)
这是一个简谐波，其中A为振幅， q = 2 π 为波数，ω为角频
4
第3章 晶格振动理论
经过上面的分析，就可以根据牛顿第二定律直接建立第
n个原子的运动状态方程，即
mdd2t2n fn1 fn1 (n1 n)(n1 n) (n1 n1 2n)
(3.1)
每一个原子对应一个这样的方程，因此式(3.1)实际上代 表着N个联立的线性奇次方程，该方程组应该有N个独立解， 而独立解的个数也称为自由度，即一维单原子链的自由度为 N。同时方程(3.1)还反映了晶格中原子振动的一个共同特点， 即第n个原子的运动状态不仅与μn有关，而且与μn-1和μn+1有 关，这就是晶格原子运动的相关性(耦合)。
m ( i ) 2 A e i ( t n a q ) [ A e i ( t ( n 1 ) a q ) A e i ( t ( n 1 ) a q ) 2 A e i ( t n a q ) ]
m 2 [ e i a q e i a q 2 ] 2 ( c o s q a 1 ) (3.5)
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
每个原子的振动位移画在垂直于原子链的方向(即为横波，
实际晶格振动中同时存在横波和纵波)，图中实线和虚线分
5
第3章 晶格振动理论
3.1.2 长波近似
下面将验证方程(3.1)具有下列“格波”形式的解：
n Aei(tnaq)
(3.2)
考虑一种极限情形，假设晶格常数a相对于波长λ足够小
(λ>>a)，即把晶体视为连续媒质，称之为长波近似。于是可
以把方程(3.1)中的离散量过渡到连续量：
a→Δx
na→x
μn=μ(na，t)→μ(x，t) μn-1=μ(na-a，t)→μ(x-Δx，t) μn+1=μ(na+a，t)→μ(x+Δx，t)
22(1cosqa)4sin2(qa)
m
m2
式(3.5)与n无关，表明方程(3.1)的N个特解的角频率ω与波数
q之间都满足式(3.5)
通常把角频率ω与波数q之间的关系称为色散关系。
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第3章 晶格振动理论
综上可知，一维单原子链振动时产生格波，格波总数等 于方程(3.1)独立解的个数N，即一维单原子链的自由度。格 波具有与连续媒质中弹性波完全相同的形式，区别在于式 (3.4)所表示的连续波中x可以是空间任意点，而在式(3.2)所 表示的格波中只能取x=na(n=1~N)的格点位置。由此可知， 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，而每一个 原子又都同时参与N个格波的振动。对于一个格波解而言， 不同原子之间存在相位差，相邻原子间相位差为qa。格波与 连续波的一个重要区别就在于波数q的涵义不同，可以注意 到，如果在式(3.2)中把qa改变一个2π的整数倍，则所有原子 的振动实际上完全没有任何不同。这表明qa可以限制在下面 的范围内：
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第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
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第3章 晶格振动理论
图3.2 格波波数q的不唯一性的图示
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第3章 晶格振动理论 3.1.4 周期性边界条件
在求解一维单原子链振动问题的过程中，有一个问题不 难发现，即在建立式(3.1)所示的原子运动状态方程时，按照 近邻作用近似，原子链两端原子的受力情况与内部原子是不 同的。尽管只有少数原子的运动方程发生了变化，但却给联 立方程组的求解制造了很大的困难。这就是数理方程中所涉 及到的边界条件的问题。历史上曾针对这一问题提出了多种 边界条件的模型，比如双端原子固定或单端固定等，而玻恩 -卡曼(Born-Von Karman)提出的周期性边界条件更能反映晶
别表示 q π (对应波长λ=4a)和 q 5 π(对应波长 4 a
2a
2a
5
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第3章 晶格振动理论 的两个波。对于连续波而言，这是两个完全不同的波，然而， 由于晶格的周期性，这两个波反映一维单原子链中原子的振 动情况却是完全相同的，这就是为什么要把波数q的取值限 定在一个周期内，也就是第一布里渊区的原因。
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
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第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
(3.4)
这是一个简谐波，其中A为振幅， q = 2 π 为波数，ω为角频
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第3章 晶格振动理论
经过上面的分析，就可以根据牛顿第二定律直接建立第
n个原子的运动状态方程，即
mdd2t2n fn1 fn1 (n1 n)(n1 n) (n1 n1 2n)
(3.1)
每一个原子对应一个这样的方程，因此式(3.1)实际上代 表着N个联立的线性奇次方程，该方程组应该有N个独立解， 而独立解的个数也称为自由度，即一维单原子链的自由度为 N。同时方程(3.1)还反映了晶格中原子振动的一个共同特点， 即第n个原子的运动状态不仅与μn有关，而且与μn-1和μn+1有 关，这就是晶格原子运动的相关性(耦合)。
m ( i ) 2 A e i ( t n a q ) [ A e i ( t ( n 1 ) a q ) A e i ( t ( n 1 ) a q ) 2 A e i ( t n a q ) ]
m 2 [ e i a q e i a q 2 ] 2 ( c o s q a 1 ) (3.5)