课题：1.7 四种命题（2）
教学目的：
1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假
2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；
3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想
教学重点：理解四种命题的关系
教学难点：逆否命题的等价性
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
（初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法）反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
教学过程：
一、复习引入：
四种命题及其形式
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆
否互原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；
否命题：若−p 则−q ； 逆否命题：若−q 则−p.
二、讲解新课：
1．四种命题的相互关系
互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：
2．四种命题的真假关系
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下
三条关系： ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真 3．反证法：
要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非
A ）是错误的，从而断定A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法
4．反证法的步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立
(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
注意：可能出现矛盾四种情况： ①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论
三、范例
例1．判断以下四种命题的真假
原命题：若四边形ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分 真
逆命题：若四边形ABCD 对角线互相平分，则它为平行四边形； 真 否命题：若四边形ABCD 不是为平行四边形，则对角线不平分； 真 逆否命题：若四边形ABCD 对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 归纳小结：（学生回答，教师整理补充）
(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真；
(2)原命题为真，它的否命题不一定为真；
(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真
结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题⇔逆否命题例2．（课本第32页例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；
否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.
练习：课本第32页练习：1，2.
答案：1.(1)正确；(2)正确.
2.(1)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；
否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；
逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.
(2) 逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.
否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.
逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.
a>.
例3．（课本第32页例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么b
证明：假设a不大于b，则或者a ∵a>0，b>0， ∴a ⇒ab a<，b ab<⇒a a>. a=b⇒a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴b 证法二（直接证法）()()b a b a b a -+= -， ∵a>b>0,∴a - b>0即 ()()0>-+b a b a ,∴0>-b a ∴b a > 例4（课本第33页例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于P ，且 AB 、CD 不是直径. 求证：弦AB 、CD 不被P 平分. 分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP 后，可 推出AB 、CD 都与OP 垂直，则出现矛盾. 证明：假设弦AB 、CD 被P 平分，由于P 点一定不是圆心O ，连结OP ，根据垂径定理的推论， 有OP ⊥AB ，OP ⊥CD ，即过点P 有两条直线与OP 都垂直， 这与垂线性质矛盾. ∴弦AB 、CD 不被P 平分. 四、小结：四种命题之间的相互关系和真假关系 反证法的基本原理及其四个步骤 五、练习：课本第33页 练习：1，2. 提示：1.设b2-4ac ≤0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾. 2.设∠B ≥900，则∠C+∠B ≥1800，得出矛盾. 补充题： 1．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假 解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1） 否命题：若 x ≠ y 则 |x| ≠|y| （假，如 x = 1, y = -1） 逆否命题：若 |x| ≠|y| 则 x ≠ y （真） 2．写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假 解：逆命题：若x = 3 且y = 2 则x + y = 5 （真） 否命题：若x + y ≠ 5 则x ≠ 3且y≠2 （真） 逆否命题：若x ≠ 3 或y≠2 则x + y ≠5 （假） 六、作业：课本第33-34页习题1．7中3，4 ，5. 补充题： 1．若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除. 证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除. 七、板书设计（略） 八、课后记： 小故事： 三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？ 答案：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了. 这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被 涂黑了.因此这是一种间接的证明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的. 像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“. 活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。 活动过程： 1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！” 主持人口述谜语： “双手抓不起，一刀劈不开， 煮饭和洗衣，都要请它来。” 主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！” 一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？” 主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。” 甲：如果没有水，我们人类就无法生存。 小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。 花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。 主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》 竹板一敲来说话，水的用处真叫大； 洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚， 煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。 栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸； 鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它； 采煤发电要靠它，京城美化更要它。 主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？ 甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。 乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。 丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。 2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？ （1）（生）：我要节约用水，保护水源。 （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。 （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。 （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。 3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。 （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。 （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。 （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写） （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？ 主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》 大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。” 旁白：“那又是谁家的呢？” 主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？ 甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。 乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。 主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？ 齐：主动关好。 小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？ 主持人：可以。 小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？ 答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。 小记者：请这位同学谈谈好吗？ 答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。 小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！ 水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！ 让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！ 主持人：你们还有发言的吗？ 答：有。 生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。 动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！ 花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！ 水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。 主持人：水伯伯，您这是干什么呢？ 水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！ 主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！ 4.主持人：大家欢迎老师讲话！ 同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。 5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵 活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。 活动过程： 1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！” 主持人口述谜语： “双手抓不起，一刀劈不开， 煮饭和洗衣，都要请它来。” 主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！” 一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？” 主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。” 甲：如果没有水，我们人类就无法生存。 小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。 花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。 主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》 竹板一敲来说话，水的用处真叫大； 洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚， 煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。 栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸； 鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它； 采煤发电要靠它，京城美化更要它。 主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？ 甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。 乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。 丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。 2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？ （1）（生）：我要节约用水，保护水源。 （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一 定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。 （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。 （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。 3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。 （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。 （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。 （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写） （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？ 主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》 大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。” 旁白：“那又是谁家的呢？” 主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？ 命题及其关系辅导教案 学生姓名性别年级学科数学 授课教师上课时间年月日第（）次课 共（）次课 课时：2课时 教学课题人教版选修1-1 第一章命题及其关系同步教案 教学目标知识目标： 1. 理解命题的概念，了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 能力目标：掌握命题之间的相互关系 情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣 教学重点与难点重点：四个命题与充分必要条件的理解与判定难点：充要条件的判定 教学过程 （一）命题 知识梳理 1. 命题的定义： 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。 2. 四种命题： （一）四种命题的形式 原命题：“若，则”； 逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。 （二）四种命题之间的关系 （三）四种命题之间的真假关系表 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 例题精讲 【题型一、命题的定义】 【例1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假. (1) ； (2) 时, ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证：是无理数. 【方法技巧】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行。 【题型二、命题的四种形式】 【例2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)在中，若,则； (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； (3)当时，若, 则. 【方法技巧】①一般地，先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再写出其他命题形式；某些命题存在大前提，写其它命题时应注意保留. ②互为逆否命题的两个命题是等价的，同为真或同为假，因此在判定真假时，只需判定二者中的一个． 课题：1.7 四种命题（2） 教学目的： 1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假 2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题； 3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：理解四种命题的关系 教学难点：逆否命题的等价性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的． （初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法）反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法 教学过程： 一、复习引入： 四种命题及其形式 原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆 否互原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若−p 则−q ； 逆否命题：若−q 则−p. 二、讲解新课： 1．四种命题的相互关系 互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示： 2．四种命题的真假关系 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下 三条关系： ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真 3．反证法： 要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非 A ）是错误的，从而断定A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法 4．反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 注意：可能出现矛盾四种情况： ①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论 三、范例 例1．判断以下四种命题的真假 原命题：若四边形ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分 真 逆命题：若四边形ABCD 对角线互相平分，则它为平行四边形； 真 否命题：若四边形ABCD 不是为平行四边形，则对角线不平分； 真 逆否命题：若四边形ABCD 对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 归纳小结：（学生回答，教师整理补充） 课题：1.8 充分条件与必要条件（二） 教学目的： 1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断； 2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础. 教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断 教学难点：充分性与必要性的推导顺序 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 这一节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的有关知识．重点是充要条件．关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜． 教学过程： 一、复习引入： ⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？ 若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： ⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2； ⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x2+y2=0. 解：⑴∵x>2⇒x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵∵x>1x>2，但x>2⇒x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件. ⑶∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p 也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件. ⑷∵x=0，y=0⇒x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0⇒x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件. ⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念. 二、讲解新课： ⒈什么是充要条件？ 第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行 动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识 结构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列），高二下期（选修系列），高三年级：复习资料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块） 能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注 3.1.1 第2课时 函数的概念(二) 基 础 练 巩固新知 夯实基础 1.下列函数与函数y ＝x 是同一函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3t 3 C ．y ＝x 2 D ．y ＝v 2v 2. (多选)下列函数，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x ＋1(x >－1) B ．y ＝x 2 C ．y ＝1x (x >0) D ．y ＝1x ＋1 3.函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A.{－1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y |－1≤y ≤3} D.{y |0≤y ≤3} 4.函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1] 5.已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (2)＋f (－2)的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 6.下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2x D ．f (x )＝x 2－9x －3 ，g (x )＝x ＋3 7．函数y ＝1x －2 的定义域是A ，函数y ＝x 2＋2x －3的值域是B ，则A ∩B ＝__________________(用区间表示)． 8.求下列函数值域。 (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝5x －14x ＋2 ； (3)f (x )＝4－x ＋x －2. 能 力 练 综合应用 核心素养 9.函数y ＝5x ＋4x －1 的值域是( ) A ．(－∞，5) B ．(5，＋∞) C ．(－∞，5)∪(5，＋∞) D ．(－∞，1)∪(1，＋∞) 10.下列各组函数中是同一函数的是( ) A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1 B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1 C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0) D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2 11.函数f (x )＝x 2＋1(0 四种命题之间的相互关系及真假判断 ●教学目标 (一)教学知识点 1.四种命题之间的相互关系． 2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系. 3.互为逆否命题的等价性. (二)能力训练要求 1.理解四种命题之间的相互关系. 2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系. 3.理解和掌握互为逆否命题的等价性. 4.培养学生的逻辑推理能力. (三)德育渗透目标 1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具． 2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力． ●教学重点 1.四种命题之间的关系. 2.四种命题的真假判断方法. 3.互为逆否命题的等价性. ●教学难点 1.理解四种命题间的关系. 2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用． ●教学方法 讲、议、练结合教学法. 在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点． ●教具准备 多媒体课件或投影片3张 第一张：(记作§1．7．2 A) 第二张：(记作§1．7．2 B) 原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 第三张：(记作§1．7．2 C) ［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假． ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题? ［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则 ┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．” ［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断． Ⅱ.讲授新课 §1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断 1.四种命题之间的相互关系： (师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题) ［师］请同学们讨论后回答下列问题： (1)哪些之间是互逆关系? (2)哪些之间是互否关系? (3)哪些之间是互为逆否关系? ［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系． 原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系． 原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系． (在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．) ［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书) 2.四种命题的真假之间的关系： ［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B) 原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题． ［师］原命题与逆命题的真假关系如何? 生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假． 生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真. ［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢? ［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题. ［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何? ［生］原命题为真，它的否命题不一定为真. ［师］正确.它的逆否命题呢? ［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题． ［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何? (由学生充分讨论，例证后回答) ［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真． ［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何? ［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命 题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真． ［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书) ［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真. 3.1.2 第2课时 分段函数 【学习目标】 分段函数 1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的 的函数． 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画． 【小试牛刀】 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( ) (2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >2， 是分段函数．( ) (3)分段函数的图象不一定是连续的．( ) (4)y ＝|x －1|与y ＝⎩⎨⎧ x －1，x ≥1，1－x ，x <1，是同一函数．( ) 【经典例题】 题型一 分段函数求值 点拨：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． （2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． （3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。 例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x ，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1. (1)求f (f (f (－2)))的值；(2)若f (a )＝32，求a . 【跟踪训练】1 已知f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1. (1)画出f (x )的图象； (2)若f (x )≥14，求x 的取值范围； (3)求f (x )的值域． 题型二 分段函数的应用 例2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【跟踪训练】2自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收 益(单位：元)满足分段函数h (x )，其中h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，0 课 题：1.2子集 全集 补集（1） 教学目的： （1）使学生了解集合的包含、相等关系的意义； （2）使学生理解子集、真子集（， （3）使学生理解补集的概念； （4）使学生了解全集的意义 教学重点：子集、补集的概念 教学难点：弄清元素与子集、属于与包含的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析 在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系 本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别 教学过程： 一、复习引入： （1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图 （2）用列举法表示下列集合： ①}022|{23=+--x x x x {-1，1，2} ②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50} （3）用描述法表示集合：}51,41,31,21,1{ }5,1|{*≤∈=n N n n x x 且 （4）集合中元素的特性是什么？ （5）用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的 集合”}3|2||{=-∈x Z x {-1，5} 问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性） （1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5} （2）A=N ，B=Q （3）A={-2，4}，}082|{2 =--=x x x B 课 题：含有绝对值的不等式（1） 教学目的： 1．理解含有绝对值的不等式的性质； 2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识； 3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质； 4．认识不等式证法的多样性、灵活性 教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用 教学难点：对性质的理解、常见证明技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题 我们知道，当a ＞0时， |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a , |x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a 根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质 二、讲解新课： 定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤- 证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭ ⎬⎫≤≤-≤≤- ||||||b a b a +≤+⇒ ① 又∵a =a +b -b |-b |=|b | 由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ② 综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤- 注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤- 2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=” 推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤- 证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤-- 即 ||||||||||b a b a b a +≤-≤- 三、讲解范例： 例1 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9 ε, 求证 |x +2y －3z |＜ε 证明：|x +2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z | ∵|x |＜ 3ε，|y |＜6ε,|z |＜9 ε, ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε 说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备 例2 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证|||||||| a d d c c b b a +++≥4证明：∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>a d a c c b b a ∴,||2||2||||2||||c a c b b a c b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||a c a d d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又 2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+a c c a a c c a a c c a ③ 由①，②，③式，得 4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++a c c a a c c a a d d c c b b a 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式 第二十五教时 教材：简易逻辑、四种命题、反证法、充要条件；《教学与测试》11、12、13课 目的：复习上述教学内容，要求学生对有关知识的掌握更加牢固，理解更加深刻。 过程： 一、复习： 1、简易逻辑：(1) 命题的概念—能判断真假 (2) 逻辑联结词及复合命题：“或”、“且”、“非” (3) 复合命题的真假—真值表，简单复合命题的否定 2、四种命题：(1) 四种命题—原命题、逆命题、否命题、逆否命题 (2) 四种命题的关系：互逆、互否、互为逆否及其真假 3、反证法：步骤及如何导出“矛盾” 4、充要条件：(1)有关意义：充分条件，必要条件，充要条件—强调利用推断符号 (2) 充要条件与四种命题的关系 二、处理《教学与测试》第11课 P21-22 口答为主 例一：主要强调“命题”的意义 例二：首先要写出三种简单复合形式，然后判断其真假。 例三：注意训练将常用的命题“改写”成三种不同形式以利解题 三、处理《教学与测试》第12课 P23-24 例一：注意命题的否定形式，尤其是简单复合命题的否定形式。 例二：强调由原命题写出其他三种命题。 例三：突出反证法的步骤及注意事项。 四、处理《教学与测试》第13课 P25-26 例一：要能利用推断符号判断充分条件，必要条件和充要条件。 例二：突出三个（或以上）命题的充要条件的判断方法。 例三：体现充要条件的应用。 五、作业：上述三课中余下部分（其中相当的部分可做在书上） 第（1）课时 课题：书法---写字基本知识 课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。2、了解我国书法发展的历史。3、掌握基本笔画的书写特点。 重点：基本笔画的书写。 难点：运笔的技法。 教学过程： 一、了解书法的发展史及字体的分类： 1、介绍我国书法的发展的历史。 2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。 二、讲解书写的基本知识和要求： 1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正） 2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。 三、基本笔画书写 1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。 2、教师边书写边讲解。 3、学生练习，教师指导。（姿势正确） 4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。 5、学生练习，教师指导。（发现问题及时指正） 四、作业：完成一张基本笔画的练习。 板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸 我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。 课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训 鼎尖教案数学必修一pdf 【篇一：【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：4.10正切函数的图象和性质(第一课时)】 ●课题 4.10.1 正切函数的图象和性质(一) ●教学目标 (一)知识目标 1.正切函数的图象； 2.正切函数的性质. (二)能力目标 1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象； 2.理解正切函数的性质. (三)德育目标 1.用数形结合的思想理解和处理有关问题； 2.发现数学规律； 3.提高数学素质，培养实践第一观点. ●教学重点 正切函数的图象和性质 ●教学难点 正切函数的性质的简单应用 ●教学方法 引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题.(启发引导式) ●教具准备 幻灯片一张 内容：课本p69图4-27，4.10.1 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质? Ⅱ.讲授新课 ［师］为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线. 现在利用正切线画出函数 ［师］引导学生完成. ［生］在教师指导下完成. ［师］打出幻灯片4.10.1，让学生对照 然后说明可将所得图象向左、右平移，即可得到y＝tanx，x∈r且x≠ 的图象，叫做正切曲线. ［师］引导学生观察得出正切曲线的特征： ［师］现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质. (师生共同完成以下活动) (2)值域：r (4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx ∴正切函数是奇函数 ∴正切曲线关于原点o对称 注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数 下面，来看性质的简单应用. ［例1］求函数y＝tan2x的定义域. 4，(k∈z) ∴y＝tan2x的定义域为： 4，k∈z｝ ［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0 2 2)(k∈z) Ⅲ.课堂练习 ［生］(板演练习)课本p71 2.(3)、3、6 2.(3)tanx＜0的x的取值范围为： 3.y＝tan3x的定义域为｛x｜x≠ 6.tan(－ 5＝－tan ∴tan(－13 Ⅳ.课时小结 ［师］通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解决一些较简单问题. Ⅴ.课后作业 (一)课本p72，习题4.10 1、4、5 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否 定 最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 知识点一命题 1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p. (2)四种命题间的关系 知识点二全称量词和全称量词命题 状元随笔全称量词命题与存在量词命题的区别 (1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 知识点四全称量词命题和存在量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)． 2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)． 状元随笔全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． [基础自测] 1．下列命题中全称量词命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②所有的素数都是奇数； ③有的正方形不是菱形； ④三角形的内角和是180°. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题． 答案：D 2．下列命题中存在量词命题的个数是( ) ①至少有一个偶数是质数； ②∃x∈R，x2≤0； ③有的奇数能被2整除． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题； ②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题； ③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题． 答案：D 3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( ) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 第一章 1.1 1.1.2 集合间的基本关系 课时分层训练 ‖层级一‖|学业水平达标| 1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则下列关系中正确的是( ) A ．A ∈A B ．0A C ．{0}∈A D ．∅ A 解析：选D “∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A 、C 错误；“ ” 用来表示集合与集合之间的关系，故B 错误；而∅是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集，故D 正确． 2．已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( ) 解析：选C 因为N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，M ＝{－1，0,1}，所以N M . 3．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( ) A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．15个 解析：选B 依题意a ∈M ，且M {a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ， 且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个). 4．集合 M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪ ⎪⎪ x ＝k 2＋1 4，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫x ⎪ ⎪⎪ x ＝k 4＋1 2，k ∈Z ，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M 与N 没有相同元素 解析：选C 因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝1 4(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以M N .选C. 5．设A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ＞a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≥3} B ．{a |a ≤－1} C ．{a |a ＞3} D ．{a |a ＜－1} 解析：选B 集合A ，B 在数轴上表示如图所示，由A B 可求得a ≤－1， 注意端点能否取到是正确求解的关键． 6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________． 解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P . 答案：M ＝P 7．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a ＝________. 解析：由集合A 的子集有且仅有两个知A 中只有一个元素，若a －1＝0，则 A ＝⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 23，符合题意；若 a －1≠0，由题意得 ⎩⎨⎧ a －1≠0，Δ＝32 －4×(－2)×(a －1)＝0， 得a ＝－18.∴a 的值为1或－1 8. 答案：1或－1 8 8．已知集合A ＝{－2,3,4m －4}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：依题意可得m 2＝4m －4，即(m －2)2＝0，∴m ＝2. 当m ＝2时，A ＝{－2,3,4}，B ＝{3,4}， 2.1 等式性质与不等式性质 第2课时 等式性质与不等式性质 【学习目标】 一．等式的基本性质 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c . 二．不等式的性质 思考2：若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？ 【小试牛刀】 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＝b 是a c ＝b c 成立的充要条件．( ) (2) a >b ⇒ ac 2>bc 2．( ) (3)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( ) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (5)设a ，b ⇒R ，且a >b ，则a 3>b 3.( ) 【经典例题】 题型一 利用不等式的性质证明简单的不等式 点拨：利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 例1 若a >b >0，c <0，求证：b c a c 。 【跟踪训练】1 已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac 点拨：利用不等式的性质求取值范围的策略 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围. 例2 已知1 第2课时 分段函数及映射 1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、难点) 2．了解映射的概念．(易混点) [基础·初探] 教材整理1 分段函数 阅读教材P 21例5、例6～P 22第一段，完成下列问题． 如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2x ＋3，x<－1， x2，－1≤x≤1， x ，x>1， 则f (f (f (－2)))＝________. 【解析】 因为－2<－1，所以f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，又－1≤－1≤1，所以f (f (－2))＝f (－1)＝(－1)2＝1，又因为－1≤1≤1，所以f (f (f (－2)))＝f (1)＝12＝1. 【答案】 1 教材整理2 映射 阅读教材P 22第二段～P 23“思考”，完成下列问题． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数都是映射，映射不一定都是函数．( ) (2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应．( ) (3)从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射．( ) 【解析】(1)√.当映射中的集合是数集时，该映射就是函数，否则不是函数． (2)×.映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”． (3)×.从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射． 【答案】(1)√(2)×(3)× [小组合作型] (1) ①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x； ②A＝R，B＝R，f：x→1 x； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2； ④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．其中是A到B的映射的是( ) A．①③B．②④ 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 1．若命题(]0:,1p x ∃∈-∞，200x <，则p ⌝为（ ） A ．(],1x ∀∉-∞，20x ≥ B ．(]0,1x ∃∉-∞，200x ≥ C ．(],1x ∀∈-∞，20x ≥ D ．(]0,1x ∃∈-∞，200x > 2．命题:p “()(),0x R f x g x ∃∈≠”，则p ⌝是 （ ） A ．(),0x R f x ∀∈=且()0g x = B ．()(),0x R f x g x ∀∈= C ．()00,0x R f x ∃∈=且()00g x = D ．()()000,0x R f x g x ∃∈= 3．命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+的否定是（ ） A ．0x R ∃∈，20010x x -+> B ．x R ∀∈，210x x -+ C ．x R ∀∈，210x x -+> D ．0x R ∃∈，20010x x -+< 4．已知命题p ：∀x ∈R +，ln x ＞0，那么命题p ⌝为（ ） A ．∃x ∈R +，ln x ≤0 B ．∀x ∈R +，ln x ＜0 C ．∃x ∈R +，ln x ＜0 D ．∀x ∈R +，ln x ≤0 5．设命题:,1p x Q x Q ∀∉+∉，则p ⌝为（ ） A ．00,1x Q x Q ∃∉+∈ B ．,1x Q x Q ∀∈+∈ C ．,1x Q x Q ∀∉+∈ D ．00,1x Q x Q ∃∈+∈ 6．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210x x -+< B ．x R ∀∈，210x x -+≤ （新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总 （附答案） 目录 第一章集合与常用逻辑用语. 1.1 集合的概念 1.2 集合间的基本关系 1.3集合的基本运算 1.4 充分条件与必要条件 1.5全称量词与存在量 小结 复习参考题1 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 练习 1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由: (1)与定点A，B等距离的点; 【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性. (2)高中学生中的游泳能手. 【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定. 2.用符号“∈”或“∉”填空: 0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R. 【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断. 0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R 故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈ 3.用适当的方法表示下列集合: (1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合; 【答案解析】：{-3, 3}. (2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合; 【答案解析】： {(1, 4)}. (3)不等式4x- 5<3的解集. 【答案解析】：{x | x<2}. 习题1.1 一、复习巩固 1.用符号“∈”或“∉”填空: (1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则 中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A; 【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则: 中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A. (2)若A={x|x²=x},则-1____A; 【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A. (3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B; 【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C. 【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C. 2.用列举法表示下列集合: (1)大于1且小于6的整数; 【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}. (2) A={x|(x-1)(x +2)=0}; 【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}. (3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}. 【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1人教版高中数学选修1-1第一章命题及其关系 同步教案
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