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时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理*张毅†(苏州科技大学土木工程学院, 苏州 215011)(2021 年2 月25日收到; 2021 年9 月9日收到修改稿)研究并证明时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理. 首先, 建立任意时间尺度上Pfaff-Birkhoff原理和广义Pfaff-Birkhoff原理, 由此导出时间尺度上非迁移Birkhoff系统(包括自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统)的动力学方程. 其次, 基于非迁移Birkhoff方程中的动力学函数经历变换后仍满足原方程的不变性, 给出了时间尺度上Mei对称性的定义, 导出了相应的判据方程. 再次, 建立并证明了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理, 得到了时间尺度上Birkhoff系统的Mei守恒量.并通过3个算例说明了结果的应用.关键词：Birkhoff系统, Mei对称性定理, 时间尺度, 非迁移变分学PACS：45.20.Jj, 11.30.Na, 02.30.Xx DOI: 10.7498/aps.70.202103721 引 言Birkhoff力学起源于Birkhoff[1]的著作《动力系统》. Santilli[2]首次提出Birkhoff力学一词, 并详细地讨论了Birkhoff方程的构造、变换理论及其对强子物理的应用. 梅凤翔等[3]和Galiullin等[4]从各自角度分别独立地研究了Birkhoff系统动力学, 他们的研究各具特色且更侧重于分析力学. 文献[5]构建了广义Birkhoff系统动力学. 梅凤翔先生[6]指出Birkhoff力学是分析力学发展的第4个阶段. 近年来, Birkhoff力学在对称性理论[7−13]、几何动力学[14,15]、全局分析与稳定性[16,17]、数值计算[18−22]等研究方向上都取得了重要进展.时间尺度, 即实数集的任意非空闭子集, 最早是由Hilger博士[23]引进的. 由于实数集和整数集本身就是一类特殊的时间尺度, 因而在时间尺度上不仅可以统一地处理连续系统和离散系统, 而且可以处理既有连续又有离散的复杂动力学过程. 近20年来, 时间尺度分析理论不仅在理论上不断完善[24−26], 其应用领域也在不断拓广[27−34]. 文献[35]最早提出并研究了时间尺度上基于delta导数的自由Birkhoff系统动力学及其Noether对称性. 文献[36]利用对偶原理将文献[35]的结果拓展到nabla导数情形. 文献[37]给出了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Noether定理. 但是, 这些研究尚限于: 1)自由Birkhoff系统; 2) Noether对称性;3)守恒量是Noether型的. 文献[38, 39]初步研究了时间尺度上Birkhoff系统的Lie对称性和Mei 对称性, 但是其守恒量的证明基于第二Euler-La-grange方程, 而数值计算表明该方程并不成立[34].此外, 根据Bourdin[33]的研究, 在离散层面非迁移情形的结果是保变分结构及其相关性质的, 尽管迄今时间尺度上非迁移变分问题研究还很少. 本文研* 国家自然科学基金(批准号: 11972241, 11572212)和江苏省自然科学基金(批准号: BK20191454)资助的课题.† 通信作者. E-mail: zhy@© 2021 中国物理学会 Chinese Physical Society 究时间尺度上非迁移Birkhoff 系统的Mei 对称性,包括自由Birkhoff 系统、广义Birkhoff 系统和约束Birkhoff 系统, 建立并证明上述3类Birkhoff 系统的Mei 对称性定理, 给出时间尺度上新型守恒量, 称之为Mei 守恒量.2 时间尺度上非迁移Birkhoff 方程关于时间尺度上微积分及其基本性质, 读者可参阅文献[24, 25].2.1 Pfaff-Birkhoff 原理及其推广在时间尺度上, 非迁移Pfaff 作用量为R β:T ×R 2n →R B :T ×R 2n →R a ∆βa βC 1,∆rd(T )β,γ=1,2,···,2n a γσρ其中 是时间尺度上Birkhoff 函数组, 是时间尺度上Birkhoff 函数, 是Birkhoff 变量 对时间的delta 导数. 设所有函数都是 函数. .非迁移是指作用量(1)中的变量 没有经过前跳算子 或后跳算子 的作用而发生跃迁[33].等时变分原理且满足端点条件以及互易关系原理(2)称为时间尺度上非迁移Pfaff-Birkhoff 原理.等时变分原理(2)可推广为Φβ=Φβ(t,a γ)式中 表示附加项[5]. 原理(5)式可称为时间尺度上非迁移广义Pfaff-Birkhoff 原理.2.2 自由Birkhoff 系统由原理(2), 容易导出σ(t )δa ∆β其中 是前跳算子. 考虑到 的独立性,由时间尺度上Dubois-Reymond 引理[24], 得到C β其中 为常数. 因此有方程(8)为时间尺度上非迁移Birkhoff 方程.2.3 广义Birkhoff 系统由原理(5), 可导出类似于方程(8), 有方程(10)可称为时间尺度上非迁移广义Birkhoff-方程.2.4 约束Birkhoff 系统约束方程为将(11)式取变分, 得由(6)式和(12)式, 容易导出λj =λj (t,a β)λj 其中 为约束乘子. 假设约束(11)式相互独立, 则由(11)式和(13)式可解出 . 于是方程(13)可写成P β=λj∂f j∂a β其中 . 方程(14)可视作与约束Birk-hoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统.只要初始条件满足约束方程(11), 那么方程(14)的解就给出约束Birkhoff 系统的运动.3 Mei 对称性3.1 自由Birkhoff 系统引进无限小变换t →ϑ(t )=t +υξ0+o (υ)C 1,∆rd υ∈R ϑ(t )¯T¯σ¯∆其中映射 是1个严格递增 函数, 是无限小参数, 是一个新的时间尺度 , 前跳算子为 , delta 导数为 .B R β¯B ¯Rβ在变换(15)下, 动力学函数 和 变换为 和 , 有υ=0将(16)式在 处Taylor 级数展开, 得到Y (0)=ξ0∂/∂t +ξβ∂/∂a β其中 .定义1 对于时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8), 如果成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据1 如果变换(15)满足如下判据方程:则变换相应于时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8)的Mei 对称性.3.2 广义Birkhoff 系统B R βΦβ¯B¯R β¯Φβ设时间尺度上动力学函数 , 和 经历变换(15)后, 成为 , 和 , 有于是有下述定义2和判据2.定义2 对于时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10), 如果成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据2 如果变换(15)满足如下判据方程:则变换相应于时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10)的Mei 对称性.3.3 约束Birkhoff 系统B R βP βf j ¯B ¯R β¯P β¯f j 设时间尺度上动力学函数 , 和 , 以及约束 经历变换(15)后, 成为 , , 和 , 有于是有下述定义3和判据3.定义3 对于时间尺度上与约束Birkhoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统(14), 如果成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据3 如果变换(15)满足如下判据方程:则变换相应于时间尺度上相应自由Birkhoff 系统(14)的Mei 对称性.定义4 对于时间尺度上约束Birkhoff 系统(13)和(11), 如果方程(24)以及如下方程成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据4 如果变换(15)满足判据方程(25)和如下限制方程:则变换相应于时间尺度上约束Birkhoff 系统(13)和(11)的Mei 对称性.4 Mei 对称性定理4.1 自由Birkhoff 系统定理1 假设变换(15)满足判据方程(19), 则时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8)存在新型守恒量G M 其中 是规范函数, 满足因此, (28)式是系统的守恒量. 证毕.定理1可称为时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8)的Mei 对称性定理, (28)式称为Mei 守恒量.4.2 广义Birkhoff 系统定理2 假设变换(15)满足判据方程(22), 则时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10)存在新型守恒量G M 其中 是规范函数, 满足证明∇∇tI M =0将方程(22)和方程(33)代入(34)式, 得到, 于是(32)式是系统的守恒量.定理2可称为时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10)的Mei 对称性定理, (32)式称为Mei 守恒量. 证毕.4.3 约束Birkhoff 系统定理3 假设变换(15)满足判据方程(25), 则时间尺度上与约束Birkhoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统(14)存在新型守恒量G M 其中 是规范函数, 满足G M 定理4 假设变换(15)满足判据方程(25)和限制条件(27)式, 则时间尺度上约束Birkhoff 系统(13)和(11)存在新型守恒量(35), 其中规范函数 满足方程(36).定理3为时间尺度上与约束Birkhoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统(14)的Mei 对称性定理.定理4为时间尺度上非迁移约束Birkhoff 系统的Mei 对称性定理, (35)式是Mei 守恒量.5 算 例例1 研究时间尺度上Birkhoff 系统, 设Birk -hoff 函数和Birkhoff 函数组为试研究该系统的Mei 对称性与守恒量.由方程(8)得到T =R 如取 , 则方程(38)成为这是著名的Hojman-Urrutia 问题[3,4]. 该问题本质上不是自伴随的, 因此没有Lagrange 结构或Hami-lton 结构.下面来计算Mei 对称性. 经计算, 有取生成函数为则生成函数(41)满足判据方程(19), 因此它相应于系统的Mei 对称性. 将(41)式代入方程(29), 可解得由定理1, 系统有Mei 守恒量, 形如(44)式表明, 对于任意的时间尺度, (44)式都是Birkhoff 系统(37)的守恒量. 如取生成函数为那么生成函数(45)也是Mei 对称的, 由方程(29)得由定理1, 得到Mei 守恒量T =R σ(t )=t 对于守恒量(47), 如果系统是通常的Birkhoff 系统, 即取 , 则 , 从而(47)式给出T =h Z h>0σ(t )=t +h 这是通常意义下Hojman-Urrutia 问题的守恒量[3].如果是离散情形, 即取 , 这里 , 则 , 从而(47)式成为h 这是步长为 的离散版本的Mei 守恒量.例2 研究时间尺度上广义Birkhoff 系统的Mei 对称性与守恒量.广义Birkhoff 方程(10)给出计算Mei 对称性, 由于将(52)式代入判据方程(22), 有解(53)式和(54)式相应于系统的Mei 对称性. 将(53)式代入方程(33), 解得由定理2, 系统有Mei 守恒量, 形如G M =−2t 同理, 相应于生成函数(54), , 由定理2得(56)式和(57)式是由Mei 对称性(53)和(54)导致的Mei 守恒量.例3 研究时间尺度上约束Birkhoff 系统约束为g φ试研究其Mei 对称性与守恒量,其中 和 是常数.方程(13)给出由方程(59)和方程(60),解得因此有做计算取生成函数为则µ(t )=σ(t )−t ν(t )=t −ρ(t )其中 为向前互差函数, 为向后互差函数. 由判据4, 生成函数(64)相应于系统的Mei 对称性. 将(65)式代入方程(36),解得由定理4, 系统有Mei 守恒量, 形如6 讨 论T =R σ(t )=t µ(t )=0如果取时间尺度 , 则前跳算子 ,互差函数 , 因此上述结果退化为通常意义下Birkhoff 系统、广义Birkhoff 系统和约束Birkh-off 系统连续版本的变分原理、Birkhoff 方程和Mei 对称性定理.T =R 例如, 对于自由Birkhoff 系统, 当取 时,原理(2)成为方程(8)成为由判据方程(19)容易得到于是, 定理1退化为下述推论1.推论1 假设变换(15)满足判据方程(19),则自由Birkhoff 系统(69)的Mei 对称性导致如下G M 其中 是规范函数, 满足推论1是通常意义下自由Birkhoff 系统连续版本的Mei 对称性与守恒量定理[7]. 而方程(68)、方程(69)和方程(71)就是通常意义下自由Birk-hoff 系统连续版本的Pfaff-Birkhoff 原理、Birk-hoff 方程和Mei 守恒量.T =h Z h >0σ(t )=t +h µ(t )=h 如果取时间尺度 , 常数 , 则前跳算子 , 互差函数 . 此时, 原理(2)成为方程(8)成为则定理1退化为下述推论2.推论2 假设变换(15)满足判据方程(19), 则自由Birkhoff 系统(74)的Mei 对称性导致如下形式的守恒量:G M 其中 是规范函数, 满足h 推论2是通常意义下自由Birkhoff 系统离散版本的Mei 对称性与守恒量定理. 而方程(73)—(75)就是通常意义下自由Birkhoff 系统离散版本步长为 的Pfaff-Birkhoff 原理、Birkhoff 方程和Mei 守恒量.7 结 论对称性和守恒量一直是分析力学研究的一个重要方面. 经典的对称性主要有Noether 对称性和Lie对称性. Mei对称性是本质上不同于前两种对称性的一种不变性, 它可以导致Mei守恒量. Mei守恒量不同于Noether守恒量, 是一种新的守恒量. 本文提出并研究了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理.一是提出了时间尺度上非迁移Pfaff-Birkhoff 原理和广义Pfaff-Birkhoff原理, 导出了时间尺度上Birkhoff系统, 包括自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的动力学方程.主要结果是原理(2)和(5), Birkhoff方程(8), (10)和(13).二是定义了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性, 并导出了它的判据方程. 主要结果是4个定义和4个判据.三是提出并证明了时间尺度上非迁移Birkhoff 系统、非迁移广义Birkhoff系统和非迁移约束Birkhoff系统的Mei对称性定理. 主要结果是4个定理, Mei守恒量(28), (32)和(35).T=R T=h Z当取时间尺度和时, 文中定理给出通常意义下自由Birkhoff系统、广义Birkhoff 系统和约束Birkhoff系统的连续版本和离散版本的Mei对称性与守恒量定理. 由于除了实数集和整数集以外, 时间尺度还可以有很多选择, 因此时间尺度上Birkhoff系统的Mei对称性定理具有一般性.参考文献B irkhoff G D 1927 Dynamical Systems (Providence: AMSCollege Publ. ) pp59–96[1]S antilli R M 1983 Foundations of Theoretical Mechani cs II (New York: Springer-Verlag) pp1–280[2]M ei F X, Shi R C, Zhang Y F, Wu H B 1996 Dynamics of Birkhoffian System (Beijing: Beijing Institute of Technology Press) pp1–228[3]G aliullin A S, Gafarov G G, Malaishka R P, Khwan A M1997 Analytical Dynamics of Helmholtz, Birkhoff and Nambu Systems (Moscow: UFN) pp118–226[4]M ei F X 2013 Dynamics of Generalized Birkhoffian Systems (Beijing: Science Press) pp1–206[5]M ei F X, Wu H B, Li Y M, Chen X W 2016 J. 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Numer.Simul. 75 251[39]Mei’s symmetry theorems for non-migrated Birkhoffiansystems on a time scale*Zhang Yi †(College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)( Received 25 February 2021; revised manuscript received 9 September 2021 )AbstractThe Mei symmetry and its corresponding conserved quantities for non-migrated Birkhoffian systems on a time scale are proposed and studied. Firstly, the dynamic equations of non-migrated Birkhoffian systems (including free Birkhoffian systems, generalized Birkhoffian systems and constrained Birkhoffian systems) on a time scale are derived based on the time-scale Pfaff-Birkhoff principle and time-scale generalized Birkhoff principle. Secondly, based on the fact that the dynamical functions in the non-migrated Birkhoff’s equations still satisfy the original equations after they have been transformed, the definitions of Mei symmetry on an arbitrary time scale are given, and the corresponding criterion equations are derived. Thirdly, Mei’s symmetry theorems for non-migrated Birkhoffian systems on a time scales are established and proved, and Mei conserved quantities of Birkhoffian systems on a time scale are obtained. The results are illustrated by three examples.Keywords: Birkhoffian system, Mei’s symmetry theorem, time scale, non-migrated variational calculus PACS: 45.20.Jj, 11.30.Na, 02.30.Xx DOI: 10.7498/aps.70.20210372* Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11972241, 11572212) and the Natural Science Foundation of Jiangsu Province, China (Grant No. BK20191454).† Corresponding author. E-mail: zhy@。
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
心血瘀阻型胸痹患者同步12导联心电图信号的Lyapunov指数谱分析目的：探讨心血瘀阻型胸痹患者同步12导联心电图信号的Lyapunov指数谱。
方法：选取本院2012年10月-2014年10月西医诊断冠心病且中医辨证为心血瘀阻型胸痹患者150例为观察组，同期选取80例健康体检者作为对照组，比较两组同步12导联心电图信号的Lyapunov指数谱差异。
结果：两组年龄、吸烟史、体重质量指数（IBM）、血压、甘油三酯（TG）、低密度脂蛋白胆固醇（LDL-C）水平比较，差异均无统计学意义（P>0.05），具有可比性。
观察组同步12导联（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、aVR、aVL、aVF、V1、V2、V3、V4、V5和V6）心电图信号的最大Lyapunov指数分别为（0.0201±0.0037）、（0.0193±0.0036）、（0.0282±0.0057）、（0.0276±0.0057）、（0.0297±0.0065）、（0.0270±0.0059）、（0.0273±0.0066）、（0.0290±0.0065）、（0.0279±0.0068）、（0.0277±0.0062）、（0.0274±0.0061）和（0.0285±0.0092），均明显低于对照组（0.0649±0.0092）、（0.0621±0.0088）、（0.0866±0.0010）、（0.0880±0.0094）、（0.0797±0.0087）、（0.0801±0.0087）、（0.0826±0.0095）、（0.0806±0.0105）、（0.0769±0.0099）、（0.0864±0.0089）、（0.0811±0.0087）和（0.0764±0.0065），比较差异具有统计学意义（P＜0.05）。
旋翼飞行器飞行动力学系统辨识建模算法宋彦国;孙涛【摘要】描述了旋翼飞行器飞行力学模型的系统辨识建模算法,从旋翼飞行器飞行动力学建模的共性问题入手,首先采用机理建模的方法分析了旋翼飞行嚣主要气动部件所受气动力.考虑旋翼挥舞运动对旋翼飞行器飞行动力学特性的影响,建立了旋翼飞行器的飞行力学系统辨识参数化模型集.其次以子空间方法辨识初始飞行动力学模型,采用加权频域预报误差法获得最优模型的两步辨识方法解决旋翼飞行器这一非线性不稳定,多输入-多输出系统辨识问题,且所辨识模型与机理模型具有相同的结构.最后对样例直升机的悬停飞行状态模型辨识进行了数值与试飞试验验证,表明了方法的有效性.%Based on common characteristics of rotorcraft flight mechanics modeling, theories and algorithm of model identification are studied. Firstly, by using mechanism modeling method and considering blades flapping, the parameter identification model group is established. Secondly, in order to solve multi input and output system identification problems, a two step identification method is proposed. It identifies the initial model by subspace identification method and then the optimized model by frequency prediction error method. Finally, with this two-step identification method, the simulation and flight tests are conducted to identify the example helicopter flight mechanics model in the hover state. The result shows that the method is effective and accurate.【期刊名称】《南京航空航天大学学报》【年(卷),期】2011(043)003【总页数】6页(P387-392)【关键词】飞行动力学;系统辨识;旋翼飞行器;子空间法;预报误差法【作者】宋彦国;孙涛【作者单位】南京航空航天大学直升机旋翼动力学重点实验室,南京,210016;南京航空航天大学直升机旋翼动力学重点实验室,南京,210016【正文语种】中文【中图分类】V212.420世纪 80年代,欧洲的航天研究和发展咨询委员会成立了研究机构,为高带宽飞控系统设计、飞行品质评估、现有旋翼飞行器的升级/改进、降低试验测试费用等目的提供高精度的模型,开展旋翼飞行器系统辨识方法和应用研究[1]。
