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线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中，代换运算不方便。
为此，必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此，可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。
此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。
若系数符号一样，建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
李雅普诺夫离散系统判据证明
李雅普诺夫判据是用来证明离散系统稳定性的一种方法。
该判据是基于李雅普诺夫函数的变化性质进行证明的。
首先，假设离散系统的状态变量为x，其演化方程为x(k+1) =
f(x(k))，其中k为离散时间步。
如果存在一个函数V(x)，满足
以下条件：
1. V(x)是定义在状态空间D内的连续函数；
2. V(x)在D中严格正定，即V(x) > 0，对于任何非零的x；
3. 对于所有的x(k)满足x(k+1) = f(x(k))，有V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，其中α(x(k))是一个正定的函数；
4. 如果存在一个正定的函数β(x)满足V(x(k)) ≤ β(x(k))，则系
统是渐近稳定的。
根据以上条件，可以证明系统的稳定性。
具体证明的步骤如下：
1. 首先，确定适合的Lyapunov函数V(x)。
这可以通过系统的
特性和性质进行推导和选择，例如能量函数、误差函数等；
2. 推导出V(x(k+1))和V(x(k))之间的关系式，并解析得到
α(x(k))的表达式；
3. 根据V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，证明V(x)是单调递减的；
4. 通过比较V(x)和β(x)的形式，得出V(x(k)) ≤ β(x(k))的结论；
5. 根据Lyapunov函数的性质，证明系统是渐近稳定的。
需要注意的是，李雅普诺夫判据只能证明系统的稳定性，不能推导出系统的收敛速度。
离散时滞系统的渐近稳定性判据谭聚龙;张志维;杨德彬;高翔宇;张显【摘要】在已有文献的基础上,进一步研究离散时滞系统的渐近稳定性问题,通过选择合适的扩展李亚雅诺夫泛函,获得了基于线性矩阵不等式的时滞相关的稳定性判据.对现有的方法进行了改进,即将时滞区间进行了划分,在小的区间上对李雅普诺夫泛函进行处理.通过比较可知,所给出的稳定性判据比存在的稳定性判据具有更弱的保守性.通过数值实例验证了所得结论的有效性.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2015(032)006【总页数】7页(P753-759)【关键词】离散时滞系统;渐近稳定性;李雅普诺夫泛函【作者】谭聚龙;张志维;杨德彬;高翔宇;张显【作者单位】黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080;哈尔滨华德学院电子与信息工程学院,哈尔滨150025;哈尔滨华德学院通识教育学院,哈尔滨150025;黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080;黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】TP13时滞现象经常出现在通信系统、生物系统、过程控制系统中［1-2］，几乎所有的实际问题都是在系统稳定的前提下来研究其性能的。
稳定性是时滞系统的一个重要性质，稳定性分析成为研究时滞系统的首要任务，已经取得了一些成果［3-11］。
许多文献给出了不同方法来分析时滞系统的稳定性，主要目的是扩大使得时滞系统稳定的时滞变化区间，从而降低稳定性判据的保守性。
许多学者已经提出了获得时滞相关的稳定性判据的各种方法，主要包括Jensen不等式方法、自由权矩阵方法、时滞分解方法、扩展Lyapunov-Krasovskii泛函方法、凸组合方法、离散Lyapunov泛函方法、倒凸组合方法等，其中Jensen不等式方法、自由权矩阵方法、时滞分解方法已经被广泛使用。
文献［4-6］结合自由权矩阵方法和积分不等式方法，给出了时滞系统的稳定性判据，并且较以往的文献具有更弱的保守性。
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。
在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。
而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。
2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。
它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。
3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。
这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。
而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。
4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。
5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。
一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。
常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。
不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。
6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。
通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。
7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。
希望本文的介绍对您有所帮助。
基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
一、稳定性
连续离散系统稳定性是指系统状态值不断变化，但随着时间的推移，系统的解不会离开某一区域或范围，满足系统的平衡。
可以用Lyapunov准则来判断一个系统的稳定性，即找出一个函数V，系统的长期行为是满足V的进行，且由此可以确定系统的长期行为的变化趋势。
此外，系统稳定性还可以通过极点分析方法来判断，即系统极值处被定义为极点，并从中探索该系统在极点上是否稳定，以及该极点处系统解是否存在漂移和消失。
二、可控性
可控性是指系统的响应是通过控制器实现的，系统可以通过增加输入电压或输出力量来改变系统的输出响应，从而达到预期的解决方案。
可控性分析要求系统具有足够的响应能力，可以通过增加输入电压来改变系统的行为，但它的响应有限制，不能随意增加，而且可能受外界环境约束。
三、可观测性
可观测性是指系统的特性是可以通过测量来获取的，即可以观察系统的特性，推断出它是如何变化的，并且根据以往所观察到的特征来推测它在将来的变化趋势。
可观测性分析可以使用状态空间方程，用于获得关于系统的当前及未来设计状态的量化描述，从而确定系统的特征及其变化趋势。
§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===(5.17)称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性(1)稳定：∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有-<≥e x k x k (),0ε；(2)渐近稳定：∃>0δ,使当-<e x x 0δ时,有→∞-=e k x k x lim ()0；(3)全局渐近稳定：任意∈nx 0R,都有→∞-=e k x k x lim ()0；(4)不稳定：∃>00ε, 无论 多小正数, 总有>k 10, 使->e x k x 10()ε对定常系统, 渐近稳定全局一致渐近稳定.3.稳定性判别对定常系统(1)()x k Ax k +=若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)；若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定；简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解==kx k A x k 0(),0,1,2,则渐近稳定→∞→∞-==kk k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),→∞=kk A lim 0-→∞=k k TJ T1lim 0→∞=kk J lim 0A 的所有特征值的模全小于1A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.其中J 为A 的若当形. 如11......kk kk r r J J J J J ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且再如11221111001000000kk k kk k k kk k kC C J C λλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的所有特征值的模全小于1A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλ, 则T , 使⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦kkk kk n n A T T T T 112-1-12λλλλλλ 由此可得→∞<=⇔==ki i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλ→∞⇔=kk A lim 0.定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下： (i) 0e x =稳定A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定A 的所有特征值模全小于1.对一般非线性系统+==x k F x k k (1)(()),0,1,2, (5.18)在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有定理 5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足(i) V x k (())为正定；(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的.若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的；再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅是稳定的. 定理用于定常系统(5.17), 即得定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定对Q > 0, 李雅普诺夫方程-=-TA PA P Q有唯一正定解P 证只证充分性, 即已有对Q > 0, -=-TA PA P Q 有唯一解0P >,令=T k kk V x x Px (), 则有+++=-=-T T k k k k k kk V x V x V x x Px x Px 111()()()∆=-=-T TT kk kk x A PA P x x Qx (),显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定.例5.6 设⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦a x k x kb 0(1)()0 试分析稳定的条件.解 选Q = I , 则有-=-T A PA P I , 即-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211122122212200100001 整理且比较, 得 ,1)1(,0)1(,1)1(22212211=-=-=-b p ab p a p要P 为正定, 需满足<<a b ||1,||1, (5.19)解出===--p p p ab1112222211,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定. 实质上：<<a b ||1,||1所有特征值的模全小于1.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
离散控制系统中的稳定性与鲁棒性分析离散控制系统是指由离散时间运行的控制系统，它采样输入和输出信号来完成控制功能。
稳定性和鲁棒性是离散控制系统设计中非常关键的问题，本文将对离散控制系统中的稳定性与鲁棒性进行详细分析。
一、稳定性分析稳定性是指在系统的输入和输出之间存在一种平衡状态，系统能够对输入信号作出适当的响应而不发生不可控制或不可预测的震荡或发散。
稳定性分析主要有零极点分布、Nyquist稳定判据和位置根判据等方法。
1. 零极点分析离散系统的稳定性与其极点的位置有关。
通常采用单位脉冲响应函数H(z)的零极点分布来分析系统的稳定性。
对于一阶离散系统而言，它的极点位置应满足|z|<1的条件才能保证系统的稳定性。
对于高阶系统，可以通过复平面法或者根轨迹法来分析系统的稳定性。
2. Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是通过绘制Nyquist图来判断系统的稳定性。
根据Nyquist稳定判据，如果系统的传输函数H(z)的极点都位于单位圆内，那么系统是稳定的。
否则，系统将会出现振荡或发散的现象。
3. 位置根判据位置根判据是通过对系统的传输函数进行倒数操作，然后判断所得到的新系统的极点位置来评估系统的稳定性。
位置根判据的基本思想是，如果倒数系统的极点位于单位圆外，那么原系统是稳定的。
二、鲁棒性分析鲁棒性是指系统具有对参数变化、环境变化或非线性因素的强鲁棒性，即保持系统的性能特性不因外界因素变化而发生较大改变。
在离散控制系统中，鲁棒性分析主要有灵敏度函数法、小增益界定理和鲁棒优化等方法。
1. 灵敏度函数法灵敏度函数法是通过构造灵敏度函数来分析系统的鲁棒性。
灵敏度函数可以用来评估系统对参数变化的敏感性。
如果灵敏度函数的幅值比较小，说明系统对参数变化不敏感，具有较好的鲁棒性。
2. 小增益界定理小增益界定理是一种常用的鲁棒性分析方法。
它基于系统的复值矩阵进行分析，通过确定复值矩阵的边界来评估系统的鲁棒性。
离散控制系统的稳定性分析与设计方法离散控制系统的稳定性是控制工程中一个非常重要的概念，它涉及到系统的可靠性和性能。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计方法，并讨论如何确保系统的稳定性。
一、稳定性分析离散控制系统的稳定性分析是通过对系统传递函数进行分析来确定系统是否稳定。
常用的稳定性判据有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的时域响应来确定系统的稳定性。
具体方法有零极点判据和步响应法。
零极点判据是通过确定系统传递函数的零点和极点位置来判断系统的稳定性。
一般来说，当系统的所有极点都位于单位圆内部时，系统是稳定的。
步响应法通过观察系统的步响应图来判断系统的稳定性。
当系统的步响应图趋于稳定状态并在有限时间内收敛到稳定值时，系统是稳定的。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率特性来确定系统的稳定性。
常用的频域方法有Nyquist判据和Bode图法。
Nyquist判据是通过绘制系统的Nyquist图来判断系统的稳定性。
当系统的Nyquist图不通过虚轴右半平面时，系统是稳定的。
Bode图法是通过绘制系统的Bode图来判断系统的稳定性。
当系统的幅频特性曲线和相频特性曲线满足一定条件时，系统是稳定的。
二、稳定性设计稳定性设计是通过设计控制器的参数来确保系统的稳定性。
通常有两种常见的设计方法：根轨迹法和PID控制器。
1. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制根轨迹图来设计控制器的参数。
根轨迹图可以直观地显示系统的稳定性和性能。
设计过程中，可以根据系统的要求来调整控制器的参数，使得系统的根轨迹满足要求。
2. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器，它包括比例、积分和微分三个部分。
PID控制器的设计可以根据系统的特性和需求来确定各个参数的取值。
比例部分可以控制系统的静态误差，积分部分可以消除系统的稳态误差，微分部分可以提高系统的动态响应。
通过合理地调整PID控制器的参数，可以实现系统的快速响应和稳定性。
离散控制系统的稳定性分析离散控制系统是一种由离散时间事件驱动的系统，它在控制工程中起着重要的作用。
稳定性分析是离散控制系统设计中的关键步骤，它可以帮助我们确定系统是否能够保持在稳定状态，并达到预期的控制效果。
本文将讨论离散控制系统的稳定性分析方法和应用。
1. 离散控制系统概述离散控制系统是一种以时序离散的方式进行操作和控制的系统。
它由输入、输出和状态三个主要部分组成。
其中，输入是指系统接收来自外部的信号或信息，输出是指系统作为响应产生的结果，状态是指系统在运行过程中的内在特征。
2. 稳定性的概念和分类稳定性是指系统在输入变化或干扰下是否能够保持有限范围内的响应。
离散控制系统的稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性两种情况。
绝对稳定性：系统在任何情况下都能保持有限范围内的响应，不会出现不受控制或不可预测的振荡或失控现象。
相对稳定性：系统在特定条件下能够保持有限范围内的响应，但可能受到输入变化或干扰的影响而出现逐渐增大的响应。
3. 稳定性分析方法离散控制系统的稳定性分析可以使用多种方法，以下是几种常用的方法：3.1 传递函数法传递函数是离散控制系统中描述输入输出关系的数学模型。
通过将系统表示为传递函数的形式，可以使用极点、零点、阶跃响应等特征来分析系统的稳定性。
例如，当系统的所有极点都位于单位圆内时，系统是稳定的。
3.2 极坐标法极坐标法是一种绘制离散控制系统零极点的图形方法。
通过绘制零极点在单位圆上的位置，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于单位圆内，系统是稳定的。
3.3 稳定性判据法稳定性判据法是一种通过计算系统的稳定性判据来判断系统的稳定性的方法。
常用的稳定性判据包括李雅普诺夫稳定性判据、M行列稳定性判据等。
这些判据可以通过计算系统的特征值或特征向量来得到。
4. 稳定性分析的应用稳定性分析在离散控制系统设计和调试过程中有着广泛的应用。
它可以帮助工程师确定系统参数，设计合适的控制策略，并提供有效的故障诊断方法。
离散力学系统的稳定性判定与优化离散力学系统是一类重要的力学系统，它由一系列离散的质点或刚体组成，通过相互作用力而产生运动。
在实际应用中，我们常常需要对离散力学系统进行稳定性判定和优化，以确保系统的可靠性和效率。
一、稳定性判定在离散力学系统中，稳定性判定是指系统在给定条件下是否能保持平衡或者稳定运动的能力。
稳定性判定的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过线性化系统方程来进行判断。
线性化是一种常用的数学方法，它将非线性系统方程在某一点附近进行近似，得到线性化的系统方程。
通过求解线性化系统方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
特征值的实部大于零，则系统不稳定；特征值的实部小于零，则系统稳定；特征值的实部等于零，则需要进一步分析。
除了线性化方法外，还有一些其他的稳定性判定方法，如李雅普诺夫稳定性判据和拉普拉斯变换法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题选择适合的方法进行稳定性判定。
二、优化方法离散力学系统的优化是指通过调整系统的参数或结构，使得系统在给定的性能指标下达到最优状态。
离散力学系统的优化问题可以分为单目标优化和多目标优化两种情况。
在单目标优化中，我们需要确定一个性能指标，如系统的能量消耗最小或者系统的振动幅度最小等。
通过建立数学模型，可以利用数值优化方法，如梯度下降法和遗传算法等，求解优化问题的最优解。
而在多目标优化中，我们需要考虑多个性能指标的综合效果。
多目标优化问题的解决方法有很多种，如加权和法、Pareto最优解法等。
这些方法可以帮助我们找到系统在多个性能指标下的最优解。
除了数值优化方法外，还有一些启发式算法，如模拟退火算法和粒子群算法等，可以用于求解离散力学系统的优化问题。
这些算法通过模拟自然界的某些行为，如退火过程和鸟群飞行等，来搜索最优解。
综上所述，离散力学系统的稳定性判定和优化是一个重要的研究领域。
通过合适的稳定性判定方法，可以判断系统的稳定性，并采取相应的措施进行修正。
而通过优化方法，可以使系统在给定的性能指标下达到最优状态。
§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法
1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设
0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +=== (5.17) 称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性
(1)稳定：∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有
-<≥e x k x k (),0ε；
(2)渐近稳定：∃>0δ,
使当-<e x x 0δ时,有
→∞
-=e k x k x lim ()0；
(3)全局渐近稳定：任意∈n
x 0R ,
都有→∞
-=e k x k x lim ()0；
(4)不稳定：∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使
->e x k x 10()ε
对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别
对定常系统(1)()x k Ax k +=
若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)；
若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定；
简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解
==k
x k A x k 0(),0,1,2,
则渐近稳定
⇔→∞
→∞
-==k
k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),
⇔→∞
=k k A lim 0⇔-→∞
=k k TJ T
1
lim 0⇔→∞
=k
k J lim 0
⇔A 的所有特征值的模全小于1
⇔A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.其中J为A的若当形.
如
11
......
k k
k
k
r r J J
J
J J
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
且再如
1122
11
1
10
0100
0000
k k k
k
k k
k k k
k
k
C C
J C
λλλ
λ
λλλ
λλ
--
-
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==→
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
⇔A 的所有特征值的模全小于1
⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.
例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλ , 则T , 使
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣
⎦
k
k
k k k n n A T T T T 11
2-1-12
λλλλ
λλ
由此可得
→∞<=⇔==k
i i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλ
→∞
⇔=k
k A lim 0.
定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下：
(i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,
且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统
+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,
(5.18)
在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有
定理5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足 (i) V x k (())为正定；
(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的.
若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的；
再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅是稳定的.
定理用于定常系统(5.17), 即得
定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定
⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程
-=-T
A PA P Q
有唯一正定解P 证只证充分性,
即已有对∀Q > 0, -=-T
A PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k k
k V x x Px (), 则有
+++=-=-T T k k k k k k
k V x V x V x x Px x Px 111()()()∆
=-=-T T
T k
k k
k x A PA P x x Qx (),
显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定.
例5.6 设
⎡⎤
+=⎢⎥
⎣⎦
a x k x k
b 0(1)()0 试分析稳定的条件.
解 选Q = I , 则有-=-T
A PA P I , 即
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211
1221
22212200100001 整理且比较, 得
,1)1(,0)1(,1)1(2
22122
11=-=-=-b p ab p a p
要P 为正定, 需满足
<<a b ||1,||1, (5.19)
解出
===--p p p a
b
1112222
2
1
1
,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定.
实质上：<<
||1,||1⇔所有特征值的模全小于1.
a b
11。
