常微分方程第二版答案第6章6-1

第六章 线性微分方程组、习题6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dt dy)(=的通解，其中分别为：)(t A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t ty y y t y t C t C y y y tC y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;0,00)(A .12211或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解：由）（ .0.0)(,,0.,1011,1011)(A .2212112221212121C e te e y e te e t ey te y y e y eC y y y y y y y y dt d t t t t t tt t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解：由）（φCt t t t y t t t t t ty t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;0110)(A .3212122212211122112212121故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解：由）（φ.0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(..)()(,001010100,001010100)(A .4321212121313123212223213311133111223321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t ttt t t tttt t t t t t t ttt t t dt dy tdt dy dtdy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y eC y y a y y dt dy t 故通解为线性无关即为方程祖的三个解。

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。

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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。

习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组 y t A dtdy )(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

（1）方程组的分量形式为：211y y dt dy += ，22y dtdy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为()0tt t e te t e ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭又 2det ()0t t e Φ=≠ 。

因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t e te c e c y y 21210（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1221y dtdy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。

这样就求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。

故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ① ②（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪⎨⎧='='='132231y y y y y y 解 ①+③得3131)(y y y y dtd +=+ 解 ①-③得 1313()d y y y y dt -=- 解之得 131132 t t y y ke y y k e --+=-=由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----tt t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133******** 又由②得 t e c y 22=由此可求得方程组的一个解矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t t t t te e e e e t 0000)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 00003213213．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关，则存在不全为零的三个常数 321,,c c c 使得,000000012321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++02321①而①式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。

第六章 常微分方程 二、习题1. 求解微分方程0)1(=-'+ny y x2. 求解微分方程yy x y 2sin cos 1+='3. 设b a 、为正整数，λ为非负数，求微分方程x be ay dxdyλ-=+的通解. 4.（2005年数一，4分）求微分方程x x y y x ln 2=+'，满足91)1(-=y 的特解.5. 求xy y dx dy -=-1的通解. 6. 求微分方程0)1()(23=++++dy x dx y x x 的通解（数一）.7. 求解微分方程0)3()23(222=-++--dy e x y dx xe x y y （数一）. 8. 求微分方程03='+''y y x 的通解（数一、二）.9. 求解微分方程01)(2=+'+''y y y （数一、二）. 10. 求微分方程x xe y y y 2223=+'-''的通解. 11. 求微分方程x y y sin 4=+''的一个特解. 12. 求微分方程x x x y y 2cos sin +=+''的通解.13. 函数x x x xe e C e C y ++=-221满足的一个微分方程是（ ） A. x xe y y y 32=-'-'' B. x e y y y 32=-'-'' C. x xe y y y 32=-'+'' D. x e y y y 32=-'+'' 14. 设线性无关的函数)()()(321x y x y x y 、、均是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21C C 、是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）A. )()()(32211x y x y C x y C ++B. )()()()(3212211x y C C x y C x y C +-+C. )()1()()(3212211x y C C x y C x y C ---+D. )()1()()(3212211x y C C x y C x y C --++15. 求0)9(62='++''+'''y a y y 的通解，其中常数0>a （数一、二）.16. 设)cos sin (21x C x C e y x +=(21C C 、是常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________________________.17. 求欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解. 18. 设函数)(x f 可导，且对任何实数x ，h 满足0)(≠x f ，dt t f t t h x f hx x⎰++=+)()1()(2 )(x f +，又2)1(=f ，求)(x f 的表达.19. 已知函数)(x f 连续可导，且满足⎰=-+--xx dt x t f x xf x f 0221)()()( (1) 求)(x f 的表达； (2) 求极限20)(limxx f x → 20. (2009年数三，10分)设曲线)(x f y =，其中)(x f y =是可导函数，且0)(>x f .已知曲线)(x f y =与直线1,0==x y 及)1(>=t t x 所围成的曲边梯形，绕x 轴一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程.第七章 多元函数微分法及其应用 一、习题 1. 设xyye yxz tan sin 12+=，则___________=∂∂y z . 2. 设xye z 2sin=，则________=dz .3. 设y x y x y x y x f arctan arctan ),(22-=，则_________2=∂∂∂yx z . 4. )()(22y x yg xy f x y z ++=，其中g f ,二阶连续可导，则_________2=∂∂∂yx z .5. 设),(22x y y x f z +=，且),(v u f 具有二阶连续的偏导数，则_________2=∂∂∂yx z. 6. 设),(z x y y =是由方程222z y x ezy x ++=++确定的隐函数，则_____=∂∂zy. 7. 由方程2222=+++z y x xyz 确定的隐函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的微分为_________________=dz .8. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 所确定的隐函数，则__________)1,1,0(=-'x f .9. (数一)函数)ln(22z y x u ++=在点)01,1(A 处指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为_____________________ .10. 曲面221y x z --=上与平面03=+-+z y x 平行的切平面为______________ .11. 设)()(x y xg y x yf u +=，其中函数g f ,具有二阶连续导数，求y x uy xu x ∂∂∂+∂∂222.12. 设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数，又函数)(x y y =及)(x z z =由下列两式：2=-xy e xy 和dt t t etx x⎰-0sin ，求dtdu. 13. 设),(y x f 在点)0,0(的某领域内连续，且满足3||)0,0(),(2lim-=+-→→y x f y x f y x ，则),(y x f 在点)0,0( （ ）(A) 取极大值 (B) 取极小值 (C) 不取极值 (D) 无法确定是否取极值14. (数一)yxy x f arctan ),(=在(0,1)处的梯度为 （ ）(A) i (B) -i (C) j (D) -j15. 设xy x u =，求du .16. 设),,(z y x f u =有连续的偏导数，)(),(x z z x y y ==分别由方程0=-y e xy 与0=-xz e z 确定，求dxdu . 17. 设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x 件和y 件，利润函数为 24166),(22--+-=y y x x y x L 万元. 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg ，现有该原料12000kg ，问两种产品生产多少时总利润最大？最大利润是多少？18. 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在由直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭合区域D 上的极值、最大值与最小值.19. 在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短.20. 求函数])()[(2122221),(b y a x y eyy x f -+--=的极值点与极值.第八章 重积分 二、习题1. 设m 和n 为正整数，0>a ，且为常数，则下列说法不正确的是 （ ） （A ）当m 为偶数，n 为奇数时，⎰⎰≤+ay x n m dxdy y x 22一定为0（B ）当m 为奇数，n 为偶数时，⎰⎰≤+ay x n m dxdy y x 22一定为0（C ）当m 为奇数，n 为奇数时，⎰⎰≤+ay x n m dxdy y x 22一定为0（D ）当m 为偶数，n 为偶数时，⎰⎰≤+ay x n m dxdy y x 22一定为02.⎰⎰≤++ay x dxdy y xx 22)|(|2=__________ .3. 222:R y x D ≤+，则⎰⎰+Dd b y a x σ)(2222=_________ .4.⎰⎰≤++12222)(y x dxdy y x=_____________ .5. 设平面区域{}),(,41|),(:22y x f y x y x D ≤+≤是区域D 上的连续函数，则=+⎰⎰Ddxdy y x f )(22 （ ）(A) ⎰21)(2dr r rf π (B) ])()([2121⎰⎰-dr r rf dr r rf π(C) ⎰212)(2dr r rf π (D) ])()([212212⎰⎰-dr r rf dr r rf π6. 交换积分次序：________________),(122=⎰⎰-y ydx y x f dy .7. 交换二次积分次序：________),(),(11ln 1112=++⎰⎰⎰⎰-e xx dy y x f dx dy y x f dx . 8. 设)0(222>≤+a ay y x ，则⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标系下的累次积分为 （ ）(A) ⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d (B) ⎰⎰πθθθθ0sin 20)sin ,cos (a rdr r r f d(C)⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθa rdr r r f d(D)⎰⎰-22sin 20)sin ,cos (ππθθθθa rdr r r f d9. 极坐标系下的累次积分⎰⎰20cos 20)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d = （ ）(A) ⎰⎰---12222),(x x x x dy y x f dx (B)⎰⎰---22222),(x x x x dy y x f dx(C)⎰⎰-1202),(x x dy y x f dx (D)⎰⎰-2202),(x x dy y x f dx10. 计算二重积分⎰⎰Dx dxdy e 2，其中D 是第一象限中有直线x y =和曲线3x y =所围成的封闭区域.11. 计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中}2,0|),{(22x y x x y y x D ≤+≤≤=.12. 计算二重积分⎰⎰++--D dxdy y x y x 112222，其中D 是122=+y x 所围成的封闭区域在第一象限部分.13. 求⎰⎰Ddxdy y x },min{，其中}10,30|),{(≤≤≤≤=y x y x D .14. 设D 是由点)1,2(),2,1(),0,0(B A O 为顶点构成的三角形区域，计算⎰⎰Dxdxdy .15. 设D 是由点)1,0(),2,1(),0,1(),0,0(为顶点构的梯形区域，计算⎰⎰+Dydxdy x sin )1(.16. 计算⎰⎰-Ddxdy y x )(22，其中}sin 0,0|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=π.17. 求⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x 22，其中Ω为曲线22y x z +=和221y x z --=所围成的立体.18. 计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由4222=++z y x 和z y x 322=+所围成的几何体.19. 计算⎰⎰⎰Ω+dV z y )(22，其中Ω是由xOy 面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.20. 计算⎰⎰⎰Ω++dV z y x )(222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.第九章 无穷级数 二、习题1. 若正项级数∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n n nna ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 收敛于0 (D) 敛散性不确定 2. 设级数∑∞=1n n a 发散(0>n a )，令n n a a a S +++= 21，则)11(11-∞=∑-n n n S S ( ) (A) 发散 (B)收敛于11a (C) 收敛于0 (D) 敛散性不确定 3. 级数)0()cos 1()1(1>--∑∞=a n an n ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性与a 有关 4. 若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列结论正确的是 ( )(A)11lim<=+∞→ρnn n u u (B) 1lim<=∞→ρnn n u(C)∑∞=++11)(n n nu u一定收敛 (D)∑∞=1n n u 收敛5. 设级数∑∞=1n n u 收敛，则下列结论正确的是 ( )(A) ∑∞=12nnu一定收敛(B) ∑∞=12nnu一定发散(C) ∑∞=1nnu绝对收敛(D) 若∑∞=1nnu是正项级数，则∑∞=12nnu一定收敛6. 设常数0>k，则级数∑∞=+ -12)1(n nnnk( )(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 敛散性与k有关7. 若级数∑∞=1nnu收敛，则下列级数必收敛的是( )(A) ∑∞=-1)1 (nnnnu(B) ∑∞=12nnu(C) ∑∞=--1212)(nnnuu(D) ∑∞=++11)(nnnuu8. 下列结论正确的是( )(A) 若级数∑∞=1nnu与∑∞=1nnv都发散，则∑∞=+1)(nnnvu一定发散(B) 若级数∑∞=1nnu与∑∞=1nnv都发散，则∑∞=1nnnvu一定发散(C) 若级数∑∞=1nnu收敛，则∑∞=12nnu一定收敛(D) 若级数∑∞=1nnu与∑∞=1nnv一个收敛，一个发散，则∑∞=+1)(nnnvu一定发散9. 设级数∑∞=1nnu与∑∞=1nnv都发散，则( )(A) ∑∞=+1) (nnnvu一定发散(B) ∑∞=1nnnvu一定发散(C) ∑∞=12nnu与∑∞=12nnv都发散(D) ∑∞=+1|)||(|nnnvu一定发散10. 下列结论正确的是( )(A) 若级数∑∞=1nnu收敛而∑∞=1nnv发散，则∑∞=1nnnvu一定发散(B) 若级数∑∞=1nnu与∑∞=1nnv都发散，则∑∞=1nnnvu一定发散(C) 若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛，则∑∞=1n n n v u 一定收敛(D) 若级数∑∞=1n n u 与正项级数∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n n v u 绝对收敛11. 下列结论正确的是 ( ) (A) 若11lim<+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 一定收敛 (B) 若级数∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=-1)1(n n n u 一定收敛(C) 若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=12n n u 一定收敛(D) 若1lim=∞→n nn v u 且∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 一定收敛 12. 设幂级数∑∞=1n nn xa 与∑∞=1n n n x b 的收敛半径分别为21,R R ，且21R R <，设∑∞=+1)(n n n nx b a的收敛半径为0R ，则有 ( )(A) 20R R = (B) 10R R = (C) 20R R < (D) 20R R > 13. 设2||1lim=+∞→n n n a a ，则级数∑∞=+112n n n x a 的收敛半径为 ( ) (A) 1 (B)21(C) 2 (D)21 14. 设∑∞=-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处 ( )(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不确定 15. 判定∑∞=13sinn nn e π的敛散性.16. 判定∑∞=+1211n nn的敛散性.17. 判定∑∞=1!2n n n nn 的敛散性.18. 判定nn n n )12(1∑∞=+的敛散性. 19. 判定2)1211(1n n n ∑∞=+-的敛散性. 20. 判定)1ln 21(1∑∞=+n nn n 的敛散性.21. 设),2,1(10 =<≤n na n ，则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n n na (C)∑∞=1n n a (D)∑∞=-12)1(n nna 22. 设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n nn nk ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性与k 有关23. 设常数0>a ，则级数)cos 1()1(1∑∞=--n n n a( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性与a 有关24. 设常数0>λ，且级数∑∞=12n n a 收敛，则级数λ+-∑∞=21||)1(n a n n n( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性与λ有关 25. 已知级数,5,2)1(1121==-∑∑∞=-∞=n n n n na a 则级数=∑∞=1n n a ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 26. 求幂级数∑∞=-114n n nx n 的和函数. 27. 求幂级数∑∞=+1!1n nx n n 的和函数. 28. 求幂级数∑∞=++1)1(1n n x n n的和函数.29. 将x x f arctan )(=展开成x 的幂级数. 30. 将21)(xx f =展开成3-x 的幂级数.第十章 二、习题1. 设曲线222:R y x L =+，则⎰+Lds y x 2)2(=________ .2.⎰++Lds y xy x)2(32=___________，其中4:22=+y x L .3. 设194:22=+y x L ，且L 的长度为l ，则⎰++L ds y xy x )4729(22=________ . 4. 设曲线)20(,sin ,cos :π≤≤===Γt bt z t a y t a x ，则⎰Γ+ds y x )(22=________ .5. ______22=+⎰Ldy xy ydx x，其中1|||:|=+y x L ，方向取逆时针方向.6.______)2,2()1,1(22=+⎰ydy x dx xy .7. 设L 取正向的圆周922=+y x ，则曲线积分__)4()22(2=-+-⎰Ldy x x dx y xy . 8. 设L 为由32+=x y 及2=x 围成的区域的边界，取逆时针方向，则=+-⎰Ly x ydxxdy 22( )(A) -2π (B) 2π (C) π (D) 0 9. 设1222),0(1:∑≥=++∑z z y x 为∑在第一卦限的部分，则 ( ) (A) ⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS xdS (B) ⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS ydS(C)⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS zdS (D) ⎰⎰⎰⎰∑∑=14xyzdS xyzdS10. 计算⎰+-Ldx y xdy )12(，其中 (1) L 从原点经过直线x y =到点)2,2(；(2) L 从原点经过直线22x y =到点)2,2(.11. 利用格林公式计算dy y y e dx y x y e x Lx )cos ()sin (++-+⎰，其中L 是圆周22x ax y -=上从点)0,2(a A 到点)0,0(O 的弧段.12. 计算⎰⎰∑++dS z y x )342(，其中∑是平面1432=++z y x 在第一卦限的部分. 13. 求⎰⎰∑=zdS I ，其中∑为1222=++z y x 被22y x z +=所截得的顶部.14. 计算⎰⎰∑++=dS z y x I )(22，其中∑为圆锥面22y x z +=介于0=z 与1=z 之间的部分.15. 计算⎰⎰∑+=dS y x I )(22，其中∑为z z y x 2222=++16. 计算⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322，其中∑为222y x a z --=和0=z 围成区域的表面外侧.17. 计算⎰⎰∑-+++=dxdy y dzdx yz z x dydz z x I 22323)()3(，∑为222y x z +-=在0=z 上方部分的下侧.18. 计算⎰⎰∑++=dS cz by ax I )(222，其中∑:1222=++z y x .。