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第六章___常微分方程

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高数应用数学 第6章 常微分方程

高数应用数学 第6章 常微分方程

dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
100 cm
(200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流
出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满 了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为
一、问题的提出
数学知 识
基本科 学原理
微分 方程
例 1 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动
时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间列
车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解： 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
2.微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.

第六章 常微分方程

第六章 常微分方程

第六章常微分方程第1节基本概念1.常微分方程含未知函数的导数的方程。

2.阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。

3.解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。

特解：通解中的任意常数确定。

初始条件：y(=，=，…，=4.线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。

第2节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：转化：=f(x)g(x)=两边同时积分2.齐次微分方程：如果=f()，那么设=u，则y=x u(x)那么=u(x)+x带入原方程得：u+x=f(u)= （可分离变量）3.一阶线性微分方程通式：+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。

一阶线性齐次微分方程通解：y=C一阶线性非齐次微分方程通解：y=(第3节高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程a)逐次积分解决。

b)令u(x)=,则=。

代入原式。

c)令=p(y),则=。

代入原式。

2.线性微分方程解的结构通式（二阶为例）：++Q(x)y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。

（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。

（2）若,是齐次的解，则仍然是它的解。

（3）接（2）若,线性无关，则是它的通解。

（4）若Y是齐次的通解，是非齐次的特解，则y=Y+是非齐次的通解。

3.二阶常系数线性微分方程通式：++Qy=f(x)齐次：++Qy=0特征方程：a)>0，有两个不等实根、。

则Y=+是齐次方程的通解。

b)=0，有两个相等实根。

则Y=+=是齐次方程的通解。

c)<0，有两个不等虚根。

则Y=是齐次方程的通解。

非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。

只有两种f(x)能找到特解：a)f(x)==是特征方程的k重根。

Qn是和Pn相同形式多项式。

b)f(x)=[Cos+sin]=[Cos+sin]m=max{n,l}是特征方程的k重根。

更多资料信息联系QQ：3324785561。

高等数学 第6章 常微分方程

高等数学 第6章 常微分方程
科信文化
高等数学（下册）
主编：郭艾 王全迪 杨立洪 出版社：广东高等教育出版社
目录
第6章 常微分方程 第7章 向量代数与空间解析几何 第8章 多元函数微分法 第9章 多元函数积分学 第10章 无穷级数
第6章 常微分方程
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
常微分方程的基本概念 一阶微分方程 可降阶的二阶微分方程 二阶线性微分方程解的结构 二阶常系数线性微分方程的求解
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
微分方程的简单应用
6.1 常微分方程的基本概念
6.1.1 6.1.2
引例
微分方程的一般概念
6.1.1 引例

定义：常微分方程是包含未知函数和未知函数导数(或微分)，并且未 知函数是一元函数的方程。 举例：
dy f ( x) dx
（6.1.1） （6.1.2）
xdy ydx 0
dy p ( x) y q ( x) dx
（6.1.3） （6.1.4）
d2 y dy p ( x ) q ( x) y f ( x) 2 dx dx d2 y dy h sin y 0 2 dx dx
（6.1.5）
6.1.1 引例

微分方程的导出
说明：例题是要寻找变量和变量之间的对应关系，即函数关系，虽然 不能直接找出问题所需要的函数关系，但是我们根据问题所提供的条件 建立出了包含自变量，未知函数和未知函数导数的关系式，这样的关系 式就是微分方程．通过求解微分方程，找出了未知函数的表达式．

第六章常微分方程

第六章常微分方程

第六章 常微分方程一 基本概念定义1 微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程． 定义2 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程． 一般形式：()(,,,,)0n F x y y y '= ；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 定义3 方程的阶： 微分方程中的导数或微分的最高阶称为方程的阶。

定义4 方程的解 函数()y f x =满足微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= ，则称()y f x =是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的解．方程解分为显示解和隐示解．定义5 通解： 含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为方程的通解． 定义6 特解：满足某个初始条件的解称为方程的特解．二 基本方法1．变量可分离的方程 （1）d ()()d y p x q y x=，分离变量；则有d ()d ()y p x x q y =，两边积分d ()d ()y p x x q y =⎰⎰．（2）1212()()d ()()d 0M x M y x N x N y y +=， 分离变量；则有 2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-，两边积分2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-⎰⎰2．齐次方程d d y y x x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 基本解法：令y u x =，则y ux =，两边对变量x 求导，d d d d y ux u x x=+，于是有 d ()d uu x u xϕ=+，从而化为变量分离方程为d d ()ux u uxϕ=-．3．一阶线性非齐次方程 ()()y p x y q x '+=公式解：()d ()d e [()e d ]p x x p x xy q x x C -⎰⎰=+⎰4．伯努利方程 ()()ny p x y q x y '+=， 基本解法：令1nz y-=，则有(1)()(1)()z n p x z n q x '+-=-，从而方程化为一阶线性非齐次方程，所以该方程解为(1)()d (1)()d 1e [(1)()e d ]n p x x n p x xnyn q x x C ----⎰⎰=-+⎰5．全微分方程若方程(,)d (,)d 0M x y x N x y y +=满足M N yx∂∂=∂∂，则称该方程为全微分方程．解法1 特殊路径积分解法0(,)d (,)d x y x y M x y x N x y y C +=⎰⎰其中点00(,)x y 一般可以任意选取，只要有利于积分，通常情况下，选取00(,)x y 为(0,0)．解法2 凑微分（分组凑微分）(,)d (,)d d (,)M x y x N x y y u x y +=则方程的通解是(,)u x y C =．注1 凑微分方法对某些全微分方程是非常好用的，但对一些方程是不适用的。

(整理)第6章+常微分方程

(整理)第6章+常微分方程
就是方程（6-39）的通解，其中 是任意常数．
例如，方程 ，容易验证 与 是所给方程的两个特解，且 常数，即它们是线性无关的．因此， 就是该方程的通解．
二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
由前面讨论可知，求方程（6-39）的通解，可归结为求它的两个线性无关的特解，再根据定理6.2写出通解．
从方程（6-39）的结构来看，它的解应有如下特点：未知函数的一阶导数 ，二阶导数 与未知函数 只相差一个常数因子．也就是说，方程中的 应具有相同的形式．而指数函数 正是具有这种特点的函数．因此，设 是方程（6-39）的解，将
案例6.4【降落伞降落】设降落伞从跳伞塔降落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（ ）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系．
案例6.5【销售预测】在商品销售预测中， 时刻的销售量用 表示．如果商品销售的增长速度 与销售量 和销售接近饱和水平程度 之积（ 为饱和水平）成正比，求销售量函数 ．
如果微分方程的解中包含有任意常数，并且独立的（即不可合并而使个数减少）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．通解中任意常数取某一特定值时的解，称为微分方程的特解．
例如函数（6-3）和（6-8）分别是微分方程（6-1）和（6-5）的通解，函数（6-4）和（6-10）分别是微分方程（6-1）和（6-5）的特解．
引例6.3求微分方程 的通解．
通过这个例子我们可以看到，在一个一阶微分方程中，如果能把两个变量分离，使方程的一端只包含其中一个变量及其微分，另一端只包含另一个变量及其微分，这时就可以通过两边积分的方法来求它的通解，这种求解的方法称为分离变量法，变量能分离的微分方程叫做可分离变量的微分方程．
变量可分离的微分方程的一般形式为

《高等数学》第6章常微分方程

《高等数学》第6章常微分方程

y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与

《高等数学》第6章常微分方程知识讲解

《高等数学》第6章常微分方程知识讲解

微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意
常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微
分方程的通解.
例 函 S 数 0 .4 t2 ct c是微 d 2 S 分 0 .8 的 方 .通 程
12
d2 t
注 形y如 n fx的微分 ,只方 要程 通过 (n次 逐 ), 次积
方程的阶.
例dy 2x是一阶微 ,d2S分 0.8方 都程 是二阶 . 微
dx
d2t
注 通 n 阶 常微分方 为 F 程 (： x,y,y 的 ,y, 一 ,yn)般 0 .
微分方程的解
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解.
例函数 yx2c和yx2都是微分方 . 程的解
德育目标
培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
6.1.1 实例分析
想一想：
已知曲线上各 斜点 率的 等切 于线 该点 二横 倍 ,且 坐过 标的
0.8,
dt2
且满足条件:t 0时S 0,v dS 40(或写成S(0) 0,S(0) 40). dt
将d2S 0.8两端对x积分,得v dS 0.8t c .再积分一次,得
dt2
dt
1
S 0.4t2 ct c (其中c ,c 都是任意常数 ).将所满足的条件代入
1
2
12
上式,得:c 40,c 0.于是,路程S关于时间t的函数为:
10
时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程

第六章—常微分方程的数值解法 PPT

第六章—常微分方程的数值解法 PPT

§6.1 引言
初值问题的数 点值 ：解 按法 节特 点顺 进序 ，依 由
知的 0,yy1,,y， i 求i出 1 ，y这可以通过 得递 到推 。
初值 问题 的 常见 解法
单步法： 利用前一个单步的信息(一个点)，在y=f(x)
上找下一点yi， 有欧拉法，龙格－库格法。
预测校正法： 多步法，利用一个以上的前点信息求f(x)
第六章 常微分方程的数值解法
本章内容
§6.1 引言 §6.2 欧拉方法 §6.3 龙格—库塔方法 §6.4 边值问题的数值方法
§6.1 引言
一. 问题提出
有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分 方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。
如，一阶常微分初方值程问的题 dy f(x,y) x[a,b] dx y(x0)y0
推进Pn1(xn1, yn1， ) 显然两个顶点P， n Pn1的坐标有关系
yn1 - yn xn1 - xn
f (xn, yn),
即yn1 ynr)公式。
y
y y(x)
P2 P3 P4 Pn
P1
P0
x O
§6.2 欧拉方法及其改进
例：利用 Euler 方法求初值问题
y(x0)y(x1) hy(x0)
记为
y ( x 1 ) y ( x 0 ) h y ( x 0 ) y 0 h f ( x 0 ,y 0 ) y 1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
几何意义：折线逼近解y y(x)曲线。
设已做出折线的顶点P， n 过Pn(xn, yn)依方向场的方向再
需要用数值方法来求解，一般只要求得到若干个 点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求 满足即可)。

高等数学 第六章

高等数学 第六章

(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即

第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课

第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课

h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ， y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ，对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开， y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 h h h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 2 2 12 h3 y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以，梯形公式是 2 阶方法，其截断误差的主项是 y ( x n ) 。 12 y ( x n ) hy ( x n )
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当 k=0，x0=1, y0=1 时，x1=1.2，有 y y (. . y sin x ) (. sin ) .
y f ( x, y ) 3.求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) (D) 答案：

第六章 常微分方程解法

第六章 常微分方程解法
yn1 yn h ( xn , yn , h)
§6.1 概述
常微分方程数值解法所考虑的主要问 题有：
(1) 方法推导。即用什么样的途径来导出 递推格式； (2) 收敛性。即差分方程的解能否充分逼 近微分方程初值问题的解； (3) 误差传播。在递推过程中，每一步 都会产生截断误差和舍入误差，这个误 差是否对后续各步产生严重影响。
第六章 常微分方程的数值解法
§6.4 改进欧拉方法
(modified Euler’s method)
§6.4 改进欧拉方法
梯形方法比欧拉方法更精确，但是一 种隐式方法，求解方程计算量大。 实际计算中，迭代初始值yn+1可取欧拉 方程结果，迭代一次即可，这样的计算 公式叫改进欧拉法。
§6.4 改进欧拉方法
§6.1 概述 理论做了系统阐述。在代数数论领域，他引进了相 应的符号表示法及其计算法则，建立起被称为“李 普希兹代数”的超复数系。在微分几何方面，他自 1869年起对黎曼关于n维流形的度量结构的工作做 出进一步阐述和推广，开创了微分不变量理论的研 究，因此被认为是协变微分的奠基人之一。他的工 作后来被里奇有效地用于张量分析。
§6.1 概述
本章我们将学习一阶常微分方程的初 值问题的数值解：
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0 (1) (2)
一般情况下，方程(1)有无穷多个解， 式(2)是确定解的初始条件。
§6.1 概述
定义： 如果一元函数y(x)对一切 a x b 满足 (1) ( x, y( x)) 平面区域D
计算方法 (力学系本科生)
第六章 常微分方程 的数值解法 (Integration of ordinary differential equations)

第六章 常微分方程

第六章 常微分方程

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1
（6-2-6）
又若存在 y0 使 g（ y0 ）=0，则易证 y= y0 也是（6-2-4）的一个解.事实上，以 y= y0 代入（6-2-4） ，两 端全为 0， （6-2-4）成为恒等式.因此，方程（6-2-4）除了通积分（6-2-6）之外，还可能有一些常数解. 例 1 求方程
dy =2 y 的所有解. dx 1 2 y
dy y + =0; dx x
2 2
②
dy + x 2 y =sinx; dx
③ ( x + y ) dx+dy=0;
d 2 s ds ④ 2 -2 +s=1. dt dt
下面我们举几个例子,说明常微分方程是如何从物理学和几何学方面的问题引导出来的. 例 1 在力 f 的作用下,质量为 m 的物体作直线运动,设经过时间 t 后物体的运动路程为 s（t） ，则由牛顿 第二定律可得下面的微分方程 m
4
称这样的解为方程的奇解. 例 2 求微分方程
1 − y2 dy = dx 1 − x2
的通解. 解 当 y≠±1 时,方程化为
dy 1− y
两端积分,即得通积分
2
=
dx 1 − x2 dx 1 − x2
.
∫
即 解出 y,得到通解 另外,方程还有常数解 y=±1. 例 3 解初值问题
dy 1− y
此为微分方程通解,将初始条件代入得 C= M 0 ， 所以 M= M 0 e − λ t
为所求铀的衰变规律.由此可见,铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减.
邵阳学院理学与信息科学系教案尾页 1、思考题
课堂思考题： （1）一曲线过点(1,2)，且在曲线上任意一点 P ( x, y ) 处的切线的斜率等于该点的纵坐标的平方，求此 曲线的方程。 （ y' = y 2 , x = −
(其中 C= e
）
y ,得原方程的通解. x
y =C e
− x2 2 y2
.
再由初始条件得 C=1.故所求特解为 y= e
− x2 2 y2
.
四、一阶线性微分方程
y ,即 y=xu. x
(6-2-8)
du dx = . ϕ (u ) − u x
两边积分得
∫ ϕ (u) − u du= ∫ x dx.
求出积分后,再用
1
1
y 代替 u,便得齐次方程的通解. x ( y 2 − 3 x 2 )dy + 2 xydx = 0 .
例 5 求解方程
解 这显然是齐次方程.令 y=ux,则 dy=udx+xdu. 代入原方程得
s
•
''
(t)=-0.4
和条件 s｜ t =0 =0,s′｜ t =0 =20 的函数 s=s(t).
2
常微分方程中出现的未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数称为此方程的阶.例如,①、②、③均为一阶 方程，④为二阶方程. 若用 F（ x1 ， x2 ，…， xn ）表示含有变量 x1 ， x2 ，…， xn 的一个表达式，则自变量为 x，未知函数 为 y 的 n 阶微分方程的一般表达式可写作 F（x，y，y′，…， y
dM = −λ M , dt
其中 λ(λ＞0)为常数,称为衰变系数,λ 前置负号是由于当 t 增加时 M 单调减少,即
dM ＜0. dt
5
初始条件为 M｜ t =0 = M 0 .将微分方程分离变量，得
dM = −λ dt. dt
两边积分
∫
得 即
dM = (−λ ) dt, dt ∫
lnM= λt+lnC, M= C e − λ t .
1 1 3 + C, x = − + ） 。 y y 2 1 arctan3 x + C 。 3
（2）求 (1 + x 2 ) y ' = arctan 2 x 的通解。 y =
预习：第六章第二节。 课外作业：P239：2（1,3） ，4（2） ，5（1,3,5,7） ，6（1） 。
2
=∫
,
arcsiny=arcsinx+C. y=sin(arcsinx+C).
(1 + x 2 ) y ' = arctan x, y (0) = 0.
解 分离变量,得 dy= 所以 y= 代入初始条件,得 C=0,故所求特解为 y=
arctan x dx=arctanxd(arctanx). 1 + x2 1 (arctan x) 2 +C. 2 1 (arctan x) 2 . 2
例 4 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素,铀的含量就不断减少,这种现象叫 做衰变,由原子物理学知,铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比,已知 t=0 时铀的含量为 M0.求 在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律. 解 铀的衰变速度为 dM/dt,根据题意有
讲授内容 及 时间分配
教
具 1、《高等数学》,同济大学数学系编,高等教育出版社,2007
主要 参考资料
2、《高等数学》,北京邮电大学数学教研室编,北京邮电大学出版社,2000. 3、《高等数学》,湖南省 21 世纪数学教材编写组编, 复旦大学出版社, 2007. 4、《高等数学教与学参考》，阎国辉编，西北工业大学出版社，2003.
第二节
一阶微分方程的一般形式为
一阶微分方程及其解法
F（x，y，y′）=0. (6-2-1) （6-2-2） （6-2-3）
若可解出 y′，则（6-2-1）可写成显式方程 y′=f（x，y） 或 M（x，y）dx+N（x，y）dy=0. 若（6-2-2）中右端不含 y，即
3
y′=f（x） ， 则由积分学可知，当 f（x）在某一区间上可积时，其解存在，且 y=
1
第六章 常微分方程
常微分方程是一个历史悠久的数学分支,也是与实际问题联系最为紧密的数学分支之一.在本章中,我们 首先介绍有关常微分方程的一些基本概念,然后讨论几种常微分方程的解法.
第一节 常微分方程的基本概念
我们通常把含有一元未知函数及其导数(或微分) 的方程称为常微分方程.在不致引起混淆的情况下简 称为微分方程或方程.例如,以下这些都是常微分方程: ①
∫ f （x）dx+C.
下面我们讨论几种特殊类型的一阶微分方程的求解方法.
一、可分离变量方程
形如 y′=f(x)g(y) 的方程，称为可分离变量方程.这里 f（x） ，g（y）分别是 x，y 的函数. 当 g（y）≠0 时，方程（6-2-4）可写成 (6-2-4)
dy =f（x）dx. g ( y)
解 将变量分离，得 dy=dx.
两边积分，得
y =x+C.
通解为 y= ( x + C ) 2 . 此外,还有解 y=0.无论 C 取怎样的常数,解 y=0 均不能由通解表达式 y= ( x + C ) 得出,即直线 y=0(x 轴)
2
虽然是原方程的一条积分曲线,但它并不属于这方程的通解所确定的积分曲线族 y= ( x + C ) 2 (抛物线),我们
d2s =f. dt 2
例 2 已知一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意一点 M(x,y)处切线的斜率为 2x,要求这条曲线方程.在 数学上该问题归结为求满足微分方程
dy =2x dx
和条件 y｜x=1=2 的函数 y=y(x). 例 3 列车在直线轨道上以 20m· s −1 的速度行驶,制动时列车获得的加速度为-0.4m· s −2 .求列车开始制动 后行驶路程 s(t)与时间 t 的关系. 此问题相当于求满足微分方程
2、课后分析（学生反映、经验教训、改进措施）：6二、齐次方程
形如 y′= ϕ ( ) 的方程,称为齐次方程. 为了解方程(6-2-7),我们可作变量代换: u= 将 y′=u+xu′代入(6-2-7)式，得 u+xu′= ϕ (u). (6-2-8)式为可分离变量方程,分离变量得
y x
（6-2-7）
解 将方程化成
y dy x = dx 1 − ( y )2 x
这是一个齐次方程.令 u=
y ,得 x du u u+x = . dx 1 − u 2 1− u2 1 du= dx. 3 u x
分离变量,得
两边积分,得
−
即
1 − ln u = ln x + C1 , 2u 2
− 1 2u2 − c1
xu=C e 将 u 换成
第六章 常微分方程
教研室：高等数学教研室 课程名称 授课内容 高等数学 I（上） 第六章 常微分方程 授课专业及班次 授课方式及学时 讲授，14 学时
通过本章的学习，使学生：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念， 二阶线性微分方程解的结构；熟练掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法、二阶 常系数齐次线性微分方程的解法；会解齐次方程、伯努利方程，从中领会用变量代换 目的 与 要求 解方程的思想；会解较简单的全微分方程；掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函 数、余弦函数及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法；知道可降 阶的高阶方程的解法和高阶常系数齐次线性微分方程的解法；会识别可分离变量的方 程，齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程。会用微分方程解一些简单的几何和物理 问题。 重点 与 难点 重点：一阶微分方程的解法（可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程）、二 阶常系数线性微分方程的解法。 难点：一阶微分方程的解法，高阶线性微分方程解的结构，可降阶的高阶微分方 程、二阶常系数非齐次线性微分方程。 第一节 常微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程方程及其解法 第三节 微分方程的降阶法 第四节 线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性微分方程 ** 第七节 欧拉方程 本章总结 (1 学时) (3学时) (2 学时) (2 学时) (4 学时) (2 学时)