第六章 非线性微分方程

第六章 非线性微分方程和稳定性研究对象二阶驻定方程组（自治系统）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dtdy y x X dtdx1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组),(x f xt dtd = （6.1） 其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=dtdxdt dx dt dx dt d n 21x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),,,;(),,,;(),,,;()(21212211n n n n x x x t f x x x t f x x x t f x f 。

总假设),(x f t 在D I ⨯上连续，且关于x 满足局部李普希兹条件，R I ⊂，区域nR D ⊂,00=),(t f ，∑==ni ix12x 。

如果对任意给定的0>ε，存在0)(>εδ（一般ε与0t 有关），使得当任一0x 满足δ≤0x 时，方程组（6.1）满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x ，均有εx <)(t 对一切0t t ≥成立，则称方程组（6.1）的零解0=x 为稳定的。

如果方程组（6.1）的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ<x 时，满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x 均有0=+∞→)(lim t t x ，则称零解0=x 为渐近稳定的。

如果0=x 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D ∈∀x 时满足初始条件00)(x x =t 的解均有0=+∞→)(lim t t x ，则称域0D 为（渐近）稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=x 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。

当零解0=x 不是稳定时，称它为不稳定的。

即就是说：如果对某个给定的0>ε，不论0>δ怎样小，总有一个0x 满足δx ≤0，使得由初始条件00)(x x =t 所确定的解)(t x ，至少存在某个01t t >使得εt =)(1x ，则称方程组（6.1）的零解0=x 为不稳定的。

第六章 非线性微分方程和稳定性在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.§6.1 引言考虑微分方程(,)d f t dt=xx (6.1)其中函数(,)f t x 对n D R ∈⊆x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)Tn x x =x 的范数取1221()nii x ==∑x .如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足01δ-<x x就有0001(,,)(,,)t t t t ϕε-<x x x对一切t ≥t 0成立，则称(6.1)的解01(,,)t t x ϕ=x 是稳定的.否则是不稳定的.假设01(,,)t t ϕ=x x 是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要0x 满足011δ-<x x就有0001lim((,,)(,,))0t t t t t ϕ→∞-=x x x则称(6.1)的解01(,,)t t ϕ=x x 是渐近稳定的.为了简化讨论，通常把解01(,,)t t ϕ=x x 的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)t t t =x x x ,01()(,,)t t t ϕϕ=x 作如下变量代换.令()()y t t ϕ=-x (6.2) 则d dt y =()()(,())(,())d t d t f t t f t t dt dtϕϕ-=-x x (,())(,())(,)df t t f t t F t ϕϕ=+-=y y于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成(,)d F t dt=yy (6.3)其中(,)(,())(,())F t f t t f t t ϕϕ=+-y y .这样关于(6.1)的解()t ϕ=x 的稳定性问题就化为(6.3)的零解y =O 的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x =O 的稳定性，即假设(,)f t O O ≡，并有如下定义:定义6.1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)t δδε=，使当0δ<x 时有 00(,,)t t ε<x x (6.4)对所有的0t t ≥成立，则称(6.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. 定义6.2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当01δ<x 时有00lim (,,)0t t t →∞=x x则称(6.1)的零解是渐近稳定的.例1 考察系统⎪⎩⎪⎨⎧-==x dtdyydt dx的零解的稳定性.解 对于一切0t ≥，方程组满足初始条件0(0)x x =,22000(0)(0)y y x y =+≠的解为 0000()cos sin ()sin cos x t x t y ty t x t y t=+⎧⎨=-+⎩ 对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有112222220000122200[()()][(cos sin )(sin cos )]()x t y t x t y t x t y t x y δε+=++-+=+<=故该系统的零解是稳定的.然而，由于112222220lim[()()]()0t x t y t x y →∞+=+≠所以该系统的零解不是渐近稳定的.例2 考察系统dxx dtdy y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 的零解的稳定性.解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：00()()ttx t x e y t y e--⎧=⎨=-⎩ 其中22000x y +≠对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有1122222222122200[()()]()()(0)t t x t y t x ey ex y t δε--+=+≤+<=≥故该系的零解是稳定的. 又因为1122222222lim[()()]lim()0t t t t x t y t x ey e --→∞→∞+=+=可见该系统的零解是渐近稳定的.例3 考察系统dxx dtdy y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 的零解的稳定性.解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为00()()ttx t x e y t y e ⎧=⎨=⎩(0)t ≥ 其中2200x y +≠. 111222222222220[()()]()()t t t x t y t x e y e x y e +=+=+由于函数e t 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意0ε>，不管12220()x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证1222[()()]x t y t +小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.例4 考虑常系数线性微分方程组dxAx dt= (6.5)其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明，若A 的所有特征根都具严格负实部，则(6.3)的零解是渐近稳定的.证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t )是(6.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成0()()x t t x =Φ (6.6)由A 的所有特征根都具负实部知lim ()0t t →∞Φ= (6.7)于是知存在t 1>0，使t >t 1时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当00x δ<时，由(6.6)有00()()x t t x x ε≤Φ≤<, 1t t >(6.8)当t ∈[0,t 1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述0ε>，存在δ1 >0，当01x δ<时()x t O ε-<, 1[0,]t t ∈取01min{,}δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有()x t ε<, [0,]t ∈+∞即0x =是稳定的.由(6.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →∞Φ=，故0x =是渐近稳定的.。

非线性微分方程的稳定性和相图非线性微分方程的稳定性与相图是研究非线性微分方程的关键问题。

非线性微分方程具有很强的复杂性和多样性，其解的行为可能十分复杂，我们需要通过一些稳定性和相图的方法，来研究其性态，从而揭示方程的性质和行为。

一、非线性微分方程的稳定性稳定性是指解相对于一定条件的微弱变化是否保持不变。

在非线性微分方程中，稳定性主要包括两个方面：渐进稳定性和渐进周期性。

1. 渐进稳定性在一般情况下，我们关注的是非线性微分方程的渐进稳态解。

渐进稳定性是指对于一定的初值条件，当时间趋于无穷大时，解趋向于一个稳定的状态。

这里的“稳定状态”是指，无论初值条件的微小扰动都会被抑制。

具体来讲，假设有一个非线性微分方程：$ \frac{d^2y}{dt^2} +f(y) = 0 $，其中 $f(y)$ 是关于 $y$ 的非线性函数。

我们可以通过线性化的方法，将$f(y)$ 在一个平衡点$y_0$ 处展开成泰勒级数：$ f(y) = f(y_0) + f'(y_0)(y-y_0) + \frac{1}{2}f''(y_0)(y-y_0)^2 + \dots $。

这个展开式类似于 $y-y_0$ 的二阶微分方程，因此我们可以得到一个线性化的微分方程：$ \frac{d^2 (y-y_0)}{dt^2} + f'(y_0)(y-y_0) = 0 $，这是一个二阶常系数线性微分方程。

我们知道，关于一个线性微分方程，其解形式是可以解析地求出的。

因此，通过求解线性化的微分方程，可以得到原非线性微分方程的“近似解”，即在 $y_0$ 处的一阶梯度和二阶曲率信息。

这个信息可以告诉我们，当 $y$ 离开 $y_0$ 越远，$y$ 的变化越剧烈，即非线性力会越来越大，从而影响解的行为。

对于渐进稳定性，我们需要考虑两点：平衡点的存在及其稳定性。

具体来说：（1）平衡点的存在：如果 $f(y)$ 对于某个 $y_0$ 满足 $f(y_0)= 0$，那么 $y(t) = y_0$ 是原非线性微分方程的一个平衡解。

非线性微分方程的周期解和极限环非线性微分方程是数学中的一种重要的研究对象。

在物理学、生物学、经济学等领域中，非线性微分方程也起着不可替代的作用。

其中，周期解和极限环是非线性微分方程的两种重要解法，下面将进行详细介绍。

一、周期解周期解是指在某些非线性微分方程中，存在一种解形式，该解在时间上周期性出现。

周期解的一个经典例子是Van der Pol振荡器模型，该模型描绘了由非线性电感和静电元件组成的电路中的振荡现象。

Van der Pol振荡器的方程可以表示为：$$\frac{d^2x}{dt^2} - \mu (1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0$$其中，$x$表示电路中的电荷电流，$\mu$表示系统的某个常数。

该方程的周期解可以表示为：$$x(t) = a \cos(\omega t - \phi)$$其中，$a$、$\omega$和$\phi$为常数。

这种周期解体现了Van der Pol振荡器的周期性特征。

二、极限环不同于周期解的周期性，极限环是指某些非线性微分方程中，解形式不断旋转缩小，最终收敛于一种恒定的形式。

极限环可以解释很多自然现象，例如天体运动、生物进化等。

极限环最早被发现于天体运动中。

开普勒三定律描述了天体间的运动，但是对于多个天体的情况，求解轨道运动并不简单。

在19世纪初，拉普拉斯提出了一个重要的结论，称之为拉普拉斯-杨定理。

该定理认为，只要天体系统具有一些特定的性质，就可以保证其运动形式是稳定的。

这些性质被称为拉普拉斯不变量。

类似地，极限环也可以应用于非线性微分方程的稳定性分析。

对于某些非线性微分方程，如果其极限环是稳定的，那么该方程的解就具有稳定性。

例如，假设存在一个非线性微分方程：$$\frac{d^2x}{dt^2} + \epsilon (1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0$$其中，$\epsilon$表示某个常数。

如果该方程的解具有稳定的极限环，那么该方程的解可以表示为：$$x(t) = a \cos(\omega t - \phi) + O(\epsilon^2)$$其中，$a$、$\omega$和$\phi$为常数。

非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equation，简称NPDE）是数学中一个研究领域，它被广泛应用于物理、工程和生物等领域。

NPDE不同于线性偏微分方程，因为它们的解不仅取决于初边值条件，还会受到问题本身的非线性特性所影响。

本文将探讨NPDE的概念、应用以及在科学研究领域中的重要性。

一、NPDE的概念NPDE是描述自然现象中非线性变化的方程，它们的解不能通过将其分解为一系列线性的模式来求得。

在实际情况中，由于问题本身的复杂性以及各种因素的相互作用，NPDE被广泛用于模拟和分析自然现象中的非线性行为。

二、应用场景NPDE在物理、工程、生物和社会科学等领域中都有广泛的应用。

例如，在物理学中，研究可以用于描述液体和气体的流动，气体的化学反应和平衡力学系统中的非平衡行为；在工程学中，NPDE被用于模拟机械结构中的应力和变形，以及电磁场和声波等现象；在生物学中，NPDE可以用于研究生物系统的动态行为，例如癌细胞扩散和神经元的活动；在社会科学中，NPDE被用于描述人口增长、经济增长和文化传播等过程中的非线性行为。

三、研究的意义NPDE是自然现象中非线性行为的数学描述，因此其研究具有重要的意义。

首先，NPDE研究将帮助我们更好地理解和预测自然现象中的非线性行为。

例如，在物理学中，研究可以帮助我们更好地理解复杂流体中的湍流现象，从而提高空气动力学和海洋动力学的模拟精度。

其次，NPDE研究也可以为工程设计提供更加精确的方法，以避免由于非线性效应失效造成的问题。

例如，在电力系统设计中，由于线性偏微分方程无法满足电力系统中的非线性特性，因此已成为研究电力系统稳定性的重要工具。

最后，研究也可以为新材料的研究提供理论基础。

例如，在材料科学中，能够描述复杂的物理和化学反应，以预测材料的性能和行为。

总结：尽管为数学中的高阶领域，但其在物理、工程、生物和社会科学等领域中有着广泛的应用。

一般非线性微分方程的解法及应用非线性微分方程（Nonlinear Differential Equations）是微积分中的重要课题。

与线性微分方程不同，非线性微分方程由于其非线性性质，无法被直接解出。

在此篇文章中，我们将会讨论一般非线性微分方程的解法和应用。

一、解法1.变系数法变系数法（变参法）是一种基于给出非线性微分方程（NDE）通解，并利用边界条件解出一般解的方法。

现在，我们尝试用变系数法解决以y为未知函数y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)的非线性微分方程。

步骤如下：(1) 先解出对应的线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解，例如:$$y=c_1y_1+c_2y_2$$（其中c1和c2是常数，y1和y2是两个线性无关的特解）(2) 在此基础上拟定向非线性微分方程g(x)所对应的一个特解y0(x)，(3) 将此特解代入非齐次微分方程中，得到特殊解y(x)，即为非线性微分方程的解。

例如：设通解为y=c1y1+c2y2, 特解为y0,带入方程得到:y'' + p(x)y'+ q(x)y = g(x)y0'' + p(x)y0' + q(x)y0 = g(x) - y1''-p(x)y1'-q(x)y1由于y1是齐次方程的解，所以原方程可以化为齐次的：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0利用常数变易法，可将y0解出。

则该微分方程的最终通解为y=c1y1+c2y2+y02. 可积的非线性微分方程可积的非线性微分方程是一种特殊的非线性微分方程，可以通过直接积分或某些变换使其解出。

例如：y'+a(x)y+b(x)y^3=0若a(x)和b(x)是连续的函数，则该微分方程为可积的。

可将该方程变形为1/2d/dx(y^2)+a(x)y^2=0则原微分方程的解为：$$y(x)=\sqrt{\frac{-2\int a(x)dx+c}{b(x)}}$$（其中c是常数，与初始条件有关）3.级数法级数法（常微分方程级数解）是利用幂级数解法求解非线性微分方程的方法。

非线性微分方程的经济学方程在现代经济学中，很多问题常常涉及到非线性微分方程。

这些方程往往不能直接求解，需要经过复杂的计算和模拟才能得到解。

这就使得非线性微分方程成为了经济学中一个非常热门的话题。

本文将介绍一些关于非线性微分方程在经济学领域中的应用，以及它们对现实世界的重要贡献。

一、研究非线性微分方程的背景和意义经济学中的很多问题都是非线性的。

例如，企业在决策过程中考虑不同因素的权值，这些因素之间可能存在着相互作用和反馈，从而产生非线性关系。

又如，宏观经济模型常常涉及到复杂的非线性动态过程，如通货膨胀、经济增长等。

这些非线性关系很难用线性方程来描述，需要采用非线性微分方程来进行建模和分析。

非线性微分方程在经济学中的应用非常广泛。

它们可以用来研究市场的稳定性、经济不确定性、金融风险等问题。

这些问题往往反映了现实世界的复杂性和不确定性，而且很难用传统的方法来解决。

因此，非线性微分方程成为了经济学家分析和理解现实世界的重要工具。

二、经济学中的常见非线性微分方程模型1. 价格走势模型在市场中，商品价格往往受到供需关系、市场竞争、生产成本等因素的影响。

这些因素之间存在复杂的非线性关系。

因此，用非线性微分方程来描述价格走势是非常合理的。

常见的价格走势模型包括价格波动模型和价格稳定模型。

价格波动模型是用来描述价格在市场波动的情况。

它表现出了价格的不确定性和波动性，可以用来帮助企业和投资者做出决策。

价格稳定模型是用来描述价格逐渐趋于平稳的情况。

它表现出了市场的稳定性和可预测性，可以用来研究市场结构和竞争机制等问题。

2. 经济增长模型经济增长是一个复杂的过程，涉及到人口增长、技术进步、资源约束等诸多因素。

这些因素之间存在着相互作用和反馈，因此，经济增长往往是非线性的。

经济增长模型通常采用动力学系统的理论，建立包含多个变量的非线性微分方程组来描述经济的复杂动态过程。

这些模型可以用来研究不同因素对经济增长的影响，预测未来经济的发展趋势等。

非线性微分方程的数值解法非线性微分方程是数学中一个重要的研究领域，它在物理、工程和生命科学等领域中都有广泛的应用。

然而，求解非线性微分方程是一个相对困难的问题，因为它们往往没有解析解。

为了解决这个问题，数值解法成为了一种重要的工具。

在非线性微分方程的数值解法中，有几种常见的方法，比如有限差分法、有限元法和谱方法等。

这些方法各有优缺点，适用于不同类型的非线性微分方程。

下面将介绍其中的一些方法。

有限差分法是一种常见的数值解法，它将微分方程中的导数用差分来近似表示。

通过将区域离散化为网格，将微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。

有限差分法简单易懂，适用于一些简单的非线性微分方程，但对于复杂的问题，可能需要较大的网格和更多的计算资源。

有限元法是一种更为灵活的数值解法，它将区域划分为许多小区域，然后在每个小区域上构建一个适当的试验函数。

通过将微分方程转化为一个变分问题，可以得到一个线性方程组，通过求解这个方程组可以得到数值解。

有限元法适用于各种类型的非线性微分方程，但需要更高的计算资源和更复杂的算法。

谱方法是一种基于特殊函数的数值解法，它利用特殊函数的性质来近似非线性微分方程的解。

谱方法在一些特定的问题中表现出色，比如边界层问题和奇异问题。

它的优点是精度高，收敛速度快，但对于一般的非线性微分方程，谱方法可能不太适用。

除了这些传统的数值解法，还有一些新的方法正在被研究和发展。

比如，神经网络方法和深度学习方法在解非线性微分方程方面取得了一些突破性的进展。

这些方法利用神经网络的强大拟合能力和学习能力，可以通过大量的数据来近似非线性微分方程的解。

虽然这些方法还处于发展阶段，但它们有着巨大的潜力。

总的来说，非线性微分方程的数值解法是一个复杂而又有挑战性的问题。

不同的数值解法适用于不同类型的非线性微分方程，选择适当的方法对于获得准确的数值解非常重要。

随着计算机技术的不断进步，数值解法在解决非线性微分方程问题中的应用将会越来越广泛。

非线性微分方程的随机微积分方程随机微积分方程是概率微积分的一种分支，它解决的是随机过程中的微积分问题，这包括了随机过程的微分和积分等运算。

通常情况下，我们会将一些随机过程用随机微分方程的形式表达出来，这是非常有帮助的，因为可以用这种方法描述一些难以看清的随机现象。

在随机微积分方程中，非线性微分方程是一类非常重要的问题。

非线性微分方程的形式一般为：$$\frac{dX_t}{dt} = f(X_t) + g(X_t)\dot{W_t}$$其中，$X_t$是一个随机变量，表示我们所感兴趣的随机过程；$f(X_t)$是一个已知函数，描述$X_t$的演化规律，它不包含白噪声项；$g(X_t)\dot{W_t}$是一个随时间变化的白噪声项，其中$\dot{W_t}$表示白噪声的微分。

由于随机微积分方程中存在白噪声分量，因此具有难以预测的随机性质，所以它的求解是非常复杂的。

解决非线性微分方程的方法有很多种，其中最常见的方法是数值模拟和随机微积分方法。

在数值模拟中，我们模拟随机过程的演化，计算过程中涉及到白噪声，因此需要使用随机微积分方法进行计算。

而随机微积分方法中，最为重要的是伊藤引理和斯特劳维尔公式。

伊藤引理是随机微积分中的核心定理，与经典微积分中的牛顿-莱布尼茨公式具有相似性。

它的基本形式如下：$$df(X_t) = \frac{\partial f(X_t)}{\partial t}dt + \frac{\partialf(X_t)}{\partial X_t}dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2f(X_t)}{\partial X_t^2}d\langle X_t \rangle$$其中，$dX_t$表示微小的随机变化，它与白噪声有关；$\frac{\partial f(X_t)}{\partial t}dt$是$f(X_t)$关于时间的偏导数；$\frac{\partial f(X_t)}{\partial X_t}dX_t$是$f(X_t)$关于随机变量的偏导数与$dX_t$的乘积；$\frac{1}{2}\frac{\partial^2f(X_t)}{\partial X_t^2}d\langle X_t \rangle$是一个二次型，用于处理$dX_t$的方差。

第六章非线性微分方程第六章非线性微分方程教学目的：使学生重点掌握二维自治系统奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性；了解周期解和极限环的概念．教学内容：1、存在唯一性定理、稳定性2、相平面相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性．3、Liapunov 第二方法 Liapunov 第二方法． 4、极限圈周期解、极限环．教学重难点：奇点的分类与相应零解的稳定性教学过程：§6.1 稳定性6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理本章讨论非线性常微分方程组n R Y Y t G dtdY∈=),;( （6.1）的解的性态.设给定方程组（6.1）的初值条件为00)(Y t Y =，（6.2）考虑包含点),,,;(),(02010000n y y y t Y t Λ=的某区域b Y Y a t t R ≤-≤-00,:. 在这里Y 的范数Y 定义为∑== ni iyY 12. 所谓),(Y t G 在域G 上关于Y 满足局部利普希茨条件是指：对于G 内任一点),(00Y t ，存在闭邻域G R ?，而),(Yt G 于R 上关于Y 满足利普希茨条件，即存在常数0>L ，使得不等式Y Y L Y t G Y t G -≤-~);()~;( （6.3）对所有R Y t Y t ∈),(),~,(成立. L 称为利普希茨常数.存在唯一性定理如果向量函数),(Y t G 在域R 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解),;(00Y t t Y ?=，它在区间h t t ≤-0上连续，而且0000),;(Y Y t t =? 这里);(max ),,min(),(Y t G M Mba h G Y t ∈==.解的延拓与连续定理如果向量函数),(Y t G 在域G 内连续，且关于Y 满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(00Y t t Y ?=)),((00G Y t ∈可以延拓，或者延拓到∞+（或∞-）；或者使点)),;(,(00Y t t t ?任意接近区域G 的边界. 而解),;(00Y t t ?作为00,;Y t t 的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理如果向量函数),(Y t G 及),,2,1,(n j i y G jiΛ??在域G 内连续，那么方程组（6.1）由初值条件（6.2）确定的解),;(00Y t t Y ?=作为00,;Y t t 的函数，在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2 李雅普诺夫稳定性考虑一阶非线性方程2By Ay dtdy-= （6.4）其中B A ,为常数且0>?B A ，初值条件为0)0(y y =.为研究方程组（6.1）的特解)(t Y ?=邻近的解的性态，通常先利用变换)(t Y X ?-= （6.6）把方程组（6.1）化为);(X t F dtdX=，（6.7）其中))(;())(;()();();(t t G t X t G dtt d Y t G X t F -+=-=. 此时显然有0)0;(=t F （6.8）而把方程组（6.1）的特解)(t Y ?=变为方程组（6.7）的零解0=X . 于是，问题就化为讨论方程组（6.7）的零解0=X 邻近的解的性态.驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解)(),(21t y t y . 微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.考虑微分方程组（6.7），假设其右端函数),(X t F 满足条件（6.8）且在包含原点的域G 内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.定义1 如果对任意给定的0>ε，存在)(00有关和一般与t εδδ>，使当任一0X 满足δ≤0X 时，方程组（6.7）的由初值条件00)(X t X =确定的解)(t X ，对一切0t t ≥均有ε<)(t X .则称方程组（6.7）的零解0=X 为稳定的.如果（6.7）的零解0=X 稳定，且存在这样的00>δ使当00δ≤X 时，满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为渐近稳定的.如果零解0=X 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D X ∈时满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则域0D 称为（渐近）稳定或吸引域. 若稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=X 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.当零解0=X 不是稳定时，称它是不稳定的. 即是说：如果对某个给定的0>ε不管0>δ怎样小，总有一个0X 满足δ≤0X ，使由初值条件00)(X t X =所确定的解)(t X ，至少存在某个01t t >使得ε=)(1t X ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为不稳定的.二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）6.1.3 按线性近似决定稳定性考虑一阶常系数线性微分方程组AX dtdX= （6.10）由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由n i e t cii lm t m im≤≤∑=1,0λ （6.11）的线性组合，这里i λ为方程组（6.10）的系数矩阵A 的特征方程0)det(=-E A λ （6.12）的根，i l 为零或正整数，由根i λ的重数决定.根据（6.11），与第五章相对应的可得如下结论.定理1 若特征方程（6.12）的根均具有负实部，则方程组（6.10）的零解是渐近稳定的；若特征方程（6.12）具有正实部的根，则方程组（6.10）的零解是不稳定的；若特征方程（6.12）没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组（6.10）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定.考虑非线性方程组)(X R AX dtdX+=，（6.13）其中0)0(=R ，且满足条件0)(→XX R （当0→X 时）. （6.14）显然0=X 是方程组（6.13）的解. 亦是方程组的奇点.问题在什么条件下，（6.13）的零解稳定性能由线性微分方程组（6.10）的零解的稳定性来决定. 这便是所谓按线性近似决定稳定性的问题.定理2 若特征方程（6.12）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.10）的零解的稳定性态一致. 这就是说，当特征方程（6.12）的根均具有负实部时，方程组（6.13）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（6.12）具有正实部的根时，其零解是不稳定的.（6.2中再补充证明）该定理说明非线性微分方程组（6.13）的零解是否为渐近稳定的取决于其相应的特征方程（6.12）的全部的根是否具有负实部.临界情形至于特征方程（6.12）除有负实部的根外还有零根或具零实部的根的情形，非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态并不能由线性近似方程组（6.10）来决定. 因为可以找到这样的例子，适当变动)(t R （条件（6.14）仍满足），便可使非线性微分方程组（6.13）的零解是稳定的或是不稳定的.例1 考虑有阻力的数学摆的振动，其微分方程为0sin 22=++??μ?l gdt d m dtd ，（6.15）这里长度l ，质量m 和重力加速度g 均大于0，并设阻力系数0>μ. 令dtd y x ?==,，将方程（6.15）化为一阶微分方程组x lg y m dt dy y dt dx sin ,--==μ （6.16）原点是方程组的零解.赫尔维茨（Hurwitz ）判别代数方程的根的实部是否均为负的法则. 定理3 设给定常系数的n 次代数方程0122110=+++++---n n n n n a a a a a λλλλΛ，（6.18）其中00>a ，作行列式,,0,,345123013231211Λa a a a a a a a a a a a a =?==? ,000142322212012301-----?==n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM MM M M ΛΛ 其中0=i a （对一切n i >）.那么，方程（6.18）的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立： 0,0,,0,0,01321>>?>?>?>-n n a a Λ. 证明见高等代数的课本，略.例2 考虑一阶非线性微分方程组+--+=++-=+-+-=),(,,222232z y e z y x dtdz z y x y x dtdy e x z y x dt dx x x 例3 对三次方程0)1(2)()1(23=-++++++c ab c a b b a λλλ，其中0,0,0>>>c b a ，考虑其根均具有负实部时参数c 的变化范围.习题6.1 第260页1（1），（3）；3（1），（3）；4（1），（3）；5§6.2 V 函数方法6.2.1 李雅普诺夫定理对于数学摆的振动，当摆有阻力时可由其线性近似方程组决定它的稳定性. 但当摆无阻力时，方程组（6.16）变成x lg dt dy y dt dx sin ,-== （6.19）属于临界情形，不能按线性近似决定其稳定性. 为判断其零解的稳定性态. 直接对方程组（6.19）进行处理. 李雅普诺夫第二方法的思想：构造一个特殊的函数),(y x V ，并利用函数),(y x V 及其通过方程组的全导数dty x dV ),(的性质来确定方程组解的稳定性. 具有此特殊性质的函数),(y x V 称为李雅普诺夫函数，简称V 函数.如何应用V 函数来确定非线性微分方程组的解稳定性态问题. 只考虑非线性驻定微分方程组)(X F dtdX= （6.20）定义2 假设)(X V 为在域H X ≤内定义的一个实连续函数，0)0(=V . 如果在此域内恒有0)(≥X V ，则称函数V 为常正的；如果对一切0≠X 都有0)(>X V ，则称函数V 为定正的；如果函数V -是定正的（或常正的），则称函数V 为定负（或常负）的.进而假设函数)(X V 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程（6.20）的解代入，然后对求t 导数i ni ii n i i f x Vdt dx x V dt dV ∑∑==??=??=11，这样求得的导数dtdV称为函数V 通过方程（6.20）的全导数. 例1函数 2)(),(y x y x V +=是常正的；而函数42)(),(y y x y x V ++=是定正的；定理4 如果对微分方程组（6.20）可以找到一个定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为常负函数或恒等于零，则方程组（6.20）的零解是稳定的. 如果有定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为定负的，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的.如果存在函数)(X V 和某非负常数μ，而通过（6.20）的全导数dtdV可以表示为)(X W V dtdV+=μ，且当0=μ时，W 为定正函数，而当0≠μ时W 为常正函数或恒等于零；又在0=X 的任意小邻域内都至少存在某个X ，使0)(>X V ，那么，方程组（6.20）的零解是不稳定的. 证明详见第265页.几何解释由未知函数组成的空间称为相空间，二维相空间又称为相平面，微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨线，轨线亦可定义为积分曲线在相空间中的投影.以平面微分方程组为例，从相平面上轨线与V 函数的关系来说明稳定性定理的几何意义.例2 考虑平面微分方程组33,ay x dtdyax y dtdx+=+-=，（6.26）定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理，对含有时间t 的非驻定的微分方程组及含有时间t 的V 函数),(X t V 也有相应的定理，其证明也一样.定理5 如果存在定正函数)(X V ，其通过方程组（6.20）的全导数dtdV为常负，但使 0)(=dtt dV 的点X 的集中除零解0=X 之外并不包含方程组（6.20）的整条正半轨线，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的. 定理5的证明与定理4的类似.例3 数学摆的稳定性问题 6.2.2 二次型V 函数的构造应用李雅普诺夫第二方法判断微分方程组零解的稳定性的关键是找到合适的V 函数. 如何构造满足特定性质的V 函数是一个有趣而复杂的问题. 这里考虑常系数线性微分方程组构造二次型V 函数的问题，并利用它来补充证明按线性近似决定稳定性的定理2定理6 如果一阶线性方程组AX dtdX= （6.10）的特征根i λ均不满足关系),,2,1,(0n j i j i Λ==+λλ，则对任何负定（或正定）的对称矩阵C ，均有唯一的二次型 )()(B B BX X X V T T== （6.27）使其通过方程组（6.10）的全导数有)(C C CX X dtdVT T ==. （6.28）且对称矩阵B 满足关系式C BA B A T=+，（6.29）这里TA ，TB ，TC TX 分别表示X C B A ,,,的转置.如果方程组（6.10）的特征根均具有负实部，则二次型（6.27）是定正（或定负）的；如果方程组（6.10）有均正实部的特征根，则二次型（6.27）不是常正（或常负）的.例4 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ，经过变换y dtdx= 习题6.2 1（1），（3），（5）；2（1），（3）；3（1），（3），（5）；4；5§6.3 奇点考虑二维（平面）一阶驻定微分方程组==),,(),,(y x Y dtdy y x X dt dx（6.33）同时满足0),(,0),(==y x Y y x X 的点),(**y x 是微分方程组（6.33）的奇点，*=x x ，*=y y 是方程的解. 可从通过坐标平移将奇点移到原点)0,0(，此时0)0,0()0,0(==Y X .考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态，并根据奇点邻域内轨线分布的不同性态来区分奇点的不同类型. 这时方程的形式为+=+=.,dy cx dtdyby ax dt dx（6.36）显然，坐标原点0,0==y x 是奇点. 如果方程组的系数满足条件0≠dc b a （6.37）则此奇点还是唯一的. 以下假定条件（6.37）成立.按特征根为相异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论. 情形1 同号相异实根这时方程的标准形式为ηληξλξ21,==dtd dt d ，（6.40）其解为t tBe t Aet 21)(,)(λληξ==，（6.41）其中21,λλ为实特征根，而B A ,是任意实数.21,λλ同为负实数时，方程的零解是渐近稳定的，称对应的奇点为稳定结点. 21,λλ同为正实数时，方程的零解为不稳定的，而对应的奇点称为不稳定结点.情形2 异号实根, 奇点称为鞍点.鞍点是不稳定的. 情形3 重根这时可分两种情况讨论：（1）0≠b 或0≠c . 如前面所指出的，这时方程可化为如下标准形式ληηηλξξ=+=dtd dt d ,，（6.42）其解为t tAe t eB At t λληξ=+=)(,)()(，（6.43）其中λ为实特征根，而B A ,是任意实常数.当0<λ时，奇点称为稳定退化结点. 假如0>λ，奇点是不稳定退化结点.（2）0==c b ，这时方程组（6.36）取形式 d a y dtdy x dt dx ====λλλ,,，其解为t tBe t y Ae t x λλ==)(,)(，于是 x ABy =. 奇点称为奇结点，且0<λ时为稳定的，而0>λ时为不稳定的.情形4 非零实部复根这时方程的标准形式为αηβξηβηαξξ+-=+=dtd dt d ,，（6.44）这里βα,分别为特征根的实部和虚部. 方程（6.44）的解的极坐标形式B t Ae r t +-==βθα,，（6.45）其中0>A 和B 为任意常数.奇点为焦点，且0<α时为稳定的，而0>α时为不稳定的. 情形5 纯虚根奇点称为中心. 零解为稳定，但非渐近稳定的. 定理7 如果平面线性驻定方程组（6.36）的系数满足条件（6.37），则方程的零解（奇点）将依特征方程（6.39）的根的性质而分别具有如下的不同特性：（1）如果特征方程的根21λλ≠为实根，而021>λλ时奇点为结点，且当01<λ时结点是稳定的，而对应的零解为渐近稳定的，但当01>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当021<λλ时奇点为鞍点，零解为不稳定的.（2）如果特征方程具有重根λ，则奇点通常为退化结点，但在0==c b 的情形奇点为奇结点. 又当0<λ时，这两类结点均为稳定的，而零解为渐近稳定的，但当0>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的.（3）如果特征方程的根为共轭复根，即21λλ=，则当0Re 1≠λ时奇点为焦点，且当0Re 1<λ时焦点为稳定的，对应的零解为渐近稳定的，而当0Re 1>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当0Re 1=λ时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的.程（6.36）的奇点)0,0(O ，当0det ≠A 时，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型：中心—实部为零焦点—实部不为零复根退化结点临界结点重（非零）实根鞍点—异号结点—同号相异（非零）实根实根 A 的系数与奇点分类的关系1）042>-q p○1 0>q奇点为结点二根同负二根同正--?><00p p○2 奇点为鞍点二根异号--<0q 2）042=-q p结点奇点为临界结点或退化负的重根正的重根--?><00p p 3）042<-q p0≠p 复数根的实部不为零，奇点为焦点 0=p 复数根的实部为零，奇点为中心.综合上面的结论，由曲线q p 42=，q 轴及p 轴把q p 0平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点（见288页（图6.10））.例1 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ，通过变换y dt dx=可将它化为下列方程组 --==,32,y x dtdyy dt dx习题6.3 1；2；3.§6.4 极限环和平面图貌6.4.1 极限环对于二阶常系数微分方程组，除了在中心型奇点邻域内轨线是一族围绕原点的闭曲线（对应于方程组的周期解）外；其余的情形均是一端趋于奇点（+∞→t 或-∞→t ），另一端趋于无穷远（-∞→t 或+∞→t ）或两端都趋于无穷远的轨线，不存在其他的复杂情形. 对于非线性微分方程组，在6.1中利用线性近似方程组讨论了奇点邻域的轨线性态，至于全相平面的轨线图貌，情况就复杂多了.例1 对平面二阶非线性驻定方程组+-+-=+-+=)(),(2222y x y y x dtdy y x x y x dt dx （6.47）如取极坐标θcos r x =，θsin r y =，则方程组（6.47）可化为)1(2r r dt dr -=，1-=dtd θ，孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限环. 当极限环附近的轨线均正向（即+∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为稳定的. 如果轨线是负方向（即-∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为不稳定的. 当此极限环的一侧轨线正向趋近于它时，称此极限环为半稳定的.不先求出特解（如上例的1=r ），而仅仅由构造出的环域D 便可以证明在此环域内必存在极限环. 这种构造特殊环域来寻求极限环的方法称为本迪克松（Bendixson ）方法.定理8 如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含有方程组（6.33）的奇点，而（6.33）的经过域D 上点的解)(),(t y y t x x ==，当0t t ≥（或0t t ≤）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于D 内的某一周期解（闭轨线）.通过构造有特殊性质的域D 可以确定周期解（极限环）的存在性，能否通过构造具有别的性质的域*D 来否定周期解（极限环）的存在呢？定理9 如果于G 内存在单连通域*D ，在其内函数yY x X ??+??不变号且在*D 内的任何子域上不恒等于零，则方程组（6.33）在域*D 内不存在任何周期解，更不存在任何极限环.例2 考虑6.1例1的数学摆，范德波尔微分方程0)1(222=+-+x dt dx x dtx d μ，（6.49）考虑所谓的李纳（Lienard ）微分方程0)()(22=++x g dt dxx f dt x d ，（6.50）如果记?=xdx x f x F 0)()(，并设)(x F dtdxy +=，则方程（6.50）可化为平面微分方程组)(),(x g dtdyx F y dt dx -=-=. （6.51）对于方程（6.50）或方程组（6.51），有下面的定理. 定理10 假设（1）)(x f 及)(x g 对一切x 连续，)(x g 满足局部利普希茨条件；（2）)(x f 为偶函数，)(,0)0(x g f <为奇函数，当0≠x 时0)(>x xg ；（3）当±∞→x 时，)(;)(x F x F ±∞→有唯一正零点a x =，且对)(,x F a x ≥是单调增加的.那么，方程（6.50）有唯一周期解，即方程组（6.51）有一个稳定的极限环 6.4.2 平面图貌奇点和极限环是相平面上两种特殊的轨线，希望在相平面上画出一般的轨线的图貌，以了解微分方程的解的性态.定理11 两种群竞争一般模型（6.53）的每一条轨线，当∞→t 时都趋于有限个平衡点之一.定理12 平面驻定微分方程（6.33）在平面有界区域上结构稳定的充要条件是（1）只有有限个奇点，且均为双曲的；（2）只有有限个闭轨，且均为单重极限环；（3）没有鞍点之间的分界线.习题6.4 第307页 1（1），（3）；2（1），（3）.。

非线性微分方程的流体力学方程非线性微分方程（Nonlinear differential equation）是一类数学上的方程，描述了一些非线性现象的变化。

这种方程的解通常是无法用简单的函数表示。

在流体力学方程中，许多非线性微分方程都是非常重要的。

在实际应用中，需要通过数值方法求解这些方程来预测液体和气体的水动力学行为。

流体力学方程是一组方程，用于描述流体物理学中的运动和本质特性。

这些方程通常由连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成。

然而，在一些情况下，这些方程不足以描述流体的运动行为，需要引入非线性微分方程。

对于非线性微分方程的求解，通常有两种方法：解析法和数值法。

解析法是通过寻找特定函数来求解方程的方法。

但是对于非线性方程，通常无法通过解析方法求解，只能通过数值方法来近似求解。

数值方法是通过将解域分解为网格并使用近似值来计算解。

数值方法的优点是可以处理几乎所有类型的微分方程，但是由于数值误差，需要谨慎使用。

在流体力学中，非线性微分方程通常出现在以下几个方面：1. 湍流模拟湍流是一种非常复杂的流动状态，其运动特征无法用简单方程来描述。

对于大规模湍流模拟，需要使用Navier-Stokes方程（NS 方程），但由于该方程的非线性，难以直接求解。

因此，通常需要将NS方程用非线性微分方程进行近似处理。

例如，使用雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS），它将NS方程进行时间平均和空间平滑，以求得湍流的平均运动特征。

2. 细胞生物力学细胞是生物体内最小的单位，它的运动和形态受到一系列力学和生物化学因素的影响。

非线性微分方程被广泛用于模拟细胞的运动和形态变化。

例如，Fene-Carlson方程模拟细胞内部聚合物的流动，并且它的非线性特征能够描述细胞内部分子之间的相互作用。

3. 生物薄膜流体力学生物薄膜是一种生物分子的结构，在细胞内和周围形成了像细胞壁一样的物理屏障。

流体力学在生物薄膜研究中发挥着重要作用。