第六章常微分方程

第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。

通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。

第六章常微分方程第1节基本概念1.常微分方程含未知函数的导数的方程。

2.阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。

3.解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。

特解：通解中的任意常数确定。

初始条件：y(=，=，…，=4.线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。

第2节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：转化：=f(x)g(x)=两边同时积分2.齐次微分方程：如果=f()，那么设=u，则y=x u(x)那么=u(x)+x带入原方程得：u+x=f(u)= （可分离变量）3.一阶线性微分方程通式：+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。

一阶线性齐次微分方程通解：y=C一阶线性非齐次微分方程通解：y=(第3节高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程a)逐次积分解决。

b)令u(x)=,则=。

代入原式。

c)令=p(y),则=。

代入原式。

2.线性微分方程解的结构通式（二阶为例）：++Q(x)y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。

（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。

（2）若,是齐次的解，则仍然是它的解。

（3）接（2）若,线性无关，则是它的通解。

（4）若Y是齐次的通解，是非齐次的特解，则y=Y+是非齐次的通解。

3.二阶常系数线性微分方程通式：++Qy=f(x)齐次：++Qy=0特征方程：a)>0，有两个不等实根、。

则Y=+是齐次方程的通解。

b)=0，有两个相等实根。

则Y=+=是齐次方程的通解。

c)<0，有两个不等虚根。

则Y=是齐次方程的通解。

非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。

只有两种f(x)能找到特解：a)f(x)==是特征方程的k重根。

Qn是和Pn相同形式多项式。

b)f(x)=[Cos+sin]=[Cos+sin]m=max{n,l}是特征方程的k重根。

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第六章 常微分方程一 基本概念定义1 微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程． 定义2 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程． 一般形式：()(,,,,)0n F x y y y '= ；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 定义3 方程的阶： 微分方程中的导数或微分的最高阶称为方程的阶。

定义4 方程的解 函数()y f x =满足微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= ，则称()y f x =是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的解．方程解分为显示解和隐示解．定义5 通解： 含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为方程的通解． 定义6 特解：满足某个初始条件的解称为方程的特解．二 基本方法1．变量可分离的方程 （1）d ()()d y p x q y x=，分离变量；则有d ()d ()y p x x q y =，两边积分d ()d ()y p x x q y =⎰⎰．（2）1212()()d ()()d 0M x M y x N x N y y +=， 分离变量；则有 2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-，两边积分2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-⎰⎰2．齐次方程d d y y x x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 基本解法：令y u x =，则y ux =，两边对变量x 求导，d d d d y ux u x x=+，于是有 d ()d uu x u xϕ=+，从而化为变量分离方程为d d ()ux u uxϕ=-．3．一阶线性非齐次方程 ()()y p x y q x '+=公式解：()d ()d e [()e d ]p x x p x xy q x x C -⎰⎰=+⎰4．伯努利方程 ()()ny p x y q x y '+=， 基本解法：令1nz y-=，则有(1)()(1)()z n p x z n q x '+-=-，从而方程化为一阶线性非齐次方程，所以该方程解为(1)()d (1)()d 1e [(1)()e d ]n p x x n p x xnyn q x x C ----⎰⎰=-+⎰5．全微分方程若方程(,)d (,)d 0M x y x N x y y +=满足M N yx∂∂=∂∂，则称该方程为全微分方程．解法1 特殊路径积分解法0(,)d (,)d x y x y M x y x N x y y C +=⎰⎰其中点00(,)x y 一般可以任意选取，只要有利于积分，通常情况下，选取00(,)x y 为(0,0)．解法2 凑微分（分组凑微分）(,)d (,)d d (,)M x y x N x y y u x y +=则方程的通解是(,)u x y C =．注1 凑微分方法对某些全微分方程是非常好用的，但对一些方程是不适用的。

第六章常微分方程一、学习指导1、知识网络常微分方程微分方程偏微分方程微分方程相关概念微分方程的阶通解微分方程的解特解可分离变量微分方程一阶线性齐次微分方程常见微分方程形式一阶线性微分方程及其通解公式一阶线性非齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程2、知识重点与学习要求2.1 了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。

2.2 掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的求解，会用微分方程解决一些简单的实际问题。

2.3 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

2.4 理解二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构定理，并会求某些特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，进而求其通解。

3、概念理解与方法掌握3.1基本概念（1）微分方程的定义含有未知函数的导数或微分的等式，叫做微分方程。

注意：① 在微分方程中，自变量及未知函数可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现。

② 在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则为常微分方程；如果未知函数是多元函数，则为偏微分方程。

本章只讨论常微分方程。

（2）微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。

（3）微分方程的解如果把一个函数代入微分方程中，能使方程变为恒等式，那么这个函数就称为微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常数，并且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解则称为微分方程的通解，不含任意常数的解叫做微分方程的特解。

（4）初始条件初始条件是用来确定通解中任意常数的条件，通常是由系统（微分方程）在初始时刻所处的状态给出。

3.2 几种常见类型微分方程的解法注意：微分方程特定类型有其特定的解法，故在解微分方程之前，一定要准确判断出它的类型。

1、可分离变量的微分方程 （1）方程形式 形如()()dyf xg y dx= 的微分方程叫做可分离变量的微分方程。

其中(),()f x g y 在其定义的某个范围内为连续函数，且()0g y ≠。