高数第6章 常微分方程

高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。

(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。

常微分方程[教学基本要求] 微积分1.理解微分方程的概念，了解微分方程的阶、通解、特解、初始条件等概念。

2.掌握一阶微分方程可分离变量型、齐次型、一阶线性微分方程的解法。

3.掌握降阶法解三种特殊二阶方程，及二阶常系数线性齐次、非齐次微分方程的解法。

4.了解一些简单的经济问题的微分方程模型；高等数学增加：掌握一阶全微分方程；会建立一阶常微分方程数学模型，解决一些简单的应用问题。

[知识要点]1. 以前我们遇到的是代数方程，求解的是一个或几个具体的未知量。

常微分方程是含有未知一元函数的导数(或微分)的等式，目的是求出这个未知函数。

通常用不定积分解出方程的解：含有任意常数（个数= 阶数）的通解或满足初始条件的特解（不含任意常数）。

2. 求解的第一步是判定方程的类型：首先是阶数，然后注意常系数还是变系数，线性还是非线性，齐次还是非齐次，根据类型选用适当方法求解。

3. 一阶微分方程可划分的类型及求解的基本方法： ·可分离变量型：)()(y g x f y =' 分离，积分⎰⎰=dx x f y g dy)()(·齐次型：)(x y f y =' 换元)(u f u x u y xyu ='+='⇒=，分离变量解)(x u 再求y 。

·线性方程：)()(x Q y x P y =+' 先解0)(=+'y x P y 然后可以用常数变易法求通解。

对线性方程的标准形式可直接用公式求通解⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(； 若是常系数，可用特征方程求相应齐方程通解y ，待定系数法求非齐次方程的一个特解*y 。

记住非齐次方程的通解结构： y = y +*y·全微分方程：0),(),(=+dy y x Q dx y x P 应该恰是函数),(y x u u ==C 的全微分。

高等数学慕课版常微分方程xx年xx月xx日•常微分方程的基本概念•常微分方程的解法•常微分方程的定性理论•常微分方程的数值解法目•常微分方程的应用实例•常微分方程与慕课教学的思考与展望录01常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个或多个变量变化的导数与自变量之间的关系的等式。

通常表示为 y' = f(x,y) 或 f(x,y') = 0 的形式。

常微分方程的定义常微分方程的分类方程中未知函数的项为一次或多次的线性组合。

线性常微分方程非线性常微分方程一阶常微分方程高阶常微分方程方程中未知函数的项为一次或多次的非线性组合。

只含有一个自变量的一阶导数。

含有两个或两个以上自变量的一阶或高阶导数。

常微分方程的应用如牛顿第二定律、电磁学中的麦克斯韦方程等。

物理中的应用如价格变化、供需关系等。

经济学中的应用如人口增长、传染病模型等。

生物医学中的应用如数值计算、算法优化等。

计算机科学中的应用02常微分方程的解法分离变量的方法是求解常微分方程的一种重要方法，适用于具有某些特定形式的方程组。

详细描述分离变量的方法是将两个或多个变量的微分方程简化成只含有一个变量的常微分方程，从而更容易求解。

通常，这种方法的步骤是先将方程组化简为形式简单的方程组，然后将各个方程中相同的未知数分离出来，最后对每个方程分别求解。

总结词分离变量的方法VS线性微分方程的解法总结词线性微分方程是一类常见的微分方程，它的解法相对比较简单。

详细描述线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间存在线性关系。

这类方程的解法通常是通过求解特征方程或使用待定系数法来得到通解，然后再根据初始条件求出特解。

求解线性微分方程时需要注意初始条件的设定和求解方法的适用性。

非线性微分方程的解法相对复杂，需要针对不同类型的方程采用不同的方法。

总结词非线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间不存在线性关系。

这类方程的解法通常需要采用数值方法和解析方法相结合的方式，如幂级数法、摄动法、迭代法等。