2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1学业分层测评4 Word版含解析

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．给出下列结论：①若y ＝，则y ′＝－；②若y ＝，则y ′＝；③1x 33x 43x 133x 若f (x )＝sin α，则f ′(x )＝cos α；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中，正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】　对于②y ＝，y ′＝x＝x＝，故②错；对于③f (x )＝sin3x 1313-113－23133x 2α，为常数函数，∴f ′(x )＝0，故③错；①④都正确．【答案】　B2．曲线f (x )＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )【导学号：63470066】A ．1B ．2C ．eD ．1e【解析】　∵f (x )＝e x ，∴f ′(x )＝e x ，∴f ′(0)＝1.即曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.【答案】　A3．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3【解析】　由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·＝－1，(－13)∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.【答案】　B4．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(2)，B ＝f (3)－f (2)，C ＝f ′(3)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A【解析】　记M (2，f (2))，N (3，f (3))，则由于B ＝f (3)－f (2)＝表示直f (3)－f (2)3－2线MN 的斜率，A ＝f ′(2)表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线的斜率，C ＝f ′(3)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线的斜率．由f (x )的图像易得A >B >C .【答案】　A5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.B ．－1e 1eC ．－eD ．e【解析】　y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则Error!∴e ＝e ·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.x 0 x 0【答案】　D 二、填空题6．若f (x )＝cos ，则f ′(x )＝________.2π3【解析】　f (x )＝－，∴f ′(x )＝0.12【答案】　07．(2016·安庆高二检测)曲线y ＝cos x 在点处的切线的倾斜角为(π4，22)________.【导学号：63470067】【解析】　y ′＝－sin x ，∴k ＝－sin ＝－.π422设倾斜角为α，则tan α＝－，α＝135°.22【答案】　135°8．设直线y ＝x ＋b 是曲线f (x )＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为12________．【解析】　f ′(x )＝(ln x )′＝，设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得＝，则1x 1x 012x 0＝2，y 0＝ln 2，代入切线方程y ＝x ＋b ，得b ＝ln 2－1.12【答案】　ln 2－1三、解答题9．求与曲线y ＝在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．3x 2【解】　∵y ＝，∴y ′＝()′＝(x )′＝x .3x 23x 22323-13 ∴k ＝f ′(8)＝·8＝.23-1313即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为.13∴适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)．即3x ＋y －20＝0.10．若曲线f (x )＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积-12-12为18，求a 的值．【解】　对函数f (x )＝x求导得f ′(x )＝－x (x >0)，则曲线f (x )＝x在点-1212-32-12(a ，a )处的切线l 的斜率k ＝f ′(a )＝－a ，由点斜式得切线的方程为-1212-32y －a ＝－a (x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，a ，所以-1212-3232-12直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝×3a ×a ＝a ＝18，解得a ＝64.1232-129412能力提升]1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，……，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】　f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝－sin x ，f 7(x )＝－cos x ，f 8(x )＝sin x ，…，故f n (x )以4为周期，∴f 2 016(x )＝f 504×4(x )＝f 0(x )＝sin x .【答案】　A2．(2016·青岛高二检测)曲线y ＝在x ＝0处的切线方程是( )(12)xA ．x ＋y ln 2－ln 2＝0B ．x ln 2＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0【解析】　y ′＝ln ＝－ln 2·，y ′|x ＝0＝－ln 2，即切线的斜率为－ln 2.又(12)x12(12)x切点为(0,1)，所以切线方程为y －1＝－ln 2×(x －0)，即x ln 2＋y －1＝0.选B.【答案】　B3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】　y ′＝e x ，∴y ′|x ＝2＝e 2.∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，x ＝0时，y ＝－e 2；y ＝0时，x ＝1.∴S △＝×1×e 2＝.12e22【答案】　e2 24．已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解】　不存在．理由如下：由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须有cos x0·(－sin x0)＝－1，即cos x0·sin x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．。

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值是()A．3B．3或25 3C.15 D．5或515 3【解析】若焦点在x轴上，则a＝5，由ca＝105得c＝2，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴m－5m＝25，∴m＝25 3.【答案】 B2．椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2 B．5,4C．5,1 D．9,1【解析】由题意知a＝5，b＝3，c＝4，∴a＋c＝9，a－c＝1，故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】 D3．(2016·梅州高二检测)焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为45，则椭圆的方程为()A.x236＋y216＝1 B．x216＋y236＝1C.x26＋y24＝1 D．y26＋x24＝1【解析】∵c＝25，∴a2＝(25)2＋b2，又a＋b＝10，可解得a＝6，b＝4.故椭圆方程为x236＋y216＝1.【答案】 A4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45【解析】 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝34. 【答案】 C5．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(0,1]B ．1,2]C ．(0,2]D ．2，＋∞)【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B.【答案】 B 二、填空题6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.【导学号：63470028】【解析】 由题意2b >2c ，即b >c ，即a 2－c 2>c ， ∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2. ∴c 2a 2<12，∴0<e <22. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，227．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】 设P 点到x 轴的距离为h ，则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|h ，当P 点在y 轴上时，h 最大，此时S△PF 1F 2最大∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3. 【答案】 38．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，率心率为45，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．【解析】∵|F1F2|＝2c＝8，e＝ca＝45，∴a＝5，∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝12|MF2|＝4.【答案】 4 三、解答题9．(1)求与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．【解】(1)∵c＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵e＝ca＝55，c＝5，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.∴所求椭圆的标准方程为x225＋y220＝1.(2)因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的标准方程为x236＋y220＝1.10．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．【解】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.能力提升]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B ．263 C.33D ． 3【解析】 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆x 24＋y 2＝1上，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263. 故点M 到y 轴的距离为263. 【答案】 B2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1【解析】 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 【答案】 C3．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P (2,1)，则经过点P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为__________．【解析】 设所求直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1. 相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.因此，所求直线方程：y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【答案】 x ＋2y －4＝04．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点，且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【解】 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设，知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0， 则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及c ＝a 2－b 2代入②，得9(2－4a)4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( )【导学号：63470045】A.y 218－x 218＝1 B ．x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D ．y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)． ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1. 【答案】 B2．若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13【解析】 双曲线x 2＋ky 2＝1可化为x 21＋y 21k＝1，故离心率e ＝1－1k 1＝2，解得k ＝－13.【答案】 D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项，a＝2，b＝2，c＝22，∴2a＋2b＝2·2c符合题意．【答案】 B4．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝()【导学号：63470046】A. 3 B．2 C．3 D．6【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝|32＋0|2＋4＝ 3.【答案】 A5．双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.【导学号：63470047】【解析】∵2a＝2,2b＝2－1m，∴－1m＝2，∴m＝－1 4.【答案】－1 47．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．【解析】 由于焦点在y 轴，则渐近线方程为y ＝±ab x . 而e ＝c a ＝135，则b 2a 2＝c 2a 2－1＝14425，b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±512x . 【答案】 y ＝±512x8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边△MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．【解析】 如图，点N 为MF 2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c . 又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a .∴e ＝ca ＝23－1＝3＋1. 【答案】 3＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程． 【解】 (1)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．【解】 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴渐近线方程为bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.能力提升]1．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，B (－tan θ，tan 2 θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．【答案】 A2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.3＋12 D.5＋12【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－bc ，∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 【答案】 D3．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 面积为________.【导学号：63470048】【解析】 A (3,0)，F (5,0)，取过F 平行于渐近线y ＝43x 的直线，则方程为y ＝43(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －5)，x 29－y 216＝1，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴△AFB 的面积S ＝12(5－3)×3215＝3215.【答案】 32154．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】 双曲线方程可化为x 21－y 23＝1， c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2. ∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72<0，∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156aD ．153a【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→. ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )， ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为103，则x＝()【导学号：32550053】A．－1 B．－11C．－1或－11 D．－21【解析】P A→＝(x＋2,2，－4)，而d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A→·n|n|＝103，即|－2(x＋2)－4－4|4＋4＋1＝103，解得x＝－1或－11.【答案】 C3．(2016·南宁高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为()A.13B．23C.33D．34【解析】建系如图A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,1,0)，AC→＝(－1,1,0)，DA1→＝(1,0,1)，设n＝(x，y，z)，令⎩⎪⎨⎪⎧n·AC→＝0n·DA1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x＋y＝0x＋z＝0令x＝1则n＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA 1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33. 【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)． ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45， ∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38 C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D 1B 1→＝(2,2,0)，D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量， 则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43. 【答案】 C 二、填空题6．如图2-6-5所示，在直二面角D -AB -E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图2-6-5【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，⇒⎩⎨⎧x ＝－32zy ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2＝4917＝491717. 【答案】4917178．如图2-6-7所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图2-6-7【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·D 1B 1→＝0，且n ·B 1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0. ∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0， 令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1. ∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13. ∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1→·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，1，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23. 【答案】 23 三、解答题9．如图2-6-8，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.图2-6-8(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离． 【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD 1→＝(0，－4,2)，BA 1→＝(0，－4,2)，BC 1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD 1→＝BA 1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎨⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z，x ＝23z .取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n |n |＝|－12|61＝126161. 10．如图2-6-9，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图2-6-9【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)， ∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. ∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n|＝26＝63.[能力提升]1．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33 B ．1 C. 2D ． 3【解析】 如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan 60°＝ 3.所以AA 1＝BB 1＝ 3.【答案】 D2．如图2-6-10，P -ABCD 是正四棱锥，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，P A ＝6，则B 1到平面P AD 的距离为( )图2-6-10A ．6B ．355C.655 D ．322【解析】 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面P AD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B 1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面P AD 的距离d ＝|B 1A →·n ||n |＝655. 【答案】 C3.如图2-6-11所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2-6-11【解析】 设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝P A →＋AF →＝P A →＋12AC →＝P A →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE →＝0n ·PF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x e 1＋y e 2＋e 3)·26e 2＝0(x e 1＋y e 2＋e 3)·(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧ 26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0⇒⎩⎨⎧ y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3.∴直线AE 与平面α间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫22e 1＋e 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e 12＋|e 3|2＝233. 【答案】 2334．(2016·石家庄高二检测)已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1， 设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0. 令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．下列命题为特称命题的是( )A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数【解析】　选项A、B、C是全称命题，选项D含有存在量词，故选D.【答案】　D2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立【解析】　本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．【答案】　A3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】　否定原命题结论的同时要把量词做相应改变．故选D.【答案】　D4．存在实数x0，使得x－4bx0＋3b<0成立，则b的取值范围是( )20A．b<0 B．b>3 4C ．b <D ．b <0或b >3434【解析】　由题意，知Δ＝16b 2－12b >0.∴b <0或b >.34【答案】　D5．下列命题为真命题的是( )A ．对任意x ∈R ，都有cos x <2成立B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)<0成立C ．对任意x >0，都有3x >3成立D ．存在x ∈Q ，使方程 x －2＝0有解2【解析】　A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔<x <，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，132331＝3，所以C 是假命题；D 中，x －2＝0⇔x ＝∉Q ，所以D 是假命题，故选A.22【答案】　A 二、填空题6．下列命题中全称命题是________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②存在两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】　①③是全称命题，②④是特称命题．【答案】　①③　②④7．(2016·宁波高二检测)命题“任意x ∈R ，若y >0，则x 2＋y >0”的否定是________．【解析】　将“任意”换为“存在”，再否定结论．【答案】　存在x 0∈R ，若y >0，则x ＋y ≤0208．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：63470011】【解析】　命题为真命题时，a ≤0时显然存在x ，使ax 2＋2x ＋a <0.当a >0时，Δ＝4－4a 2>0即0<a <1.综上可知a <1.【答案】　(－∞，1)三、解答题9．判断下列全称命题或特称命题的真假．(1)所有的单位向量都相等；(2)公差大于零的等差数列是递增数列；(3)有些向量的坐标等于其起点的坐标；(4)存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝2.【解】　(1)假命题．如果两个单位向量e 1，e 2的方向不相同，尽管有|e 1|＝|e 2|＝1，但是e 1≠e 2.(2)真命题．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差d >0，则a n ＋1－a n ＝a 1＋nd －a 1＋(n －1)d ]＝d >0，∴a n ＋1>a n .所以公差大于零的等差数列是递增数列．(3)真命题．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AB→ 由Error!得Error!如A (1,3)，B (2,6)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(1,3)，满足题意．AB→ (4)假命题．由于sin x －cos x ＝2(sin x ·22－cos x ·22)＝sin的最大值为，所以不存在实数x ，2(x －π4)2使sin x －cos x ＝2.10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围．【解】　(1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.(2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x )．若存在实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．能力提升]1．下列结论正确的个数为( )①命题p “存在x 0∈，使得cos x 0≤x 0”的否定为“任意x ∈，cos(0，π2)(0，π2)x >x ”；②命题“任意x ∈R ，>0”的否定为“存在x 0∈R ，<0”；(13)x(13)x 0③函数y ＝x 2－2x 和函数y ＝x －的单调递增区间都是1，＋∞)．1x A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】　①显然正确；②不正确，应为“存在x 0∈R ，≤0”；函数(13)x 0y ＝x 2－2x 的单调增区间为1，＋∞)，函数y ＝x －的单调增区间是(－∞，0)和1x (0，＋∞)，③不正确．【答案】　B2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2＋cos 2 ＝x2x 212p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：任意x ∈0，π]，＝sin x1－cos 2x2p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝，其中的假命题是( )π2A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4【解析】　由于对任意x ∈R ，sin 2 ＋cos 2 ＝1，故p 1是假命题；x2x2当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin (x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈0，π]，＝＝|sin x |＝sin x 为真命题．1－cos 2x22sin2 x 2对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝为假命题，例如x ＝π，y ＝，满足sin x ＝cosπ2π2y ＝0，而x ＋y ＝.3π2【答案】　A3．(2016·宿州高二检测)若任意x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．【解析】　由题意有：0<a 2－1<1，∴Error!∴Error!∴－<a <－1或1<a <.22【答案】　(－，－1)∪(1，)224．已知函数f (x )＝lg ，若对任意x ∈2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a(x ＋a x －2)的取值范围．【解】　根据f (x )>0得lg >lg 1，(x ＋ax －2)即x ＋－2>1在x ∈2，＋∞)上恒成立，ax 分离参数，得a >－x 2＋3x 在x ∈2，＋∞)上恒成立，设g (x )＝－x 2＋3x ，则g (x )＝－＋，(x －32)294当x ∈2，＋∞)时，g (x )max ＝g (2)＝2，∴a >2，故a 的取值范围是(2，＋∞)．。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)以下四组向量： ①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)； ④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a ∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交 【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z )∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152. 【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103. 【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．(2016·黄山高二检测)已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12. 【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】 设n ＝(x ，y ，z )则 n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】 设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．(2016·广州高二检测)用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】 已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·(x a ＋yb ＋z e )＝0，b ·(x a ＋y b ＋z e )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·bb2， 所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c ∥e ，从而有l ⊥γ.图2-4-410．如图2-4-4所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4 C.407、－2、4D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157. 【答案】 B2．如图2-4-5，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2-4-5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量． 【答案】 ①②③4．(2016·北京朝阳期末)如图2-4-6，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2-4-6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且P A ∩AB ＝A ， 所以AC ⊥平面P AB . 又因为PB ⊂平面P AB ， 所以AC ⊥PB .(2)法一：因为P A ⊥平面ABC ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设AC ＝2a ，AB ＝b ，P A ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)， 又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，0.于是DG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ，BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )． 设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca ， 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)． 由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段P A 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

学业分层测评(十六)(建议用时：分钟)学业达标]一、选择题．函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图像如图--所示，则函数()在开区间(，)内极值点有( )图--．个．个．个．个【解析】＝′()的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴()在开区间(，)内有个极值点．【答案】．函数()＝＋－( )．有极小值，无极大值．无极小值，有极大值．无极小值，无极大值．有极小值，有极大值【解析】∵′()＝－＋，由′()＝得＝±.当∈(－)时′()>，∴()的单调递增区间为(－)；同理，()的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．∴当＝－时，函数有极小值－，当＝时，函数有极大值.【答案】．已知函数()＝＋＋(＋)＋没有极值，则实数的取值范围是( )．(－) ．－]．(－∞，－)∪(，＋∞) ．(－∞，－]∪，＋∞)【解析】′()＝＋＋＋，由题意可知′()＝没有实根或有两个相等实根，故Δ＝－(＋)≤，解得－≤≤，故选.【答案】．函数()＝＋＋的图像如图--所示，且()在＝与＝处取得极值，则()＋(－)的值一定( )图--．等于．大于．小于．小于或等于【解析】′()＝＋＋，由题意知，＝与＝是方程＋＋＝的两根，由图像知，＞且＋＜，∴－＜，∴＞.又()＋(－)＝，∴()＋(－)＞.【答案】．三次函数当＝时有极大值，当＝时有极小值，则此函数的解析式是( )．＝＋＋．＝－＋．＝－－．＝＋－【解析】设()＝＋＋＋(≠)，则()＝＋＋，由题意得′()＝′()＝，()＝，()＝，即(\\(＋＋＝，＋＋＝，＋＋＋＝，＋＋＋＝，))解得：＝，＝－，＝，＝.【答案】二、填空题．(·湛江高二检测)函数()＝－＋在＝处取得极小值．【解析】′()＝－＝(－)，令′()＝，得＝或＝；由′()＞，得＜或＞；由′()＜，得＜＜，∴()在＝处取得极小值．【答案】．函数()＝－＋的极大值为，那么＝.【导学号：】【解析】由′()＝－，知函数()的单调递增区间为(－∞，)和(，＋∞)，单调递减区间为()，故()在＝处取得极大值，故＝.【答案】．已知函数()＝－＋－在，＋]上不单调，则的取值范围是．【解析】由题意知′()＝－＋－＝＝－，由′()＝得函数()的两个极值点为，则只要这两个极值点有一个在区间(，＋)内，函数()在区间，＋]上就不单调，由<<＋或<<＋，得<<或<<.【答案】()∪()三、解答题．求下列函数的极值：()()＝－＋＋；()()＝.【解】()函数的定义域为，′()＝－＋＝(－).令′()>，可得>或<；。

学业分层测评(四)
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
．执行如图--的程度框图，如果输入的＝，则输出的＝( )
图--
．
．
．
．【解析】由程序框图知，输出＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝.
【答案】
．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分
成以下几个步骤：.打开电子信箱；.输入发送地址；.输入主题；.输入信件内容；.点击“写邮件”；.点击“发送邮件”．则正确的是( )
．→→→→→
．→→→→→
．→→→→→
．→→→→→【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是：→→→→→.
【答案】
．如图--，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连
，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最
大信息量是( )
图--
．
．
．
．
【解析】由→有条路线，条路线单位时间内传递的最大信息量为＋＋＝.
【答案】
．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用分钟，收拾床褥用分钟，听广播用分钟，吃早饭用分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为(
)
．分钟
．分钟
．分钟
．分钟
【解析】把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同
时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用＋＋＝(分钟)．
【答案】．执行下面的程序框图--，若输入的，，分别为，则输出的＝( )
图--
．
．
．
．。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( )【导学号：63470045】A.－＝1B ．－＝1y 218x 218x 218y 218C.－＝1D ．－＝1x 28y 28y 28x 28【解析】　设等轴双曲线方程为－＝1(a ＞0)．x 2a 2y 2a 2∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18.故双曲线方程为－＝1.x 218y 218【答案】　B2．若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( )A ．－3B ．13C ．3D ．－13【解析】　双曲线x 2＋ky 2＝1可化为＋＝1，故离心率e ＝＝2，解x 21y 21k 1－1k1得k ＝－.13【答案】　D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为2(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.－＝1B ．－＝1x 24y 24y 24x 24C.－＝1D ．－＝1y 24x 28x 28y 24【解析】　由顶点在y 轴上得该双曲线焦点位于y 轴，排除A 、D ，B 项，a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴2a ＋2b ＝·2c 符合题意．22【答案】　B4．双曲线－＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )x 26y 23【导学号：63470046】A.B ．23C ．3D ．6【解析】　双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的22距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝＝.|32＋0|2＋43【答案】　A5．双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，x 2a 2y 2b 2x 2m 2y 2b 2那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】　双曲线的离心率e 1＝，椭圆的离心率e 2＝，由a 2＋b 2am 2－b 2me 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．【答案】　B 二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.【导学号：63470047】【解析】　∵2a ＝2,2b ＝2，∴＝2，－1m －1m ∴m ＝－.14【答案】　－147．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝，则其渐近线方程为135________．【解析】　由于焦点在y 轴，则渐近线方程为y ＝±x .ab 而e ＝＝，则＝－1＝，＝，c a 135b 2a 2c 2a 214425b a 125∴渐近线方程为y ＝±x .512【答案】　y ＝±x5128．双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等x 2a 2y 2b 2边△MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．【解析】　如图，点N 为MF 2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F 1N |＝c ，|NF 2|＝c .3又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ，即c －c ＝2a .∴e ＝＝＝＋1.3ca 23－13【答案】　＋13三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±x ；32(2)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．【解】　(1)设以y ＝±x 为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，32x 24y 29当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝2＝6⇒λ＝；4λ94当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2＝6⇒λ＝－1.－9λ∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.x 29y 2814y 29x 24(2)设与双曲线－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y 2＝λ(λ≠0)，x 22x 22将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2.222∴双曲线的标准方程为－＝1.y 22x 2410．已知椭圆D ：＋＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有x 250y 225相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．【解】　椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，x 2a 2y 2b 2∴渐近线方程为bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.∴＝3，得a ＝3，b ＝4，|5a |b 2＋a 2∴双曲线G 的方程为－＝1.x 29y 216能力提升]1．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为( )x 2cos2 θy 2sin2 θA ．0B ．1C ．2D ．3【解析】　由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，B (－tan θ，tan 2 θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．【答案】　A2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.233＋125＋12【解析】　设双曲线方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，双曲线的一x 2a 2y 2b 2条渐近线方程为y ＝x ，而k BF ＝－，ba bc ∴·＝－1，整理得b 2＝ac .b a (－bc )∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝或e ＝(舍去)，故选D.1＋521－52【答案】　D3．设双曲线－＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一x 29y 216条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 面积为________.【导学号：63470048】【解析】　A (3,0)，F (5,0)，取过F 平行于渐近线y ＝x 的直线，则方程为y ＝43(x －5)．43由Error!得B .(175，－3215)∴△AFB 的面积S ＝(5－3)×＝.1232153215【答案】　32154．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】　双曲线方程可化为－＝1，x 21y 23c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2.∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1.∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－<0，72∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上．∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－，72∴|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝6.2(－2)2－4(－72)。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－mC ．1mD ．－1m【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α＝m . 【答案】 A2．函数y ＝2 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z【解析】 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8. 【答案】 B3．(2016·合肥高一检测)下列不等式正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5C.1tan 4 <1tan 3D.1tan 281°<1tan 665°【解析】 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，而－π2<－2π5<－π4<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.【答案】 B4．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1,1]【解析】 sin x ∈[－1,1]，又－π2<－1<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.【答案】 C5．直线y ＝a (常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．πB ．2πC.π|ω|D ．与a 值有关【解析】 两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为 π|ω|. 【答案】 C 二、填空题 6．函数y ＝3－tan x 的定义域为________，值域为________.【导学号：66470024】【解析】 由⎩⎨⎧3－tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z，值域为{y |y ≥0}． 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z{y |y ≥0}7．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ等于________．【解析】 由已知，可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，∴φ＋π6＝k π(k∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )．【答案】 －π6＋k π(k ∈Z )8．化简：tan (α＋π)tan (α＋3π)tan (α－π)tan (－α－π)＝________.【解析】 原式＝tan α·tan αtan α·(－tan α)＝－1.【答案】 －1 三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．【解】 (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴sin α＝y |OP |＝－351＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos αsin α＝1cos α.由余弦函数的定义，得cos α＝45，故所求式子的值为54.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 【解】 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]．∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ. ∴y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2. [能力提升]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 b ＝cos 55°＝sin 35°，又a ＝sin 33°，0°<33°<35°<90°， 所以y ＝sin x 在[0,90°]是增加的，所以sin 33°<sin 35°， 即b >a .tan 35°＝sin 35°cos 35°，又cos 35°∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以tan 35°>sin 35°，故c >b >a . 【答案】 C2．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A ．12 B ．－12 C.32D ．－32【解析】 由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 ＝－cos α－sin α＝cos αsin α，所以f (α)＝sin α·cos α·cos αsin α－cos α ＝－cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12.【答案】 B3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________.【导学号：66470025】【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.【答案】 54．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．【解】 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π或π2＋k π(k ∈Z )． 即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2， ∴φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.。