高中数学4.4.3参数方程的应用同步测控苏教版选修

4.4.4平摆线与圆的渐开线练习1．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．2．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为__________．3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________．4．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数时对应的曲线上的点的坐标为________．5．参数方程(φ为参数)表示的曲线是__________．6．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________．7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________．8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为__________．9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．10．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．参考答案1.答案：(，0)和(，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为，整理可得，这是一个焦点在x轴上的椭圆．，故焦点坐标为(，0)和(，0)．2.答案：解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把代入参数方程中可得)即.∴.3.答案：(π，2)解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．4.答案：2解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当时对应的坐标，只需把代入曲线的参数方程，得，，由此可得对应的点的坐标为.5.答案：半径为3的圆的渐开线解析：由参数方程的形式可直接得出答案．6.答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)解析：由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2，∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．7.答案：5π解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得。

2021年高中数学4.4参数方程单元测试苏教版选修一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内） 1在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A.(2,-7)B.()C.(,)D.(1,0)思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1),再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( )A. B. C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan 思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B 中x=cost∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y==cot 2t=,即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系. 答案：C 4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )A.y-1=±(x+2)B.y=±xC.y-1=±2(x+2)D.y+1=±2(x -2)思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得-(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可.答案：C6设r>0,那么直线xcosθ+ysinθ=r 与圆（φ是参数）的位置关系是…( )A.相交B.相切C.相离D.视r的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d==r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B7设直线l1:(t为参数),如果α为锐角,那么直线l1到直线l2:x+1=0的角是( )A.-αB.+αC.αD.π-α思路解析：根据方程可知,l1的倾斜角为π-α,l2的倾斜角为,根据直线到角的定义,只需让l1逆时针旋转+α即与l2重合.所以,直线l1到l2的角为+α.答案：B8直线(t为参数)上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是…( )A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(｜t｜=,将t代入原方程,得∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( )A.πB.2πC.12πD.14π思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为(φ为参数),把y=0代入可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).而x=3φ-3sinφ=6kπ.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上）10已知参数方程(a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时,分别对应的曲线为_________,_________,_________.思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t作为参数消去t可得bx-ay-bλcosθ-aλsinθ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cotθ(x-at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线直线圆11圆锥曲线(θ为参数)的准线方程是____________.思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为=1,表示的曲线是焦点在y轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=,所以准线方程是y=±.答案：y=±12直线l经过点M0(1,5),倾斜角是,且与直线x-y-=0交于点M,则｜M0M｜的长为____________.思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-=0中,解得t=-(10+),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+.答案：10+13在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=对应点的坐标为____________.思路解析：首先根据摆线的参数方程(φ为参数),把点(π,0)代入可得则sinφ=0,φ=2kπ(k∈Z ),所以r=(k∈Z ),又r>0,所以k∈N *,当k=1时r 最大为.再把φ=代入即可.答案：()三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值. v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决.解：化普通方程为参数方程(θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cosθ=时,|AC|取最小值为,cosθ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cosθ=时,|AB|取最小值为+1；当cosθ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7.15设抛物线y2=4x有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直,且A、B关于x轴对称,所以△OAB为等腰三角形.解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),F为△OAB的垂心,所以x轴⊥AB,A、B关于x轴对称.设A(4t2,4t)(t>0),则B(4t2,-4t),所以k AF=,k OB=.因为AF⊥OB,所以k AF·k OB=·()=-1.所以t2=.由于t>0,得t=,所以A(5,).所以｜AB｜=,｜OA｜=｜OB｜=,这个三角形的周长为.16已知点M(2,1)和双曲线x2-=1,求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程(t为参数),代入双曲线的方程,得到关于t的二次方程.设方程的两根分别为t1,t2,若M为弦AB中点,则有t1+t2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程.解：设直线l的参数方程是(t为参数),代入双曲线的方程可得关于t的二次方程(2+tcosα)2=1,即(2cos2α-sin2α)t2+(8cosα+2sinα)t+5=0.并设弦的两个端点A,B对应的参数分别为t1,t2.由于M是中点,所以t1+t2=0,即=0,所以tanα=-4,即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。

2019-2020年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线课后训练苏教版选修1．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．2．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为__________．3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________．4．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数时对应的曲线上的点的坐标为________．5．参数方程(φ为参数)表示的曲线是__________．6．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________．7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________．8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为__________．9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．10．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．参考答案1.答案：(，0)和(，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为，整理可得，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c==(，0)和(，0)．2.答案：解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把代入参数方程中可得π3(1),23,xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩)即.∴|AB==3.答案：(π，2)解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．4.答案：2解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标，只需把代入曲线的参数方程，得，，由此可得对应的点的坐标为.5.答案：半径为3的圆的渐开线解析：由参数方程的形式可直接得出答案．6.答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)解析：由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2，2332πsinπ3π2 22x⎛⎫-⎪⎝⎭＝＝＋∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．7.答案：5π解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.8.答案：(φ为参数)解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．9.解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40 mm，∴此平摆线的参数方程为(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．10.解：把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.2019-2020年高中数学4.4参数方程单元测试苏教版选修一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内）1在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A.(2,-7)B.()C.(,)D.(1,0)思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1),再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( )A. B. C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan 思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B中x=cost∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y==cot 2t=,即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系.答案：C 4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )A.y-1=±(x+2)B.y=±xC.y-1=±2(x+2)D.y+1=±2(x -2)思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得-(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可.答案：C6设r>0,那么直线xcos θ+ysin θ=r 与圆（φ是参数）的位置关系是…( )A.相交B.相切C.相离D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d==r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B7设直线l 1:(t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1到直线l 2:x+1=0的角是( )A.-αB.+αC.αD.π-α思路解析：根据方程可知,l 1的倾斜角为π-α,l 2的倾斜角为,根据直线到角的定义,只需让l 1逆时针旋转+α即与l 2重合.所以,直线l 1到l 2的角为+α.答案：B8直线(t 为参数)上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是…( )A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(｜t ｜=,将t 代入原方程,得∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( )A.πB.2πC.12πD.14π思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为(φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,所以φ=2k π(k∈Z ).而x=3φ-3sin φ=6k π.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上）10已知参数方程(a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t 是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时,分别对应的曲线为_________,_________,_________.思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t 作为参数消去t 可得bx-ay-b λcos θ-a λsin θ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cot θ(x-at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线 直线 圆11圆锥曲线(θ为参数)的准线方程是____________.思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=,所以准线方程是y=±.答案：y=±12直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角是,且与直线x-y-=0交于点M,则｜M 0M ｜的长为____________.思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-=0中,解得t=-(10+),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+.答案：10+13在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=对应点的坐标为____________.思路解析：首先根据摆线的参数方程(φ为参数),把点(π,0)代入可得则sin φ=0,φ=2k π(k∈Z ),所以r=(k∈Z ),又r>0,所以k∈N *,当k=1时r 最大为.再把φ=代入即可.答案：()三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值.v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决.解：化普通方程为参数方程(θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cos θ=时,|AC|取最小值为,cos θ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cos θ=时,|AB|取最小值为+1；当cos θ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7.15设抛物线y 2=4x 有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x 轴与AB 垂直,且A 、B 关于x 轴对称,所以△OAB 为等腰三角形.解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以x 轴⊥AB,A、B 关于x 轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0),则B(4t 2,-4t),所以k AF =,k OB =.因为AF⊥OB,所以k AF ·k OB =·()=-1.所以t 2=.由于t>0,得t=,所以A(5,).所以｜AB ｜=,｜OA ｜=｜OB ｜=,这个三角形的周长为.16已知点M(2,1)和双曲线x 2-=1,求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程(t 为参数),代入双曲线的方程,得到关于t 的二次方程.设方程的两根分别为t 1,t 2,若M 为弦AB 中点,则有t 1+t 2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程.解：设直线l 的参数方程是(t 为参数),代入双曲线的方程可得关于t 的二次方程(2+tcos α)2=1,即(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cos α+2sin α)t+5=0.并设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2.由于M 是中点,所以t 1+t 2=0,即=0,所以tan α=-4,即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。

最新教学资料·苏教版数学4.4 参数方程4．4.1参数方程的意义课标解读1.理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程．2.通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义.1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．2．求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M 的坐标与参数的函数关系式； (4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)．1．从参数方程的概念来看，参数t 的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】 参数t 是联系变数x ，y 的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．在选择参数时，要注意什么？【提示】 在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x ，y 有函数关系，且x ，y 便于用参数表示； ②选择的参数要便于使问题中的条件明析化；③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x ，y 取值范围的制约； ④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参．点与曲线的位置已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．【自主解答】 (1)把点M 1(0,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1， 解得t ＝0，故点M 1在曲线C 上，把点M 2(5,4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧5＝3t ，4＝2t 2＋1， 这个方程组无解，因此点M 2(5,4)不在曲线C 上，(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝9，故a ＝9.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，求常数a . 【解】 ∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.求曲线的轨迹方程如图4－4－1，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．图4－4－1【自主解答】 法一 设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵OA ＝a 2－t 2， ∴BQ ＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t (0＜t ＜a )．法二 设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示． 取∠QBP ＝θ， θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中， OB ＝a cos(π2－θ)＝a sin θ.在Rt △QBP 中， BQ ＝a cos θ，PQ ＝a sin θ.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ(θ为参数，0＜θ＜π2)．求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为π60rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．【解】 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60t (t 以s 为单位)，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cosπ60t ，y ＝2sin π60t (t 为参数，t ≥0)．(教材第56页习题4.4第1题)物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出．以抛出点为原点，水平直线为x轴，写出物体所经路线的参数方程，并求出它的普通方程．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【命题意图】 本题考查参数方程及轨迹方程，主要考查逻辑思维能力和运算求解能力． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．1．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．【解析】 将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上． 【答案】 A (1,3)2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ的焦点坐标为________．【解析】 把椭圆方程化为普通方程，得x 225＋y 216＝1.则a 2＝25，b 2＝16，所以c 2＝9.椭圆的焦点为(－3,0)和(3,0)．【答案】 (－3,0)和(3,0)3．椭圆(x －2)24＋y 2＝1的一个参数方程为______．【解析】 设x －22＝cos θ，y ＝sin θ，所以椭圆的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝sin θ4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是________． 【答案】 线段图4－4－21．如图4－4－2，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b (2r ＜a ＋b )．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M 的轨迹方程．【解】 如题图，设点M (x ，y )，θ＝∠BAO ，由点B 作BC ⊥Ox ，交Ox 于点C ，由点M 作MD ⊥Ox ，交Ox 于点D ，由点M 作ME ⊥BC ，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝a sin θ，x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM ＝±OB 2－CB 2＋EM＝±r 2－(a ＋b )2sin 2θ＋b cos θ， 得到点M (x ，y )的坐标满足方程组⎩⎨⎧x ＝b cos θ±r 2－(a ＋b )2sin 2θ，y ＝a sin θ，即为点M 的轨迹方程．2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A (1,1)，求点M 的轨迹方程．【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .所以点M 的轨迹方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t ≥0)． 3．以椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．【解】 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)．设P (x ，y )为椭圆上任意一点(除点A )，则点P 的坐标满足⎩⎨⎧yx ＋2＝k ，x24＋y 2＝1.将y x ＋2＝k 代入x 24＋y 2＝1，消去x ，得(1k 2＋4)y 2－4k y ＝0. 解得y ＝0，或y ＝4k 1＋4k 2.由y ＝4k1＋4k 2， 解得x ＝2(1－4k 2)1＋4k 2；由y ＝0，解得x ＝2.由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(1－4k 2)1＋4k 2，y ＝4k1＋4k 2，所以椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(1－4k 2)1＋4k 2，y ＝4k 1＋4k 2.4．△ABC 是圆x 2＋y 2＝1的内接三角形，已知A (1,0)，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解】 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°. 设B (cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，则有C (cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ＋cos (θ＋120°)3，y ＝sin θ＋sin (θ＋120°)3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ－32sin θ3y ＝12sin θ＋32cos θ3，即⎩⎨⎧x ＝1＋cos (θ＋60°)3，y ＝sin (θ＋60°)3.消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y 2＝1， ∵0°＜θ＜240°， ∴－1≤cos(θ＋60°)＜12，∴0≤1＋cos (θ＋60°)3＜12，即0≤x ＜12.∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －13)2＋y 2＝19(0≤x <12)．图4－4－35．如图4－4－3，过抛物线y 2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF (F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝4k2，y ＝4k ，所以M (4k 2，4k)，则Q (－1，4k )，于是直线QF 的方程为y ＝4k －1－1(x －1)，即y ＝－2k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－2k (x －1)， 消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0.所以点P 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)．图4－4－46．如图4－4－4所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．【解】 设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得 x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ. 所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．7．已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ) ＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin(θ＋π3)，∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．教师备选8．如图，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．【解】 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1(x ＞0，y ＞0)，设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，π2)，则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， 所以S ABCD ＝AB ·AD ＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ，则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12，则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以当t ＝2时，矩形面积最小，即t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝2，此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是(322，2)．4．4.2参数方程与普通方程的互化课标解读 1.能通过消去参数将参数方程化为普通方程．2.能选择适当的参数将普通方程化为参数方程.1．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段P 0P 的数量(P为该直线上任意一点)．2．圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎨⎧x ＝a (t ＋1t)cos θ，y ＝a (t －1t)sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．【自主解答】 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2tt 3－1化简得y ＝(x ＋1)(x －1)23x 2＋1(x ≠1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎨⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． 【解】 (1)∵x ＝t ＋1t ，∴x 2＝t 2＋1t 2＋2.把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t ≥2；当t ＜0时，x ＝t ＋1t ≤－2.∴x ≥2或x ≤－2.∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ 可化为⎩⎨⎧cos θ＝x －23，sin θ＝y3.两式平方相加，得(x －23)2＋(y 3)2＝1.即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9.普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)， 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得： y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1 ＝t 2＋3t ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)， 这就是所求的参数方程．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程． 【解】 把x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数).利用参数求轨迹方程过A (1,0)的动直线l 交抛物线y 2＝8x 于M ，N 两点，求MN 中点的轨迹方程．【思路探究】 设出直线MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t 的几何意义及根与系数的关系解题．【自主解答】 直线MN 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(α≠0，t 为参数)代入y 2＝8x ，得t 2sin 2α－8t cos α－8＝0.设M ，N 对应参数为t 1，t 2，MN 中点G 的参数为t 0，则t 0＝12(t 1＋t 2)＝4cos αsin 2α，∵⎩⎨⎧x ＝1＋4cos 2αsin 2α，y ＝4cos αsin α，消去α得y 2＝4(x －1)．1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l 的几何意义．经过点A (－3，－32)，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B 、C 两点．(1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； (3)当BC ＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程． 【解】 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)， 则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α， 代入x 2＋y 2＝25，整理，得 t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立， ∴方程必有相异两实根t 1，t 2， 且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554. (1)BC ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ 9(2cos α＋sin α)2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0.(3)∵BC ＝9(2cos α＋sin α)2＋55＝8，∴(2cos α＋sin α)2＝1.∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.(4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，∴点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝－3＋32cos α(2cos α＋sin α)，y ＝－32＋32sin α(2cos α＋sin α)(0≤α<π)．∴⎩⎨⎧x ＋32＝32(cos 2α＋12sin 2α)，y ＋34＝32(sin 2α－12cos 2α).∴(x ＋32)2＋(y ＋34)2＝4516.即点M 的轨迹是以(－32，－34)为圆心，以354为半径的圆．(教材第56页习题4.4第2题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋3t ，y ＝3－4t (t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－1，y ＝3sin θ＋2(θ为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t1＋t 2(t 为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)； (5)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)．(2013·盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． 【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系等知识． 【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0， 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －4(t 为参数)化为普通方程为________．【解析】 将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4. 又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)． 【答案】 2x －y －4＝0(x ≥0)2．(2013·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)． 【答案】 (1,0)3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________． 【解析】 转化为普通方程为y ＝x －2，且x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 【答案】 y ＝x －2(2≤x ≤3)4．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．【答案】 (1,1)1．将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)． 【解】 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆． (2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p 2·2p ＝x ，即y 2＝2px ， 这是一条抛物线．2．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2. 3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t化为普通方程为y ＝－32x ＋72，斜率k 1＝－32，当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k ，由k 1k 2＝(－32)×(－4k)＝－1得k ＝－6；当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋72与直线4x ＝1不垂直．综上可知，k ＝－6.4．过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k 29k 2＋4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9k 29k 2＋4，y ＝k (x －1)＝－4k9k 2＋4，∴x y ＝－94k ， 即k ＝－4x 9y ，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2－4x ＝0，即(x －12)214＋y219＝1.①当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为(x －12)214＋y219＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆．5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)在该曲线上， (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ， ①y ＝t 2， ② 由①得t ＝x －12，代入②得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求．6．已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：ρcos(θ＋π4)＝22与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t∈R )交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB .【证明】 曲线C 1的直角坐标方程为x －y ＝4，曲线C 2的直角坐标方程是抛物线y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将这两个方程联立，消去x ， 得y 2－4y －16＝0⇒y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝4.∴x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1＋4)(y 2＋4)＋y 1y 2＝2y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋16＝0，∴OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB . 7．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹．【解】 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ②①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即x ′2＝2(y ′＋12)，∴所求点P 的轨迹方程为x 2＝2(y ＋12)(|x |≤2，|y |≤12)．它是顶点为(0，－12)，开口向上的抛物线的一部分．教师备选8．在平面直角坐标系xOy 中，求圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝2 2.若直线l 与圆C 相切，求r 的值．【解】 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程得：x －y －4＝0， 将圆C 的参数方程化为普通方程得：(x ＋1)2＋y 2＝r 2， 由题设知：圆心C (－1,0)到直线l 的距离为r ，即r ＝|(－1)－0－4|12＋(－1)2＝522，即r 的值为522.4．4.3参数方程的应用第1课时 直线的参数方程的应用课标解读1.写出直线的参数方程．2.通过直线的参数方程的应用，感受参数的意义及其作用.直线的参数方程直线参数方程的常见形式：过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)．其中参数l 的几何意义是有向线段P 0P 的数量，|l |表示P 0P 的长度．1．怎样理解参数l 的几何意义？【提示】 参数l 的几何意义是P 0到直线上任意一点P (x ，y )的有向线段P 0P 的数量．当点P 在点P 0的上 方或右方时，l 取正值，反之，l 取负值；当点P 与P 0重合时，l ＝0. 2．如何由直线的参数方程求直线的倾斜角？【提示】 如果直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 15°，y ＝1＋t sin 15°，则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 15°，y ＝1＋t cos 15°(t 为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin 15°，y －1＝t cos 15°，消去t ， 有y －1＝1tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为参数方程和标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 75°，y ＝1＋t sin 75°，可以看出直线的倾斜角为75°.求直线的参数方程已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．【自主解答】(1)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝3＋t cos 120°，y＝4＋t sin 120°(t为参数)，即⎩⎨⎧x＝3－12t，y＝4＋32t(t为参数)．(2)把⎩⎨⎧x＝3－12t，y＝4＋32t代入x－y＋1＝0，得3－12t－4－32t＋1＝0，得t＝0.把t＝0代入⎩⎨⎧x＝3－12t，y＝4＋32t得两直线的交点为(3,4)．已知两点A(1,3)，B(3,1)和直线l：y＝x，求过点A、B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比．【解】设直线AB上动点P(x，y)，选取参数λ＝APPB，则直线AB的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1＋3λ1＋λ，y＝3＋λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．①把①代入y＝x，得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以M分AB的比：AMMB＝1.直线参数方程的应用求直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．【思路探究】 先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长． 【自主解答】 令t ＝112＋(3)2t ′，即t ′＝2t ，则直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ(其中sin θ＝32，cos θ＝12)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ代入双曲线方程，得 t ′2－4t ′－6＝0，所以弦长＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝42＋4×6＝210.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 中t 的几何意义为定点P 0(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的有向线段的数量，有两个原则：其一为a 2＋b 2＝1，其二为b ≥0.这是因为α为直线的倾斜角时，必有sin 2α＋cos 2α＝1及sin α≥0.不满足上述原则时，则必须通过换元的方法进行转化后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，∴a ＝4.【答案】 4(教材第57页习题4.4第6题)运用4.4.2小节中例3的结论：(1)求经过点P (1，－5)，倾斜角是π3的直线的参数方程；(2)求(1)中的直线与直线x －y －23＝0的交点到点P 的距离．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 【命题意图】 本题考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化、分析问题的能力和运算能力．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α＝________.【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.【答案】 135°2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是________．【解析】 当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15，当y ＝1－2t ＝0时，解得t ＝12，可得x ＝－2＋5t ＝12，∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0，15)，(12，0)．【答案】 (0，15)，(12，0)3．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t(t 为参数)的距离为________．【解析】 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t 化为普通方程为x －22y ＝0. ∴点(－3,0)到直线的距离为|－3－0|1＋(－22)2＝1.【答案】 14．直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．【答案】141．已知直线l 经过点P (1，－33)，倾斜角为π3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －23的交点Q 与点P 的距离|PQ |.【解】 ∵l 过点P (1，－33)，倾斜角为π3，∴l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－33＋t sinπ3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)．代入y ＝x －23，得－33＋32t ＝1＋12t －23， 解得t ＝4＋23，即t ＝23＋4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝PQ ，∴PQ ＝4＋2 3.2．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入圆的方程x 2＋y 2＝9，得5t 2＋8t －4＝0，t 1＋t 2＝－85，t 1t 2＝－45.|t 1－t 2|2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝6425＋165＝14425， 所以弦长＝22＋1|t 1－t 2|＝5·125＝1255.3．已知椭圆x 216＋y 24＝1和点P (2,1)，过P 作椭圆的弦，并使点P 为弦的中点，求弦所在的直线方程．【解】 设弦所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入椭圆方程x 216＋y 24＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)·t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，所以t 1＋t 2＝－4(cos α＋2sin α)cos 2α＋4sin 2α，因为P 是弦的中点，所以t 1＋t 2＝0，即－4(cos α＋2sin α)cos 2α＋4sin 2α＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－12.又P (2,1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点作两条互相垂直的弦OA ，OB ，求线段AB 中点M 的轨迹的普通方程． 【解】 由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA 的方程为y ＝kx ，则OB 的方程为y ＝－1k x ，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝2px 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2p k2，y ＝2p k .所以A 点坐标为(2p k 2，2pk)．同理可求得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )．设AB 中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝p (1k2＋k 2)，y ＝p (1k －k ).消去k 得y 2＝px －2p 2.所以点M 的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.5．(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，试求a 的值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32.6．已知直线l 经过点P (1,0)，倾斜角为α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与椭圆x 2＋4y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos π6，y ＝t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)联立直线与圆的方程得(1＋32t )2＋4(t 2)2＝4，∴74t 2＋3t －3＝0， 所以t 1t 2＝－127，即|t 1||t 2|＝127.所以P 到A 、B 两点的距离之积为127.7．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A 、B 两点． (1)求AB ；(2)求AB 的中点M 的坐标及FM . 【解】 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋15t ，y ＝25t(t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0. 则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20. (1)AB ＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(25)2＋80＝10. (2)由于AB 的中点为M ， 故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5，∴M (3,2)，FM ＝|t 1＋t 22|＝ 5.教师备选8．如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离PM ； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)．(*)∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得 PM ＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M (4116，34)．(3)AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝5873. 第2课时 圆、椭圆的参数方程的应用课标解读 1.能用曲线的参数方程去研究曲线的性质． 2.会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.1．圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A (a ，b )为顶点，且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角．2．椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎨⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1.利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图．圆的参数方程的应用在圆x 2＋2x ＋y 2＝0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5＝0的距离最大．【自主解答】 圆的方程x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1，所以设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝sin θ.设P (－1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线2x ＋3y －5＝0的距离为 d ＝|2(－1＋cos θ)＋3sin θ－5|22＋32＝|2cos θ＋3sin θ－7|13＝|13sin (θ＋α)－7|13(其中sin α＝21313，cos α＝31313)．当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝3π2，即θ＝3π2－α时，d 取到最大值13＋71313，此时x ＝－1＋cos θ＝－1－21313，y ＝sin θ＝－31313，即点P (－1－21313，－31313)即为所求．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值．【解】 圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．∴x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2α＋2cos αsin α＋3sin 2α ＝1＋cos 2α2＋sin 2α＋3×1－cos 2α2＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－π4)．则当α＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋2，当α＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－ 2.椭圆参数方程的应用已知实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求：(1)x ＋y 的最大值； (2)x 2＋y 2的取值范围．【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程3x 2＋2y 2＝6x 可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解． 【自主解答】 方程3x 2＋2y 2＝6x ，即(x －1)2＋y232＝1.设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝ 32sin θ.(1)x ＋y ＝1＋cos θ＋ 32sin θ ＝1＋52sin(θ＋α)(其中tan α＝63，θ∈[0,2π))． 所以x ＋y 的最大值为1＋102. (2)x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋(32sin θ)2 ＝1＋2cos θ＋cos 2θ＋32sin 2θ＝52－12cos 2θ＋2cos θ＝－12(cos θ－2)2＋92，因为cos θ∈[－1,1]，所以0≤x 2＋y 2≤4.利用椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，将问题转化为三角函数问题处理．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 【答案】63(教材第47页例1)如图4－4－5，已知M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．(2013·镇江模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力和转化与化归思想． 【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0， 所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos (α＋π6)＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4x ，则它的参数方程是 ________．【解析】 x 2＋y 2＝4x 可化为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心为(2,0)，半径r ＝2.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)2．椭圆⎩⎨⎧x ＝32cos φ，y ＝23sin φ(φ为参数)的焦距是________．【解析】 根据参数方程，可知a ＝32，b ＝2 3. ∴c ＝(32)2－(23)2 ＝18－12＝6， ∴焦距为2c ＝2 6. 【答案】 2 63．椭圆x 23＋y 2＝1上的点到直线x －y ＋6＝0的距离的最小值为________．【解析】 设P (3cos θ，sin θ)是椭圆上的点，则点P 到直线x －y ＋6＝0的距离 d ＝|3cos θ－sin θ＋6|2＝|2cos (θ＋π6)＋6|2，当cos(θ＋π6)＝－1时，d 取到最小值，最小值为2 2.【答案】 2 24．点P (x ，y )在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上运动，则3x ＋4y 的最大值为________，yx 的最小值为________．【解析】 设x ＝1＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以3x ＋4y ＝7＋3cos θ＋4sin θ＝7＋5sin(θ＋α)(其中sin α＝35，cos α＝45)，所以当sin(θ＋α)＝1时，3x ＋4y 取到最大值12. 设t ＝y x ＝1＋sin θ1＋cos θ，则sin θ－t cos θ＝t －1，从而1＋t 2sin(θ－α)＝t －1(其中sin α＝t 1＋t 2，cos α＝11＋t 2)，t －11＋t 2＝sin(θ－α)， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －11＋t 2≤1，解得t ≥0，即y x 的最小值为0. 【答案】 12 01．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值．【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ ＝4cos 2θ＋43sin 2θ ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8；当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1，y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【解】 直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得 s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.AB ＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OP A ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0，a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0. 因为P 与A 不重合， 所以cos θ－1≠0， 则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)， b 2a 2＝cos θ1＋cos θ， c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)，所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)．5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0， 则x ＝2cos φsin φ＋1，即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|.。

4.4.1 参数方程的意义同步测控我夯基,我达标1.当参数θ变化时，由点P （2cosθ,3sinθ）所确定的曲线过点（ ） Ａ．（２，３） Ｂ．（１，５） Ｃ．（０，2π） Ｄ．（２，０）解析：当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0． 答案：Ｄ 2.曲线⎩⎨⎧-=+-=t y t x 21,52(t 为参数)与坐标轴的交点是（ ）A ．(0,52)、(21,0)B ．(0,52)、(21,0)C ．(0,-4)、(8,0)D ．(0,95)、(8,0)解析：当x=0时，t=52，而y=1-2t=51，得与y 轴的交点为(0,51)； 当y=0时，t=21，而x=-2+5t=21，得与x 轴的交点为(21,0)．答案：B 3.在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x （θ为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ）Ａ．（２，－７） Ｂ．（31,32） Ｃ．（21，21） Ｄ．（１，０） 解析：由已知得|x|≤１，可排除Ａ．又因y=cos2θ可化为y=1-2sin 2θ，分别将x 的值31、21、１代入上式可得相应的y 值分别为97、21、－１．故（21，21）是曲线上的点． 答案：Ｃ4.若直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 32,21(t 为参数)，则直线的斜率为（ ）A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 解析：23)(2)(3)21()21()32()32(121212121212-=---=+-+---=--=t t t t t t t t x x y y k .答案：D5.在直线参数方程⎩⎨⎧+-=-=ty t x 31,32（t 为参数）中，用来表示直线上的任意一点到定点P(2,-1)的距离的是（ ）A.|t|B.3|t|C.23|t|D.22t 解析：设M 为直线上任一点，则|MP|=23)131()232(22=++-+--t t |t|． 答案：Ｃ6.椭圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 42,cos 35y x 的离心率是________________．解析：∵a=4，b=3，∴c=722=-b a ，椭圆的离心率．答案：47 7.若直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,532,543t y t x 则过点（４，－１）且与l 平行的直线在y 轴上的截距是_________________．解析：过点（４，－１）且与l 平行的直线为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,531,544t y t x 令x=4+54t=0，得t=-5.于是y=-1+53×(-5)=-4． 答案：-48.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是______________.解析：(-2t)2+(2t)2=(2)2,t 2=21,t=±22．答案：(-3,4)或(-1,2)9.一质点作匀速直线运动，它在x 轴与y 轴方向上的分速度分别为６和８，运动开始时位于点P （１，２），求该质点的运动轨迹的参数方程．思路分析：设出质点的运动轨迹上任一点M(x,y)，根据物理学知识，沿x 轴与y 轴方向上的分位移分别用时间表示出来．解：设M(x,y)为该质点的运动轨迹上任一点，设时间为t ，由题意知⎩⎨⎧+=+=ty t x 82,61（t 为参数，t≥0）．我综合，我发展10.设直线⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,（t 为参数）上两点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|AB|等于（ ）A.(a 2+b 2)|t 1-t 2| B.22b a +|t 1-t 2| C.|t 1-t 2|D.2122t t b a -+解析：|AB|=22212212)()(b a bt bt at at +=-+-|t 1-t 2|.答案：Ｂ11.已知90°＜θ＜180°，方程x 2+y 2cosθ＝１表示的曲线是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线解析：当90°<θ<180°时，－1＜cosθ＜0，方程x 2+y 2cosθ＝１表示的曲线是双曲线． 答案：Ｃ12.已知方程x 2+my 2＝１表示焦点在y 轴上的椭圆，则（ ）A.m<1B.-1<m<1C.m>1D.0<m<1解析：方程化为1122=+my x ，若要表示焦点在y 轴上的椭圆，需要m 1＞1，解得０＜m ＜１． 答案：Ｄ13.参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=2,1y t t x (t 为参数)表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线 解析：y=2表示一条平行于x 轴的直线，而当t ＞0时，x=t+t 1≥2t t 1·＝2;当t ＜0时，x=t+t1=-［(-t)+t-1］≤-2t t 1)(•-＝－2，即x≥2或x≤－2．所以该参数方程表示两条射线．答案：D14.点M(3,b)在曲线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=12,12t y t x 上，则b ＝______________.解析：由x=2t +1＝3,解得t ＝±2.代入y=-2t-1中，解得y ＝－5或3． 答案：－5或3 15.已知直线⎩⎨⎧-=+=ty t x 42,31(t 为参数)与直线l 2:2x-4y=5相交于点B ，又点A(1,2)，则|AB|=________________. 解析：把⎩⎨⎧-=+=ty t x 42,31代入l 2:2x-4y=5中，整理得到t=21.于是B 点坐标为(25，0),所以|AB|=25)20()125(22=-+-． 答案：25 我创新，我超越16.边长为a 的等边△ABC 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴两正半轴上移动，顶点C 和原点O 分别在A 、B 两侧，记∠CAx＝α，求顶点C 的轨迹方程．思路分析：设C 点坐标为(x,y)，结合图形，运用三角函数知识把点C 的横、纵坐标用角α的三角函数表示出来．解：如图,过C 作CD⊥x 轴于D ，设C 点坐标为(x,y)，则x=OA+AD=acos(120°-α)+acosα，y=DC=asinα．于是顶点C 的轨迹方程为⎩⎨⎧=+-︒=αααsin ,cos )120cos(a y a a x(α为参数，60°＜α＜120°）．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.4 参数方程 11 直线的参数方程的应用学业分层测评 苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．已知直线l 经过点P (1，－33)，倾斜角为π3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －23的交点Q 与点P 的距离|PQ |.【解】 ∵l 过点P (1，－33)，倾斜角为π3，∴l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－33＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)．代入y ＝x －23，得－33＋32t ＝1＋12t －23， 解得t ＝4＋23，即t ＝23＋4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝PQ ，∴PQ ＝4＋2 3.2．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t代入圆的方程x 2＋y 2＝9，得5t 2＋8t －4＝0，t 1＋t 2＝－85，t 1t 2＝－45.|t 1－t 2|2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝6425＋165＝14425，所以弦长＝22＋1|t 1－t 2|＝5·125＝1255.3．已知椭圆x 216＋y 24＝1和点P (2,1)，过P 作椭圆的弦，并使点P 为弦的中点，求弦所在的直线方程．【解】 设弦所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入椭圆方程x 216＋y 24＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)·t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，所以t 1＋t 2＝－4 cos α＋2sin αcos 2α＋4sin 2α，因为P 是弦的中点，所以t 1＋t 2＝0， 即－4 cos α＋2sin α cos 2α＋4sin 2α＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－12.又P (2,1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点作两条互相垂直的弦OA ，OB ，求线段AB 中点M 的轨迹的普通方程．【解】 由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA 的方程为y ＝kx ，则OB 的方程为y ＝－1k x ，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pk 2，y ＝2pk .所以A 点坐标为(2p k 2，2p k)．同理可求得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )．设AB 中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 1k2＋k 2 ，y ＝p 1k－k .消去k 得y 2＝px －2p 2.所以点M 的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.5．(湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，试求a 的值．【导学号：98990034】【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a2＝1.又a >0，∴a ＝32.6．已知直线l 经过点P (1,0)，倾斜角为α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与椭圆x 2＋4y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos π6，y ＝t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)联立直线与圆的方程得 (1＋32t )2＋4(t 2)2＝4，∴74t 2＋3t －3＝0， 所以t 1t 2＝－127，即|t 1||t 2|＝127.所以P 到A 、B 两点的距离之积为127.7．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A 、B 两点． (1)求AB ；(2)求AB 的中点M 的坐标及FM . 【解】 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋15t ，y ＝25t(t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0.则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20.(1)AB ＝|t 2－t 1|＝ t 1＋t 2 2－4t 1t 2 ＝ 25 2＋80＝10. (2)由于AB 的中点为M ， 故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5，∴M (3,2)，FM ＝|t 1＋t 22|＝ 5.能力提升]8．如图4­4­6所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图4­4­6(1)P ，M 间的距离PM ； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)．(*)∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得PM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M (4116，34)．(3)AB ＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2－4t 1t 2 ＝5873.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.4 参数方程 13 平摆线与圆的渐开线学业分层测评 苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t(0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．【解】 由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0，∴sin t ＝1，∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )，又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为(π2－1,1)．2．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．【解】 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝φ＋φsin φ，0＝φ－φcos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ＝0，r ＝3.所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32＝9π.3．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．【解】 因为摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，所以此摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－，y ＝－它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．4．抛物线y 2－2x －6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．【解】 抛物线方程可化为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，所以其顶点的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，普通方程为x216＋y29＝1.5．已知椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不在x轴上的一点，求△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【解】F 1(－3,0)、F 2(3,0)，设P (5cos θ，4sin θ)、G (x ，y )，所以G 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ3，y ＝4sin θ3(θ为参数，sin θ≠0)．6．如图4­4­9，已知半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)，定点A (－2,0)，设B 为圆上一动点，以AB 为一边在上半平面内作正方形ABCD ，设P 为正方形ABCD 的中心，求点P 的轨迹方程，并指出它是什么曲线．【导学号：98990040】图4­4­9【解】 设轨迹上任意一点为P (x ，y )， 又设D (x 0，y 0)，∠xOB ＝θ(0≤θ≤π)，则B (cos θ，sin θ)，AB →＝(cos θ＋2，sin θ)，AD →＝(x 0＋2，y 0)．由AB →⊥AD →且|AB →|＝|AD→|，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＋＋＋y0sin θ＝0，θ＋＋sin2θ＝＋＋y20.解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－sin θ－2，y0＝cos θ＋2.因为P 是BD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－sin θ－22＝22θ＋π4－1，y ＝cos θ＋sin θ＋22＝22θ＋π4＋1(0≤θ≤π)．消去θ，得点P 的轨迹方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝12(－2＋22≤x ≤－12，12≤y ≤2＋22)，它表示以(－1,1)为圆心，22为半径的半圆的一部分．7．如图4­4­10所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程．图4­4­10【解】 当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如题图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB →＝(2α，2)，向量MB →＝(2sin α，2cos α)，BM →＝(－2sin α，－2cos α)，因此OM →＝OB →＋BM→＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM →＝(x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α这就是所求摆线的参数方程．能力提升]8．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．【解】 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则AM ＝＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM→＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ这就是所求圆的渐开线的参数方程．。

4.4 参数方程单元测试一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内） 1在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A.(2,-7)B.(32,31) C.(21,21) D.(1,0) 思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1), 再根据选择肢逐个代入进行验证即可. 答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( ) A.⎩⎨⎧==t y t x |,| B.⎩⎨⎧==ty t x 2cos ,cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B中x=cost∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y=t t 22sin 2cos 2=cot 2t=221tan 1x t =, 即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系. 答案：C4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线 思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B 5双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 21,tan 2y x (θ为参数)的渐近线方程为( )A.y-1=±21(x+2) B.y=±21x C.y-1=±2(x+2) D.y+1=±2(x -2)思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得4)1(2-y -(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可. 答案：C6设r>0,那么直线xcos θ+ysin θ=r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x （φ是参数）的位置关系是…( )A.相交B.相切C.相离D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=θθ22sin sin |00|+-+r =r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B 7设直线l 1:⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1t y t x (t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1到直线l 2:x+1=0的角是( )A.2π-αB.2π+α C.α D.π-α 思路解析：根据方程可知,l 1的倾斜角为π-α,l 2的倾斜角为2π,根据直线到角的定义,只需让l 1逆时针旋转2π+α即与l 2重合.所以,直线l 1到l 2的角为2π+α.答案：B 8直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是…( )A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(22)2()2(+-｜t ｜=222±=⇒t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=2,14,3y x y x 或∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). 答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12π D.14π 思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 33,sin 33y x (φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,所以φ=2k π(k∈Z ).而x=3φ-3sin φ=6k π.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上） 10已知参数方程⎩⎨⎧+=+=θλθλsin ,cos bt y at x(a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t 是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时, 分别对应的曲线为_________,_________,_________. 思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t 作为参数消去t 可得bx-ay-b λcos θ-a λsin θ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cot θ(x-at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线 直线 圆 11圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是____________.思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为4922x y -=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=13,所以准线方程是y=±13139. 答案：y=±13139 12直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角是3π,且与直线x-y-32=0交于点M,则｜M 0M ｜的长为____________.思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-32=0中,解得t=-(10+36),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+36. 答案：10+3613在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为____________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0),sin (ϕϕϕπr r ,1cos =⇒ϕ则sin φ=0,φ=2k π(k∈Z ),所以r=k k 212=ππ(k∈Z ),又r>0,所以k∈N *,当k=1时r 最大为21.再把φ=4π代入即可. 答案：(422,822--π)三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆92522y x +=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值.v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决. 解：化普通方程为参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 5y x (θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cos θ=165时,|AC|取最小值为4153,cos θ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cos θ=165时,|AB|取最小值为4153+1；当cos θ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7.15设抛物线y 2=4x 有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x 轴与AB 垂直,且A 、B 关于x 轴对称,所以△OAB 为等腰三角形.解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以x 轴⊥AB,A、B 关于x 轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0),则B(4t 2,-4t),所以k AF =1442-t t ,k OB =t t t 1442-=-.因为AF⊥OB,所以k AF ·k OB =1442-t t ·(t 1-)=-1.所以t 2=45.由于t>0,得t=25,所以A(5,52).所以｜AB ｜=54,｜OA ｜=｜OB ｜=53,这个三角形的周长为510.16已知点M(2,1)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程,得到关于t 的二次方程.设方程的两根分别为t 1,t 2,若M 为弦AB 中点,则有t 1+t 2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程.解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x(t 为参数),代入双曲线的方程可得关于t 的二次方程(2+tcos α)22)sin 1(2αt +=1,即(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cos α+2sin α)t+5=0. 并设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2. 由于M 是中点, 所以t 1+t 2=0,即αααα22sin cos 2sin 2cos 8-+-=0,所以tan α=-4, 即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.4 参数方程 12 圆、椭圆的参数方程的应用学业分层测评 苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值．【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ＝4cos 2θ＋43sin 2θ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8； 当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1，y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)．∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长． 【导学号：98990037】【解】 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.AB ＝|s 1－s 2|＝＋－4s1s2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP→＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OPA ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0，a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0.因为P 与A 不重合， 所以cos θ－1≠0，则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)， b2a2＝cos θ1＋cos θ， c2a2＝1－b2a2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)，所以c2a2∈(12，1)，e ∈(22，1)．5．已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0， 则x ＝2cos φsin φ＋1，即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|.∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4.即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3－，x2＋y2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116，故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．7．求椭圆C ：x216＋y29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值．【解】 设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈0,2π)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5＝|122θ＋π4＋18|5＝122θ＋π4＋185≥－122＋185，当sin(θ＋π4)＝－1时，等号成立．因为θ∈0,2π)，所以θ＝5π4.所以当θ＝5π4时，d 取得最小值18－1225.能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝sin θ，其中θ为参数．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π3)＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．【解】 直线l 的普通方程为：x －3y －36＝0，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d .d ＝|3cos θ－3sin θ－36|2＝6θ－π4＋362∴当sin(θ－π4)＝1时，d max ＝26，当sin(θ－π4)＝－1时，d min ＝ 6.。