苏教版高中数学选修1-1同步全解答案

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2， F1， F2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x 、 y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为 是抛物线 y 2 ＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x ＋y ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )， 4 3A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法， 其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．22 例 5 已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆 x y ＝ 1 M 是椭圆上的动点，求25＋ 9 内的两定点，点MA ＋ MB 的最值．2 y 2例 6 已知 F 1、 F 2 为椭圆 x ＋ 2 ＝ 1 的上、下两个焦点， AB 是过焦点 F 1 的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为 x 2 y 2a 2－b 2＝ 1 (a>0，b>0) ． c∵ e ＝ ＝ 2，∴ c ＝ 2a.由双曲线的定义，得 |PF 1－ PF 2|＝ 2a ＝ c ，在△ PF 1F 2 中，由余弦定理，得：F 1 F 22＝ PF 21＋ PF 22－ 2PF 1·PF 2cos 60 °＝ (PF 1－ PF 2)2＋ 2PF 1·PF 2(1－ cos60 )°，即 4c 2＝ c 2 ＋PF 1·PF 2.①又 S △ PF 1F 2＝ 12 3，1∴ 2PF 1·PF 2sin 60 ＝°12 3，即 PF 1·PF 2＝ 48.②由①②，得 c 2＝ 16， c ＝ 4，则 a ＝ 2， b 2＝ c 2－ a 2＝ 12，2 2 ∴所求的双曲线方程为x － y ＝ 1. 4 12例 2 (1) 解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为： y ＝ k(x －2) ．把 y ＝ k(x － 2)代入 y 2 ＝2x ， 2 2 2 2＝0，消去 y 得 k x － (4k ＋ 2)x ＋ 4k 因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k 2≠0且 ＝ (4k 2＋ 2)2－ 16k 4＝ 16k 2＋ 4>0 ，2 x 1x 2＝ 4， x 1＋ x 2＝ 4＋ k 2，∵ M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21 ·y 22＝ 4x 1·x 2＝ 16，而y 1·y 2<0 ，∴ y 1y 2＝－ 4.→ →， y 2)，（ 2）证明 ∵OM (x 1， y 1 )， ON ＝(x 2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ k从而 k OM＝k2－ 1k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为(x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2＋ y2＝1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2， F1， F2为左、右焦点， P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 12 3，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x、 y来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为是抛物线 y 2＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x 4 ＋y3 ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )，A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法，其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．x2y2例 5已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆25＋9＝ 1 内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋ MB 的最值．例 6已知F、F2y2AB 是过焦点 F的一条动弦，为椭圆 x ＋＝ 1 的上、下两个焦点，1221求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0)．c∵ e＝a＝ 2，∴ c＝ 2a.得 |PF1－ PF2|＝ 2a＝ c，在△ PF1F2中，由余弦定理，得：F1 F22＝ PF21＋ PF22－ 2PF1·PF2cos 60 °＝(PF1－ PF2)2＋ 2PF1·PF2(1－ cos60 )°，即 4c2＝ c2＋PF1·PF2.①又 S△ PF1F2＝ 12 3，1∴2PF1·PF2sin 60 ＝°12 3，即 PF1·PF2＝ 48.②由①②，得c2＝ 16， c＝ 4，则 a＝ 2， b2＝ c2－ a2＝ 12，∴所求的双曲线方程为x2－y2＝ 1.4 12例 2 (1) 解过点P(2,0)且斜率为k 的直线方程为：y＝ k(x －2) ．把 y＝ k(x － 2)代入 y2＝2x，消去 y 得 k2x2－ (4k2＋ 2)x＋ 4k2＝0，因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝ 4， x1＋ x2＝ 4＋k2，∵M 、N 两点在抛物线上，∴y21·y22＝ 4x1·x2＝ 16，而 y1·y2<0 ，∴ y1y2＝－ 4.（ 2）证明→→， y2)，∵OM(x1， y1 )， ON ＝(x2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ kk2－ 1从而 k OM＝k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以 (2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2y2＋＝ 1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.。

高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

选修1-1 模块检测（苏教版选修1-1）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共 70分）1．下列命题：①2,20x x ∀∈+>R ；②4,1N x x ∀∈≥；③3,1x x ∃∈Z ＜；④23x x ∀∈≠Z ，，其中假命题的序号是 ．2.曲线sin y x =在π3,32P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率是 ． 3.抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ． 4.函数ln y x x =的单调减区间为 ．5.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的方程是 ．6.一物体做直线运动，其运动方程为43215243s t t t =++(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则物体速度为0的时刻是 ．7．如果方程22123x y k k+=--表示椭圆，则k 的取值范围是 ．8.要建造一座跨度为16米，拱高为4米的抛物线拱桥，建桥时，每隔4米用一根柱支撑，两边的柱高应为 米．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．10.已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．若2212F A F B +=，则AB = ．11.已知曲线3114:333C y x x =-+，曲线22:C y x =-92x m +，若当[22]x ∈-，时，曲线1C 在曲线2C 的下方，则实数m 的取值范围是 ．12.函数32(),[22]f x x ax bx c x =+++∈-，表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线的斜率均为-1，有以下命题：①()f x 的解析式是3()4,[22]f x x x x =∈-﹣，；②()f x 的极值点有且只有1个； ③()f x 的最大值与最小值之和为0. 其中真命题的序号是 ．13.与双曲线22142x y -=有相同的焦点，且过点(2,1)Q 的圆锥曲线方程为 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，2()()0(0)xf x f x x x '->>，则不等式2()0x f x ＞的解集是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（14分）命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足260≤x x --或228>0x x +-；若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围16.（14分）抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点1F 且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点是226,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求抛物线与椭圆的标准方程．17．（14分）已知函数3()f x ax x =-，其中13a ≤．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在[-1，1]上的最大值．18．（16分）设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为12,F F ，离心率为2．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）过点(1,0)N 能否作出直线l ，使l 与双曲线C 交于,P Q 两点，且0·OPOQ =，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由19．（16分）设12,F F 分别是椭圆2222:162x y C m m +=(0)m >的左、右焦点．（1）当P C ∈，且120·PF PF = ，124·PF PF =时，求椭圆C 的左、右焦点12,F F 的坐标．（2）12,F F 是（1）中椭圆的左、右焦点，已知2⊙F 的半径是1，过动点Q 作2F e 的切线QM （M 为切点），使得12QF QM =，求动点Q 的轨迹．F 2F 1MQyx20．（16分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x ，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S 的最大值1.② 解析：①x ∀∈R ，220x +>是真命题；②0x =∈N ，401x =<，故②是假命题；③0x =∈Z ，301x =<，故③是真命题；④2,3x x ∀∈≠Z 是真命题.2.12 解析：由sin y x = ，得c o s y x '= .把π3x =代入,得π312x y ='=．故曲线在点π3,32P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为12． 3.14y a =-解析：∵ 2y ax =，∴ 212x y py a==，∴ 12p a =.又∵ 抛物线的准线方程为2p y =-,∴ 抛物线2y ax =(0)a ≠的准线方程是14y a=-. 4.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭解析：1ln y x '=+，令0y '<，得1e x <.因为函数ln y x x =的定义域为（0，+∞）,所以函数ln y x x =的单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.5.2219y x -= 解析：因为双曲线的渐近线方程为3y x =±，所以可设双曲线的方程是2209y x λλ-=≠（）.又它的一个焦点是(10,0)，所以910λλ+=，所以λ=1，2219y x -=.6.t =0或1或4 解析：由题意可知3254s t t t '=+﹣.令32540t t t -+=，解得t =0或1或4.7.552,,322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：∵ 方程22123x y k k +=--表示椭圆，∴ 20,30,23.k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得23k <<且52k ≠. 8.3 解析：由题意设抛物线的方程为22(0)x py p =>-，又抛物线的跨度为16，拱高为4，所以点（8，-4）为抛物线上的点，代入求得8p =，即抛物线的方程为216x y =-．所以当4x =时，1y =-，所以柱子的高度为4-1=3（米）．9.[2，+∞） 解析：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F .若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴ 3≥b a，∴ 2e =222224c a b a a +=≥，∴ 2≥e .10.8 解析：由椭圆的定义，得121210,10.AF AF BF BF +=⎧⎨+=⎩两式相加，得2220AB AF BF ++=，即1220AB +=，∴ 8AB =．11.3m > 解析：令23914()3233F x x x m x x =-+-+-，故()>0F x 在[22]x ∈-，上恒成立. ∵ 23()202F x x x '=-+-<在[22]x ∈-，上恒成立，∴ ()F x 在[﹣2，2]上单调递减，∴ (2)30F m =->，即3m >.12.①③ 解析：由函数32()f x x ax bx c =+++的图象过原点，可得0c =.又2()32f x x ax b '=++，且()f x 在1x =±处的切线斜率均为-1，则有321,321,a b a b ++=-⎧⎨-+=-⎩解得0,4.a b =⎧⎨=-⎩所以3()4f x x x =-，2()34f x x '=-． ①可见3()4f x x x =-，因此①正确. ②令()0f x '=，得233x =±，因此②不正确. 又()f x 在2323,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内递减，且()f x 的极大值为2316339f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，极小值为2316339f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，两端点处(2)(2)0f f ==-，所以()f x 的最大值为1639M =，最小值为1639m =-，则0M m +=，因此③正确． 13.22182x y +=或22133x y -= 解析：由题意知双曲线的焦点坐标为12(6,0),(6,0)F F -，（1）可设所求双曲线方程为222216x y a a-=-，而点(2,1)Q 在曲线上，代入得23a =，∴ 双曲线的方程为22133x y -=.（2）可设所求椭圆方程为222216x y a a +=-，点(2,1)Q 在曲线上，代入得28a =，∴ 椭圆的方程为22182x y +=.14.(1,0)(1,)+∞-U 解析：由2()()0(0)xf x f x x x '->>，即()0f x x '⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，得()f x x 在（0，+∞）上为增函数，且当1x =时，有(1)(1)01f f ==. 故函数()f x x 在（0，1）上有()0f x x <，又0x >，则此时()<0f x .同理函数()f x x 在(1,)+∞上有()f x x＞0，又0x >，则此时()>0f x .又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴ 当(,1)x ∈∞--时，()<0f x ；当(1,0)x ∈-时，()>0f x .而2()0x f x >⇔()>0f x ，故不等式2()0x f x >的解集为(1,0)(1,)+∞-U . 二、解答题15.解：22430x ax a +=-的根为3a a ，. 当0a <时，22430x ax a +-＜的解集为(3,)a a . 故命题p 成立有(3,)x a a ∈. 由260x x --≤，得[23]x ∈-，.由2280x x +>-，得(,4)(2,)x ∈∞-+∞-U . 故命题q 成立有(,4)[2,)x ∈∞--+∞-U ．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件， 因此有(3,)(,4)a a ⊆∞--或(3,)[2,)a a ⊆-+∞. 又0a <，解得4a -≤或2<03≤a -.故a 的取值范围是4a -≤或2<03≤a -． 16.解：由题意可设抛物线方程为22(0)y px p =>.∵ 点226,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在抛物线上，∴ 2p =.∴ 抛物线的方程为24y x =. ∴ 12(1,0),(1,0)1F F c =-,.∴ 1224,2,3a MF MF a b =+===. ∴ 椭圆的方程为22143x y +=.17.解：（1）当1a =时，3()f x x x =-，(2)6f =，(2)11f '=，所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为611(2)y x -=-，即11160x y --=.（2）2()31f x ax '=-．当a ≤0时，2()310f x ax '=-<，()y f x =在[-1，1]上单调递减， 所以max ()(1)1f x f a ==-+-.当103≤a <时，令()0f x '=，解得1211,33x x a a=-=． 因为103≤a <，所以2113x a =≥且1113x a=--≤.又当11x -<<时，()<0f x '，故()y f x =在[-1，1]上单调递减，所以max ()(1)1f x f a ==-+-.综上，函数()f x 在[-1，1]上的最大值为1a -+．18.解：（1）∵ 23a e a +=，∴ 21a =.∴ 双曲线的渐近线方程为33y x =±.（2）假设过点(1,0)N 能作出直线l ，使l 与双曲线C 交于,P Q 两点，且0OP OQ =g.若过点(1,0)N 的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去．设直线l 方程为1122(1)(,)(,)y k x P x y Q x y =-,,，∴ 22(1),1. 3y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩①②①代入②并整理，得2222(31)6330k x k x k --+-=.∴ 221222122310,0,6,3133.31k k x x k k x x k ∆⎧-≠⎪>⎪⎪⎨+=-⎪⎪-⎪=-⎩∵ 0OP OQ =•uu u r uuu r，∴ 12120y y x x +=.∴ 2221212(1)()0k x x k x x k +-++=.∴ 223031k k +=-.∴23k =-不合题意．∴ 不存在这样的直线．19.解：（1）∵ 120PF PF =uuu r uuu rg ，∴ 2221212PF PF F F +=，∴ 2221216PF PF m +=.又∵ 124PF PF =uuu r uuu rg ，∴ 2212()816PF PF m +-=.∴ 21m =.∴12(2,0),(2,0)F F -.（2）设(,)Q x y ，连接2QF 及2F M .∵QM 是2F e 的切线，∴ 22222QM QF F M =-. ∴ 222(2)1QM x y =-+-.又∵ 12QF QM =，∴ 2212QF QM =.∴2222(2)2[(2)1]x y x y ++=-+-.∴22(6)34x y -+=. ∴ 动点Q 的轨迹是以（6，0）为圆心，34为半径的圆.20.解：（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系（如图），则点C 的横坐标为x ，纵坐标为y ，满足方程22221(0)4x y y r r+=≥.解得222(0)y r x x r =-<<.22221(22)22()2S x r r x x r r x =+-=+-••，其定义域为{|0}x x r <<．（2）记222()4()()(0)f x x r r x x r =+-<<，则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12x r =． 因为当02rx <<时，()>0f x '； 当2rx r <<时，()<0f x '， 所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故梯形面积S 的最大值为2332r。

第 1 章常用逻辑用语(A)(时间： 120 分钟满分：160分)一、填空题 (本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分)1．命题“若 A ? B，则 A ＝B”与其抗命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ________．12．设 a∈ R，则 a>1 是a<1 的 ________条件．3．与命题“若 x∈ A ，则 y?A”等价的命题是________．(填序号 )①若 x?A ，则 y?A ；②若 y?A，则 x∈A ；③若 x?A ，则 y∈A ；④若 y∈A ，则 x?A.4．对于命题“我们班学生都是团员”，给出以下三种否认：①我们班学生不都是团员；②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员．正确答案的序号是________．5．已知命题p： ? x∈R，使 sin x＝5；命题q：? x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出以下2结论：①命题“p∧ q”是真命题；②命题“p∧綈 q”是假命题；③命题“綈 p∨ q”是真命题；④命题“綈 p∨綈 q”是假命题．此中正确的选项是 ________． (填序号 )6．以下命题是真命题的为________． (填序号 )①若1＝1，则 x＝ y；x y2②若 x ＝ 1，则 x＝ 1；③若 x＝ y，则x＝y；22④若 x<y ，则 x <y .7．命题“若 x2＜ 1，则－ 1＜x＜ 1”的逆否命题是 ______ ．(填序号 )2①若 x ≥1，则 x≥1或 x≤－ 1；2②若－ 1＜ x＜ 1，则 x ＜ 1；2③若 x＞ 1 或 x＜－ 1，则 x ＞ 1；2④若 x≥1或 x≤－ 1，则 x ≥ 1.8．以下相关命题的说法正确的选项是________． (填序号 )①命题“若 x2＝ 1，则 x＝ 1”的否命题为：“若 x2＝ 1，则 x≠1”；2② “x＝－ 1”是“x－ 5x－ 6＝ 0”的必需不充足条件；③命题“? x∈R，使得 x2＋ x＋ 1<0”的否认是：“? x∈R，均有 x2＋ x＋ 1<0”；④命题“若 x＝ y，则 sin x＝ sin y ”逆否命题为真命题．的9．设 x，y∈ R，命题 p：|x－ y|<1，命题 q：|x－ y| ≤1，则 p 是 q 的______________ 条件．10．以下四个命题中①“k＝1”是“函数 y＝ cos2kx － sin2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a＝3”是“直线 ax＋ 2y ＋ 3a＝0 与直线 3x＋ (a－ 1)y＝ a－7 相互垂直”的充要条件；③函数 y＝x2＋ 4的最小值为 2. x2＋ 3此中是假命题的为________(将你以为是假命题的序号都填上)11．已知命题 p： ? x∈ R，使 tan x＝ 1，命题 q： x2－ 3x＋ 2<0 的解集是 {x|1<x<2} ，下列结论：①命题“p∧ q”是真命题；②命题“p∧綈 q”是假命题；③命题“綈 p∨ q”是真命题；④命题“綈 p∨綈 q”是假命题此中正确的选项是________．(填序号)12．设A 、 B为两个会合，以下四个命题：① A B?对随意x∈ A ，有x?B；② A B? A∩B＝ ?；③ A B? A?B；④ A B?存在x∈ A ，使得x?B.此中真命题的序号是________(把切合要求的命题的序号都填上)．13．已知α、β是不一样的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p： a 与b 无公共点；命题q：α∥ β，则p 是q 的 __________条件．214．命题“ ax－ 2ax－3>0不建立”是真命题，则实数 a 的取值范围是__________．二、解答题(本大题共 6 小题，共90 分)15．(14分 )(1) 当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的抗命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假；(2)p：对角线相互垂直的四边形是菱形，q：对角线相互均分的四边形是菱形，请写出“p 或 q”，“p且 q”，“非 p”形式的命题．16． (14 分 )判断命题“已知 a、 x 为实数，假如对于x 的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x ＋ a2＋ 2≤0的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假．17.(14 分 )设α、β是方程 x2－ ax＋ b＝ 0 的两个实根，试剖析“a>2且 b>1”是“两根都大于1”的什么条件？18．(16 分 )已知方程 x2＋ (2k－ 1)x ＋k2＝0，求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件．19.(16 分 )已知 c>0，c≠1，设命题 p：函数 y＝ c x在 R 上单一递减，命题q：不等式 x2－ 2x＋ c>0 的解集为 R.假如命题“p∨ q”为真命题，“p∧ q”为假命题，务实数 c 的取值范围．20． (16 分)已知以下三个方程：x2＋ 4ax－ 4a＋3＝ 0， x2＋ (a－1)x ＋a2＝ 0， x2＋ 2ax－ 2a ＝ 0 起码有一个方程有实数根，务实数 a 的取值范围．单元检测卷答案分析第 1 章常用逻辑用语 (A)1． 2分析原命题为假，故其逆否命题为假；其抗命题为真，故其否命题为真；故共有 2 个真命题．2．充足不用要分析∵ a>1?11a>1，a <1； a <1? a>1 或 a<0∴是充足不用要条件．3．④分析原命题与它的逆否命题为等价命题．故④正确．4．①② 5．②③分析因 p 为假命题， q 为真命题，故綈p 真，綈 q 假；因此 p ∧ q 假， p ∧綈 q 假，綈p ∨ q 真，綈 p ∨綈 q 真． 6．①1 1分析 由 x ＝ y 得 x ＝ y ，①正确，②、③、④错误． 7．④分析22因 “－ 1<x<1”的否以为 “x ≥1，或 x ≤－ 1”； “x”的否以为 “x≥ 1．”又因 “若 p ，则<1 q ”的逆否命题为 “若綈 q ，则綈 p ”，故④正确．8．④9．充足不用要分析 由命题 p 能够推出命题q ，而由命题 q 不可以推出命题 p.10．①②③分析① “k＝ 1”能够推出 “函数 y ＝cos 2kx － sin 2kx 的最小正周期为 π”，可是函数 y ＝cos 2kx － sin 2kx 的最小正周期为 π，即 y ＝ cos 2kx ，T ＝ 2π＝ π， k ＝±1. |2k|② “a＝3”不可以推出 “直线 ax ＋ 2y ＋3a ＝ 0 与直线 3x ＋ (a － 1)y ＝ a －7 相互垂直 ”，反之垂2直推出 a ＝ ；③函数 y＝x2＋ 4＝x2＋3＋11，令 x2＋ 3＝ t，t ≥ 3，y min＝3＋1＝＝ x2＋3＋x2＋ 3x2＋3x2＋33433.11．①②③④分析易知命题 p 为真，命题 q 也为真命题，因此 p∧ q 为真，故①正确；因为p 真綈q 假，故 p∧綈 q 为假，因此②正确；因为綈p 假 q 真，故綈 p∨ q 为真，因此③为正确；因为綈 p，綈 q 都是假命题．故綈 p∨綈 q 也为假命题，因此④正确．12．④分析∵A B，∴有两种可能：(1)A ∩ B≠?； (2)A ∩B＝ ?.∴①②③都不对，只有④对．13．必需不充足分析 q? p， p q.14． [－3,0]2分析ax － 2ax－ 3≤0恒建立，当 a≠0时，由a<0得－ 3≤a<0；＝ 4a2＋ 12a≤0∴－ 3≤a≤0.15．解(1)抗命题：当c<0 时，若 a<b，则 ac>bc(真命题 )否命题：当c<0 时，若 ac≤bc，则 a≥b(真命题 )逆否命题：当c<0 时，若 a≥b，则 ac≤bc(真命题 )．(2)p 或 q：对角线相互垂直的四边形或对角线相互均分的四边形是菱形．p 且 q：对角线相互垂直的四边形且对角线相互均分的四边形是菱形．非 p：对角线相互垂直的四边形不是菱形．16．解方法一(直接法 )逆否命题：已知a、 x 为实数，假如a<1，则对于x 的不等式x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤0的解集为空集．判断以下：二次函数 y＝x2＋(2a＋1)x＋ a2＋ 2 图象的张口向上，鉴别式＝ (2a＋ 1)2－ 4(a2＋ 2)＝ 4a－ 7.∵a<1，∴ 4a－ 7<0.即二次函数 y＝ x2＋ (2a＋1)x ＋ a2＋ 2 与 x 轴无交点，∴对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋1)x ＋a2＋ 2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．方法二(先判断原命题的真假)∵a、x 为实数，且对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x ＋ a2＋ 2≤0的解集非空，∴＝ (2a＋1) 2－ 4(a2＋ 2) ≥0，即 4a－7≥0，77解得 a≥，∵ a≥ >1，4 4∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．方法三(利用会合的包括关系求解)22命题 p：对于 x 的不等式x ＋ (2a＋ 1)x＋ a ＋ 2≤0有非空解集．∴p：A ＝ {a|对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋1)x ＋ a2＋ 2≤0有实数解 } ＝ {a|(2a＋ 1)2－ 4(a2＋ 2) ≥0} 7＝ a|a ≥，4q： B＝ {a|a ≥．1}∵ A ? B，∴“若 p，则 q”为真，∴ “若 p，则 q”的逆否命题“若綈 q，则綈 p”为真．即原命题的逆否命题为真．17．解由根与系数的关系得α＋β＝a a>2，结论是 q：α >1，判断的条件是p：( Δ≥．0)αβ＝ b b>1β >1①由α>1且β>1? a＝α＋β>2， b＝αβ >1? a>2 且 b>1，故 q? p.1，则知足11②取α＝4，β＝a＝α＋β＝ 4＋ >2， b＝αβ＝ 4×＝ 2>1，但 pD? /q.222综上所述，“a>2且 b>1”是α>1且β>1的必需不充足条件．18．解令 f(x) ＝ x2＋ (2k－ 1)x ＋k2，方程有两个大于 1 的实数根 ?＝(2k － 1)2－ 4k2≥02k－ 1－>1，2f(1)>0即 k<－ 2.因此其充要条件为k< －2.19．解∵ y＝c x在R上单一递减，∴0<c<1，命题 p： 0<c<1.∵不等式 x2－2x ＋ c>0 的解集为R，21∴＝(－2) － 4c<0 ， c> ，1∴命题 q： c>2.∵ “p∨q”为真命题，“p∧ q”为假命题，∴命题 p 与命题 q 恰巧一真一假，∴ p 为真 q 为假，或p 为假 q 为真，0<c<1c≤0或c≥1即1或1，解得c≤c>2210<c ≤或 c≥1.21综上可知，实数 c 的取值范围是(1，2] ∪[1 ，＋∞)．20．解假定三个方程：x2＋ 4ax－ 4a＋ 3＝ 0，x2＋ (a－ 1)x＋ a2＝ 0， x2＋ 2ax－ 2a＝ 0 都没有实数根，则－31<a<22得－3即1<a<－1.a>3，或 a<－ 1，2－ 2<a<0∴所务实数 a 的范围是 a≤－3或 a≥－1.21＝ (4a)2－ 4( －4a＋ 3)<02＝ (a－ 1)2－ 4a2<0，3＝ (2a)2－ 4( －2a)<0。

高二数学第3周学情检测参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．双曲线22197y x -=的焦点坐标为 (0,4),(0,4)- ．2．已知椭圆方程1422=+ky x 的离心率为22，则k 的值为___2或8____．3．离心率31=e ，焦距为4的椭圆标准方程为___2213632x y +=或2213632y x +=_____．4．双曲线过点、，则双曲线的标准方程为 2214x y -= ．5．若圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相切，则实数m 的值为 1或81 ． 6．已知双曲线2255x ky +=的一个焦点为(2,0)，则k 的值为 53- ．7．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率为. 8．若椭圆22125x y m+=与双曲线221515x y -=的焦距相等，则m 的值为 9或41 .9．过点(0,1)P 向圆2246120x y x y +--+=10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为_____x 23＋y 22＝1____．11．圆心在x 轴上，且与直线y x =相切于点(1,1)的圆的方程为 22(2)2x y -+= ．12．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C (a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若21F PF ∆的面积为9，则b 的值为____3___．13．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分1 ．14．已知直线l 的方程是60x y +-=，,A B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形 （O 为坐标原点），则△OAB 外接圆的方程是 22(2)(2)8x y -+-= ．二、解答题：解答应写出必要的文字步骤．15．（本小题满分14分）求以椭圆221169x y +=短轴的两个顶点为焦点，且过点(4,5)A -的双曲线的标准方程．解：由题意可知，双曲线的两焦点为1(0,3)F -，2(0,3)F ，………………………4分设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>………………………6分2222251619a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩Q 解得2254a b ⎧=⎨=⎩，………………………12分 所以双曲线的标准方程为22154y x -=………………………14分16．（本小题满分14分）已知方程22142x y m m-=-+（1）若方程表示双曲线，求实数m的取值范围；（2，求实数m 的值． 解：（1）若方程表示双曲线，则(4)(2)0m m -+>，………………………4分∴实数m 的取值范围为(2,4)-………………………6分（2）方程可化为22142x y m m+=---，因为方程表示椭圆，所以4020242m m m m m ->⎧⎪-->⇒<-⎨⎪-≠--⎩………………………8分所以椭圆的焦点在x 轴上………………………10分，所以4(2)4m m --=-，所以实数m 的值为4-．………………………14分17．（本小题满分14分）若椭圆22110x y m +=与双曲线221y x b -=有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P y ⎫⎪⎪⎝⎭， 求椭圆及双曲线的方程.解：由题意可知b m +=-110,………………………2分2119y m +=,………………………4分 21019y b-=,………………………6分 解得m =1,b =8………………………10分所以椭圆的方程为22110x y +=………………………12分 双曲线的方程为2218y x -=………………………14分18．（本小题满分16分）已知圆1C ：22(3)(3)18x y -+-=，过(3,0)A -的直线l 交圆1C 于,M N 两点. （1）若△1C MN 为直角三角形，求直线l 的方程；（2）若圆2C 过点A 且与圆1C 切于坐标原点，求圆2C 的标准方程. 解：（1）当直线l 的斜率不存在时显然不合题意，设l ：(3)y k x =+,…1分当190MC N ∠=o 时，圆心2C 到直线l 得距离为3，…3分31==解得：0k =或43k =，……5分 所以，直线方程为：0y =或43120x y -+=.……7分（2）可知圆1C 和圆2C 相外切，……8分圆2C 的圆心在直线32x =-上，……10分同时也在直线y x =上，……12分得233(,)22C --，r 14分圆2C ：22339()()222x y ++-=.……16分19．（本小题满分16分）已知A 点坐标为(0,8)，直线:240l x y --=与y 轴交于B 点，P 为直线l 上动点. （1）求以AB 为直径的圆C 的标准方程；（2）圆E 过A ，B 两点，截直线l得到的弦长为E 的标准方程； （3）证明：以PA 为直径的动圆必过除A 点外的另一定点，并求出该定点坐标. 解：（1）圆的方程为22(3)25x y +-=………………………2分（2）圆E 的标准方程为22(5)(3)50x y -+-=或22(10)(3)125x y ++-=……………8分 （3）由题意可设动点(24,)P t t +，则以PA 为直径的圆的方程为(24)()(8)0x x t y t y --+--=………………………10分即22(82)(48)0y x t x y x y --++--=………………………12分由228200448080y x x x x y x y y y --===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨+--===⎩⎩⎩或………………………14分 所以该定点坐标为(4,0)………………………16分20．（本小题满分16分）已知1F ，2F分别为椭圆的左、右两个焦点，椭圆的离心率为3，短轴的一个端点到一个焦点的.设点P 是椭圆上的动点，过点2F 作∠12F PF 的外角平分线PR 的垂线，交1F P 的延长线于E ，垂足为R . （1）求椭圆的标准方程； （2）求点R 的轨迹方程；（3）求证：12RF RF ⋅u u u r u u u r为定值.解：（1）设椭圆的方程为12222=+by a x )0(>>b a ，则222a ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩4分 椭圆的方程为1322=+y x .………………………6分 （2）设R F 2交P F 1于Q ，由题意知直线m 垂直平分线段2F E 得到2PF PE =，又O 为21F F 中点，R 为2F E的中点，11121111()()22222OR F E F P PE F P PF a a ==+=+=⋅==……………………10分 因此所求R 点轨迹方程为223(0)x y y +=≠.………………………12分（3）设),(y x R ，则)0,2(),0,2(21y x RF y x --=---=……………14分1)2(222221=+=+--=⋅y x y x RF RF ………………………16分。

2.2.1椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程[思考]121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二 椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝2F 1F 2. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意知F 1F 2＝2， PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>2＝F 1F 2， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， 故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝PF 1，n ＝PF 2，则m ＋n ＝2a ＝4.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos 120°)，解得mn ＝12. ∴S △12PF F ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin 120°＝3 3.反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF 1·PF 2看作一个整体来处理．跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．求△AF 1B 的周长． 解 如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有AF 1＋AF 2＝2a ＝10，BF 1＋BF 2＝2a ＝10， AF 2＋BF 2＝AB ，所以△AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2 ＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2) ＝2a ＋2a ＝20.题型三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示． 由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴PB ＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距PA ＝10－r ， 即PA ＋PB ＝10(大于AB ＝6)．∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝AB ＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.分类讨论思想的应用例4 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点．P 为椭圆上的一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值． 分析 已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由PF 1＞PF 2，知∠PF 2F 1＞∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2不会是直角，但是∠F 1PF 2与∠PF 2F 1都有可能为直角，故应分类讨论．解 由题意，得PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝2 5. 根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22， 即PF 21＝(6－PF 1)2＋20，解得PF 1＝143，PF 2＝43，故PF 1PF 2＝72；若∠F 1PF 2为直角，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22， 即20＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2(由于PF 1＞PF 2， 故舍去PF 1＝2，PF 2＝4)，故PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2的值为72或2.解后反思 分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论．1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案 线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2， ∴动点M 的轨迹是线段．2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________． 答案 2解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k －1＝1， 解得k ＝2.3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 6解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3. 而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21，所以△12pF F ∆2是直角三角形， 则S △12pF F ∆＝12×3×4＝6.4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的__________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆． 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14， 所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100， 即196－2PF 1·PF 2＝100. 解得PF 1·PF 2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．。

3.1.2 瞬时变化率——导数（一）5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.已知f(x)=-x 2+10,则f(x)在x=23处的瞬时变化率是( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2答案：B 解析：x y ∆∆=xx ∆+---+∆+-]10)23([10)23(22=-3-Δx. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于-3，选B. 2.曲线f(x)=x 3+1上对应于x=1处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.3D.-3答案：C 解析：x y ∆∆=xx ∆+-+∆+)11(1)1(33=3+3Δx+Δx 2. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于3，选C. 3.求曲线y=x +1在点（1，2）处的切线的斜率.解：设在x=1处有改变量Δx ，则对应的函数的改变量为 Δy=1+221)1(1-∆+=+-∆++x x x . 则当Δx 无限趋近于0时，x y ∆∆=)22()22)(22(22+∆+∙∆+∆+-∆+=∆-∆+x x x x x x 221+∆+=x 无限趋近于42，即曲线y=x +1在（1，2）处的切线的斜率是42. 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.在导数定义中,自变量的增量Δx （ ）A.Δx ＞0B.Δx ＜0C.Δx=0D.Δx≠0答案：D解析：Δx 表示一个趋向于0的无穷小量,可以大于0,也可以小于0,但不能等于0.2.设函数y=f(x),当自变量x 由x 0改变到x 0+Δx 时,函数的改变量Δy 为（ ）A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0) 答案：D解析：Δy 表示变量y 在区间［x 0,x 0+Δx ］上的增量.即Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).3.已知曲线y=2x 3上一点A(1,2),则A 处的切线的斜率为（ ）A.6B.4C.6+Δx+2(Δx)2D.2答案：A解析：求点A 处的切线的斜率即求f(x)在点A(1,2)处的导数.∵x y ∆∆=xx x f x f ∆⨯-∆+=∆-∆+3212)1(2)1()1(=6+6Δx+2(Δx)2, ∴Δx 趋向于0时,xy ∆∆趋向于6,所以f(x)在点A(1,2)处的导数为6,即点A 处切线的斜率为6. 4.已知某质点按规律s=2t 2+2t(米)作直线运动,质点在3秒时的瞬时速度为___________. 答案：14 m/s解析：求质点在3秒时的瞬时速度也就是求t=3时的导数.v=0lim →∆t t s ∆∆=0lim →∆t tt t t f t f ∆⨯+⨯-∆++∆+=∆-∆+)3232()]3(2)3(2[)3()3(22 =0lim →∆t (14+2Δt)=14(m/s). 5.已知y=x 3-2x+1,则y′|x=2=______________.答案：10解析：Δy=(2+Δx)3-2(2+Δx)+1-(23-2×2+1)=(Δx)3+6(Δx)2+10Δx,xy ∆∆=（Δx)2+6Δx+10, ∴y′|x=2=0lim →∆x ［(Δx)2+6Δx+10］=10. 6.如图,曲线y=x 3在x 0=0处的切线是否存在?若存在,求出切线的斜率和切线方程;若不存在,请说明理由.插入图片F03；Z3mm解:Δy=f(0+Δ x)-f(0)=(Δx)3,x y ∆∆=(Δx)2.当Δx 无限趋近于0时,xy ∆∆无限趋近于常数0,这说明割线会无限趋近于一个极限位置,即曲线在x=0处的切线存在,此时切线的斜率为0(x y ∆∆无限趋近于0),又曲线过点(0,0),故切线方程为y=0.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.一质点按规律s=2t 3运动,则在t=2时的瞬时速度为( )A.4B.6C.24D.48答案：Ct s ∆∆=tt ∆⨯-∆+3322)2(2=24+12Δt+2Δt 2. 当Δt 无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于24. 2.一物体的运动方程是s=5t+23t 2,则下述四个结论中正确的个数是( ) ①物体在时间段［0,1］内的平均速度是213m/s;②物体在t=1 s 时的瞬时速度是8 m/s;③物体在时间段［0,1］内经过的位移是8 m;④物体在时间段［0,1］内经过的位移是213m.A.1B.2C.3D.4答案：C只有③错,选C.3.物体运动方程为s=41t 4-3,则t=5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625答案：C Δs=41（t+Δt ）4-3-（41t 4-3） =41［t 4+4t 3·Δt+6t 2·（Δt ）2+4t·（Δt ）3+（Δt ）4］-3-41t 4+3 =41·［（Δt ）4+4t·（Δt ）3+6t 2·（Δt ）2+4t 3·Δt ］. ∴t s ∆∆=tt t t t t t t ∆∙∆∙+∆∙+∆∙+∆44)(6)(4)(32234 =41［（Δt ）3+4t·（Δt ）2+6t 2·Δt+4t 3］. ∴当Δt 无限趋近于0时， s′=41（0+0+0+4t 3）=t 3. ∴s′|t =5=53=125.∴t=5时的瞬时速度为125.4.曲线f(x)=x 在点(4,2)处的切线的斜率是_______________. 答案:41 解析:x y ∆∆=24124+∆+=∆-∆+x x x .当Δx 无限趋近于0时，x y ∆∆无限趋近于41. 5.如图,A,B 是抛物线y=2-x 2上的两点,则割线AB 的斜率是_____________,当Δx 无限趋于0时,可得抛物线上过点A 的切线的斜率为_______________.插入图片F04;S*2;X*2答案:-2-Δx -2解析:x y ∆∆=xx ∆--∆+-22)12()1(2=-2-Δx. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于-2. 6.曲线y=x 3-4x 在点(1,-3)处的切线的倾斜角为_______________.答案:43π解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-4(1+Δx)-(1-4)=(Δx)3+3(Δx ）2-Δx.xy ∆∆=(Δx)2+3Δx -1. 当Δx 无限趋近于0时,xy ∆∆无限趋近于-1,所以曲线y=x 3-4x 在点(1,-3)处的切线的斜率为-1. 因为直线的倾斜角α∈［0，π）， 所以，所求切线的倾斜角α=43π. 7.抛物线y=x 2+bx+c 在点(1,2)处的切线平行于直线bx+y+c=0,求两条平行线间的距离.解:x y ∆∆=xc b c x b x ∆++-+∆++∆+)1()1()1(2 =2+Δx+b.当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于2+b ，即切线的斜率为2+b. ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧++=-=+.2,1,12,2c b c b b b 切线方程为x-y+1=0， 平行直线方程为x-y-2=0，两平行直线间的距离为223. 8.若一物体的运动方程为s=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+).3()3(32),30(1322t t t t 求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.解:当t=1时,s=3t 2+1,Δs=s （1+Δt ）-s （1）=3（1+Δt ）2+1-4=6Δt+3（Δt ）2. ∴t s ∆∆=tt t ∆∆+∆2)(36=6+3Δt. 当Δt 无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于常数6，即物体在t=1时的瞬时速度为6. 当t=4时,s=2+3(t-3)2.Δs=s(t+Δt)-s(t)=s(4+Δt)-s(4)=2+3(4+Δt -3)2-2-3(4-3)2=3［6Δt+3（Δt ）2］， ∴t s ∆∆=6+3Δt.当Δt 无限趋近于0时,ts ∆∆无限趋近于常数6,即物体在t=4时的瞬时速度为6. 9.已知x 轴是曲线y=x 3+bx+c 的一条切线,试求b 、c 满足的关系式.解：∵y=x 3+bx+c ，∴Δy=（x+Δx ）3+b （x+Δx ）+c-（x 3+bx+c ）=3x 2Δx+3x·（Δx ）2+（Δx ）3+bΔx. ∴xy ∆∆=3x 2+b+3x·Δx+（Δx ）2. ∴当Δx→0时，x y ∆∆→3x 2+b. ∴y′=3x 2+b.由于x 轴是曲线y=x 3+bx+c 的一条切线.设切点(x 0,0),则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+)2(.0)1(,0303020c bx x b x由②得x 0（x 02+b ）=-c ，两边平方得：x 02（x 02+b ）2=c 2，由①得x 02=3b -，将它代入上式得： 3b -（3b -+b ）2=c 2， ∴2743b -=c 2,即27432b c -=. 10.已知自由落体的运动方程为s=21gt 2,求: (1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内的平均速度;(2)落体在t 0时的瞬时速度;(3)落体在t 0=2秒到t 1=2.1秒这段时间内的平均速度;(4)落体在t=2秒时的瞬时速度.解:平均速度v =ts ∆∆,瞬时速度v=0lim →∆t t s ∆∆. (1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内（即Δt 时间内）取得的路程增量为Δs=21g （t 0+Δt ）2-21gt 02. 因此,落体在这段时间内的平均速度为:v =t s ∆∆=tt t t g t gt t t g ∆∆+∆=∆-∆+)2(2121)(2102020=21g(2t 0+Δt ）. (2)落体在t 0时的瞬时速度为v=0lim →∆t v =0lim →∆t 21g(2t 0+Δt)=gt 0. (3)落体在t 0=2秒到t 1=2.1秒时,其时间增量Δt=t 1-t 0=0.1(秒),由(1)知平均速度为 v =21g(2×2+0.1)=2.05g≈2.05×9.8=20.09(米/秒). (4)由(2)知落体在t 0=2秒时的瞬时速度为v=g×2≈9.8×2=19.6(米/秒).。

高中数学试题选修1—1一、选择题：（每小题5分,共50分）1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（ ）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真2.在下列命题中，真命题是（ ）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件 ；C.充要条件 ；D.既不充分也不必要条件4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5. 函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A.a=3,b=－3或a=―4,b=11 ；B.a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；C.a=－1,b=5 ；D.以上都不对6.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（ ）A.(1,0);B.(2,8);C.(1,0)和(－1,－4);D.(2,8)和(－1,－4)7.函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.a<3 ；B.a>3 ；C.a ≤3；D.a ≥38.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对9.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.()23,2ππ； B.)2,(ππ； C.)25,23(ππ； D.)3,2(ππ 10.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.563；B.665 ；C.56 ；D.65 二、填空题：(每小题5分,共25)11.双曲线的渐近线方程为y=x 43±，则双曲线的离心率为________ 12.函数f(x)=(ln2)log 2x －5x log 5e(其中e 为自然对数的底数)的导函数为_______13.与双曲线14522-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为________14.正弦函数y=sinx 在x=6π处的切线方程为____________ 15.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则∆POQ 的面积为_________三、解答题： (每题15分,共75分)16.命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。

2.1 圆锥曲线2.2 椭圆（苏教版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知点A(-1,0),B(1,0),动点P满足P A+PB=3，则动点P的轨迹为________________.2.已知点A（-2，0），B（2，0），动点M满足|MA-MB|=4，则动点M的轨迹为________________.3.动点P到直线x+2=0的距离与它到M（1，0）的距离之差等于 1 ，则动点P的轨迹是________________.4.直线x-2y+2=0经过椭圆（a>b>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________.5.“-3＜m＜5”是“方程表示椭圆”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）6.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为_____________.7.P为椭圆上的点，是两焦点，若∠P＝30°，则△P的面积是________.8.椭圆与连结的线段没有公共点，则正数的取值范围是________.9.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.10.若焦点在轴上的椭圆上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是_______.11.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________．12.椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．二、解答题（本题共2小题，共40分）13.(本小题满分20分)已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.14.(本小题满分20分)已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；。

3.3.3 最大值与最小值课时目标 1.理解函数最值的概念.2.了解函数最值与极值的区别和联系.3.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．1．最大值：如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有_____________，则称f (x 0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a ，b ]上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么f (x )必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是闭区间；(2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断．函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的．3．一般地，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ，b )上的________；(2)将(1)中求得的极值与f (a )，f (b )比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．一、填空题1．给出下列四个命题：①若函数f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值一定是[a ，b ]上的极大值； ②若函数f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值一定是[a ，b ]上的极小值； ③若函数f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值一定在x ＝a 或x ＝b 处取得； ④若函数f (x )在(a ，b )内连续，则f (x )在(a ，b )内必有最大值与最小值． 其中真命题共有________个．2．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为______．3．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c ＝________.4．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上有f (x )与g (x )的大小关系为____________．5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.6．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．7．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．8．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________． 二、解答题9．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．10．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，某某数m 的取值X 围．能力提升11．设函数f (x )＝12x 2e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，某某数m 的取值X 围．12．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a 、b 的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值最小值问题．3．3.3 最大值与最小值知识梳理1．f(x)≤f(x0) 定义域上3．(1)极值作业设计 1．0解析 因为函数的最值可以在区间[a ，b ]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a ，b )内的单调函数，它在(a ，b )内必定无最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真． 2.239解析 ∵f (x )＝x －x 3，∴f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±33，∵f (0)＝0，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－239. ∴f (x )max ＝239.3．4解析 ∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4. 4．f (x )≥g (x )解析 ∵f ′(x )>g ′(x )，∴f (x )－g (x )单调递增． ∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )， 即f (x )－g (x )≥0.5．－12解析 y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．6．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数． ∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.7. 211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2.即12≤f (x )≤122e π.8．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0， 得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a . ∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.9．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x .令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0， 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2. 10．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立， 知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5. 所以f (x )的最大值为5，故m 的取值X 围为(5，＋∞)．11．解 (1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2x (x ＋2)．由ex 2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间， 由ex 2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)； 单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值X 围为(－∞，0)．12．解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3ax 2－12ax .令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4. ∵4D ∈/[－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得，f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ， f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3， 最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29，综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.§3.4 导数在实际生活中的应用课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的最值问题．1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 2．解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程．一、填空题1．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________． 2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为________． 3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________ cm.4．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件． 5.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 0≤x ≤400，80 000 x >400.则总利润最大时，每年生产的产品件数是________．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 二、解答题9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？10.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升 11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)12．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4 导数在实际生活中的应用作业设计 1．8解析 由题意知，所求的量为当y 为最大值时的自变量t 的取值，y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0，得3t 2＋12t －36×8＝0， ∴t 1＝8，t 2＝－12(舍)．当t ∈(6,8)时．y ′>0，t ∈(8,9)时，y ′<0， 所以t ＝8时，y 有最大值．2.34V解析 设底面边长为a ，直三棱柱高为h .体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V3a 2， 表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43Va ， S ′＝3a －43V a2，由S ′＝0，得a ＝34V . 当a ＝34V 时，表面积最小． 3.2033解析 设高为x cm ，则底面半径为202－x 2cm ，体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值． 4．25解析 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1 200 (x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值． 5．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx 2.由L ′＝0，得x ＝2S π＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0， 所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1. 6．300解析 设总成本为C ，则C ＝20 000＋100x ， 所以总利润 P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 0≤x ≤400，60 000－100x x >400.P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x0≤x ≤400，－100 x >400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．9．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m 2x 2(32x －512)．令f ′(x )＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小．10．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：故x ＝12时，f (x )达到极大值．因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．11．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21， 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值．所以产量q为84时，利润L最大．。