苏教版高中数学选修4-4课时作业【4】及答案

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课时提升作业九直线的参数方程渐开线与摆线一、选择题(每小题6分,共18分)1.直线错误！未找到引用源。

不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】选D.直线错误！未找到引用源。

经过点(-3,2),倾斜角α=错误！未找到引用源。

,所以不经过第四象限.【补偿训练】直线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的倾斜角为( ) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.方法一:直线错误！未找到引用源。

的普通方程为y-2=错误！未找到引用源。

(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为错误！未找到引用源。

.方法二:直线错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

所以直线的倾斜角为错误！未找到引用源。

.2.(2016²衡水高二检测)若直线的参数方程为错误！未找到引用源。

(t为参数),则直线的斜率为( )A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

【解析】选B.直线错误！未找到引用源。

的普通方程为y=-错误！未找到引用源。

x+错误！未找到引用源。

,所以直线的斜率为-错误！未找到引用源。

.3.已知直线l过点P(1,2),其参数方程为错误！未找到引用源。

(t是参数),直线l与直线2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( )A.1B.错误！未找到引用源。

C.2D.2错误！未找到【解析】选D.方法一:将直线l的参数方程错误！未找到引用源。

(t是参数)化为普通方程y=-x+3,代入2x+y-2=0,得x=-1,y=4,即Q(-1,4),所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2错误！未找到引用源。

.方法二:将直线l的方程化为标准形式错误！未找到引用源。

代入2x+y-2=0得t′=2错误！未找到引用源。

数学选修4-4 坐标系与参数方程［基础训练A 组］一、选择题x 1 2t1 •若直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为（）y 2 3tA. (2,_3) B . (2, _3) C . (2,勺 D . (2,2 k二、填空题x 3 4t1 .直线（t 为参数）的斜率为 ______________________ 。

y 4 5tttx e e2.参数方程 _________________________________________ t t （t 为参数）的普通方程为。

y 2（e e ）x 1 3t2. 3. 4. 5. 2一33一2F 列在曲线 A .(2, 将参数方程 ysin2 cossin 1)为参数）上的点是（）C . (2,、3)D . (1, .3)2 sin 2.2 sin 为参数）化为普通方程为（2 C . y x 2(2x 3) y x 2(0 y 1)2化极坐标方程 cos 0为直角坐标方程为（A . x 2 y 20 或yB . x 1C . x 2y 2 D . y 1点M 的直角坐标是（ 1八3），则点M 的极坐标为（6. 极坐标方程 cos 2sin 2 表示的曲线为（A .一条射线和一个圆B . 两条直线C . 一条直线和一个圆D . —个圆3.已知直线l1 : （t为参数）与直线l2 : 2x 4y 5相交于点B，又点A（1,2）,1 y2 4t数学选修4-4 坐标系与参数方程三、解答题(1 )求2x y 的取值范围;(2)若x y a 0恒成立，求实数a 的取值范围。

x 1 t■2.求直线h ：(t 为参数)和直线l 2:x y 2 3 0的交点P 的坐标，及点P y 5.3t与Q(1, 5)的距离。

ABx4.直线y1t1t2(t 为参数)被圆2y 4截得的弦长为 ___________________5.直线 xcos ysin0的极坐标方程为21•已知点P(x,y)是圆x y 2 2y上的动［综合训练B组］、选择题1.直线I的参数方程为之间的距离是（2.3.4.5.6. t （t为参数）,l上的点R对应的参数是1，则点R与P（a,b）A. t12t! C.D. fibx 参数方程为A .一条直线1t （t为参数）表示的曲线是（B .两条直线C. 一条射线 D •两条射线x 1 A 直线2_ （t为参数）和圆x22则AB的中点坐标为（(3, 3) B. ( . 3,3) C. (、、3,5cos 51. 3 sin 的圆心坐标是（与参数方程为x22 y_4C. x22y_41(0直线• 983)16交于A, B两点，B.(5,3)C.(5,_3)(5,—（t为参数）等价的普通方程为（2.1 t2B. X2冷1(0y 2) D. x2t（t为参数）被圆（xB. 404C. 82x 1)x 1,0 y 2)3)2 (y 1)225所截得的弦长为（D. .93 4.3数学选修4-4 坐标系与参数方程1.曲线的参数方程是1t (t为参数,tt20),则它的普通方程为2.直线x 3 at (t为参数)过定点______________________ 。

《参数方程》平行性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1） 以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎫2016，5π3表示的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（2） 在极坐标系中，已知点P (2，π6)，则过点P 且平行于极轴的直线方程是 （A ）ρsin θ＝1 （B ）ρsin θ＝ 3（C ）ρcos θ＝1 （D ）ρcos θ＝ 3（3） 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为 （A ）抛物线的一部分 （B ）一条抛物线（C ）双曲线的一部分 （D ）一条双曲线（4） 极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线（5） 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为 （A ）2 （B ）9π42+ （C ）9π12+（D ） 3 （6） 已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7） 若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于 （A ）2或－8 （B ）6或－4（C ）－2或8 （D ）4或－6（8） 已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（A ） 2 （B ）－ 2 （C ）0 （D ）± 2（9） 设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，点P 在该直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，则在参数方程中点P 对应的t 值为（A ）±1 （B ）0 （C ）±12 （D ）±32（10） 如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是（A ）(－22，0) （B ）(0，22)（C ）(－22，0)∪(0，22) （D ）(1，22)（11） 已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为（A ）13 （B ）15 （C ）－13 （D ）－15（12） 已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的取值范围为（A ）[5，5] （B ）[－5，5]（C ）[－5，－5] （D ）[－5，5] 二、填空题：本大题4小题，每小题5分．（13） 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB是等边三角形，则a 的值为________．（14） 极坐标系中，点A 在曲线ρ＝2sin θ上，点B 在曲线ρcos θ＝－2上，则|AB |的最小值为________．（15） 在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点P 是曲线ρsin 2θ＝4cos θ上任意一点，设点P 到直线ρcos θ＋1＝0的距离为d ，则|PA |＋d 的最小值为________．（16） 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ．若|EF |＝|MF |，且点M 的横坐标是3，则p 等于________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） （本小题满分10分） 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos ,24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ (θ为参数)，直线l 经过点P (3，5)，且倾斜角为3π． （Ⅰ）写曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．（18） （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (-1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+5=0．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；（Ⅱ）设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．（19） （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρ＝1cos θ－2asin θ． （Ⅰ）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值；（Ⅱ）点P 在圆C 上移动，Q 为线段OP 的中点，求点Q 的轨迹的极坐标方程．（20） （本小题满分12分） 已知椭圆C ：1162422=+y x ，直线l ：1812=+y x ．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2||||||OR OP OQ =⋅．当点P 在l 上移动时，求直角坐标下，动点Q 的轨迹方程．（21） （本小题满分12分）曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l :ρ(cos θ-2sin θ)=6．（Ⅰ）求曲线C 2的普通方程和直线l 的直角坐标方程．（Ⅱ）若P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值和最大值．（22） （本小题满分12分）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3π,2(． （Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标．（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围．《坐标系与参数方程》平行性测试卷参考答案一、选择题（1） D ．解析：由于x ＝ρcos θ＝2016cos 5π3＝1008，y ＝ρsin θ＝2016sin 5π3＝－10083， 故点(1008，－10083)位于第四象限．（2） A ．解析：先将极坐标化成直角坐标表示，由P (2，π6)得x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1．（3） A ．解析：y 2＋x ＝1，∵x ∈[0，1]，y ∈[－1，1]，∴是抛物线的一部分．（4） C ．解析：∵(ρ－1)(θ－π)＝0，∴ρ＝1或θ＝π．ρ＝1表示以极点为圆心、半径为1的圆，θ＝π表示由极点出发的一条射线．（5） D ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得⎩⎨⎧ x ＝2cos π3，y ＝2sin π3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，可知点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)与点(1，3)之间的距离为3．（6） D ．解析：将抛物线的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，则焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4．（7） C ．解析：将曲线⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程，得x 2＋y 2＝5，因为直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，所以|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8． （8） D ．解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2． （9） A ．解析：由题意知－4＋t ＋42＋t －02＝2，解得t ＝1或t ＝－1．（10） C ．解析：将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0．（11） D ．解析：⊙C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1，1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15． （12） D ．解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos φ＋35sin φ＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]． 二、填空题（13） 3．解析：圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A ⎝⎛⎭⎫±a 3，a ，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3． （14） 1．解析：由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1．因为ρcos θ＝－2，所以x ＝－2，易知圆心(0，1)到直线x ＝－2的距离为2，圆半径为1，所以|AB |min ＝1．（15） 2．解析：依题意，点A 的直角坐标是(0，1)，曲线ρsin 2θ＝4cos θ的直角坐标方程是y 2＝4x ，该抛物线的焦点F (1，0)，准线方程是x ＋1＝0；直线ρcos θ＋1＝0的直角坐标方程是x ＋1＝0，它是抛物线y 2＝4x 的准线；因此点P 到直线x ＋1＝0的距离d ＝|PF |，结合图形可知，|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝2，当点P 是线段AF 与抛物线y 2＝4x 的交点时取等号，因此|PA |＋d 的最小值是2．（16） 2．解析：由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，p >0， 可得曲线方程为y 2＝2px (p >0)． ∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)，∴△MEF 为等边三角形，E 的横坐标为－p 2，M 的横坐标为3． ∴EM 中点的横坐标为3－p 22，与F 的横坐标p 2相同． ∴3－p 22＝p 2，∴p ＝2． 三、解答题（17） 解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程14cos ,24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)， 得普通方程为(x -1)2+(y -2)2=16，即x 2+y 2-2x -4y -11=0．………………………3分直线l 经过点P (3，5)，且倾斜角为3π， 所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235,213(t 是参数)．…………………………5分 （Ⅱ）将直线的参数方程代入x 2+y 2-2x -4y -11=0，整理，得t 2+(2+33)t -3=0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2=-3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA |·|PB |=|t 1t 2|=3．……………10分（18） 解：（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程ρ2-6ρcos θ+5=0化为直角坐标方程为x 2+y 2-6x +5=0，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin ,cos 1t y t x (t 为参数)，将其代入x 2+y 2-6x +5=0， 整理得t 2-8t cos α+12=0．………………………………………………………3分因为直线l 与曲线C 有公共点，所以Δ=64cos 2α-48≥0，解得cosα≥23或cosα≤23-， 又因为α∈)π,0[，所以α的取值范围是π),65π[)6π,0[ ．……………6分 （Ⅱ）曲线C 的方程x 2+y 2-6x +5=0可化为(x -3)2+y 2=4，其参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 23y x (θ为参数）．……………………………8分 因为M (x ，y )为曲线C 上任意一点，所以x +y =3+2cos θ+2sin θ=)4πsin(223++θ， 所以x +y 的取值范围是]223,223[+-．……………………………12分（19） 解：（Ⅰ）将圆C 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝2cos αy ＝2＋2sin α化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝2，则圆C 的圆心为C (0，2)，半径为2．………………………………2分将直线l 的极坐标方程ρ＝1cos θ－2asin θ化为直角坐标方程为x －2ay －1＝0． ………………………………………………………………………………4分由直线l 与圆C 相切得，圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－22a －1|1＋4a 2＝2， 解得a ＝28．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设Q (x ，y )，因为Q 为线段OP 的中点，则P (2x ，2y )在圆C 上，……8分所以4x 2＋(2y －2)2＝2，即x 2＋y 2－2y ＝0，…………………………………10分将其化为极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………………………………12分（20） 解：（Ⅰ）椭圆C 的极坐标方程为：θθρ222sin 3cos 248+=，……………3分 直线l 的极坐标方程为：θθρsin 3cos 224+=．………………………………6分 （Ⅱ）在极坐标系下设点),(θρQ ，则ρ=||OQ ，θθsin 3cos 224||+=OP ，θθ222sin 3cos 248||+=OR ，………8分 由2||||||OR OP OQ =⋅， 得θθθθρ22sin 3cos 248sin 3cos 224+=+⋅，…………………………………10分 即)sin 3cos 2(2)sin 3cos 2(222θθρθθρ+=+，亦即0sin 6cos 4sin 3cos 22222=--+θρθρθρθρ，化为直角坐标方程，得0643222=--+y x y x ．……………………………12分 （21） 解：（Ⅰ）依题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 2y x (θ为参数)，…………2分所以C 2的普通方程为13422=+y x ；…………………………………………4分 直线l :ρ(cos θ-2sin θ)=6化为直角坐标方程为x -2y -6=0．……………………6分 （Ⅱ）设点P (2cos θ，3sinθ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离5|6)6πsin(4|5|6sin 32cos 2|---=--=θθθd ，……………………9分 所以当1)6πsin(-=-θ时，552m in =d ； 当1)6πsin(=-θ时，52max =d ． 故点P 到直线l 的距离的最小值为552，最大值为52．………………12分 （22） 解：（Ⅰ）由曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，所以曲线C 2是圆心在极点，半径为2的圆，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π，所以5π(2,)6B ，…………………………………………3分 由对称性得，直角坐标分别为)3,1(A ，)1,3(-B ，)3,1(--C ，)1,3(-D ．……………………………………………………6分（Ⅱ）由于P 为曲线C 1：2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩上任意一点，可设P (2cos φ，3sin φ)，则|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |22222)1sin 3()3cos 2()3sin 3()1cos 2(-+++-+-=ϕϕϕϕ22)3sin 3()1cos 2(++++ϕϕ22)1sin 3()3cos 2(++-+ϕϕ…………9分 .sin 203216sin 36cos 16222ϕϕϕ+=++=因为0≤sin 2φ≤1，得32≤32+20sin 2φ≤52，所以|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围是]52,32[．…………………………12分。

1．将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数)． 【解】 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆． (2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ， 这是一条抛物线．2．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．【解】 由⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2. 3．若直线⎩⎨⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．【解】 将⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程为y ＝－32x ＋72，斜率k 1＝－32，当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k ， 由k 1k 2＝(－32)×(－4k )＝－1得k ＝－6；当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋72与直线4x ＝1不垂直． 综上可知，k ＝－6.4．过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k 29k 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9k 29k 2＋4，y ＝k (x －1)＝－4k9k 2＋4，∴x y ＝－94k ，即k ＝－4x 9y ，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2－4x ＝0，即(x －12)214＋y 219＝1.①当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为(x －12)214＋y219＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆．5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)在该曲线上，(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．【解】 (1)由题意，可知⎩⎨⎧ 1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1， 所以a ＝1. (2)由已知及(1)得，曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ， ①y ＝t 2， ② 由①得t ＝x －12，代入②得y ＝(x －12)2， 即(x －1)2＝4y 为所求．6．已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：ρcos(θ＋π4)＝22与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t ∈R )交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB .【证明】 曲线C 1的直角坐标方程为x －y ＝4，曲线C 2的直角坐标方程是抛物线y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将这两个方程联立，消去x ， 得y 2－4y －16＝0⇒y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝4.∴x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1＋4)(y 2＋4)＋y 1y 2＝2y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋16＝0，∴OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB .7．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹． 【解】 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)，则⎩⎨⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ②①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即x ′2＝2(y ′＋12)，∴所求点P 的轨迹方程为x 2＝2(y ＋12)(|x |≤2，|y |≤12)．它是顶点为(0，－12)，开口向上的抛物线的一部分．教师备选8．在平面直角坐标系xOy 中，求圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝2 2.若直线l 与圆C 相切，求r 的值．【解】将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：x－y－4＝0，将圆C的参数方程化为普通方程得：(x＋1)2＋y2＝r2，由题设知：圆心C(－1,0)到直线l的距离为r，即r＝|(－1)－0－4|12＋(－1)2＝522，即r的值为52 2.。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值． 【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ ＝4cos 2θ＋43sin 2θ ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8； 当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1， y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【导学号：98990037】【解】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得 s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10. AB ＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OP A ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0，a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0. 因为P 与A 不重合， 所以cos θ－1≠0， 则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)，b 2a 2＝cos θ1＋cos θ，c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)， 所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)．5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ， 令y ＝0， 则x ＝2cos φsin φ＋1，即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ， 令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|.∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4.即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116， 故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．7．求椭圆C ：x 216＋y 29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值． 【解】 设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈0,2π)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5＝|122sin (θ＋π4)＋18|5＝122sin (θ＋π4)＋185≥－122＋185，当sin(θ＋π4)＝－1时，等号成立．因为θ∈0,2π)，所以θ＝5π4. 所以当θ＝5π4时，d 取得最小值18－1225.能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝sin θ，其中θ为参数．以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π3)＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．【解】 直线l 的普通方程为：x －3y －36＝0，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d . d ＝|3cos θ－3sin θ－36|2＝6sin (θ－π4)＋362∴当sin(θ－π4)＝1时，d max ＝26， 当sin(θ－π4)＝－1时，d min ＝ 6.。

1．已知直线l 经过点P (1，－33)，倾斜角为π3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －23的交点Q 与点P 的距离|PQ |.【解】 ∵l 过点P (1，－33)，倾斜角为π3，∴l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－33＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t为参数)．代入y ＝x －23，得－33＋32t ＝1＋12t －23， 解得t ＝4＋23，即t ＝23＋4为直线l 与l ′的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义，可知|t |＝PQ ，∴PQ ＝4＋2 3.2．求直线⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长．【解】 将⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入圆的方程x 2＋y 2＝9，得5t 2＋8t －4＝0，t 1＋t 2＝－85，t 1t 2＝－45.|t 1－t 2|2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝6425＋165＝14425， 所以弦长＝22＋1|t 1－t 2|＝5·125＝1255.3．已知椭圆x 216＋y 24＝1和点P (2,1)，过P 作椭圆的弦，并使点P 为弦的中点，求弦所在的直线方程．【解】 设弦所在直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入椭圆方程x 216＋y 24＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)·t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，所以t 1＋t 2＝－4(cos α＋2sin α)cos 2α＋4sin 2α，因为P 是弦的中点，所以t 1＋t 2＝0，即－4(cos α＋2sin α)cos 2α＋4sin 2α＝0，所以cos α＋2sin α＝0，tan α＝－12.又P (2,1)在椭圆内，所以弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点作两条互相垂直的弦OA ，OB ，求线段AB 中点M 的轨迹的普通方程．【解】 由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA 的方程为y ＝kx ，则OB 的方程为y ＝－1k x ，解⎩⎨⎧ y ＝kx ，y 2＝2px 得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pk 2，y ＝2pk .所以A 点坐标为(2p k 2，2pk )．同理可求得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )．设AB 中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p (1k 2＋k 2)，y ＝p (1k －k ).消去k 得y 2＝px －2p 2.所以点M 的轨迹方程为y 2＝px－2p 2.5．(2012·湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，试求a 的值．【解】 ∵⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32.6．已知直线l 经过点P (1,0)，倾斜角为α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与椭圆x 2＋4y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos π6，y ＝t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)联立直线与圆的方程得(1＋32t )2＋4(t 2)2＝4，∴74t 2＋3t －3＝0， 所以t 1t 2＝－127，即|t 1||t 2|＝127. 所以P 到A 、B 两点的距离之积为127.7．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A 、B 两点．(1)求AB ；(2)求AB 的中点M 的坐标及FM . 【解】 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)， 依题意，设直线AB 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋15t ，y ＝25t(t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾斜角，代入y 2＝8x整理得t 2－25t －20＝0.则t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20. (1)AB ＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(25)2＋80＝10. (2)由于AB 的中点为M ， 故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5， ∴M (3,2)，FM ＝|t 1＋t 22|＝ 5.教师备选8．如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离PM ； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则 tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45， ∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)．(*)∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得 PM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. (2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516， 将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M (4116，34)．(3)AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5873.。

1．把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3. 【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)．(2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523， z ＝5cos 2π3＝－52，点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52. (3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin 3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－92 2.∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922. 2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4； (3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3. 【解】 (1)x ＝0，y ＝5，故点Q 的直角坐标为Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33，故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)．3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)．4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴．5．在球坐标系中，求两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离． 【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324，y ＝3sin π6·sin π4＝324，z ＝3cos π6＝332，∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫324，324，332. Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324，y ＝3sin π6·sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝332，∴Q 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－324，324，332. ∴|PQ |＝ [342－(－324)]2＋(324－324)2＋(332－332)2＝322，即P 、Q 的距离为322.6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－(3)2＝6， ∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．教师备选8．如图建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．【解】 ∵O 是△BCD 的中心，∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)，B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)．。

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为22xy +＝4，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C .（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值. 22．（1）∵曲线1C 的方程为22x y +＝4，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C . ∴曲线2C 的直角坐标方程为222()43x y +=，整理得22149x y+=，∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）将直线l的参数方程化为标准形式为1222x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），将参数方程代入22149x y +=，得22122149t ⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪'⎭+'⎝⎭⎝=， 整理得27()183604t t ''++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ''，则221172,71447t t t t +''''=-=， ∴12727PA PB t t ''+=+=，121447PA PB t t ''==，∴72111714427PA PB PA PB PA PB++===.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 以及直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB .22．答案（1）22143x y +=0y -=；（2）165 （1）曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，直线l0y --=.（2）将1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）化为标准参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），然后代入22143x y +=，得254120t t +-=.所以121245125t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12165AB t t =-==. 22．（10分）过点作倾斜角为的直线与曲线相交于M 、N 两点．（1）写出曲线C 的一般方程；（2）求的最小值．22．【解析】（1）由曲线C 的参数方程，可得，即曲线C 的一般方程为．（2）直线MN 的参数方程为（t 为参数），()1,0P-α(:n C x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）PM PN⋅(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）2222cos sin 132x y θθ+=+=22132x y +=1cos sin x t y t αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩将直线MN 的参数方程代入曲线，得，整理得，设M ，N 对应的对数分别为，则，当时，取得最小值为． 22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求11||||AM AN +的值. 答案及解析：22.（Ⅰ）直线l的普通方程为：20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=；（Ⅱ）4【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果.【详解】（Ⅰ）由,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），所以2y x =则直线l的普通方程为：20x y -+=由2cos240ρθ+=，所以()222cos s 40in θθρ+-=又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2240x y -+=则曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+= （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：22132x y +=222(1cos )3(sin )6t t αα-++=22(3cos )4cos 40t t αα-⋅-⋅-=12,t t 12243cos PM PN t t α⋅=⋅=-cos 0α=PM PN ⋅43直线l参数方程标准形式为：,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将该方程代入曲线C 的直角坐标方程 化简可得：232050t t ++= 设点,M N 所对应的参数分别为12,t t 所以1212205,33t t t t +=-=，则120,0t t << 所以1212111111||||AM AN t t t t ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭则1212114||||t t AM AN t t ++=-=【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3sin πρθ⎛⎫⎪⎝⎭+=()1求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； ()2射线OP 的极坐标方程为6πθ=，若射线OP 与曲线C 的交点为A (异于点O )，与直线l 的交点为,B 求线段AB 的长. 22.解()1由1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩可得22221(1)x y cos sin θθ+-=+=，所以曲线C 的普通方程为()2211x y +-=，由4sin πρθ⎛⎫⎪⎭=⎝+102sin cos ρθρθ+=， 所以直线l的直角坐标方程为0x -=.()2曲线C 的方程可化为2220x y y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=， 由题意设12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将6πθ=代入12,sin ρθρ==1 将6πθ=代入()6sin πρθ+=，可得22ρ=， 所以121AB ρρ=-=22．在平面直角坐标系 xOy 中,直线l的参数方程为212x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为()2cos 0a a ρθ=>,且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点. （1）求a ；（2）设,A B 为曲线 C 上的两点,且3AOB π∠=,求OA OB +的最大值．解：（1）直线l的普通方程是30x -=,曲线 C 的直角坐标方程是222()x a y a -+=,(2分)依题意直线l 与圆相切,则|3|2a d a -==,解得3a =-或 1a =, 因为0a >,所以 1a =；(5分) （2）如图,不妨设()1,A ρθ,2,3B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,则12cos ρθ=,22cos 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,(7分)所以122cos 2cos 3OA OB πρρθθ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭3cos 6πθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,所以当π2π6k θ+=,即π2π6k θ=-,k Z ∈时,OA OB +最大值是(10分) 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：()1sin cos x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（0a >，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()π6θρ=∈R ． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）若直线3C的方程为y =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ， 若OMN △的面积为a 的值．22．【解】（1）由已知得1sin cos xt a y t a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩平方相加消去参数t 得到2211x y a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()222x a y a -+=， ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=． （2）3C 的极坐标方程()5π3θρ=∈R ， 将π6θ=，5π3θ=代入2cos a ρθ=，解得1ρ，2a ρ=， 则OMN △的面积为21ππsin 263a ⎛⎫⨯⨯+== ⎪⎝⎭2a =． 22.（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 32=.（Ⅰ）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程； （Ⅱ）若射线）（20πϕϕθ<<=与曲线1C 交于A O ,两点，与曲线2C 交于B O ,点，且2||=AB ，求ϕtan 的值.22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=—————————2分θρsin 32=，θρcos 2=，得33tan =θ————————3分 所在直线的极坐标方程）（R ∈=ρπθ6,（或6πθ=和67πθ=）——————5分 （Ⅱ）把）（πϕϕθ<<=0，代入θρsin 32=，θρcos 2=， 得ϕcos 2||=OA ；ϕsin 32||=OB ——------6分 又2||=AB ，则2cos 2sin 32=-ϕϕ，），（，）（366216sin πππϕπϕ-∈-=-——————9分 所以3πϕ=，3tan =ϕ------10分22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.22【详解】（Ⅰ）由12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x +=+ 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 262πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以126MON πθθ∠=-=.。

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标]1．把下列各点的球坐标化为直角坐标： (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2；(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3.【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)． (2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523， z ＝5cos 2π3＝－52，点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52.(3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin 3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－92 2. ∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标： (1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4；(3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3.【解】 (1)x ＝0，y ＝5， 故点Q 的直角坐标为 Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33， 故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)． 3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【导学号：98990008】【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)．4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？ 【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴．5．在球坐标系中，求两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离．【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标： P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324， y ＝3sin π6·sin π4＝324，z ＝3cos π6＝332，∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫324，324，332.Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324，y ＝3sin π6·sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332. ∴|PQ |＝[342－(－324)]2＋(324－324)2＋(332－332)2 ＝322，即PQ 的距离为322.6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则 BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－(3)2＝6，∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．能力提升]8．如图4-1-10建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．图4-1-10【解】 ∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)， B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)．。

1．过椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A 、B 两点，若F A ＝2FB ，求直线l 的斜率．【解】 椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝45，p ＝b 2c ＝94.取椭圆的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝45×941－45cos θ＝95－4cos θ. 设A (ρ1，θ)、B (ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是95－4cos θ＝2×95＋4cos θ，解得cos θ＝512，所以tan θ＝1195，即直线l 的斜率为1195.2．已知椭圆方程为ρ＝165－3cos θ，过左焦点引弦AB ，已知AB ＝8，求△AOB 的面积．【解】 如图，设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝165－3cos θ＋ 165＋3cos θ＝16025－9cos 2θ. 因为AB ＝8，所以16025－9cos 2θ＝8， 所以cos 2θ＝59，sin θ＝23.由椭圆方程知e ＝c a ＝35，b 2c ＝163，则c ＝3.S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12OF ·ρ1·sin θ＋12OF ·ρ2·sin θ＝8.图4－2－43．如图4－2－4，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦AB 与x 轴斜交，M 为AB 的中点，MN ⊥AB ，并交对称轴于N .求证：MN 2＝AF ·BF .【证明】 取F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝p 1－cos θ. 设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)，则AF ·BF ＝p 1－cos θ·p 1＋cos θ＝p 2sin 2θ. 不妨设0＜θ＜π2，则MF ＝12(ρ1－ρ2)＝12(p 1－cos θ－p 1＋cos θ)＝p cos θsin 2θ. 所以MN ＝MF ·tan θ＝p cos θsin 2θtan θ＝p sin θ.所以MN 2＝AF ·BF .图4－2－54．如图4－2－5，已知圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0，抛物线G 的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F ，过圆心且倾斜角为θ的直线l 与抛物线G 、圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D 四点．(1)当直线的斜率为2时，求AB ＋CD ；(2)当θ为何值时，AB ＋CD 有最小值？并求这个最小值．【解】 圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系．则圆F 的坐标方程为ρ＝2，抛物线G 的极坐标方程为ρ＝41－cos θ. 设A (ρ1，θ)、D (ρ2，θ＋π)，所以AB ＝AF －2，CD ＝FD －2，即AB ＋CD ＝AF ＋FD －4＝ρ1＋ρ2－4＝41－cos θ＋41－cos (θ＋π)－4＝41－cos θ＋41＋cos θ－4＝81－cos 2θ－4＝8sin 2θ－4. (1)由题意，得tan θ＝2，所以sin 2θ＝45.所以AB ＋CD ＝8sin 2θ－4＝6.(2)AB ＋CD ＝8sin 2θ－4，当sin 2θ＝1，即θ＝π2时△ABF 2的面积取到最小值4.5．已知抛物线ρ＝p 1－cos θ，过焦点作互相垂直的极径F A 、FB ，求△F AB的面积的最小值．【解】 设A (ρ1，θ)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，则 ρ1＝p 1－cos θ，ρ2＝p 1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝p 1＋sin θ. △F AB 的面积为S ＝12ρ1ρ2＝12·p 1－cos θ·p 1＋sin θ＝p 22(1－cos θ)(1＋sin θ)＝p 22(1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ). 设t ＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝1－t 22.所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t －1－t 22＝12(t ＋1)2.又t ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈[－2，2]， 所以当t ＝2，即θ＝3π4时，△F AB 的面积S 有最小值p 2(1＋2)2. 6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆短轴的一个顶点，且∠F 1PF 2＝90°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，且△ABF 2的面积的最大值为12，求椭圆C 的方程．【解】 (1)因为∠F 1PF 2＝90°，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即a 2＋a 2＝4c 2.所以e ＝c a ＝22.(2)以椭圆的左焦点F 1为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为ρ＝22p 1－22cos θ＝p 2－cos θ. 设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)，则AB ＝AF ＋FB ＝ρ1＋ρ2 ＝p 2－cos θ＋p 2－cos (θ＋π) ＝p 2－cos θ＋p 2＋cos θ＝22p 2－cos 2θ. 因为F 1F 2＝2c ，所以△ABF 2的边AB 上的高h 为2c |sin θ|，△ABF 2的面积S ＝12·AB ·h ＝22pc |sin θ|2－cos 2θ＝22pc |sin θ|1＋sin 2θ＝22pc 1|sin θ|＋|sin θ|.因为1|sin θ|＋|sin θ|≥2，所以当|sin θ|＝1，即θ＝π2或θ＝3π2时S 取到最大值．所以当l 过左焦点且垂直于极轴时，△ABF 2的面积取到最大值2pc ，所以2pc ＝12，即b 2＝6 2.故a 2－c 2＝6 2.又c a ＝22，所以a 2＝122，c 2＝6 2.所求椭圆的方程为x 2122＋y 262＝1. 7．已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x 12＋y 8＝1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】 如图，以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，则：椭圆的极坐标方程为ρ2＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 直线l 的极坐标方程ρ＝242cos θ＋3sin θ. 由于点Q 、R 、P 在同一射线上，可设点Q 、R 、P 的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得ρ21＝482cos 2θ＋3sin 2θ，① ρ2＝242cos θ＋3sin θ.② 由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρ·ρ2＝ρ21(ρ≠0)．将①②代入，得ρ·242cos θ＋3sin θ＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 则ρ＝4cos θ＋6sin θ2cos 2θ＋3sin 2θ(ρ≠0)． 这就是点Q 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x 2＋3y 2＝4x ＋6y ，即(x －1)252＋(y －1)253＝1(x 、y 不同时为0)． ∴点Q 的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x 轴，长、短半轴长分别为102，153的椭圆(去掉坐标原点)．教师备选8．建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB |＝2r (r ＞0)，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交于点T ，并且|AT |＝2a (2a ＜r 2)．若半圆上相异两点M ，N 到l 的距离|MP |、|NQ |满足|MP |：|MA |＝|NQ |：|NA |＝1，则|MA |＋|NA |＝|AB |.【证明】 法一 以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则ρ1＝2r cos θ1，ρ2＝2r cos θ2，又|MP |＝2a ＋ρ1cos θ1＝2a ＋2r cos 2θ1，|NQ |＝2a ＋ρ2cos θ2＝2a ＋2r cos 2θ2，∴|MP|＝2a＋2r cos2θ1＝2r cosθ1，|NQ|＝2a＋2r cos2θ2＝2r cos θ2，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，又由题意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cos θ上，∴2r cos θ＝2a1－cos θ，r cos2θ－r cos θ＋a＝0，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，得|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.。

阶段综合测评(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，－9π5，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，11π5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，4π5，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，6π5的四点中，与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π5表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3)3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 35．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)， 球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3. 【答案】 2 312．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1. 【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有 x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0， 故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855.【答案】855二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，曲线C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【导学号：98990025】【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点， ∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ).所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ)＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2，当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B . 设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)． 弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。

1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 【解】 由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0， 所以，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝3y后，方程x 2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎨⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎨⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即(x ′－3)29＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是(x －3)29＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y 3)2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，k y 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎨⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)． 所以A ′B ′＝(kx 1－kx 2)2＋(ky 1－ky 2)2 ＝|k |(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′，S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′ ＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy 21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎨⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)． P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.教师备选8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的12倍．【解】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线x216－y29＝1的图形如下：(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x216－y29＝1的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x216－y29＝1的图形如下：。