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第2章 概 率2．1 随机变量及其概率分布双基达标 (限时15分钟)1．接连射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X ，则{X ＝k ，k ∈N *}表示的随机试验的结果为__________________________________________． 答案 射击了k 次，前k －1次都未击中目标，第k 次击中目标2．一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，从袋中同时取3个，以X 表示取出的3个球的号码之和，则X 的所有可能的取值为________． 答案 6,7,8,9,10,11,123．已知X 的分布列为P (X ＝k )＝c2k (k ＝1,2，…，6)，其中c 为常数，则P (X ≤2)＝________.解析 由题意得，c 2＋c 4＋c 8＋c 16＋c 32＋c64＝1， 解得c ＝6463，P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝6463×(12＋14)＝1621. 答案 16214．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________.答案3 45．一个袋中有5个白球和3个红球，从中任取3个，则随机变量为下列中的________(填序号)．①所取球的个数；②其中含白球的个数；③所取白球与红球的总数；④袋中球的总球．解析从袋中取出3个球，则①、③、④都是定值，不是随机变量．答案②6．袋中有5只乒乓球，编号为1至5，从袋中任取3只，若以X表示取到的球中的最大号码，试写出X的概率分布．解依题意知，X可能的取值为3,4,5.取到每个值的概率分别为P(X＝3)＝C22 C35＝1 10；P(X＝4)＝C23C35＝310；P(X＝5)＝C24C35＝35.故X的概率分布为：X 34 5P11031035综合提高(限时30分钟)7．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用X表示取出的球的最大号码，则{X＝6}表示的试验结果是________．解析X＝6表示取出的3个球的最大号码是6，其余的是1,2,3,4,5号球中的任意两个．答案从6个球中取出3个，其中一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意两个．8．随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为______．解析 P (X ＝1)＝c 2，P (X ＝2)＝c 6， P (X ＝3)＝c 12，P (X ＝4)＝c20. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋16＋112＋120c ＝1，∴c ＝54. P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋16c ＝23×54＝56. 答案 569．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记 X ＝⎩⎨⎧0，两球全红，1，两球非全红，则X 的分布列为________．解析 P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，P (X ＝1)＝1－311＝811.故X 的分布列如下表.X 0 1 P311811答案X 0 1 P31181110.已知随机变量η的概率分布如下表：η 1 2 3 4 5 6 P0.2x0.250.10.150.2则x ＝________；P (η＞3)＝________；P (1＜η≤4)＝________.解析 由分布列的性质得：0.2＋x ＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.1. P (η＞3)＝P (η＝4)＋P (η＝5)＋P (η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45， P (1＜η≤4)＝P (η＝2)＋P (η＝3)＋P (η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.答案 0.1 0.45 0.4511．先后抛掷一个骰子两次，以下的随机变量可能取哪些值？ (1)两次抛掷出的最大点数； (2)两次掷出的点数之和； (3)第一次与第二次掷出的点数差．解 (1)用随机变量X 表示抛掷骰子两次掷出的最大点数，则X 的取值集合为{1,2,3,4,5,6}．(2)用随机变量ζ表示抛掷两次掷出的点数之和，则ζ的取值集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3)用随机变量X 表示第一次与第二次掷出的点数差，则X 的取值集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．12．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i10，(i ＝1,2,3,4)． (1)求P (X ＜3)； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72；(3)求函数F (x )＝P (X ＜x )．解 (1)P (X ＜3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝310. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35(3)F (x )＝P (X ＜x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0 (x ≤1)，110 (1＜x ≤2)，310 (2＜x ≤3)，35 (3＜x ≤4)，1 (x ＞4).13．(创新拓展)有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0,3张写有数字1,3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0,2张写有数字1,3张写有数字2.(1)如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？(2)如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X，求X的概率分布．解(1)取出3张卡片都写有1的概率为C23C12C28C18＝3112.(2)X所有可能取的值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C12C13C18C18＝664＝332，P(X＝1)＝C12C12C18C18＋C13C13C18C18＝1364，P(X＝2)＝C13C12C18C18＋C12C13C18C18＋C13C13C18C18＝2164，P(X＝3)＝C13C12＋C13C13C18C18＝1564，P(X＝4)＝C13C13C18C18＝964.∴X的概率分布为：X 0123 4P 332136421641564964。
第2章概率§2.1 随机变量及其概率分布课时目标1.理解随机变量的含义.2.会求简单的随机变量的概率分布.3.通过实例，理解随机变量的概率分布的性质．1．随机变量：一般地，如果________________，可以用一个________来表示，那么这样的________叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．2．随机变量的概率分布(1)分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且____________，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的____________，简称为X的分布列．(2)概率分布表则上表称为随机变量X(3)性质①________(i＝1,2，…，n)②p1＋p2＋…＋p n＝________.3．两点分布如果随机变量X可能取值只有________，这样的概率分布称为0—1分布或两点分布，记作X～0—1分布或X～两点分布．一、填空题1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用ξ表示取出的球的最大号码，则{ξ＝6}表示的试验结果是______________________________．2．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．3．随机变量X4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝15(k＝1,2,3,4,5)，则P(12<ξ<52)＝________.5．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝________.6．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则{X>4}表示的试验结果是______________________________________________________．7．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则ξ的概率分布表为________．8则x＝二、解答题9．先后抛掷一个骰子两次，以下的随机变量可能取哪些值？(1)两次抛掷出的最大点数；(2)两次掷出的点数之和；(3)第一次与第二次掷出的点数差．10．一个袋中有5个编号为1,2,3,4,5的小球，在其中同时取3个，以X表示取出3个球中的最大号码，求X的概率分布表．能力提升11．若随机变量X121．在随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字就随着试验结果的变化而变化，就是随机变量．2．利用随机变量概率分布的性质可以求出随机变量在某个范围内取值的概率．3．在两点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．第2章概率2．1 随机变量及其概率分布答案知识梳理1．随机试验的结果变量变量2．(1)P(X＝x i)＝p i概率分布列(3)①p i≥0 ②13．两个作业设计1．从6个球中取出3个，其中有一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意2个解析 {ξ＝6}表示取出的3个球的最大号码是6，也就是说，从6个球中随机取出3个，有一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意2个．2．24解析 后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A 34＝24(种)．3.14解析 由分布列性质得14＋m ＋13＋16＝1， 解得m ＝14. 4.15解析 由12<ξ<52知ξ＝1,2. P (ξ＝1)＝115.P (ξ＝2)＝215. ∴P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15. 5.13解析 设ξ的分布列为即ξ＝0表示试验失败，ξ＝1p ，则成功率为2p ，所以由p ＋2p ＝1，得p ＝13.所以P (ξ＝0)＝13. 6．第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．解析 设第一枚骰子掷出的点数为x ，第二枚骰子掷出的点数为y ，其中x ，y ＝1,2,3,4,5,6，依题意得X ＝x －y ，则－5≤X ≤5且X ∈Z ，所以由{X >4}可得{X ＝5}，它表示 x ＝6，y ＝1.即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．7.8.0.1 0.45 0.45解析 由分布列的性质得0.2＋x ＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.1；P (η>3)＝P (η＝4)＋P (η＝5)＋P (η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P (1<η≤4)＝P (η＝2)＋P (η＝3)＋P (η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.9．解 (1)用随机变量ξ表示抛掷骰子两次掷出的最大点数，则ξ的取值集合为{1,2,3,4,5,6}．(2)用随机变量ζ表示抛掷两次掷出的点数之和，则ζ的取值集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3)用随机变量X 表示第一次与第二次掷出的点数差，则X 的取值集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．10．解 从袋中取出3个小球的可能情况有：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，所以随机变量X 的可能取值为3,4,5.由古典概型可知P (X ＝3)＝110，P (X ＝4)＝310，P (X ＝5)＝610. 所以X X 34 5 P 110310 610 11.解 ⎩⎪⎨⎪⎧ 9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，解得c ＝13. 12．解 随机变量X 取值为1,2,3,4,5,6.则P (X ＝1)＝1C 16C 16＝136； P (X ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112； P (X ＝3)＝5C 16C 16＝536； P (X ＝4)＝7C 16C 16＝736； P (X ＝5)＝9C 16C 16＝936＝14； P (X ＝6)＝11C 16C 16＝1136. X 1 2 3 45 6 P 136 112 536 73614 1136。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作选修2-3 第二章 概率§2.6 离散型随机变量的均值与方差[学习目标]了解独立性检验的基本思想，了解随机变量2χ的含义，理解独立性检验的基本方法及其实施步骤。
[预习题]1．已知随机变量~(,)B n p ξ，且12,8E V ξξ==，则p 和n 的值依次为( )答案：31，36 2．已知随机变量X 的分布如表所示则()()E X V X -等于 （ ）答案：－0.913．口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则E ξ= ( ) 答案：4.54．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。
将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿。
答案：49[例题讲解]例1甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为1X ，2X ，且1X 和2X 的分布列为：2X 0 1 2P510 310 210试比较两名工人谁的技术水平更高． 解：16130120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=∵，25320120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=． X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 1X 0 1 2 P610 110 31012EX EX =∴，说明两人出的次品数期望相同，可以认为他们技术水平相当.又2221613(00.7)(10.7)(20.7)0.81101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=∵， 2222532(00.7)(10.7)(20.7)0.61101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=． 12DX DX >∴，∴工人乙的技术比较稳定.∴可以认为工人乙的技术水平更高 例2．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，（1）求X 的概率分布及数学期望()E X ；（2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 解：（1）X 的概率分布列为X 0 1 23P18 38 38181331()0123 1.58888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=或1()3 1.52E X =⨯=（2）乙至多击中目标2次的概率为3332191()327C -=（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件1B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件2B ,则12A B B =+,1B 、2B 为互斥事件，1231121()()()8278924P A P B P B =+=+=例3.高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为12，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. （1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数X 的概率分布列和期望. 解：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率 3545555551111()()()2222P C C C =++= （2）X 的概率分布列为X 12345P12 14 18116 116所以1111131()12345248161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=例4．某中学号召学生在春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好1231020 3040 50 参加人数活动次数相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．……6’（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．……12’ （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知 (1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=；(2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ12P4199 5099 899ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． [课后练习]1. 两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为 。
