数学6.5最简三角方程教案1沪教版高中一级第二学期

课题 最简三角方程一、教案设计思考这节课的内容是给出三角方程的定义，以及解最简三角方程的基本方法，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法，是对所学过的许多三角知识进行应用，在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要，它是先有三角比值，然后要研究满足这样的条件的角是什么，也完善了解三角形的理论基础．这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，然后整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题． 二、教学目标理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题． 三、教学重点、难点解三角方程的思想方法 四、教学方法和手段采用启发式教学模式 五、教学过程 1、引入前面我们重点学习了三角函数的有关知识，研究了角的变化对三角比值的影响，在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值，要求这个角，如知道1sin 2A =，由于角A 是三角形中的内角，所以有30A =︒或150A =︒，今后我们会遇到类似的问题，特别是当角A 的大小没有条件限制时，那么满足1sin 2x =的x 有多少呢？我们把这样的方程叫做三角方程，那么如何解这类方程呢？下面就请同学思考这个问题． 2、探究要研究如何解三角方程，先解决较简单的方程，就以1sin 2x =为例，同学思考后，进行交流讨论． 同学1：这个方程应该有无数多个解，但还没有找到解决的方法． 同学2：6π和56π都是方程的解，又函数sin y x =的最小正周期是2π，所以此方程的解集是{|26x x k ππ=+或526x k ππ=+，}k Z ∈． 教师：好，你的确找到了方程的许多解，但是会不会有其它的解遗漏了呢？同学3：不会遗漏，由于函数sin y x =的最小正周期是2π，只要先找到在[0,2)π的解，那么方程的所有解都找到了，画出函数sin y x =与12y =的图象，发现在[0,2)π内的交点有且只有两个，交点横坐标为6π和56π，所以方程的解集是{|26x x k ππ=+或526x k ππ=+，}k Z ∈．教师：很好，方程1sin 2x =有无数个解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性质，先在一个最小正周期内找到解，然后找到方程所有解．那么，方程1sin 3x =又如何解呢？同学4：方法跟前面一样，只是在[0,2)π内的解要用反三角函数来表示，即方程的解集是1{|2arcsin 3x x k π=+或12arcsin 3x k ππ=+-，}k Z ∈．教师：很好，方程1sin 3x =-又如何解呢？同学5：方法跟前面一样，在[0,2)π内的解也有两个． 教师：哪两个呢？同学5：一个是1arcsin()3-，另一个是1arcsin()3π--． 此时引起许多同学的争论，觉得这里有问题．同学6：先在[,]ππ-内找到解，一个是1arcsin()3-，另一个是1arcsin()3π--． 教师：为什么？同学6：书上就是这样说的，先选取区间[,]ππ-． 又引起同学争论． 同学7：先在3[,]22ππ-内找到解，一个是1arcsin()3-，另一个是1arcsin()3π--，然后是方程的解集就是1{|2arcsin()3x x k π=+-或12arcsin()3x k ππ=+--，}k Z ∈．教师：很好，这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来，由反三角函数知识，这个区间最好包括[,]22ππ-，而在3[,]22ππ-内的图象又是关于直线2y π=对称的．那么方程sin x a =又如何解呢？同学8：在3[,]22ππ-内的解是arcsin a 与arcsin a π-，所以方程sin x a =的解是{|2arcsin x x k a π=+或2arcsin x k a ππ=+-，}k Z ∈．同学9：不对，要进行分类讨论，当||1a >时，方程sin x a =无解． 3、结论在同学的共同讨论下，关于方程sin x a =，最后可以得到以下的结论：当||1a >时，函数sin y x =和函数y a =的图象无交点，方程无解，即解集为∅． 当||1a ≤时，方程的解集为{|2arcsin x x k a π=+或2arcsin ,}x k a k Z ππ=+-∈． 4、继续探究从解方程sin x a =的方法得到启发，如何解方程cos x a =呢？ 同学10：由诱导公式cos sin()2x πα=-，将方程cos x a =转换为sin()2a πα-=即可． 教师：很好，体现了数学转换的思想，那么能不能用类似解sin x a =的方法来解方程cos x a =呢？ 同学11：那么还是用数形结合的方法，先分类讨论，当||1a >时，函数cos y x =与y a = 的图象无交点，方程无解．当||1a ≤时，函数cos y x =与y a =的图象在区间[,]ππ-内的交点有两个，横坐标是arccos x a =与arccos x a =-，所以方程cos x a =的解集为{|2arccos x x k a π=+或2arccos ,}x k a k Z π=-∈．教师：很好，理解了方程sin x a =的解法之后，用类比的方法就很容易解方程cos x a =了．那么又如何解方程tan x a =呢？同学12：还是用数形结合的方法，函数tan y x =与y a =的图象在区间(,)22ππ-内的交点横坐标是arctan x a =，又由于函数tan y x =的最小正周期是π，所以方程tan x a =的解集为{|arctan x x k a π=+,}k Z ∈．教师：很好，方程tan x a =是最容易解的，函数tan y x =与y a =的图象在区间(,)22ππ-内的交点总是有且只有一个，不需要进行分类讨论． 5、练习 解下列方程： （1）3sin 2x =-；（2）cos 1x =-； （3）tan 22x =． 6、小结今天我们一起讨论了如何解三角方程，先研究如何解最简三角方程，掌握了解三种最简三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面： （1）从特殊到一般的研究问题方法；（2）利用函数的图象及性质，采用数形结合的方法；（3）转化思想，先找到一个周期内的解，再利用周期性质得到方程所有的解；（4）采用类比的思想方法． 7、布置作业第106页 习题6.5 1，2 六、教学建议与反思最简三角方程这节内容两节课完成，这是第一节课，这节课的教学思路是这样设计的，先是通过复习解斜三角形引出问题，使同学产生研究的兴趣，课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣，虽然引入没有花许多时间，但产生了明显的效果，然后是跟同学一起讨论如何解三角方程1sin 2x =，1sin 3x =，1sin 3x =-，sin x a =，由简单到复杂逐步推进，从中逐步体会解三角方程的思想，如利用三角函数的周期性质，还有数形结合，分类讨论等数学方法，课堂上学生能进行积极思考和讨论，并能够对教材提出自己的独特的见解．完成对三角方程sin x a =的求解之后，要求学生继续解三角方程cos x a =和tan x a =，学生的思维很积极，如能利用转换思想将方程cos x a =转换为sin()2a πα-=来解，能合理运用类比的思想方法，将解方程sin x a =得到的方法应用到解方程cos x a =和tan x a =上，在课堂小结时，同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来．由于这节课设计时要解决三个三角方程，在讨论好解sin x a =的方法之后，继续研究如何解另外两个方程，这个过程培养了同学的类比能力，增强了同学的类比意识，但是也遇到一些问题，如课堂练习的时间比较少，没有能对方程sin x a =的各种解法进行更进一步的探讨，其实可以从单位圆的角度，先把问题转换为找终边所在的位置，再求出终边所表示的角的集合，又如当||1a ≤时，方程sin x a =的解集为{|2arcsin x x k a π=+或2arcsin ,}x k a k Z ππ=+-∈，这个集合也可以等价地表示为{|(1)arcsin k x x k a π=+-，}k Z ∈，这个表示方法更加简洁．所以这节课的设计也可以考虑只解决方程sin x a =的解法，把它讨论透彻，第二节课再研究另外两个方程的解法．。

5.6 (3) 解斜三角形一、教学内容分析本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定理和余弦定理，知道了任意三角形的边角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解决实际生活的相关问题.本小节的重难点是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实际问题数学化是关键.通过本节课的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活. 二、教学目标设计加深理解正弦定理和余弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程； 深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的密切关系，激发学习数学的热情，增强学习数学的动力.三、教学重点及难点 教学重点用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题. 教学难点用适当的方法解斜三角形及计算问题. 四、教学流程设计12、正弦定理的两个应用：（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 3、余弦定理及其变形：在ABC ∆中有：A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=.2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b a c B bc a c b A -+=-+=-+=4、 余弦定理的两个应用：（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角； （2）已知三边，求三个内角. [说明]学生回答. 二、学习新课 1、例题解析例1、已知∆ABC 中，∠A 060=，=a 求sin sin sin a b cA B C ++++解：设sin sin a b A B =(>o)sin ck k C == 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =从而++++==++++sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k Ck A B C A B C又sin aA=2k==，所以++=++2sin sin sin a b cA B C[说明]在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin cC ==()++=>++0sin sin sin a b ck k A B C恒成立.这个k 是∆ABC 的外接圆直径,即k=2R.例2、C B A b a c ABC ,,326,62,34，求中，在+===∆ 解：由已知，,b c a <<得B 最大，由余弦定理得22sin sin ,105,0426cos 0===∴<--=b B c C B B 再由正弦定理得，又00001054530,45,====∴>B C A C c b 于是例3如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．[说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度．解：已知△ABC 的两边AB ＝1.95m ，AC ＝1.40m ，夹角A ＝66°20′， 由余弦定理，得60620'答：顶杆 约长1.89m.[说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．例4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 处，设连杆AB 长为340mm ，由柄CB 长为85mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离）（精确到1mm ）[说明]：B 与0B 重合时，A 与0A 重合，故C A 0＝AB ＋CB ＝425mm ，且A A 0＝ C A 0－AC ．解：已知△ABC 中， BC ＝85nun ，AB ＝34mm ，∠C ＝80°，在△ABC 中，由正弦定理可得：因为BC ＜AB ，所以A 为锐角A ＝14°15′∴ B ＝180°－（A ＋C ）＝85°45′又由正弦定理：答：活塞移动的距离约为81mm ． 例5、如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ.解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒由正弦定理：15sin 30sin 100BC= ∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90由正弦定理：)90sin(15sin 20045sin 50θ+︒︒=︒ ⇒cos θ =3-例6、某船在距救生艇A 处10 海里的C 处遇险，测得该船的方位角为45︒，还测得该船正沿方位角105︒的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间. 解：设所需时间为t 小时， 在点B 处相遇（如图）在△ABC 中，∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 - 2×10×9t×cos120︒整理得：36t2 -9t - 10 = 0 解得：125,3221-==t t （舍去）由正弦定理：1433322123)329(sin sin 120sin =⨯⨯⨯=∠⇒∠=CAB CABBC AB1433arcsin=∠∴CABBAD例7、我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？[说明]已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角 解：如图，在△ABC 中由余弦定理得：∴我舰的追击速度为14海里/小时.又在△ABC 中由正弦定理得：故我舰行的方向为北偏东 )1435arcsin50(-︒ 三、课堂小结解斜三角形应用题的一般步骤是：1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．2、建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．即解斜三角的基本思路五、课后作业略。

6.5 最简三角方程（1）教案教学目的：1、掌握最简三角方程的求解方法，理解三角方程解集的等价性。

2、 体会由特殊到一般的推理方法，会数形结合处理问题。

3、培养学生的创新思维能力。

教学重点：最简三角方程的解集；教学难点：三角方程解集的等价性。

教学过程：（一）、引入问题1：已知角求三角函数值其答案是唯一的。

反之，已知三角函数值求角其答案如何？问题2：已知下列三角函数值，求角；（1）已知2sin ,522x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦且，求x 解：因为在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 所以，2arcsin5x = （2）已知[]2sin ,0,25x x π=∈且 解：因为2sin 05x =>，所以x 是第一或第二象限角 所以，2arcsin 55x x π==-或 问题3：如果2sin ,5x x R =∈，那么x =？ （二）、新课一、三角方程的定义1．含有未知的三角函数的方程，叫做三角方程。

如上列各方程均是三角方程。

把满足三角方程的所有x 的集合，叫做三角方程的解集。

2．最简三角方程：在三角方程中， 形如sin ,cos ,tan x a x a x a ===的方程，叫做最简三角方程。

二、最简三角方程的解集例1．（1）求方程1sin 2x =的解集。

解法一：先求它在一个周期内的解，再由它的周期，写出通解。

因为1sin 2x =在[]0,2π内有两个解125,66x x ππ==，所以方程1sin 2x =的解集为 5|22,66x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或 解法二：从单位圆上可以看出正弦值为12的角的终边位于 第一、二象限，且关于y 轴对称，满足条件的一个锐角为6π， 所以，方程1sin 2x =的解集为5|22,66x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或。

小结：列出这个方程的解为：,,,2,3,4,5,666666πππππππππππ-+-+- 所以这个三角方程的解集可以写成|(1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭。

课 题：6.5-最简三角方程第1课时：教学目标：1. 知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念；能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集。

2. 通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。

3. 进一步提高数形结合思想教学重点：三角方程的求解教学难点：三角方程的求解教学过程：三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；把满足三角方程的所有的未知数的集合称为三角方程的解集。

如1sin x 2=，cos x =等。

点评：一般地，由于三角函数具有周期性，因此三角方程的解集一般含有无穷多个元素。

最简三角方程：1、方程sin x a =的解集[例1] 求三角方程1sin x 2=的解集； 解：在区间(,]-ππ上，满足1sin x 2=的x 6π=或5x 6π=， 而y sin x =是周期为2π的函数，则x 2k 6π=π+或5x 2k 6π=π+（k Z ∈）， 则方程的解集为{x |x 2k ,k Z}6π=π+∈ 或5{x |x 2k ,k Z}6π=π+∈。

解集还可以写成k {x |x k (1),k Z}6π=π+-∈。

——给学生讲讲为什么。

归纳方程sin x a =的解：（i ）当|a |1>时，方程无解；（ii ）当|a |1≤时，x 2k arcsin a =π+或x 2k arcsin a =π+π-（k Z ∈）也可写成k x k (1)arcsina =π+-（k Z ∈）。

特别的：当a 0=时，x k =π（k Z ∈）。

当a 1=时，x 2k 2π=π+（k Z ∈）。

当a 1=-时，x 2k 2π=π-（k Z ∈）。

注意：1、函数y sin x =，x (,]∈-ππ图像与方程解之间的关系。

2、单位圆和三角函数线与方程解之间的关系。

练习：口答下列方程的解（1）sin x 0=；（2）sin x =；（3）sin x 1=-；（4）1sin x 3=。

三角函数（1）●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.【例1】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值. 解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα 所以sin αcos β=3013，cos αsin β=307.【例2】若实数、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ；（3）已知函数()f x 的定义域k D=x|x +k Z x R 24ππ｛≠，∈，∈｝.任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.解析：(1) (,2)( 2.)x ∈-∞+∞；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab ab +>222a b ab ab ab +> 因为33222|2|2()()0a b ab ab a b ab ab ab a b a b +--+-=+->，所以3322|2|2a b ab ab a b ab ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ；(3) 3sin ,(,)44()cos ,(,)44x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨⎪∈-+⎪⎩， 性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π=，3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224k k πππ+单调递减，k ∈Z ， 4︒函数f (x )的值域为2(,1]．【例3】在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .（1）求∠C 的度数；（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围.解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ，∴2sin C cos 2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2B A -. 在△ABC 中，－2π＜2B A -＜2π. ∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22C cos 2C =cos 2C ， （1－2sin 22C ）cos 2C =0. ∴（1－2sin 22C ）=0或cos 2C =0（舍）. ∵0＜C ＜π，∴∠C =2π. （2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A . ∴△ABC的内切圆半径 r =21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1） =22sin （A +4π）－21≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤212-.【例4】函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ，（1）求g （a ）；（2）若g （a ）=21，求a 及此时f （x ）的最大值. 解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）=2cos 2x －2a cos x －1－2a =2（cos x －2a ）2－22a －2a －1. 若2a ＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（－1－2a ）2－22a －2a －1=1； 若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1； 若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2a ）2－22a －2a －1=1－4a .∴g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a a a a a a （2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a －1=21或1－4a =21. 由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122222a a a a =－1或a =－3（舍）. 由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +21）2+21，得f （x ）max =5. ∴若g （a ）=21，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。

沪教版高中数学高一下期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。

不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。

目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第4章幂函数、指数函数和对数函数(下)
三对数
4.4对数概念及其运算
本节综合
四反函数
4.5反函数的概念
本节综合
五对数函数
4.6对数函数的图像与性质
本节综合
六指数函数和对数函数
4.7简单的指数方程
4.8简单的对数方程
本节综合
本章综合与测试
第5章三角比
一任意角的三角比
5.1任意角及其度量
5.2任意角的三角比
本节综合
二三角恒等式
5.3同角三角比的关系和诱导公式
5.4两角和与差的余弦、正弦和正切
5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切
本节综合
三解斜三角形
5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形本节综合
本章综合与测试
第6章三角函数
一三角函数的图像与性质
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质
6.3函数y=Asin(wx@)的图像与性质本节综合
二反三角函数与最简三角方程
6.4反三角函数
6.5最简三角方程
本节综合
本章综合与测试。

6.5最简三角方程（1）【教学目标】1．理解三角方程解集的概念，掌握最简三角方程sin x a =、cos (1)x a a =≤与tan ()x a a R =∈的解集的一般表示形式．[说明]解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，因此，必须在理解的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．同时，特别要注意方程：sin (1)x a a =<的解集是{}(1)arcsin ,k x x k a k Z π=+-∈，cos (1)x a a =<的解集是{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈．2．会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2sin sin A x B x C +=，2sin cos A x B x C +=等）． [说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x 、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角．3．利用单位圆、函数的图像解与三角函数有关的方程问题. 【教学重点与难点】重点：最简三角方程的解集；难点：简单三角方程在指定范围内的解和增根、失根问题． 【教学过程】 一、情景引入 1．观察问题：关于x 的等式21sin =x ，角x 有无数多个？如何得到满足条件的x 值？ 因为216sin =π，所以6π=x ．还可以写出哪些满足条件的x 的值？ x=2k (k Z)6ππ+∈（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）还有其它满足条件的x 值吗？有！因为诱导公式2165sin 6sin 6sin==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ，所以52k (k Z)6x ππ=+∈也满足条件．为了方便，可以选择正弦函数sin y x =,长度为一个周期的区间(],ππ-内,研究1sin 2x =的解．如图所示：在xoy 平面上作直线12y =交正弦函数sin y x =在该区间内于12,P P 两点，则12,P P 的横坐标就是566ππ和，即方程1sin 2x =的解是566x x ππ==和.考虑到函数sin y x =的周期为2π，所以1sin 2x =的通解是1252,2()66x k x k k Z ππππ=+=+∈．也可以利用单位圆进行研究．如图所示：在xOy 平面上作直线12y =交单位圆于12,P P 两点，则12,OP OP 就是角566ππ和的终边，也是角x 的终边，可得到1sin 2x =的通解：1252,2()66x k x k k Z ππππ=+=+∈．2．思考 既然1sin 2x =的解集是52,2,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，那么能否将1sin 2x =的解集写成 (1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭的形式？3．讨论sin ()x a a R =∈的解集:当11a a <->或时，直线y a =与单位圆无交点，因而方程无解；当1a =-时，直线y a =与单位圆有一个交点，所以sin 1x =-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；同样,当1a =时，直线y a =与单位圆也有一个交点，sin 1x =的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 而当11a -<<时，直线y a =与单位圆有两个交点，sin x a =的解集是{}{}2arcsin ,(21)arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈,即{}(1)arcsin ,kx x k a k Z π=+-∈．二、学习新课 1．概念辨析（1）三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有x 的集合叫做三角方程的解集．（2）最简三角方程的定义：形如sin ,cos ,tan x a x a x a ===的方程叫做最简三角方程．（3）最简三角方程的解集：即已知三角函数值求角，先求出它在一个周期的区间上的解（特解），再根据三角函数的周期性，求出方程的所有解（通解）．2．例题分析例1、求下列方程的解集. （1）2cos x =； （2）5sin 0x =； （3）01tan 32=-x .解 （1）将原方程化为 cos x =，可得原方程的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,42ππ（2）将原方程化为sin x =，可得原方程的解集为：()|1arcsin(k x x k k Z π⎧⎫⎪⎪=+-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=()|1arcsin k x x k k Z π⎧⎫⎪⎪=--∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭（3）将原方程化为 tan x =±⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,6ππ例2、根据下列条件，求方程sin x =的解. （1）x 为锐角； （2）x 为某三角形内角； （3）x 为第二象限角； （4）x R ∈ 解： （1）由题设得3x π=； （2）13x π=，或2233x πππ=-=；（3）22,3x k k Z ππ=+∈；（4）()()1arcsin 1,3k k x k k k Z πππ=+-=+-∈． 例3、求方程2cos()1023xπ++=的解集． 解 将原方程化为 21)32cos(-=π+x ， 可得)(32232Z k k x ∈π±π=π+， 由32232π+π=π+k x ， 得 )(324Z k k x ∈π+π=；由32232π-π=π+k x ， 得 )(24Z k k x ∈π-π=．所以原方程的解集为},24324|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或．例4、解方程02sin(515)0()x x -=为锐角．解：将原方程化为：0sin(515)x -=000515180(1)60k x k -=⋅+-⋅， 即036(1)123,()kx k k Z =⋅+-⋅+∈．当0k =时，015x =；当1k =时，027x =；当2k =时，087x =．当k 取其他取值所得的x 都不合题意，所以原方程的解集为{}00015,27,87．[说明]求某一区间内方程解的问题，一般应先求出这个方程解的一般表达式，然后根据题设，确定整数k 的取值，得到所求方程在特定区间内的解，否则有可能将符合条件的解遗漏．本题中若将原方程化为：0sin(515)x -=，根据所求解是锐角，把解直写成0051560x -=，解得015x =，就少了两个解．另外本题应使用角度制. 例5、解方程sin cos 1x x -=．解一 两边平方，整理得sin 20x =， ∴ ()2k x k Z π=∈ 经检验，32,2()2x k x k k Z πππ==+∈为增根． 原方程的解集为2,(21),2x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭．[说明]产生增根的原因是“两边平方”．事实上，所增的根正好是方程sin cos 1x x -=-的根． 解二 移项得：sin 1cos x x =+， 两边同除以(1cos )x +，得sin 11cos x x =+，即tan 12x =，解得24x k ππ=+，∴2,()2x k k Z ππ=+∈．[说明]这里出现失根2,()x k k Z ππ=+∈，正好是除式1cos 0x +=的根．解三 引入辅助角，化为sin()4x π-=解得：(1)44kx k πππ-=+-，∴(1),()44kx k k Z πππ=++-∈．原方程的解集为(1),44kx x k k Z πππ⎧⎫=++-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]解方程的核心是方程的同解性问题，形成检验的习惯和能力至关重要．3．问题拓展例6、关于x 的方程2cos 1(2cos 1)x k x -=+有实数解,求k 的取值范围． 解 由原方程得 2cos 12cos x k x k -=+，即 1cos 22k x k+=-． 要使方程有解，只需1122k k+≤-．解得133k k ≤≥或．所以k 的取值范围为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．[说明] 当方程cos (x a a =为常数）有解时，必须满足1a ≤． 三、巩固练习 1、（口答）求下列方程的解集.（1）sin x = （2）1cos 3x =； （3）7tan 6x =-． 2、求下列方程的解集.（1）sin2x ； （23)42π=． 3、根据下列条件，求下列方程的解集.（1）33tan -=x ，[2,4]x ππ∈-；（2）sin()6x π-=，[0,]x π∈． 4、求方程26sin sin 10[0,2]x x π--=在内的所有实根之和．5、若x=3π是方程2cos （x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），求α的值 . 四、课堂小结本节课的内容是解三角方程，在理解三角方程的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，确定最简三角方程在指定范围内的解是本节课的难点． 五、练习册。