高中数学：11.3《两条直线位置关系》教案(1)(沪教版高二下)

课题 两条直线的位置关系1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式教学重 两条直线平行与垂直的判定 点教学难 点教学方 法教具准 备点到直线的距离公式 讲练结合 教材教学过 程【基础练习】1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=03.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2一点，则 k 的值等于 1 24.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.简解：答案为 28 3【范例导析】【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ，当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０∴ l1 与 l2 相交；当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m1 6 得 m＝3 m 2 2m故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。

（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。

点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。

高二数学教案：《两条直线的位置关系》教学设计（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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11.3 两条直线的位置关系学习目标：1、会根据两条直线的方程的系数行列式，判别两条直线是否相交、平行或重合．2、能利用直线的法向量(或方向向量)，讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时它们的方程的系数应满足的条件．3、会求两条直线的交点坐标．学习重点与难点：学习重点：会根据两条直线的方程的系数行列式，判别两条直线是否相交、平行或重合． 学习难点：两条直线具有平行关系或垂直关系时它们的方程的系数应满足的条件． 学习过程：一、两条直线的交点两条直线方程分别是：01111=++c y b x a l ：，02222=++c y b x a l ：若这两条直线有交点，的解则方程组⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 标．即这两条直线的交点坐 方程组解的个数相同．方程组，交点的个数与求两条直线的交点：解二、两条直线的位置关系的解的情况判别方程组一⎩⎨⎧=++=++00)(222111c y b x a c y b x a的位置关系与判别两直线二21)(l l ：01111=++c y b x a l ：，02222=++c y b x a l ：三、例题举隅求交点坐标．位置关系，若相交，则、判断下列两条直线的例101243)1(1=-+y x l ：，011272=--y x l ：；01243)2(1=--y x l ：，32=x l ：；01243)3(1=--y x l ：，05862=+-y x l ：。

间的位置关系：、讨论下列各组直线之例206)1(21=++y m x l ：，023)2(2=++m my x m-l ：；)3(1)2(11-=-x k y l ：，)3(122+=-x k y l ：。

四、课堂练习53012121=+-=-+c y x l by x l ex ：，：．已知有如下关系：与为何值时，、求当21l l c b 垂直重合平行相交)4()3()2()1(。

11.3（2）两条直线的夹角教学目标理解直线夹角公式的推导过程，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导过程，会求两条直线的夹角教学过程一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；（3）0524:1=+-y x l ， 032:2=--y x l ．问题1：（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？二、学习新课1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.问题2：现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？2、夹角公式的推导引导学生画图分析，寻找夹角、方向向量之间的关系.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；课堂练习：求下列各组直线的夹角θ（1）1:31l y x =-，2:340l y x +-=（2）1:10l y x -+=，2:4l y =（3）2:10l x y ++=，2:2l x =例2：已知直线0942=++y x 和直线08=++ay x 的夹角是14π ，求实数a 的值.例3：已知直线l 过点)3,2(-P ，且与直线023:0=+-y x l 的夹角为3π，求直线l 的方程.课堂练习：已知直线l 经过原点，且与直线1y =+的夹角为6π，求直线l 的方程。

11.3两条直线位置关系一、教学内容分析本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 第二课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式.本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧知识的联系，寻找新知识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法.对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题.二、教学目标设计理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论，运用已有知识解决新问题的能力，提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.三、教学重点及难点求两条直线的交点，掌握判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情境设置，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.思考并回答下列问题1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.从几何特征上看：相交⇔有唯一的公共点；平行⇔没有公共点；重合⇔至少有两个公共点，进而有无数个公共点.[说明] 通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？[说明] 通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.二、学习新课关于两直线的交点、位置关系1、概念引入引例：解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧+==+-21310362x y y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131062x y y x ． 然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？解答：由直线方程的概念，我们知道方程组（1）有唯一的解⎩⎨⎧=-=22y x ，两条直线有且只有一个公共点为)2,2(-；方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点；方程组（3）无解，两条直线无公共点.[说明] ①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.2、概念形成一般地，设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）……①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②两条相交直线的交点坐标思考并回答：如何求直线1l 、2l 的交点？解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线1l 、2l 交点的求法：联立1l 与2l 的方程:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a ……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线1l 、2l 交点. 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系思考并回答：由方程①②如何判断直线1l 、2l 的位置关系？解答：由引例分析、归纳出：直线1l 、2l 的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线1l 、2l 的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线1l 、2l 的位置关系.联立1l 与2l 的方程，得方程组:⎩⎨⎧=++=++002211c y b x a c y b x a …(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线1l 、2l 交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:2211b a b a D =，2211bc b c D x --=，2211c a c a D y --=.则 当02211≠=b a b a D 时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x yx ，此时1l 、2l 相交于一点，交点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D D D D y x ,. 当02211==b a b a D 且y x D D ,中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时1l 、2l 没有公共点，即直线1l 与2l 平行.当0===y x D D D 时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时1l 、2l 有无数多个公共点，即直线1l 与2l 重合.[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.⏹ 回到引例请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系.[说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D 、y x D D 、的值，判断两直线的平行、重合、相交. ②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.3、概念的辨析⏹ 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D .⏹ 02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件.换言之，2112b a b a =1l ∥2l ；若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l ．[说明] 引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.4、例题分析例1已知直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x ，求实数a 的值，使直线1l 与2l 平行.（补充例题）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .21//l l ,由0=D ,∴(1)60a a +-=，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行；当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合.∴2=a 不符合，∴3a =-即为所求．[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调0=D 是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. （课本p17例2）(1)06:21=++y m x l 与023)2(:2=++-m my x m l ;(2) )3(1:11-=-x k y l 与)3(1:22+=-x k y l .[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.例3求经过原点且经过直线022:1=+-y x l 与直线022:2=--y x l 的交点的直线方程． 解：解方程组：⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ，∴1l 与2l 的交点是)2,2(， 设经过原点的直线方程为kx y =，把点)2,2(代入，得1=k ，所以，所求的直线方程为x y =．[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.例 4 若三条直线1l ：023=+-y x ，2l ：032=++y x ，3l ：0=+y mx ，当m 为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题）解:三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.（1）若三条直线交于同一点时,解方程组⎩⎨⎧=++=+-032023y x y x , 得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即1l 与2l 的交点是（1,1--），把点（1,1--）代入直线3l 的方程得1-=m ．（2）若其中至少有两条直线平行时，由1l //2l 得：3-=m ; 由32//l l 得:2=m ，综上：当1-=m 或3-=m 或2=m 时三条直线不能构成三角形.[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.5．问题拓展⏹ 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?1l 与2l 的一个方向向量分别是1d =),(11a b -,2d =),(22a b -;一个法向量分别是1n =),(11b a ,2n =),(22b a .则1l 与2l 有如下关系：相交⇔1d 不平行2d ⇔1d 不垂直2n ⇔02112≠-b a b a ;平行⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a ;重合⇒1d 平行2d ⇔1d 垂直2n ⇔02112=-b a b a .⏹ 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为1x x =,通过图示观察,易知其关系. 若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为1l :11d x k y +=，2l :22d x k y +=,则有 ①1l //2l ⇔21k k =且21d d ≠；②1l 和2l 重合⇔21k k =且21d d =；③1l 和2l 相交⇔21k k ≠.[说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.三、巩固练习练习11.3（1）[说明] 进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.四、课堂小结本课我们主要学习了哪些知识？应当注意什么？运用了那些思想方法？① 知识点：本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法，求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法.解决问题时，注意区分两条直线平行与重合满足的条件.② 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法．[说明] 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，反思、巩固所用到的数学方法，达到巩固知识，明确方法的目的.五、作业布置1、书面作业：习题11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,92、思考题：设直线的方程为(21)(32)1850m x m y m ++--+=，求证：不论m 为何值，所给的直线经过一定点.解 方法一：取m=0,1得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=-+=+-430133052y x y x y x ,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m, 原方程均成立,即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).方法二：对于任意实数m,关于y x ,的方程(21)(32)1850m x m y m ++--+=的解都相同0)52()1832(=+-+-+⇔y x m y x 对于任意实数m 恒成立,得:⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-+=+-43,01832052y x y x y x 解得, 即不论m 为何值，所给的直线经过一定点(3,4).[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。

两条直线的地点关系【课时安排】2课时【第一课时】【教课目的】1．知识与技术：在详细情境中认识订交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实质问题。

2．过程与方法：经历操作、察看、猜想、沟通、推理等获守信息的过程，进一步发展空间看法、推理能力和有条理表达的能力。

3．感情与态度：激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中包含着大批的数目和图形的相关问题，这些问题能够抽象成数学识题，用数学方法予以解决。

【教课重难点】1．对顶角、补角和余角的看法与性质。

2．推理能力及有条理表达的能力的发展。

【教课准备】实物图片、幻灯片。

【教课过程】（一）走进生活，引入课题：活动内容一：两条直线的地点关系1．请同学们自学第一节，提早两天收集相关“两条直线的地点关系”的图片，提炼出数学图形，进行归类，而后小组合作沟通。

2．教师提早一天进行挑选，捕获出有代表性的答案，讲堂上由学生自己主讲，最后归纳出相关结论。

3．稳固练习：教师展现以下图片，学生迅速回答：mnba7.1-17.1-27.1-3结论：（ 1）一般地，在同一平面内，两条直线的地点关系有两种和。

（2）定义分别为：。

问题 1：在 7.1-1 中，直线 m 和 n 的关系是；a和b是；a和n是。

问题 2：在 7.1-2 和 7.1-3 中你能提出哪些问题？4．活动目的：独立思虑、学会思虑是创新的核心。

数学根源于生活，经过课前开放，引导学生从身旁熟习的图形出发，领会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，领会本章内容的重要性和在生活中的宽泛应用，为引入新课做好准备。

经过亲身经历提炼相关数学信息的过程，能够让学生在直观风趣的问题情境中学到有价值的数学。

充分利用现代化教课手段增强直观教课，惹起学生学习的兴趣：经过师生互动，生生互动，增添学生之间的凝集力，在相互商讨中激发学生学习踊跃性，提高学讲堂效率。