最新沪教版高中数学高二下册 -12.7 抛物线的标准方程 教案

第二章圆锥曲线与方程2.2.1 抛物线及其标准方程一、复习与引入过程回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，那么当e=1时，它又是什么曲线？二、简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．三、新课讲授过程（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(ii) 抛物线标准方程的推导过程引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为2y；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为2x．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(iii)例题讲解与引申例1、(1)已知抛物线的标准方程是2y=6x，求它的焦点坐标和准线方程(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程解 (1)因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2(2)因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是2x=-8y例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。

上海理工大学附属中学高二数学下册《抛物线的性质》教案 沪教版一、教学内容分析本小节的难点是应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，如已知抛物线的某些性质，求抛物线的方程；以及求抛物线的焦点弦长等. 二、教学目标设计1．根据抛物线方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质，进一步体会用方程研究曲线的基本方法； 2．研究另外三种标准位置的抛物线的性质，学会类比；3．应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，体会数形结合和方程的思想. 三、教学重点及难点抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程，应用抛物线定义解决一些与焦点弦长有关的问题. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、抛物线的定义； 2、四种标准方程形式；3、抛物线方程)0(22>=p px y 中参数p 的含义. 二、讲授新课我们根据抛物线的标准方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质. 1、对称性在方程px y 22=中，以y -换y ，方程不变，这表明：如果点),(y x P 在抛物线px y 22=上，那么点P 关于x 轴对称的点),('y x P -也在该抛物线上，即抛物线px y 22=关于x 轴对称，是轴对称图形.请学生讨论抛物线px y 22=是否为中心对称图形？ 2、顶点抛物线与对称轴的交点称为抛物线的顶点.抛物线px y 22=的顶点为坐标原点)0,0(. 3、范围课堂小结并布置作业抛物线的对称性、运用与深化(例题解析、巩固练习)px y 22=（0>p ）抛物线四种标准形问题驱动在方程px y 22=中，因为0>p ，所以0≥x ，这表明除了顶点，抛物线的图像全部落在y 轴的右侧.在第一象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右上方无限延伸；在第四象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右下方无限延伸.⏹ 请学生讨论抛物线px y 22=在第一象限内向右上方无限延伸时是否存在渐近线？ 4、焦点和准线抛物线px y 22=的焦点在x 轴上，其坐标为)0,2(pF .抛物线px y 22=的准线平行于y 轴，其方程为2p x -=. ⏹ 请学生分别写出抛物线)0(22>-=p px y 、)0(22>=p py x 、 )0(22>-=p py x 的焦点坐标和准线方程.5、例题解析 例1 求抛物线231x y =的焦点坐标和准线方程. [说明]本例考查抛物线的标准方程和性质.先让学生说出抛物线231x y =的标准形式，进而求出焦点坐标和准线方程.解：抛物线231x y =的标准方程为y x 32=，23=p ，于是焦点为)43,0(F ，准线方程为43-=y . 例2 教材上P66例1.[说明] 本例考查抛物线的四种标准位置.按照焦点在x 轴上或在y 轴上分情况讨论，培养学生严谨的思维习惯.例3 教材上P67例2.[说明] 本例培养学生的方程思想，将图像的交点个数问题转化为方程的解的个数问题；①既要考虑斜率存在的直线，也要考虑斜率不存在的直线；②形如02=++c bx ax 的方程有惟一解的条件：⎩⎨⎧≠=0,0b a 或⎩⎨⎧=∆≠.0,0a例4 教材上P67例3.[说明]本例培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.①如何建立直角坐标系？②如何根据条件确定抛物线的方程？三、巩固练习1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点)1,(-m M 到焦点的距离是3，求抛物线的方程、准线方程、焦点坐标以及m 的值.[说明]根据点M 的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进 而确定抛物线的方程形式.解：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，其准线方程为2p y =. 根据抛物线的定义，有312=+p，所以4=p . 抛物线的方程为y x 82-=，准线方程为2=y ，焦点坐标为)2,0(-F ，将点)1,(-m M 的坐标代入方程y x 82-=，算得22±=m .2、已知),(00y x P 是抛物线px y 22=上的点，F 是该抛物线的焦点，求证：2||0p x PF +=. [说明]利用抛物线的定义，将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，||PF 称为抛物线的焦半径. 证明：过点),(00y x P 作准线2:p x l -=的垂线，垂足为Q ，则),2(0y pQ -.根据抛物线的定义，2)2(||||00px p x PQ PF +=--==.3、若抛物线x y 42=的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程. [说明]根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示. 解：抛物线的焦点为)0,1(F .设焦点弦的两个端点分别为),(11y x A 、),(22y x B .由条件，52)2()2(||||||2121=++=+++=+=x x px p x BF AF AB ，所以321=+x x . 如果直线AB 平行于y 轴，那么121==x x ，这与321=+x x 矛盾，所以直线AB 不平行于y 轴. 设焦点弦所在直线方程为)1(-=x k y ，联立方程⎩⎨⎧=-=,4),1(2x y x k y 消去y ，得到0)2(22222=++-k x k x k ， 根据韦达定理，3)2(22221=+=+kk x x ，求出2±=k ，于是焦点弦所在直线AB 的方程为022=-±y x . 四、课堂小结1、抛物线)0(22>=p px y 的对称轴，顶点，范围，焦点坐标以及准线方程.2、求抛物线方程时，先判断本题中的抛物线属于四种标准方程形式中的哪一种，然后根据条件确定p 的值.3、如果问题与焦点弦长有关，那么可以用焦半径公式表出弦长，然后应用韦达定理加以解决. 五、课后作业注重对抛物线性质的推导过程，以问题驱动的形式促使学生对抛物线的性质进行较为深入地思考，在讲解对称性时抛出问题“抛物线是中心对称图形吗，为什么？”，让学生从几何图形上判断结果，并从代数方程上进行推导.在讲解抛物线的范围时，引导学生和双曲线进行比较“抛物线有渐近线吗，为什么？”，让学生去讨论.例1考查抛物线的标准方程和性质，例2考查抛物线的四种标准位置，例3培养学生的方程思想，例4培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.紧扣抛物线的定义，引导学生灵活解决与焦点弦有关的问题，并以此为素材，激发学生发现。

《抛物线及其标准方程》教案(公开课一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学教材，第三章解析几何，第五节抛物线。

本节课的主要内容有：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。

其中，重点讲解抛物线的标准方程及其求法。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义和性质，掌握抛物线的标准方程及其求法。

2. 能够运用抛物线的性质和方程解决一些实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的标准方程及其求法。

难点：抛物线性质的理解和应用。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、投影仪、教学课件。

学具：笔记本、尺子、圆规、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察一些生活中常见的抛物线形状，如篮球投篮、抛物线运动等，引发学生对抛物线的兴趣。

2. 讲解抛物线的定义和性质：在黑板上画出一条抛物线，讲解抛物线的定义，如焦点、准线等，并引导学生理解抛物线的性质。

3. 讲解抛物线的标准方程：通过示例，讲解如何求解抛物线的标准方程，让学生跟随步骤，进行练习。

4. 应用练习：给出一些抛物线应用问题，让学生运用所学知识解决，如求解抛物线与坐标轴的交点等。

六、板书设计板书设计如下：抛物线的定义和性质：焦点：到抛物线上任意一点的距离等于到准线距离的点。

准线：与抛物线对称，且到焦点的距离等于到抛物线上任意一点的距离。

抛物线的标准方程：y^2 = 4ax （a > 0）y^2 = 4ax （a < 0）七、作业设计（1）焦点在x轴上，顶点在原点，开口向上。

（2）焦点在y轴上，顶点在原点，开口向下。

答案：（1）y^2 = 4ax（2）x^2 = 4ay2. 已知抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，求解抛物线与x轴、y 轴的交点坐标。

答案：与x轴的交点：(a, 0)，(a, 0)与y轴的交点：(0, 2a)，(0, 2a)八、课后反思及拓展延伸本节课通过讲解抛物线的定义、性质和标准方程，让学生掌握了抛物线的基本知识，能够在实际问题中应用。

抛物线及其标准方程教课目的：知识目标：1、掌握抛物线的定义和标准方程。

2、能依据抛物线的标准方程，写出它的焦点坐标和准线方程。

能力目标：能依据简单的条件求抛物线的标准方程。

感情目标：能依据老师的指引踊跃探究问题的规律。

教课要点：分清抛物线四种标准方程、焦点坐标和准线方程。

教课难点：利用抛物线的定义探究解决一些新问题。

教课方法及手段：启迪指引教课过程：一、课程引入1、平面内与两个定点的距离相等的点的轨迹是什么？2、与两条订交直线的距离相等的点的轨迹是什么？问：与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么？(学生探究)教师flash课件演示〔解说原理〕二、新课分析1、定义：〔板书课题〕平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹是抛物线。

焦点。

直线L叫抛物线的准线生活中的抛物线有哪些？太阳灶，抛射物体的运转轨道，二次函数的图象等。

点F叫做抛物线的但在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、张口向上或张口向下两种情况．假如抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不可以作为二次函数的图象来研究了．今天，我们打破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．2、推导抛物线的标准方程：〔先复习求轨迹方程的方法和步骤；怎样建系〕以下列图，成立直角坐标系系，设|KF|=p〔p>0〕,那么焦点F的y坐标为(p,0)，准线l的方程为xp，D M22K OFp )2(1 )设抛物线上的点M〔x,y〕，那么有(xy2|x p|22化简方程得y22pxp03、抛物线标准方程：方程y22px p 0叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是〔F p,0〕，它的准线方程是x p2 2说明：抛物线，因为它在座标系的地点不一样，方程也不一样，有四种不一样的状况。

这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程以下图形yyylOxFOF x F Oxll lO x方y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)程焦(p,0)(p,0)(0,p)(0,p)点2222准p p py p线x x y2222同样点：(1)抛物线都过原点；对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上对于原点对称 p 是焦点到准线的距离不一样点：标准方程中一次项的变量决定焦点在哪条轴上，系数的〞＋〞，〞－〞决定焦点在正半轴仍是负半轴（三、例题精讲（例1：（抛物线标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程;2〕抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；3〕抛物线的焦点坐标是F〔0，－2〕，求它的标准方程。

《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自《解析几何》教材第四章第一节，主要内容包括抛物线的定义、性质及其标准方程的推导和应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质。

2. 学会推导抛物线的标准方程，并能解决实际问题。

3. 能够运用抛物线标准方程解决几何问题和实际应用。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质及其标准方程。

难点：抛物线标准方程的推导和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入2. 知识讲解(1) 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离等于到一条定直线l的距离的点的轨迹。

(2) 抛物线的性质：① 对称性；② 焦点、准线；③ 直线与抛物线的交点；④ 平面几何关系。

(3) 抛物线的标准方程：y^2 = 2px (p > 0) 或 x^2 = 2py (p > 0)。

3. 例题讲解(1) 求抛物线y^2 = 4x的焦点和准线。

(2) 已知抛物线x^2 = 8y，求过点P(2,3)且与抛物线相切的直线方程。

4. 随堂练习(1) 求抛物线y^2 = 12x的焦点、准线及对称轴。

(2) 已知抛物线x^2 = 16y，求过点A(4,2)且与抛物线相交的直线方程。

5. 课堂小结六、板书设计1. 定义2. 性质3. 标准方程4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目(1) 求抛物线y^2 = 20x的焦点、准线及对称轴。

(2) 已知抛物线x^2 = 18y，求过点B(3,2)且与抛物线相切的直线方程。

2. 答案(1) 焦点：F(5,0)，准线：x = 5，对称轴：y轴。

(2) 直线方程：y = 4/3x 2/3。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、知识讲解、例题讲解、随堂练习等环节，使学生掌握了抛物线的定义、性质和标准方程。

高中抛物线数学教案
主题：抛物线
一、教学目标：
1. 理解抛物线的定义和性质；
2. 掌握抛物线的标准方程及相关计算方法；
3. 熟练运用抛物线相关知识解决实际问题。

二、教学重点和难点：
重点：抛物线的定义、标准方程及相关性质；
难点：抛物线的几何意义及应用问题的解决。

三、教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）
通过展示抛物线的图片和实际应用场景，引导学生了解抛物线的形态和特点。

2. 学习抛物线的定义和性质（15分钟）
讲解抛物线的定义，并介绍抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质，让学生理解抛物线的基本概念。

3. 学习抛物线的标准方程（20分钟）
教师讲解抛物线的标准方程及其推导过程，让学生掌握如何根据给定的抛物线特点确定其标准方程。

4. 练习抛物线相关计算（20分钟）
让学生通过练习题目，熟悉抛物线的计算方法，包括焦点、顶点、焦距等的计算。

5. 解决实际问题（15分钟）
通过实际应用问题的讨论与解答，引导学生灵活运用抛物线知识解决实际问题，并培养学生的数学建模能力。

6. 总结和作业布置（5分钟）
对抛物线相关知识进行总结，并布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。

四、教学手段：
1. 教师讲解；
2. 课堂练习；
3. 实际应用问题讨论。

五、教学反思：
本节课主要围绕抛物线的定义、标准方程及相关计算展开，注重培养学生的问题解决能力和建模能力。

通过实践与讨论，让学生真正理解抛物线的几何意义和应用价值，为他们的数学学习打下坚实基础。

12.7抛物线的标准方程1.平面内与一个定点F 和一条定直线l (_________)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2.抛物线2116y x =-的焦点坐标为_______，准线方程为_______ 3.准线方程为1x =的抛物线的标准方程为____________4.已知抛物线y 2＝2px 过点A (1,2)，则p ＝________5.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是_______ 6.已知抛物线2y ax =的准线方程是x ＝2，则a 的值为________ 7.若抛物线()220y px p =>上的横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p =8.抛物线()2240y ax a =>上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，抛物线方程为9.已知抛物线y 2＝4x 上一点到焦点的距离是5，求这点的坐标.10.若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，求点P 的轨迹方程11. 已知斜率为1直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B ，求线段AB 的长度.12.8抛物线的性质1.抛物线28x y =的焦点坐标为______，准线方程为_______2.2(0)y ax a =>的准线方程为__________3.已知抛物线的准线方程为12y =，则其标准方程为________ 4.对称轴为x 轴，焦点到准线的距离是4的抛物线的标准方程为____________5.以原点为顶点，对称轴为y 轴，并经过点(6,3)P --的抛物线的标准方程为____________.6.抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点(,3)P m -到焦点的距离为5，则抛物线方程为________7.“直线和抛物线有且仅有一个公共点”是“直线和抛物线相切”的____________条件.8.求过点(1,0)-且与抛物线22x y =只有一个公共点的直线方程9.己知F 是抛物线x y 42=的焦点，M 在抛物线上移动，点)1,4(P ，求MF MP +的最小值.10.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m.若水面升高1m ，求此时水面宽多少米.11.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y 是过F 的直线l 与抛物线的两个交点，求证：(1) 212y y p =-；(2)2124p x x =；。

高二数学抛物线教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以高二数学抛物线为主题，旨在使学生理解抛物线的定义、标准方程及其性质，掌握抛物线与坐标轴的交点、对称轴、焦半径等基本概念。

通过本课程的学习，让学生能够运用抛物线知识解决实际问题，培养他们的逻辑思维能力和空间想象力。

2、教学对象教学对象为高二年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平面几何、三角函数等基础知识，具备一定的数学素养。

此外，学生已经学习了椭圆、双曲线等其他圆锥曲线，对抛物线的学习具有一定的知识储备。

在此基础上，本课程将针对学生的认知特点，采取适当的教学策略，提高他们的学习兴趣和积极性。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程；（2）掌握抛物线的基本性质，如顶点、对称轴、焦半径、准线等；（3）能够运用抛物线知识解决实际问题，如求抛物线与坐标轴的交点、计算焦点到准线的距离等；（4）培养运用数学软件或图形计算器绘制抛物线图像的能力，提高空间想象力；（5）通过抛物线的学习，提高数学逻辑思维能力，为后续圆锥曲线的学习打下基础。

2、过程与方法（1）采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究抛物线的性质和运用；（2）通过实际案例，让学生学会运用抛物线知识解决生活中的问题，培养学以致用的能力；（3）采用小组合作学习，培养学生团队协作能力和交流沟通能力；（4）结合图形和实际操作，帮助学生建立直观的几何观念，提高空间想象力；（5）利用信息技术手段，如数学软件、图形计算器等，辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣和热情，激发他们探索数学问题的积极性；（2）通过抛物线学习，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强数学学习的实用性；（3）培养学生勇于面对挑战，克服困难的意志品质，提高解决问题的自信心；（4）强调数学思维的严谨性和逻辑性，培养学生科学、严谨的学习态度；（5）通过团队合作学习，培养学生相互尊重、团结协作的精神，树立正确的价值观。

《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课的内容选自高中数学教材选修22第三章第一节，主要讲述抛物线的定义及其标准方程。

具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程推导；3. 抛物线标准方程的应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的简单性质；2. 学会推导抛物线的标准方程，并能应用于实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程及其应用。

难点：抛物线标准方程的推导过程，以及在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、投影仪、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示实际生活中的抛物线实例，如抛物线运动轨迹、拱桥等，引导学生观察并思考抛物线的特点。

2. 抛物线的定义及性质（2）讲解抛物线的性质，如对称性、顶点等。

3. 抛物线标准方程的推导（1）教师引导学生通过实际例题，推导出抛物线的标准方程；（2）讲解抛物线标准方程的推导过程，强调理解推导方法。

4. 例题讲解选取典型例题，讲解抛物线标准方程的应用，引导学生学会解决实际问题。

5. 随堂练习设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识，及时发现问题并解答。

6. 小结六、板书设计1. 抛物线的定义；2. 抛物线的性质；3. 抛物线标准方程的推导过程；4. 典型例题及解题步骤。

七、作业设计1. 作业题目：（1）已知抛物线y^2=8x的焦点为F（2，0），求该抛物线的准线方程；（2）已知抛物线y=2x^2的焦点为F（0，1/8），求该抛物线的标准方程。

2. 答案：（1）准线方程：x=2；（2）标准方程：x^2=1/8y。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义和性质掌握较好，但在推导抛物线标准方程时，部分学生存在困难。

在今后的教学中，应加强此类问题的讲解和练习。

《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自高中数学教材选修22第二章第四节《抛物线及其标准方程》。

具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 抛物线的图形及其在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及其简单性质；2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力；3. 培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导，抛物线图形的识别；2. 教学重点：抛物线的定义，标准方程及其性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：直尺，圆规，量角器，练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入（1）展示图片：篮球投篮、投掷铅球、卫星轨道等；（2）提问：这些情景中，物体的运动轨迹有什么共同特点？2. 知识讲解（1）抛物线的定义：物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束，这样的运动轨迹称为抛物线；（2）抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；（3）抛物线的性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线等。

3. 例题讲解（1）求抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；（2）已知抛物线的焦点为F(1,0)，求该抛物线的标准方程。

4. 随堂练习（2）已知抛物线的焦点和顶点，求其标准方程。

5. 小结六、板书设计1. 定义：抛物线是物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束的运动轨迹；2. 标准方程：y²=2p x(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线；4. 例题：抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；已知焦点求抛物线标准方程。

3.2.1 抛物线的标准方程内容分析：一、复习引入：1椭圆的第二定义:2. 双曲线的第二定义：3．问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e 的点的轨迹，当0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线。

此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？二、讲解新课：1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线2．推导抛物线的标准方程：3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p （p >0），则(1))0(22>=p px y , 焦点: 准线l ：(2))0(22>=p py x , 焦点: ， 准线l ：(3))0(22>-=p px y , 焦点: 准线l ：(4) )0(22>-=p py x , 焦点: 准线l ：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称. 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x .（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号.三、讲解范例：例1 （1）已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程.（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程.例2 已知抛物线的标准方程是（1）y 2＝12x ，（2）y ＝12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F （－5，0）（2）经过点A （2，－3）四、课堂练习：1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.（1）y 2＝8x （2）x 2＝4y （3）2y 2＋3x ＝0 （4）2ax y =2．根据下列条件写出抛物线的标准方程.（1）焦点是F （－2， 0）.（2）准线方程是31=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上.（4）经过点A （6，－2）.3．抛物线x 2＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 点坐标.课堂练习答案：1．（1）F （2，0），x ＝－2 （2）（0，1），y ＝－1（3）（83-，0），x ＝83 （4）（0，23-），y ＝23 2．（1）y 2＝－8x（2）x 2＝－34y （3）x 2＝8y 或x 2＝－8y （4）x y 322= 或 y x 182-= . 3．（±6，9）.点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p 表示焦点到准线的距离故p ＞0；（3）根据图形判断解有几种可能.五、小结 ：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念；六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

抛物线的标准方程教案教案：抛物线的标准方程一、教学目标：1. 理解抛物线的标准方程的含义；2. 掌握抛物线的标准方程的推导方法；3. 能够根据已知的条件，列出抛物线的标准方程。

二、教学内容：1. 抛物线的定义和性质；2. 抛物线的标准方程的推导；3. 抛物线的标准方程的应用。

三、教学步骤：1. 引入：通过问答的方式引出抛物线的概念和性质。

示例问题：什么是抛物线？抛物线有哪些性质？2. 推导抛物线的标准方程：（1）将抛物线的焦点设为F，准线设为L；（2）设抛物线上一点P(x, y)，到焦点F的距离为PF，到准线L的距离为PM；（3）根据焦准定理可知，PF = PM；（4）根据距离公式可知，PF = √((x-a)² + (y-b)²) ，PM = x + c；（5）对比PF和PM的表达式，得到抛物线的标准方程为：(x-a)² = 4p(y-b) ，其中 p = -c/2。

3. 求解抛物线的标准方程：（1）已知顶点坐标和焦点坐标，求解抛物线的标准方程；（2）已知顶点坐标和准线方程，求解抛物线的标准方程。

4. 练习和应用：（1）通过练习题巩固学生对抛物线标准方程的理解和掌握程度；（2）应用抛物线标准方程解决实际问题，如抛物线轨迹的确定等。

四、课堂互动：1. 利用白板或幻灯片，展示抛物线的图形，并引导学生观察抛物线的形状和特点。

2. 设计互动问题，让学生进行探讨和回答。

如：已知抛物线顶点为(2, 3)，焦点为(-1, 0)，求解抛物线的标准方程。

五、教学总结：1. 回顾抛物线的定义和性质；2. 概括抛物线的标准方程的推导过程；3. 总结抛物线的标准方程的应用场景。

六、作业布置：1. 完成课堂上的习题；2. 提供一个实际问题，要求学生列出抛物线的标准方程，并解答问题。

七、板书设计：抛物线的标准方程：(x-a)² = 4p(y-b)注：a, b为抛物线的顶点坐标，p为焦点到准线的距离。

第一学期上海市高二册12.7 抛物线教学设计【学习要点】1.定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹为 抛物线 .其中定点 F 称作抛物线的焦点，定直线 l 称作抛物线的准线 .2.抛物线的标准方程：（1）极点在原点， 焦点在 x 轴正半轴，其方程为 y22 px( p0)，焦点F ( p,0) ，2准线 xP，设 M (x 0 , y 0 ) ，焦半径 MFx 0p .22（2）极点在原点，焦点在 x 轴负半轴，其方程为 y 22 px( p0) ，焦点 F ( p,0) ，2P，设 M (x 0 , y 0 ) ，焦半径 MFp .准线 xx 022（3）极点在原点，焦点在 y 轴正半轴，其方程为 x 22 py( p 0) ，焦点F (0, p) ，2P，设 M ( x 0 , y 0 ) ，焦半径 MFp .准线 yy 022（4）极点在原点，焦点在 y 轴负半轴，其方程为 x 22 py( p0) ，焦点 F (0, p ) ，2准线 yP，设 M (x 0 , y 0 ) ，焦半径 MFy 0p .223.抛物线的性质：（1）过焦点且垂直于对称轴的订交弦d2 p ；（2）已知过抛物线 y 2 2 px( x 0) 的焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，设A( x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 )，则：12p 或 2 p（为直线 AB 的倾斜角）；AB x x AB2sin4.对于抛物线y2 2 px( p 0) ，若A( x1, y1)、B( x2, y2)且OA OB ，则直线AB 过定点 (2 p,0) ， AB 中点轨迹方程y2p( x 2 p) ，O在 AB 上投影方程为( x p)2+【例题讲解与训练】例 1.动点P到直线x + 4 = 0的距离减去它到点M (2,0)的距离为 2，则点P的轨迹方程是.〖变式训练 1〗1.已知抛物线的焦点坐标是 (0,- 2)，则抛物线的标准方程是___________.2.焦点在直线3x - 2 y- 6 = 0上的抛物线的标准方程是__________ .3. 与y轴相切，且与圆x2y24x0 相外切的圆心轨迹方程是.2例 2.抛物线y x的焦点坐标是，准线方程为.3〖变式训练 2〗1.抛物线2.抛物线y ax 2的准线方程是y 2 ，则 a. y210x 的焦点到准线的距离是.3.抛物线x2- 4y = 0上一点 P 到焦点的距离为3，那么 P 点的纵坐标为_________.例 3.已知F是抛物线y24x 的焦点， A(3,2) 是一个定点， P 是抛物线上的动点，则 PA PF 的最小值是_________.〖变式训练 3〗1.已知点P是抛物线y22x 上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 _________.2.抛物线y22x 上两点A, B到焦点的距离之和为 5 ，则线段 AB 中点的横坐标是3.抛物线y2= 2 px( p > 0)上的一点 M (4, y) 到焦点F的距离为5，则△OFM 的面积是 ____________.例 4.已知过抛物线焦点F 的直线与抛物线订交于、两点，点A、BA B在此抛物线准线上的射影分别为A1、 B1，求证：A1 FB190 .〖变式训练 4〗1.抛物线y2= 2 px( p > 0)的任意过焦点的弦PM ,以 PM 为直径的圆，与准线 l 的关系是（）（A）相离（B）订交（C）相切（D）以上情况都有可能2.过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴的直线与抛物线订交于 A 、B 两点，抛物线的准线与抛物线的对称轴订交于M 点，则AMB 必然是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角（D）无法确定3.过抛物线y24x 的焦点作一条直线与抛物线订交于 A 、 B 两点，它们的横坐标之和等于 6，则这样的直线（）（A）有且只有一条（B）有且仅有两条（C）有无量多条（D）不存在例 5.已知抛物线y2= - 8 x ,过点P0(- 1,1)引一条弦 ,使此弦在P0点被均分 ,求弦所在的直线方程 .〖变式训练 5〗1.已知直线x - y = 2与抛物线y2= 4x订交于 A、B 两点 ,那么线段 AB 中点坐标是.2.过(0, - 2)的直线与抛物线y2= 8x交于 A,B 两点 ,若线段 AB 中点的横坐标为 2.则| AB|为.3.斜率为 1 的直线经过抛物线y2= 4x的焦点，与抛物线订交于A、B 两点，求线段 AB 的长 .例 6.求过点(0,1)且与抛物线y22x 有且仅有一个公共点的直线方程.〖变式训练 6〗1.设 P 使抛物线y = x2上的点 ,若点 P 到直线2x- y- 4 = 0的距离最小 ,求点 P的坐标 .2.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线y2= x上搬动，求 AB 的中点 M 到y轴距离的最小值，并求出此时 AB 的中点 M 的坐标 .3.给定y2= 2x ,设A(a,0)( a > 0) ,P 是抛物线上一点且| PA |= d ,试求 d 的最小值 .答案例 1.y28x ；〖变式训练 1〗 1. x28y ； 2. x212 y 或 y28x ；3. y28x( x 0)或 y0(x0)例 2.(0,3) ， y3；441 ；〖变式训练 2〗 1.；3.2.8 2.5例3.4〖变式训练 3〗 1.17 ； 2.2； 3.22“师”之看法，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。