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用圆锥曲线的统一定义在《几何画板》中绘制圆锥曲线发表时间：2020-07-07T14:40:44.600Z 来源：《新纪实》2020年第2期作者：卢崇益[导读] 为了解决部分数学老师用统一定义在《几何画板》软件中绘制圆锥曲线的困难，笔者用三种不同的绘图原理，给出了在《几何画板》中如何利用统一定义绘制圆锥曲线的具体步骤和使用方法，使学生掌握三种类型圆锥曲线的之间的联系及离心率对圆锥曲线的影响。
册亨县民族中学贵州黔西南 552200【摘要】为了解决部分数学老师用统一定义在《几何画板》软件中绘制圆锥曲线的困难，笔者用三种不同的绘图原理，给出了在《几何画板》中如何利用统一定义绘制圆锥曲线的具体步骤和使用方法，使学生掌握三种类型圆锥曲线的之间的联系及离心率对圆锥曲线的影响。
【关键词】几何画板；统一定义；圆锥曲线；绘制方法圆锥曲线的统一定义，揭示了不同种类的圆锥曲线的内在联系，使焦点，准线，离心率等构成了一个和谐的整体，恰当而灵活地运用圆锥曲线的统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事倍功半的作用。
教学中，笔者发现了两种利用圆锥曲线统一定义绘制圆锥曲线的方法。
一、绘图方法1：绘制原理：相似三角形的对应边成比例。
绘图步骤：第一步：建系，构造焦点和准线。
（1）打开《几何画板》，单击绘制→定义坐标系，单击右键选择隐藏轨迹，得到平面直角坐标系。
（2）在x轴上任取一点F作为焦点，双击y轴标记为对称轴，选中点F,执行变换→反射,得到点K，选中点K及x轴，构造垂线作为准线。
第二步：新建参数e作为离心率，并改e的值为2。
第三步：构建参考线段。
（1）构造线段AB，并度量A，B两点的距离，选择数据→计算：AB距离÷e的值，并改标签为AC。
此时有AB÷AC为离心率e。
（2）在平面内任取一点D，构造两条过点D的直线m，n。
（3）选中点D及AB距离度量值构造圆与直线m交于点E作为驱动点,选中点D及AC的值构造圆与直线n交于点G，构造线段EG。
实习报告几何画板在圆锥曲线作图中的应用摘要：如今信息技术与数学综合研究已成为热门话题,现代教育计算的广泛应用正在对数学课程内容，数学教学，数学学习等方面产生深刻的影响。
高中阶段的圆锥曲线抽象难懂，许多学生难以完全理解和接受，如双曲线的渐近线、圆锥曲线的离心率，一些数形相互结合的题目，只能凭借学生的想象力是很难掌握有关图像的性质和图像的相互关系，本文主要应用几何画板直观的展现了圆锥曲线，使得数与行得到很好的结合，通过创设合适的教学情境，这既能完整准确的传授知识，也能提高学生的学习兴趣，帮助学生的理解，提高学生对平面图形的想象思维能力，起到事半功倍的效果。
今天我们用几何画板进行研究性学习，来研究椭圆曲线的知识，几何画板实际上就是把数形结合进行了深化、规范、准确。
出于几何画板具有直观性、准确性、开放性、操作简单等特点，给学生留下很大的创造空间。
关键词：几何画板圆锥曲线轨迹应用一、引言几何画板是一个通用在数学和物理教学环境，集图像的制作、动画、测算、文字输入，编辑等为一体，为“几何模板”的构建提供了一个有效的场所，在高中数学中的圆锥曲线的相关知识，具有一定的抽象性和复杂性，解决这类问题也常采用“数形结合”的数学思想，通过构建与之等价的几何模板来得以解决，但在传统的课堂教学中，仅借助一块黑板，一支粉笔的教学手段，往往准确性不够，为学生对问题本质的理解和认识带来了障碍，本文主要运用几何画板的形象直观性，为圆锥曲线创造一条便捷的通道，它可以解决学生难以绘制的图形，提供了图形变换的动感，丰富多彩的动画模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质，另外其丰富的测算功能使得对问题的观察，实验和归纳成为现实。
二、分类作图：概念是数学知识中最普遍的形式，是深入学习的基础和前提，圆锥曲线的概念抽象难懂，对于空间想象能力不足的中学生来说，接受这样一个复杂的新概念是比较困难的，大部分教室仍然用传统的教学方法，例如用黑板粉笔和尺规来进行数学画图，或者直接应用结果，学生可以接收但是很难理解它的形成过程，而新的数学课程标准强调了学习新知识探索的过程，于是以下就利用几何画板的准确性和直观性来研究几例典型的圆锥曲线的概念。
几何画板与高中圆锥曲线教学的整合一、引言几何画板是一种用来绘制几何图形的工具，它结合了手工绘画和数学几何的教学，可以帮助学生更直观地理解几何概念和定理。
在高中数学课程中，圆锥曲线是一个重要的内容，通过几何画板与圆锥曲线教学的整合，可以提高学生对于圆锥曲线的理解和学习效果。
本文将探讨几何画板与高中圆锥曲线教学的整合，并提供相应的教学示例。
二、几何画板的原理与应用几何画板是由一个固定的画板和可以在画板上移动的细木条组成的。
通过调整细木条的位置和角度，可以绘制出各种几何图形，如直线、角、三角形等。
几何画板具有直观、实用和可操作性强的特点，是一种辅助教学的优秀工具。
在几何画板的使用中，可以通过改变细木条的两个端点的位置，绘制出直线和角。
通过改变细木条的一端点的位置，绘制出射线和线段。
同时，通过调整细木条的角度，可以绘制出各种不同形式的图形，如等腰三角形、直角三角形等。
几何画板还可以用于证明几何定理，比如垂直角相等定理、同位角相等定理等。
几何画板的应用不仅仅局限于绘制几何图形和证明几何定理，还可以用于研究几何对象之间的关系。
通过改变细木条的位置和角度，可以观察几何对象之间的平行、垂直等关系。
几何画板还可以与其他几何工具结合使用，如直尺、量角器等，来进行更复杂的几何作图和测量。
三、圆锥曲线的教学内容与难点圆锥曲线是高中数学课程中的重要内容，主要包括抛物线、椭圆和双曲线。
圆锥曲线的教学内容相对较多，主要包括曲线的定义、性质、方程、焦点、直线切线等。
其中，曲线的方程是圆锥曲线教学的重点和难点之一。
学生普遍觉得圆锥曲线方程复杂、抽象，很难理解和应用。
因此，如何通过几何画板来辅助圆锥曲线的教学，提高学生对于圆锥曲线的理解和学习效果，是一个值得研究的问题。
四、几何画板与圆锥曲线教学的整合1.绘制曲线的基本形状在圆锥曲线的教学中，最好的方式是通过几何画板来绘制曲线的基本形状。
首先，可以通过将细木条固定在绘图板的两个位置，使得细木条与绘图板成一定角度。
以画法为主线对抛物线综合复习（2011 3 ）安徽省砀山第二中学朱奇勇以画法为主线对抛物线综合复习安徽省砀山第二中学 朱奇勇（235300）在高三数学的一节复习课中，笔者组织学生动手，以在几何画板中画抛物线为主线，对抛物线的定义，性质，方程和画法进行综合复习。
这节课容量大，探究性突出，学生参与程度高，直观形象，效果很好。
下面以抛物线)0(22>=p px y 为例，并设抛物线的准线为2:p x l -=，焦点为)2,0(pF ，及坐标原点为0，侧重介绍在几何画板中画抛物线的常见思路和方法，其中对抛物线的定义，性质和方程等内容予以综合复习，欢迎同行指正。
一 抛物线定义与画法：如果一动点到一定点的距离和该动点到一定直线的距离相等，那么这个动点的轨迹叫抛物线.画法1：①打开几何画板，左键单击“绘图”——“定义坐标系”，并作点)2,0(pF ，直线2:p x l -=. ②在直线l 上任取点A , 连接线段AF ，选取线段AF 的中点C ；③过A 点作直线l l ⊥1，过C 点作直线AF l ⊥2，设直线1l 与2l 的交点为M ；④选中点A ，M ，左键单击“构造”——“轨迹”，即得动点M 的轨迹是抛物线)0(22>=p px y ；或者选中点A ，左键单击“编辑”——“操作类按钮”——“动画”，再选中M 点，左键单击“显示”——“跟踪交点”，这时左键单击“动画点”按钮，可以看出动点A 在准线l 上作上下运动，而动点M 的轨迹即是抛物线)0(22>=p px y .画法2：①同画法1①；②设准线l 与x 轴交于点C ，在x 轴正半轴上任取点A ，过A 点作直线x l ⊥1轴③连接线段CA ，并度量CA 的长度，以焦点F 为圆心，以线段CA 的长为半径画圆，设该圆与直线1l 交于21,M M 两点；④选中点A ，21,M M ，左键单击“构造”——“轨迹”即得动点21,M M 的轨迹是抛物线)0(22>=p px y ；或者选中A 点，左键单击“编辑”——“操作类按钮”——“动画”得“动画点”按钮，再选中点21,M M ，左键单击“显示”——“跟踪交点”.这时左键单击“动画点”按钮，可以看到点A 在x 轴正半轴上左右运动，而动点21,M M 的轨迹就是抛物线)0(22>=p px y .画法3：①同画法1①；②在准线l 上任取点A ,过点A 作直线l l ⊥1，再作直线AF ;③选中直线AF ，左键单击“变换”——“标记镜面“，使直线AF 可以作为对称轴.④在x 轴上任取点C （异于点F ），作点C 关于直线AF 的对称点'C ：选中C 点，左键单击“变换”——“反射”，即得点C 关于直线AF 的对称点'C ，再作直线F C '，设直线F C '与直线1l 交点为M ;⑤同画法1④二 抛物线焦点弦性质及其推广与画法性质：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点)2,0(pF 任作一直线，交抛物线于21,M M 两点，线段21M M 叫做抛物线的“焦点弦”；分别过点21,M M 作直线21,l l ，使l l ⊥1，l l ⊥2，并设1l 与l 交于点A ，2l 与l 交于点B 。
几何画板在圆锥曲线习题中的应用吕世琼数信学院数学与应用数学 10290133【摘要】随着信息技术的高速发展，以及科学技术在教育领域中越来越广泛的应用，教师从事教育活动的手段有了根本的改观，作为新时代的数学老师，熟练掌握几何画板并将其应用于数学教学过程中是非常必要的。
本文就几何画板在圆锥曲线习题教学中做了一个简单的研究，对于部分有关的圆锥曲线的习题进行分析研究，主要是利用几何画板进行辅助解决，提高习题教学效率，也为中学教师提供参考。
【关键词】几何画板圆锥曲线习题教学在《圆锥曲线方程》这章中，一些与数形结合有关的题目等比较抽象，学生难以理解，且运用代数方法运算非常复杂，使用几何画板进行辅助教学，能够拓宽学生的思维，通过几何画板的画图、计算等功能，给学生留下更为深刻的印象，使学生摆脱枯燥的数学。
这样既激发了学生的兴趣，又大大提高了学习效率。
本文将从圆锥曲线轨迹问题、最值问题进行研究。
1利用几何画板探究轨迹问题圆锥曲线轨迹问题是整个圆锥曲线章节的重点也是难点，在高考中所占比值也相对较大，解决这类问题的关键点在于抓住不变量，仅仅通过代数运算有时很难发现其中的不变量，借助几何画板精确的画图、演示、计算功能有助于解决这方面的问题，大大提高教学效率。
例1圆O的半径为定长R，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？当定点A在圆外时，点Q的轨迹是什么？为什么？【制作目标】动态可视化的观察、猜想、探究、发现图形中的不变量。
【方法步骤】（1）构造点O，线段BC，以O为圆心BC为半径画圆。
（2）在圆O内任取一点A，圆上任取一点P，构造线段OP、AP。
（3）构造线段AP的垂直平分线l交线段OP于Q，连接AQ.（4）追踪Q的轨迹，如图（1）。
（5）将点A移动到圆外，观察轨迹，如图（2）。
图（1）图（2)设计意图：通过几何画板的直观表现，让学生通过对图像的观察分析抓住图中的不变量。
运用《几何画板》演示圆锥曲线的统一定义作者：徐家银来源：《中学教学参考·理科版》2014年第03期圆锥曲线的统一定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当01时是双曲线.从以上定义可知，只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值，就可以确定相应的圆锥曲线.那么，怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢？利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的，现介绍如下.打开几何画板5.03迷你增强版，点击编辑按钮→点参数选项→选择角度为弧度，精确度调为十万分之一；画一直线标签为“定直线（准线）”，在直线右方取一点F并标签为“定点（焦点）”.取点A、B，标记B为中心，让点A关于B旋转180°得A′，构造线段AA′，在线段AA′上取点C；度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离，计算|CA|与|CA′|的比值，标签为离心率e，左右滑动点C可以调节离心率e的大小，将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”，隐藏点A、B、A′，隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值，度量点F到直线l的距离并标签为p （抛物线的焦半径，对于椭圆和双曲线，它的值等于|a21c-c|）.调节离心率小于1（将会画出椭圆），计算pe1|1-e2|并标签为a（椭圆和双曲线通用），计算a与e的积并标签为c（半焦距，椭圆和双曲线通用），计算a2-c2标签为b（椭圆专用）.因为定点F在定直线l的右方，所以定点F和定直线l分别为椭圆的左焦点和左准线.将点F向右平移c个单位得一点标签为O，并将此点定义为原点建立坐标系，以点O为圆心作单位圆，在该圆上取点P，单位圆与x轴的交点标签为Z，度量∠ZOP的值，因为椭圆的参数方程为x=acosαy=bsinα，所以，计算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分别以这两个值为横、纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可以得到椭圆；生成点P的动画并设置按钮，标签为“椭圆动画”.隐藏坐标系等.将离心率调节为1，使椭圆的画面消失.计算-|1-e|+p12并标签为“抛物线调节量”，设计这个调节量是本文的独到之处，目的是当调节离心率小于或大于1时抛物线不会出现.在定直线l 任取一点G，度量点G的横坐标XG，计算“抛物线调节量”与XG的和，并以这个值为横坐标、0为纵坐标绘制一点H，过H作一直线与过点F且垂直于准线l的直线垂直，设垂足为N，将点N定义为原点建立新的坐标系.在准线l上任取一点J，度量点J的纵坐标yJ，计算y2j12p的值，以y2j12p的值为横坐标，yJ为纵坐标绘制点M，选择点M、J构造轨迹便可得到抛物线.生成点J的动画并设置按钮，标签该按钮为“抛物线动画”.度量点M、F间的距离及点M到准线l的距离，计算这两个距离的比值，该比值即为抛物线的离心率（值正好为1），按下“抛物线动画”按钮时，尽管点M、F间的距离及点M到准线l的距离在不断变化，但是它们始终相等，即离心率的值始终为1.隐藏坐标系、点G、J、H等.调节离心率大于1（小于1时只出现椭圆，等于1时只出现抛物线）时抛物线消失，此时c>a，计算c2-a2的值记为b双，计算a21c的值，过点F作准线l的垂线，垂足为L，因为此时点F为双曲线的右焦点，所以要将点L向左平移a21c个单位得到点O，将O标记为原点建立新的坐标系，以O和K构造圆，在该圆上取一点P，度量∠KOP的值.因为双曲线的参数方程为x=asecαy=btanα，所以，计算a1cos∠KOP、b双·tan∠KOP的值，分别以这两个值作为横坐标和纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可得到双曲线.生成点P的动画，并设置按钮，标签为“双曲线动画”，度量MF及M到准线l的距离，计算它们的比值（等于离心率的值），隐藏以上过程中的坐标系和辅助点等.至此，整个课件制作完成.演示时，拖动调节点调节离心率小于1时得到椭圆，按下动画按钮，让学生观察动点到定点和定直线的距离的比有何变化.调节离心率等于1时得到抛物线，调节离心率大于1时得到双曲线.通过以上的演示，加深学生对圆锥曲线统一定义的理解.（责任编辑黄桂坚）。
《几何画板》课件制作——圆锥曲线的形成和画法作者：马现岭摘要《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。
它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。
在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。
主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和圆锥曲线的画法。
这两类课件在教学上都有很重要的应用。
最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。
”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。
现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。
第二类利用《几何画板》实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件。
第二类课件系统介绍了圆锥曲线的画法,为在教学中提高学生学习兴趣,开展对圆锥曲线的研究,提供了良好的方法和方便的途径。
全文由三部分组成：第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。
第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。
第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。
关键词：几何画板、标记向量、椭圆、圆锥曲线、圆锥截面、轨迹。
AbstractThe Geometer' s Sketchpad is an excellent platform for teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry). It also applies to teaching of partial physics and astronomy. This platform not only can help teachers use the modern education technology in the course of teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation, solving question, and progressing their ideation. It represents the developing direction of the educative tool software.After I learn the Geometer’s Sketchpad, I have made kinds of comprehensive mathematics course wares, mainly including: Demonstrate the development of cone curve. These kinds of course wares have very important application on teaching. In "The newest ordinary middle school mathematics course standard ", it is emphasized that " teacher should demonstrate to student the plane section ellipse that cone gets, make student deepen the understanding for cone curve, under certain condition schools should play the role of modern educational technology fully, using computer to demonstration incoming of cone curve from cone by the plane. It shows that the teaching of cone curve has great difficulty in former teaching course, just because that educating technology fall behind before, and it can not be active and visual to explain. Now, here are these course wares, we can reach active and visual teaching effect. The second kind of side spread out problem is concerned with in former lesson, but the method to produce is fussy. The biggest advantage of my lesson lies in the method that I have used a unification to carry out, so that the time to produce is shortened greatly, and has reached very good demonstration effect.The paper text is composed of three parts:In the first part: I write some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewares in the Geometer’s Sketchpad.In the second part: The mathematics coursewares and its produce course that I select to make are introduced in detail.In the last part: I relate the experience study by using the Geometer’s Sketchpad.Keywords:The Geometer’s Sketchpad、mark vector、ellipse、cone curve、cone section、trace.引言The Geometer’s Sketchpad 是美国优秀的教育软件。
用几何画板探索圆锥曲线的相关性浙江宁波鄞州区钟公庙中学童文虎摘要：对于用几何画板演示圆锥曲线相关性，方法众多，但大都不够完整，不是少了抛物线就是缺了圆。
本文通过探索研究得出的一个实例，十分简明完整地从曲线、准线、离心率、切线、包络等五个方面揭示了圆锥曲线从圆⇔椭圆⇔抛物线⇔双曲线⇔点⇔双曲线的连续演变时的内在关系。
另外也介绍了如何借助函数，补断点，使之演示连续完整。
一、提出问题已知一动点到两定点F1、F2的距离的和等于定长线段MN（MN> F1F2）,求作这个动点的轨迹（椭圆）。
其中一个比较常规的作法如下：1、以F1为圆心，MN为半径作圆，在圆上任取一点A，作线段AF2的中垂线，交直线A F1于点P2、选中点P、A构造轨迹，即得椭圆（如图1）图1 图2 图3 如果移动点F2的位置，我们发现当点F2在圆外时，轨迹是双曲线（如图2）；当点F2与圆心F1重合时，轨迹是圆（如图3）；但就是得不到抛物线，所以把它作为演示圆锥曲线相关性的实例，就显得不够完整。
本文就是针对这个问题，通过探索研究，制作出一个能够完整演示圆锥曲线各种形状并能反映圆锥曲线相关性的实例，同时也渗透介绍一些制作技巧，供同行研讨。
二、探索验证对上述作法稍作变动：把直线F1A绕点F1旋转一个定角，试一下：(1)以F1为圆心，过点A画圆；(2)在平面内任取一点B，作直线F1B，交圆于点C，再在直线F1B和圆上各任取一点D、E，作线段DE的中垂线(3) 在圆上任取一点F，标记角度∠C F1F，以F1为中心旋转点E得点G，作直线F1G，交中垂线于点P(4)选中点P、E构造轨迹。
我们发现点P的轨迹似乎是圆锥曲线，移动点D的位置，或是变动点F、A的位置，曲线的形状都会不断的改变（如图4）图4那么它真的是圆锥曲线吗，它能反映圆锥曲线的各种形状吗，它的形状与点D 、F 、A 的位置又有怎样的关系？下面就来探索这个问题设F 1A= r ，F 1D= m ，∠CF 1F =α。
