几何画板在圆锥曲线中的应用举例

利用“几何画板”辅助圆锥曲线曲线的统一定义炎陵一中范林华圆锥曲线曲线的定义统一为：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹，当0<e<1时，它是椭圆；当e＝1时，它是抛物线；当e>1时，它是双曲线。

利用几何画板这一动态几何工具辅助教学，能更好地揭示圆锥曲线的规律，利于学生的认识和掌握。

下面介绍该课件的制作方法和步骤：一、确定对称轴、焦点、准线。

1．1 打开《几何画板》，新建文件；1．2 画一条水平直线x;1．3 作出直线x对象上的点K、F（焦点）；1．4 过K作直线x的垂线l（准线）。

二、设置离心率。

2．1 画一条线段AB；2．2 作出线段AB对象上的点E；2．3 通过度量、计算，求得线段AE与EB的比（离心率）；2．4 将比值标签改为e。

三、设置作轨迹所需的动态半径。

3．1 过任一点D作出两条相交直线m、n;3．2 以D为圆心，AE为半径画圆交直线m于M；3．3 以D为圆心，EB为半径画圆交直线n于N；作直线MN；3．4 作直线m上一点G，过G作MN的平行线交n于H；3．5 作出线段DG、DH。

四、作出轨迹。

4．1 以F为圆心，线段DG为半径画圆；4．2 以K为圆心，线段DH为半径画圆交直线x于P、Q两点，分别过P、Q 作x的垂线p 、q；4．3 改变E的位置或改变F的位置使圆F与直线p、q都相交，交点分别为P1、P2、P3、P4；4．4 选取P1（或P2、P3、P4）、点G、直线m，构造轨迹，即可作出所需轨迹。

4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象。

（若轨迹失真，可增加图象的采样数量）。

《几何画板》课件制作第二类课件圆锥曲线的画法一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。

制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。

在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。

<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。

3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。

4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。

5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。

6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。

则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。

（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。

二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。

制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：<图 4> <图 5>()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。

用《几何画板》探究“圆锥曲线”摘要：数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点和疑点，就是因为太抽象。

如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点，使新知化难为易，变抽象为具体。

利用几何画板能动态地揭示圆锥曲线的相关性，达到较好的教学效果。

关键词：几何画板；椭圆；双曲线；抛物线随着信息技术在教育领域的广泛应用，教育理念、教学内容、教学环境、教学方式等诸多方面正在发生深刻的变革。

我国2003年公布的《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提出：“教师应当恰当地使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容、探索、研究一些有意义、有价值的数学问题”。

数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点，就是因为太抽象。

如果仅凭教师的描述与讲解，往往是教师花了很大的力气，教学效果却事倍功半；如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点、突破难点，使新知化难为易，变抽象为具体。

高中数学中的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面解析几何的重点，也是学习高等数学的基础，如何用计算机动态地揭示圆锥曲线的相关性，是很多老师长期探索的一个问题，利用几何画板，能较好地解决这一问题，改变了单调乏味的运算、作图，取而代之的是赏心悦目的多媒体效果，提高了探究活动的效率。

美国著名数学家和数学教育家G·波利亚指出，“学习任何东西最好的途径是自己去发现”。

“实验—发现—证明”的学习环境，不仅能充分发挥学生在学习过程中的主动性，而且更利于教师关注学习的体验，情感和实践过程，体现“以学生发展为本”的教学理念。

下面就用几何画板来探究圆锥曲线。

一、 对抛物线进行探索与发现抛物线定义：到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。

问题1：取一张长方形纸片ABCD ，将纸片折叠多次，使每次折叠时A 点都落在CD 边上，猜一猜，折出来的折痕的图形是什么？探究：动手操作后很容易猜想到答案是“抛物线”，但该抛物线是哪个点的轨迹？抛物线的焦点是什么？抛物线的准线是什么？图1 图2利用几何画板验证猜想结论的可行性。

几何画板在圆锥曲线中的应用.几何画板在圆锥曲线中的应用摘要：如今信息技术与数学教学综合研究已成为热门话题。

其中以数学理论为基础的几何画板因其能充分反映物体运动变化而被广泛应用于数学教学进程中。

高中阶段的圆锥曲线抽象难懂，很多学生难以完全理解和接受。

本文主要运用几何画板形象直观地展现了圆锥曲线的轨迹形成及其应用，使得数与形得到很好的结合，通过创设合适的教学情境，这既能完整准确地传授知识，也能提高学生的学习兴趣。

关键词：几何画板；圆锥曲线；轨迹；应用Abstract：Nowadays, the comprehensive study on information technology and mathematics teaching has become a hot topic. The Geometric Sketchpad what is based on the mathematic theory, now is widely used in the mathematic teaching process, because it can reflect the change of the motion of the object. The conic curve is very difficult for the high school students understanding and accepting completely, because the conic curve is abstract and difficult. This paper is mainly use the Geometric Sketchpad to show the conic trajectory formation and its application visually, it makes a great combination between the number and the form, and it establishes the proper teaching situations. It not only can impart the knowledge to the students completely and accurately, but also can improve the students’ learning interests.Key words：Geometric Sketchpad; conic curve; trajectory; application几何画板是一个通用的数学、物理教学环境，集图象的制作、动画、测算、文字输入，编辑等为一体，为“几何模型”的构建提供了一个有效的场所。

几何画板与高中圆锥曲线教学的整合一、引言几何画板是一种用来绘制几何图形的工具，它结合了手工绘画和数学几何的教学，可以帮助学生更直观地理解几何概念和定理。

在高中数学课程中，圆锥曲线是一个重要的内容，通过几何画板与圆锥曲线教学的整合，可以提高学生对于圆锥曲线的理解和学习效果。

本文将探讨几何画板与高中圆锥曲线教学的整合，并提供相应的教学示例。

二、几何画板的原理与应用几何画板是由一个固定的画板和可以在画板上移动的细木条组成的。

通过调整细木条的位置和角度，可以绘制出各种几何图形，如直线、角、三角形等。

几何画板具有直观、实用和可操作性强的特点，是一种辅助教学的优秀工具。

在几何画板的使用中，可以通过改变细木条的两个端点的位置，绘制出直线和角。

通过改变细木条的一端点的位置，绘制出射线和线段。

同时，通过调整细木条的角度，可以绘制出各种不同形式的图形，如等腰三角形、直角三角形等。

几何画板还可以用于证明几何定理，比如垂直角相等定理、同位角相等定理等。

几何画板的应用不仅仅局限于绘制几何图形和证明几何定理，还可以用于研究几何对象之间的关系。

通过改变细木条的位置和角度，可以观察几何对象之间的平行、垂直等关系。

几何画板还可以与其他几何工具结合使用，如直尺、量角器等，来进行更复杂的几何作图和测量。

三、圆锥曲线的教学内容与难点圆锥曲线是高中数学课程中的重要内容，主要包括抛物线、椭圆和双曲线。

圆锥曲线的教学内容相对较多，主要包括曲线的定义、性质、方程、焦点、直线切线等。

其中，曲线的方程是圆锥曲线教学的重点和难点之一。

学生普遍觉得圆锥曲线方程复杂、抽象，很难理解和应用。

因此，如何通过几何画板来辅助圆锥曲线的教学，提高学生对于圆锥曲线的理解和学习效果，是一个值得研究的问题。

四、几何画板与圆锥曲线教学的整合1.绘制曲线的基本形状在圆锥曲线的教学中，最好的方式是通过几何画板来绘制曲线的基本形状。

首先，可以通过将细木条固定在绘图板的两个位置，使得细木条与绘图板成一定角度。

几何画板在《圆锥曲线》中的应用举例高二数学组刘中维在《圆锥曲线方程》这一章中，一些曲线的图像、性质都比较抽象，学生难以理解和接受，如双曲线的渐进线、圆锥曲线的离心率与开都的关系、一些数形结合的题目等，只凭学生的想象力是很难理解掌握有关图像的性质和图像之间的相互关系的，若我们只借助尺规作图的方法画图，一般难以达到满意的效果，还容易把图像画错。

但若我们能利用《几何画板》精确的画图功能、动画功能加以演示，将能引起学生的学习兴趣，帮助学生的理解，提高学生对平面图形的想象思维能力，起到事半功倍的作用。

下面举几个用几何画板解决圆锥曲线问题的例子。

一、在“几何画板”中作直线与圆锥曲线的交点在“几何画板”中可以直接作出直线与直线的交点，直线与圆的交点以及圆与圆的交点．但不能直接作出直线与圆锥曲线的交点．本文介绍直线与圆锥曲线的交点制作、制作原理，该制作过程适合三种圆锥曲线．首先是三个工具的制作：工具一已知直线AP，A在圆锥曲线上，求作直线AP与圆锥曲线的另一个交点B．(以椭圆为例)、、、，作DE与PA交于点L，作AF 作图过程在椭圆上任取4个点C D E F与CD交于点M，作LM与EF的交点N，作NC与直线PA的交点B，则点就是直线PA与椭圆的交点（如图1）．图1 图2制作成工具（命名为工具一）就可以直接使用，先决条件是圆锥曲线、点A、点P，不需要其它的，适合椭圆、双曲线、抛物线．制作原理任意圆锥曲线的内接六边形的三组对边的交点P、Q、R共线（以椭圆为例，如图2）．（帕斯卡定理）工具二过圆锥曲线外一点作两条切线．作图过程2.1 若P为椭圆外任意一点，以1F为圆心，2a为半径作辅助圆，以P为圆心，2PF为半径作圆与辅助圆交于点Q R、，分别取2QF、2RF的中点A B、，则PA PB、为所求的切线，1QF与PA的交点、1RF与PB的交点为对应切点（如图4）．作图过程2.2 若P为双曲线外任意一点，以1F为圆心，2a为半径作辅助圆，以P为圆心，2PF为半径作圆与辅助圆交于点Q R、，分别取2QF、2RF的中点A B、，PA PB、为所求的切线．1QF与PA的交点、1RF与PB的交点为对应切点（如图5）．作图过程2.3 若P为抛物线外任意一点，以P为圆心，PF为半径作圆与准线交于点Q R、，分别取QF RF、的中点A B、，PA PB、为所求的切线．过点Q作准线的垂线与PA的交点、过点R作准线的垂线与PB的交点为对应切点（如图6）．把过圆锥曲线外一点作两条切线的过程制作成工具，需要说明的是要分成两个工具：（1）对于椭圆双曲线，工具先决条件是两个焦点1F、2F、长度2a的线段、点P；（2）对于抛物线，工具的先决条件是焦点1F，准线，点P；为了叙述方便，统一称之为工具二．图4 图5图6工具三已知点P不在圆锥曲线上，求作点P的极线．(有关极点、极线问题在《高等几何》中有详细地说明，此处利用的是它们的性质)作图过程在圆锥曲线上任取两点A D、，利用工具一作直线PA PD、与圆锥曲线的另一个交点B C、，连结AC BD、交于E，AD BC、交于F，就得到了点P的极线EF（如图7）；如果点P在圆锥曲线内也按此法，因为圆锥曲线内接四边形ABCD中，点P的极线是EF，点E的极线是PF，点F的极线是PE．制作成工具(命名为工具三) ，先决条件是圆锥曲线、点P．作图问题已知两点P Q、不在圆锥曲线上，求作PQ与圆锥曲线的交点A B、．（1）利用工具三作出点P的极线，（如图8、图9两种情况）；（2）同理利用工具三作出点Q的极线，两条极线相交于点R；图10 图11 （3）利用工具二，过点R作圆锥曲线的两条切线（如图10、图11）；图7 图9图8、即为所求交点．（4）两切线与直线PQ相交得到交点A B以上过程亦可制作成工具．、，只要能预先作制作原理要想得到直线PQ与圆锥曲线相交的交点A B、为切点的两条切线就可以了，设两切线相交于点R，而过点R作出以交点A B圆锥曲线的切线问题已经由作图问题二解决；这个点R其实是直线ABPQ的极点，根据极线和极点的“点U在点V的极线上移动时，点U的极线也绕点V而、两点的极线的交点来确定．转动”这一性质，我们知道点R也是由P Q二、和两圆都相切的圆心的轨迹（一）、制作结果如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆（C，D）的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。

几何画板在圆锥曲线习题中的应用吕世琼数信学院数学与应用数学 10290133【摘要】随着信息技术的高速发展，以及科学技术在教育领域中越来越广泛的应用，教师从事教育活动的手段有了根本的改观，作为新时代的数学老师，熟练掌握几何画板并将其应用于数学教学过程中是非常必要的。

本文就几何画板在圆锥曲线习题教学中做了一个简单的研究，对于部分有关的圆锥曲线的习题进行分析研究，主要是利用几何画板进行辅助解决，提高习题教学效率，也为中学教师提供参考。

【关键词】几何画板圆锥曲线习题教学在《圆锥曲线方程》这章中，一些与数形结合有关的题目等比较抽象，学生难以理解，且运用代数方法运算非常复杂，使用几何画板进行辅助教学，能够拓宽学生的思维，通过几何画板的画图、计算等功能，给学生留下更为深刻的印象，使学生摆脱枯燥的数学。

这样既激发了学生的兴趣，又大大提高了学习效率。

本文将从圆锥曲线轨迹问题、最值问题进行研究。

1利用几何画板探究轨迹问题圆锥曲线轨迹问题是整个圆锥曲线章节的重点也是难点，在高考中所占比值也相对较大，解决这类问题的关键点在于抓住不变量，仅仅通过代数运算有时很难发现其中的不变量，借助几何画板精确的画图、演示、计算功能有助于解决这方面的问题，大大提高教学效率。

例1圆O的半径为定长R，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？当定点A在圆外时，点Q的轨迹是什么？为什么？【制作目标】动态可视化的观察、猜想、探究、发现图形中的不变量。

【方法步骤】（1）构造点O，线段BC，以O为圆心BC为半径画圆。

（2）在圆O内任取一点A，圆上任取一点P，构造线段OP、AP。

（3）构造线段AP的垂直平分线l交线段OP于Q，连接AQ.（4）追踪Q的轨迹，如图（1）。

（5）将点A移动到圆外，观察轨迹，如图（2）。

图（1）图（2)设计意图：通过几何画板的直观表现，让学生通过对图像的观察分析抓住图中的不变量。

2008-2-2几何画板构造圆锥曲线2008-10-01 15:43分类：默认分类字号：大中小{Copyright by LhfcwsCopied from Helped by PestJust for fun.}可以说算是拓展的新定义。

如直接用所给的按钮画圆锥曲线，难以对其有较深的理解，因此尝试自己通过定义构造。

原始定义（必须了解）：1、椭圆：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹2、双曲线：平面内与两个定点（焦点）的距离之差绝对值等于常数的点的轨迹3、抛物线：平面内与一定点（焦点）和一定直线（准线）的距离相等的点的轨迹1、椭圆的画法。

根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。

O1P+O2P=k（k为常数）。

如上图，作一个圆O1，取圆内一定点O2，取圆上一动点M。

连结O1M，O2M。

作O2M中垂线L，交O1M于点P。

追踪交点P。

当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为一个椭圆。

直线L刚好与椭圆相切。

证明：其实很简单。

作圆的目的就是为了能够找到一个定值k，而此时，k=r。

连结O2P，根据中垂线定理，O2P=MP，又因为O1P+MP=r，所以O1P+O2P=r=k回到了椭圆定义上去了。

2、双曲线和椭圆一样。

根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。

O1P-O2P=k（k为常数）。

如上图，作一个圆O1，取圆外一定点O2，取圆上一动点M。

连结O1M，O2M。

作O2M中垂线L，交O1M于点P。

追踪交点P。

当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为双曲线。

直线L刚好与曲线相切。

证明：其实也很简单。

根据中垂线定理，O2P=MP，MP=O1P+r。

所以O2P=O1P+r，即O2P-O1P=r=k。

回到双曲线定义，证毕。

可以看到，画双曲线和画椭圆基本上差不多，原理几乎一样。

3、抛物线由于定义中，没有定值，只有等量关系，因此我们很难用到圆，但是中垂线仍是可以运用的，其等量关系可以通过中垂线实现。

运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法贵州省平塘民族中学刘光宜（558300）摘要本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程，运用尺规作图原理结合几何画板动态生成轨迹的功能，详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。

每一类画法及构造的步骤，极富操作性和实践性。

直接运用于教学，能够达到激活数学课堂，启迪学生思维，拓展学生数学视野，提升数学教学效率的目的。

关键词圆锥曲线尺规作图原理几何画板动态生成轨迹一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线（一）椭圆1、椭圆第一定义一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>︱F1F2︱）的点M的轨迹叫做椭圆。

其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点F1、F2间的距离︱F1F2︱叫做椭圆的焦距，常数2a叫做椭圆的长轴的长。

特别地，当2a=︱F1F2︱时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，点M的轨迹不存在。

2、画法步骤（1）按住shift 键，在画图区上部画一条直线l（隐藏控制点）。

再在直线l上构造线段AB，度量线段AB的长度并改为用2a表示。

（2）在线段AB上取一点C，并构造线段AC 和线段BC。

（3）按住shift键在画图区中部画一条线段F 1F2，隐藏线段，保留端点，然后度量两端点的距离︱F1F2︱,并调整大小使之小于2a。

（4）以F1为圆心，线段AC为半径画圆，以F2为圆心，线段BC为半径画圆。

构造两圆的交点M和M＇,并设置成“追踪交点”。

（5）构造线段MF1、MF2并度量长度，然后计算MF1+MF2。

（6）设置点C双向在线段AB上滑动，并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹”。

或用选择工具拖动点C 在线段AB上滑动生成椭圆（如图1-1）。

（7）用选择工具拖动点B或点A调整线段AB与F1F2的大小关系：当2a=︱F1F2︱时，动点M与两个定点F1、F2共线，其轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，动点M消失，表示其轨迹不存在。

浅谈《几何画板》在圆锥曲线的教学中的应用【摘要】本文主要探讨了《几何画板》在圆锥曲线教学中的应用。

在引言部分中介绍了《几何画板》软件以及圆锥曲线在数学教学中的重要性。

接着，通过正文部分的内容，详细讨论了利用《几何画板》软件绘制椭圆曲线、抛物线和双曲线的方法，以及圆锥曲线在几何画板中的实际教学案例。

结论部分总结了《几何画板》软件在圆锥曲线教学中的应用效果，展望了该软件在未来教学中的发展，并强调了圆锥曲线教学在数学教学中的重要性。

通过本文的研究，可以更好地理解圆锥曲线的特点和应用，提升学生对这一知识点的理解和掌握水平。

【关键词】几何画板、圆锥曲线、教学、椭圆曲线、抛物线、双曲线、理解、效果、发展、重要性1. 引言1.1 介绍《几何画板》软件《几何画板》是一款专业的几何绘图软件，可以帮助用户轻松绘制各种几何图形并进行几何分析，是数学教学中不可或缺的利器。

该软件操作简单，功能强大，具有直观的界面和丰富的绘图工具，能够帮助学生更好地理解几何概念和定理。

在数学教学中，《几何画板》软件被广泛运用于教学课堂和课后作业中。

通过利用该软件，学生可以直观地观察各种几何图形的形状、性质和变化规律，提高他们的几何学习兴趣和学习效果。

教师也能通过该软件设计多样化的教学资源，为学生提供更具启发性和挑战性的学习任务，提升他们的数学思维能力和解决问题的能力。

《几何画板》软件的引入为数学教学提供了新的可能性和途径，有助于激发学生对数学学习的兴趣和动力，提高他们的学习效果和成绩。

在圆锥曲线的教学中，利用《几何画板》软件绘制各种曲线图形，将会为学生的学习带来更多的乐趣和启发。

1.2 圆锥曲线在数学教学中的重要性圆锥曲线在数学教学中扮演着非常重要的角色。

通过学习圆锥曲线，学生可以深入理解数学中的几何概念和数学原理。

圆锥曲线可以帮助学生更好地理解椭圆、抛物线和双曲线等曲线的性质和特点，进而拓展他们的数学思维和解题能力。

圆锥曲线在实际生活和工程领域中也有着广泛的应用。