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用圆锥曲线的统一定义在《几何画板》中绘制圆锥曲线发表时间：2020-07-07T14:40:44.600Z 来源：《新纪实》2020年第2期作者：卢崇益[导读] 为了解决部分数学老师用统一定义在《几何画板》软件中绘制圆锥曲线的困难，笔者用三种不同的绘图原理，给出了在《几何画板》中如何利用统一定义绘制圆锥曲线的具体步骤和使用方法，使学生掌握三种类型圆锥曲线的之间的联系及离心率对圆锥曲线的影响。
册亨县民族中学贵州黔西南 552200【摘要】为了解决部分数学老师用统一定义在《几何画板》软件中绘制圆锥曲线的困难，笔者用三种不同的绘图原理，给出了在《几何画板》中如何利用统一定义绘制圆锥曲线的具体步骤和使用方法，使学生掌握三种类型圆锥曲线的之间的联系及离心率对圆锥曲线的影响。
【关键词】几何画板；统一定义；圆锥曲线；绘制方法圆锥曲线的统一定义，揭示了不同种类的圆锥曲线的内在联系，使焦点，准线，离心率等构成了一个和谐的整体，恰当而灵活地运用圆锥曲线的统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事倍功半的作用。
教学中，笔者发现了两种利用圆锥曲线统一定义绘制圆锥曲线的方法。
一、绘图方法1：绘制原理：相似三角形的对应边成比例。
绘图步骤：第一步：建系，构造焦点和准线。
（1）打开《几何画板》，单击绘制→定义坐标系，单击右键选择隐藏轨迹，得到平面直角坐标系。
（2）在x轴上任取一点F作为焦点，双击y轴标记为对称轴，选中点F,执行变换→反射,得到点K，选中点K及x轴，构造垂线作为准线。
第二步：新建参数e作为离心率，并改e的值为2。
第三步：构建参考线段。
（1）构造线段AB，并度量A，B两点的距离，选择数据→计算：AB距离÷e的值，并改标签为AC。
此时有AB÷AC为离心率e。
（2）在平面内任取一点D，构造两条过点D的直线m，n。
（3）选中点D及AB距离度量值构造圆与直线m交于点E作为驱动点,选中点D及AC的值构造圆与直线n交于点G，构造线段EG。
利用“几何画板”辅助圆锥曲线曲线的统一定义炎陵一中范林华圆锥曲线曲线的定义统一为：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹，当0<e<1时，它是椭圆；当e＝1时，它是抛物线；当e>1时，它是双曲线。
利用几何画板这一动态几何工具辅助教学，能更好地揭示圆锥曲线的规律，利于学生的认识和掌握。
下面介绍该课件的制作方法和步骤：一、确定对称轴、焦点、准线。
1．1 打开《几何画板》，新建文件；1．2 画一条水平直线x;1．3 作出直线x对象上的点K、F（焦点）；1．4 过K作直线x的垂线l（准线）。
二、设置离心率。
2．1 画一条线段AB；2．2 作出线段AB对象上的点E；2．3 通过度量、计算，求得线段AE与EB的比（离心率）；2．4 将比值标签改为e。
三、设置作轨迹所需的动态半径。
3．1 过任一点D作出两条相交直线m、n;3．2 以D为圆心，AE为半径画圆交直线m于M；3．3 以D为圆心，EB为半径画圆交直线n于N；作直线MN；3．4 作直线m上一点G，过G作MN的平行线交n于H；3．5 作出线段DG、DH。
四、作出轨迹。
4．1 以F为圆心，线段DG为半径画圆；4．2 以K为圆心，线段DH为半径画圆交直线x于P、Q两点，分别过P、Q 作x的垂线p 、q；4．3 改变E的位置或改变F的位置使圆F与直线p、q都相交，交点分别为P1、P2、P3、P4；4．4 选取P1（或P2、P3、P4）、点G、直线m，构造轨迹，即可作出所需轨迹。
4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象。
（若轨迹失真，可增加图象的采样数量）。
《几何画板》课件制作第二类课件圆锥曲线的画法一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。
制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。
在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。
<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。
3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。
4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。
5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。
6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。
说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。
则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。
（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。
二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。
制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：<图 4> <图 5>()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。
用《几何画板》探究“圆锥曲线”摘要：数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点和疑点，就是因为太抽象。
如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点，使新知化难为易，变抽象为具体。
利用几何画板能动态地揭示圆锥曲线的相关性，达到较好的教学效果。
关键词：几何画板；椭圆；双曲线；抛物线随着信息技术在教育领域的广泛应用，教育理念、教学内容、教学环境、教学方式等诸多方面正在发生深刻的变革。
我国2003年公布的《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提出：“教师应当恰当地使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容、探索、研究一些有意义、有价值的数学问题”。
数学具有抽象性，许多数学概念、数学模型之所以成为学生学习的难点，就是因为太抽象。
如果仅凭教师的描述与讲解，往往是教师花了很大的力气，教学效果却事倍功半；如果利用计算机进行动态、形象直观的信息显示，将能抓住重点、突破难点，使新知化难为易，变抽象为具体。
高中数学中的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面解析几何的重点，也是学习高等数学的基础，如何用计算机动态地揭示圆锥曲线的相关性，是很多老师长期探索的一个问题，利用几何画板，能较好地解决这一问题，改变了单调乏味的运算、作图，取而代之的是赏心悦目的多媒体效果，提高了探究活动的效率。
美国著名数学家和数学教育家G·波利亚指出，“学习任何东西最好的途径是自己去发现”。
“实验—发现—证明”的学习环境，不仅能充分发挥学生在学习过程中的主动性，而且更利于教师关注学习的体验，情感和实践过程，体现“以学生发展为本”的教学理念。
下面就用几何画板来探究圆锥曲线。
一、 对抛物线进行探索与发现抛物线定义：到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。
问题1：取一张长方形纸片ABCD ，将纸片折叠多次，使每次折叠时A 点都落在CD 边上，猜一猜，折出来的折痕的图形是什么？探究：动手操作后很容易猜想到答案是“抛物线”，但该抛物线是哪个点的轨迹？抛物线的焦点是什么？抛物线的准线是什么？图1 图2利用几何画板验证猜想结论的可行性。
3D课件分享——圆锥曲线的形成
写在前面：
本文动态课件下载方式：
（长按屏幕，直接复制粗体字在后台回复）
后台回复：圆锥曲线
圆锥曲线的形成
主要内容：
1、主要从3D模型以及2D平面给大家动态展示高中圆锥曲线的形成。
2、动态课件的打开方式以及使用方式。
多图预警！第一part
首先给大家介绍各个滑条的作用，
第一、改变平面的旋转角度
第二、改变圆锥的形态
接着给大家看个总汇，
各个曲线如何形成。
下面逐个介绍：
在β=30°，b=4.1的时候，只改变平面旋转角度，
一、椭圆
先来个椭圆的形成的动态图
静态图——俯视图
二、抛物线
静态图
三、双曲线
静态图
下面再来个平面内的圆锥曲线形成
一、椭圆第一定义
二、抛物线定义
第二part课件打开方式以及使用方式
课件打开分成两种模式：
一、用geogebra软件打开（需要安装geogebra软件）
二、用IE浏览器或者是谷歌浏览器打开（无需安装软件；适用于无网络情况）
使用方式：
直接用IE浏览器打开“HTML”格式的文档，拖动滑条即可。
运用几何画板绘制圆锥曲线的十种方法几何画板可以利用来绘制几何图形，其中最经典的图形就是圆锥曲线。
它是一种圆形曲线，它的特殊性在于它的曲线上可以保持一致的宽度和长度，因此它的外形很漂亮，而且易于控制。
下面就介绍一下，如何运用几何画板绘制圆锥曲线，有十种不同的方法。
1. 使用圆角形状：首先，在几何画板上选择椭圆形状，然后调整圆角形状范围，以达到需要的圆锥曲线。
2. 使用椭圆形状：打开几何画板，选择椭圆形状，将其大小拖拽调整，就可以得到合适的圆锥曲线。
3. 使用多段线：先选择多段线工具，然后在几何画板上通过拖拽，将多段线的每一段拖拽成圆弧的形状，就可以达到圆锥曲线的效果。
4. 使用Bézier曲线：先选择几何画板中的Bézier曲线，然后调整Bézier曲线的控制点，就可以获得想要的圆锥曲线图形。
5. 使用圆弧：将几何画板中的圆弧形状移动到要制作的位置，然后调整圆弧的半径，以绘制任何形状的圆锥曲线。
6. 使用抛物线：选择几何画板中的抛物线工具，然后将抛物线的焦点移动到圆锥曲线所需的位置，就可以绘制出圆锥曲线的形状。
7. 使用圆点：选择几何画板中的圆点工具，然后通过拖拽调整圆点的大小和位置，就可以制作出任何形状的圆锥曲线。
8. 使用多边形：在几何画板中选择多边形工具，然后调整点的位置，拖动顶点，以获得想要的圆锥曲线。
9. 使用齿轮：选择一个合适的大小的齿轮模型，然后在几何画板上调整模型的尺寸，移动齿轮的中心点，就可以得到想要的圆锥曲线。
10. 使用螺旋线：可以先选择几何画板中的螺旋线工具，然后调整螺旋线的曲线度，调整起始点的位置，它就可以变成圆锥曲线了。
上述十种方法，分别介绍了如何运用几何画板绘制圆锥曲线，不管是初学者还是专业设计师，都可以适当选择其中任一种方法快速简便地制作出圆锥曲线。
圆锥曲线多用于图形设计、广告牌设计、影视特效、AI领域等，它给制作各种类型场景增添了许多美感，是受到广泛欢迎的一种设计手法。
2008-2-2几何画板构造圆锥曲线2008-10-01 15:43分类：默认分类字号：大中小{Copyright by LhfcwsCopied from Helped by PestJust for fun.}可以说算是拓展的新定义。
如直接用所给的按钮画圆锥曲线，难以对其有较深的理解，因此尝试自己通过定义构造。
原始定义（必须了解）：1、椭圆：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹2、双曲线：平面内与两个定点（焦点）的距离之差绝对值等于常数的点的轨迹3、抛物线：平面内与一定点（焦点）和一定直线（准线）的距离相等的点的轨迹1、椭圆的画法。
根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。
O1P+O2P=k（k为常数）。
如上图，作一个圆O1，取圆内一定点O2，取圆上一动点M。
连结O1M，O2M。
作O2M中垂线L，交O1M于点P。
追踪交点P。
当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为一个椭圆。
直线L刚好与椭圆相切。
证明：其实很简单。
作圆的目的就是为了能够找到一个定值k，而此时，k=r。
连结O2P，根据中垂线定理，O2P=MP，又因为O1P+MP=r，所以O1P+O2P=r=k回到了椭圆定义上去了。
2、双曲线和椭圆一样。
根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。
O1P-O2P=k（k为常数）。
如上图，作一个圆O1，取圆外一定点O2，取圆上一动点M。
连结O1M，O2M。
作O2M中垂线L，交O1M于点P。
追踪交点P。
当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为双曲线。
直线L刚好与曲线相切。
证明：其实也很简单。
根据中垂线定理，O2P=MP，MP=O1P+r。
所以O2P=O1P+r，即O2P-O1P=r=k。
回到双曲线定义，证毕。
可以看到，画双曲线和画椭圆基本上差不多，原理几乎一样。
3、抛物线由于定义中，没有定值，只有等量关系，因此我们很难用到圆，但是中垂线仍是可以运用的，其等量关系可以通过中垂线实现。
2008-2-2几何画板构造圆锥曲线2008-10-01 15:43分类：默认分类字号：大中小{Copyright by LhfcwsCopied from Helped by PestJust for fun.}可以说算是拓展的新定义。
如直接用所给的按钮画圆锥曲线，难以对其有较深的理解，因此尝试自己通过定义构造。
原始定义（必须了解）：1、椭圆：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹2、双曲线：平面内与两个定点（焦点）的距离之差绝对值等于常数的点的轨迹3、抛物线：平面内与一定点（焦点）和一定直线（准线）的距离相等的点的轨迹1、椭圆的画法。
根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。
O1P+O2P=k（k为常数）。
如上图，作一个圆O1，取圆内一定点O2，取圆上一动点M。
连结O1M，O2M。
作O2M中垂线L，交O1M于点P。
追踪交点P。
当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为一个椭圆。
直线L刚好与椭圆相切。
证明：其实很简单。
作圆的目的就是为了能够找到一个定值k，而此时，k=r。
连结O2P，根据中垂线定理，O2P=MP，又因为O1P+MP=r，所以O1P+O2P=r=k回到了椭圆定义上去了。
2、双曲线和椭圆一样。
根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。
O1P-O2P=k（k为常数）。
如上图，作一个圆O1，取圆外一定点O2，取圆上一动点M。
连结O1M，O2M。
作O2M中垂线L，交O1M于点P。
追踪交点P。
当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为双曲线。
直线L刚好与曲线相切。
证明：其实也很简单。
根据中垂线定理，O2P=MP，MP=O1P+r。
所以O2P=O1P+r，即O2P-O1P=r=k。
回到双曲线定义，证毕。
可以看到，画双曲线和画椭圆基本上差不多，原理几乎一样。
3、抛物线由于定义中，没有定值，只有等量关系，因此我们很难用到圆，但是中垂线仍是可以运用的，其等量关系可以通过中垂线实现。
如何用几何画板统一作出圆锥曲线包汉忠(贵州都匀三中)我们见到的关于圆锥曲线的课件，通常都是作椭圆、双曲线、抛物线中单纯的一个曲线，没有使用一个课件同时展示三种圆锥曲线的。
那么用一个课件是否能同时展示这三种圆锥曲线呢？经过对几种常用的课件制作软件工具的试验与比较，借助于几何画板，笔者完成了一个制作统一圆锥曲线的几何画板课件。
以下谈一下这个课件的设计目的、思想与方法。
这个课件的制作目的很简单，就是想让学生直观地观察椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的变化规律，以及它们之间的离心率变化引起的图象变化。
这个课件的理论基础是圆锥曲线的第二定义(即统一定义)：一个动点到一个定点的距离与这个动点到一条定直线的距离的比值等于定值(即常数)，我们知道，这个常数就是离心率e，并且，当01ee>时，<<时，这个动点的轨迹就是椭圆；当1这个动点的轨迹就是双曲线；当1e=时，这个动点的轨迹就是抛物线。
那么，如何在作图过程中确定这个常数e ，如何才能使两条线段的比值等于事先想要的或者预先设定的离心率呢？这个问题成为了这个课件的制作的关键。
其实要得到两条线段的比值等于事先想要的或者预先设定的离心率e 并不难，因为这可以从初中数学中的相似三角形中得到。
如右图所示，若//BC DE ，则可以得到AB AD BC DE =，因此，可以把AB BC作离心率e 的参考值，在作图的过程中可使BC AB ⊥，这会使作图变得更方便。
由此，可以得到确定e 的方法。
制作的步骤如下：①作两互相垂直的直线m 、l ，设定点F 在直线l 上，定直线为m ，②在定直线m 上取一定点B 和一个可调动点A ，过点B 作l 的平行线BC ，在BC 上取一点C，过A、C作直线AC，则三角形ABC为直角三角形，此时，把BC固定，通过调节AB的长度，则可调节AB的取值BC作为离心率e的标准值范围，用ABBC③在m上又取一动点D，过动点D作DE m⊥，交直线AC 于E，此时，用AD作为动点P到定点F的距离，用DE作为到定直线m的距离，则离心率AD AB===定值eDE BC④以点F为圆心，AD为半径，作圆F交过点E作m的平行线于点P此时通过调节AD与DE的长度关系，追踪点P的轨迹，即可得到圆锥曲线的图形。
§14．1 圆锥曲线及其生成预备知识轨迹的概念重点圆锥曲线的生成及定义难点双曲线和抛物线定义的思想方法焦点、离心率及渐近线的概念学习要求了解圆锥曲线的生成方法掌握圆锥曲线的几何定义了解圆锥曲线的各主要参数的含义掌握圆锥曲线参数之间的换算关系，并能由参数判断圆锥曲线的形状自然天体和人造空间运动器在太空中运行的路径是一条曲线；抛 掷一个物体，物体在空中运动的路径也是一条曲线；桥梁、洞涵等建 筑物的剖面图是一条可见的曲线……这些曲线中有部分是圆，也有很 多是一种特殊类型的曲线――圆锥曲线．圆锥曲线分为三大类――椭圆、双曲线和抛物线．我们在这一节 将学习它们的生成方法、主要参数以及大致形状．⒈ 椭圆的生成及主要参数 (1)椭圆的生成我们知道，到定点的距离是一个常数的动点的轨迹是一个圆，通过如图14-1(1)那样的实验，任何人都可以轻而易举地作出一个圆．现在假想在F 处是两个重合的点F 1，F 2，连接动点和定点的线FP 是一根双股线，它们的一端固定在动点P 、另一端分别固定在F 1，F 2（如图14-1⑵）．现在把原来与F 2重合的点F 1向右拉开一些，拉紧PF 1、PF 2并移动点P ，那么得到的是到两个定点距离之和为常数的动点的轨迹．这时的轨迹是一个“扁”的圆（如图14-2），我们把它叫做椭圆，即椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹．(2)椭圆的主要参数为了具体描述椭圆的形状，分别标记图14-2上最右、最高、最左、最低点为A 、B 、A 1、B 1，标记F 1，F 2的中点为O (如图14-3)，记OA =a ， OB =b ， OF 2=c ．依次把 A 、B 、A 1、B 1叫做顶点，AA 1长2a 叫做长轴、BB 1长2b 叫做短轴、F 1F 2（长2c ）叫做焦距；把a 叫做长半轴长，b 叫做短半轴长，c 叫做半焦距．把定点F 1，F 2叫做焦点，O 叫做椭圆的中心．从生成方法可知，任何椭圆的焦距必定小于长轴，即a >c ．椭圆是有界曲线――被围在过顶点、边平行于顶点连线的定界矩形内，图14-1(1)图14-1(2)图14-2图14-3以AA1、BB1所在直线为对称轴，有一个对称中心．据椭圆生成法则，有BF1+BF2=AF1+AF2，因为BF1=BF2，AF2=F2O+ OF1+F1A=2OF1+F1A，所以2BF1=2（OF1+AF1）＝2a，BF1=a，OF1c(14-1-1) 由此可见，动点到两个定点的距离之和等于椭圆的长轴；而F1、F2的距离2c确定了椭圆的焦距，从而也确定了椭圆“扁”的程度．事实上你可以继续做实验：把两点F1、F2并拢一些(c减小)，画出来的椭圆越接近圆；反之，若F1、F2分开一些(c增大)，则椭圆会更“扁”．因此人们用比值e=c（0<e<1），(14-1-2)来更准确地反映椭圆“扁”的程度，把e直观地叫做离心率(原来重合的两个定点被拉开的距离与动点到两个定点距离之和的比)．当e越接近1(两点分得越开)，椭圆越“扁”；e越接近0(两点并得越拢)，椭圆越“圆”．特别地，当e=0，即c=0(a=b)时，两点并成一点了，椭圆回复成为圆．可见，圆可以作为椭圆的特例．课内练习11．求下列椭圆的离心率e，焦距2c，并说明哪个椭圆比较“扁”一些．(1)到相距为6的两个定点的距离和为8的点的轨迹；(2)到相距为6的两个定点的距离和为10的点的轨迹．2．已知椭圆的离心率ｅ=1，长轴长=6，求短半轴的长．33．已知椭圆的长轴是10，短轴是8，求椭圆的焦距和离心率．⒉双曲线的生成及主要参数(1)双曲线的生成类似于椭圆的生成方法，人们也考虑到两个定点距离之差为一正常数的动点的轨迹是怎样的．同样，我们可以先以实验方式描出它．取两根细绳，一端分别固定在定点F1，F2处，另一端穿过一个能紧箍细绳的扣子，拉紧F 1、F 2之间的细绳，用一支铅笔紧贴扣子，设此时的铅笔尖位于点P 处(如图14-4(1))．在张紧PF 1、PF 2的前提下逐渐放长PF 2、PF 1，两条细绳每次放长相同的长度，于是笔尖P 在移动过程中保持到两个定点的距离差不变，因此铅笔尖在纸面会画出一条曲线，它就是所求的轨迹(如图14-4(2))．注意：笔尖可以向上移动，也可以向下移动，因此在F 1、F 2连线的上、下两侧都有轨迹．如果图14-4(1)中笔尖P 的初始位置偏在定点F 1一侧P 1处，且P 1F 2- P 1F 1=PF 1-PF 2，按同样方法，还可以得到图14-4(2)上左半支轨迹．因此所求的轨迹实际上有左右两支．到两个定点距离之差的绝对值为一常数的动点的轨迹，即图14-4(2)所示的两支曲线叫做双曲线．(2)双曲线的主要参数为了具体描述双曲线的形状，标记两个定点间连线F 1F 2与双曲线的交点为A 、A 1，线段F 1F 2的中点为O (见图14-5)．记OA =a ， OF 2=c ．A ，A 1叫做顶点；定点F 1，F 2叫做焦点；线段AA 1（长2a ）叫做实轴，a 叫做实半轴长； F 1F 2的中垂线叫做虚轴；F 1F 2长2c 叫做焦距，c 叫做半焦距．从生成方法可知，任何双曲线的焦距必定大于长轴，即a <c ．双曲线是无界曲线，以实轴和虚轴为两条对称轴，以O 为对称中心，把O 叫做双曲线的中心．据双曲线生成法则，有A F 1-A F 2=A 1 F 2-A 1 F 1=2a ，可见，动点到两个定点的距离之差等于双曲线的实轴长．与椭圆类似，把比值e =ca， (e >1) (14-1-3) 叫做双曲线的离心率．如同椭圆的离心率能表征椭圆的“扁”、“圆”程度一样，双曲线的离心率能表征它张口的“大”、“小”．如图14-6(1)，相同的a ，当c 越大(即e 越大)，得到的双曲线的张口也较“大”，反之则张口越“小”．考虑一下极端情况,如果a=c ,即半焦距与实半轴长相等,轨迹会变成怎样？图14-5图14-4(2)1图14-4(1)2通过作轨迹图来判断张口大小是很不方便的，为此我们以如下公式引进双曲线的另一个正参数b ：b 2=c 2-a 2， 即b或c 2=a 2+b 2或c(14-1-4) 其中，b 叫做虚半轴长，而2b 叫做虚轴长．作一个如图14-6(2)(3)那样的定界矩形，它以O 为中心，边长为2a 、2b ，两条边平行于F 1F 2，另两条边分别过顶点A 、A 1．再作该定界矩形的两条对角线，立即可见，双曲线不但在对角线之间、与实轴相交，且当它无限延伸时，越来越靠近这两条对角线(见图14-6(2)，(3))，因此把定界矩形的对角线叫做双曲线的渐近线．这样，我们根据双曲线的主要参数a ，c ，e ，b ，即使不画轨迹，也可以利用顶点、焦点位置、定界矩形及渐近线，作出双曲线的大致图像．课内练习2⒈ 求下列双曲线的离心率e ，焦距2c ，并说明哪一支双曲线的张口“大”一些：⑴ 到相距为10 的两个定点的距离之差为6的点的轨迹； ⑵ 到相距为10 的两个定点的距离之差为8的点的轨迹； ⒉ 已知双曲线的离心率为53，实轴长是6，求虚轴和焦距的长；⒊ 已知双曲线的焦距是8，虚轴长是6，求虚轴长和离心率． ⒊ 抛物线的生成及主要参数 (1)抛物线的生成如图14-7，平面上定点F 到定直线l 的距离为FM ，动点P 的初始位置是FM 的中点O ．若动点P 在移动过程中始终保持到l 和到F 的距离相等，则动点P 的轨迹叫做抛物线．也就是说，抛物线是到一定点和到一定直线距图14-6(1)图4-6(2)图4-6(3)离相等的动点的轨迹． (2)抛物线的主要参数生成抛物线的定直线l 叫做抛物线的准线，定点F 叫做抛物线的焦点，动点P 的初始位置O 叫做抛物线的顶点．根据抛物线的生成方法可知，抛物线是无界曲线，且以MF 所在直线为对称轴，但并不像双曲线那样分支，它仅有一支．记抛物线的焦点到准线的距离为p (p >0)，p 是抛物线的惟一参数．p 的大小直接确定了抛物线的形状――张口的大小．图14-8(1)(2)上所画的，是参数p 的两个不同值p 1、p 2所对应的抛物线．当p 越大，抛物线的张口越宽；反之则越窄．课内练习3⒈ 判断下列两条抛物线张口的大小： ⑴ 抛物线的焦点到准线的距离为6；⑵ 抛物线的焦点到准线的距离为8．⒉ 已知抛物线上的点P 1(2，到焦点F (1，0)的距离为32，求点P到准线的距离．阅读材料关于圆锥曲线⒈ 圆锥曲线名称的由来考虑以平面切割一正圆锥表面所得的截交线，图1－4分别表示平面相F图14-7P ∙ ∙ M O ∙∙∙ l∙图14-8(1)图14-8(2)对于圆锥的3种不同位置所得的截交线．图1的截交平面位于圆锥的顶点与底面之间且与圆锥的底面平行．截交线是一个圆心在中心轴的圆．图2的截交平面位于圆锥的顶点与底面之间，与底面、圆锥中心轴和任何一条母线和都不平行，此时截交线l 2相当于图1的截交圆l 1被拉长了．设想圆锥的高可以无限增大，只要截交平面满足上述条件，则随着平面逐渐倾斜而趋向于与一条母线平行，截交圆l 2被越拉越长的．图3的截交平面不过圆锥的顶点，与一条母线平行，此时不论圆锥的高多大，截交线l 3不可能是封闭曲线，而是一条随着圆锥高无限增大而无限延伸的开口曲线．图4的截交平面不过圆锥的顶点，且平行于圆锥中心轴．此时的截交线l 4也是随着圆锥高无限增大而无限延伸的开口曲线，而且若圆锥的母线通过顶点可以在另一侧延长组成对顶圆锥，那么平面与其表面的截交线有上下两支．截交线l 1是l 2的特例．人们早就认识到l 2， l 3， l 4是三类不同的曲线，但说不清三类曲线的区别到底在哪里．直到引进了笛卡尔坐标系，建立了这些曲线的方程，才对这三类曲线有了深入的了解，知道它们之间的本质区别．在充分考察了它们的性质之后，把以图2方式截交得到的l 2命名为椭圆，以图3方式截交得到的l 3为命名抛物线，以图4方式截交得到的l 4命名为双曲线，同时把它们的一个比较直观且容易理解的特征性质提出来，如课文正文那样作为它们的定义．由于它们最早是通过平面切割圆锥表面被认识的，故统称为圆锥曲线．2. 三类圆锥曲线的统一 (1)定义上的统一如果说椭圆与双曲线的定义还有点相似的话，抛物线的定义与这两者之间的差别就显得太大了．既然椭圆、双曲线和抛物线都是通过平面与圆锥表图4图1图2图3面截交得到，能否给它们一个和谐统一的定义吗？其实，椭圆和双曲线也有与抛物线定义相同的一个性质． 如图5，设椭圆的长半轴、半焦距、离心率依次为a ，c ，e ，作直线l 1，l 2垂直于椭圆焦点所在直线F 1F 2，且距中心为a e ．因为e <1，a e>a ，所以l 1，l 2在椭圆的外侧．可以证明，椭圆上任何一点P 到F 1、 l 1的距离之比及到F 2、 l 2距离之比相等，且是一个小于1的正常数，即11PF PP =22PF PP =小于1的常数． (1) 反之使(1)成立的点P 必定在椭圆上．(1)中的常数不难求得．事实上，当P 位于椭圆的顶点A 时，PF 1=a -c ， PP 1=a e -a =2a c-a =a c (a -c )，11PF PP =c a =e ．所以(1)式中的常数就是椭圆的离心率e ．如图6，设双曲线的实半轴长、半焦距、离心率依次为a ，c ，e ，作直线l 1，l 2垂直于双曲线焦点所在直线F 1F 2，且距中心为ae ．因为e >1， ae<a ，所以l 1，l 2在双曲线的内侧．可以证明双曲线上任何点P 到F 1、l 1的距离之比及到F 2、l 2距离之比相等，且是一个大于1的常数，即11PF PP =22PF PP =大于1常数． (2) 反之，使(2)成立的点P 必定在双曲线上．与椭圆情况相仿，可以求得(2)中的常数等于双曲线的离心率e ．图5中的直线l 1，l 2叫做椭圆的准线，图6中的直线l 1，l 2叫做双曲线的准线．这样，可以把椭圆、双曲线和抛物线的定义统一如下：平面上到一个定点(焦点)的距离与到一条定直线(准线)的距离之比为一正常数e 的动点的轨迹，叫做圆锥曲线．当比值e <1时叫做椭圆；e >1时叫做双曲线；e =1时叫做抛物线．e 叫做圆锥曲线的离心率，定点叫做圆锥曲线的焦点．课文中我们对抛物线没有提离心率，其实它也有离心率，只是抛物线的离心率恒等于1．圆锥曲线的这种统一定义虽然和谐优美，但对圆锥曲线性质的研究等不见得方便．例如椭圆、双曲线的焦点有两个，准线有两条；两个焦点所在直线与准线垂直等特性，在定义本身中就没有体现．(2)认识上的统一如图7，当椭圆的焦点F 1向右逐渐远离另一焦点F 2，但焦点到顶点的11a ea e图6 a ea e距离AF1，A1F2却保持有限值时，椭圆将越来越“扁”；当F1到了离F2无限远处，椭圆将在无限远处闭合．我们用名称“无穷远点”表示无穷远处，所谓的“无穷远点”是一个虚拟的点．当椭圆的一个焦点在平面的有限位置，另一个焦点在无穷远点时，闭合于无限远处的“椭圆”的本质已经改变：在平面有限位置处的可见部分成了抛物线(如图8)想像焦点F2继续“远离”F1，以至于最后它“绕过”无穷远点又回到了平面的有限位置，只是原来左右位置关系被反转了．在此过程中，原来已经变成抛物线的“椭圆”将继续变化；当焦点F1最终回到有限位置时，我们又见到了顶点A附近的“椭圆”，但此时它的本质再次发生改变：在平面有限位置处的可见部分变成了双曲线的左右两支！当我们把视野从有限位置的欧几里德平面扩充到无穷远点时，发现三类圆锥曲线是统一的，随着焦点位置不同可以互变．在几何学中有一个分支叫做射影几何，在那里把我们感到很神秘的“无穷远点”也包含在平面里，把它视为一个普通的点，这样的平面叫做射影平面．在射影平面里就不把椭圆、双曲线、抛物线单独分类，所有圆锥曲线归为一类．O F1图7∙F∙ A A1F1图8∙F∙ A AF1图9∙F2∙A A1。
用几何画板做圆锥曲线圆锥曲线曲线的定义统一为：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹，当0<e<1时，它是椭圆；当e＝1时，它是抛物线；当e>1时，它是双曲线。
利用几何画板这一动态几何工具辅助教学，能更好地揭示圆锥曲线的规律，利于学生的认识和掌握。
下面介绍该课件的制作方法和步骤：一、确定对称轴、焦点、准线。
1．1 打开《几何画板》，新建文件；1．2 画一条水平直线x;1．3 作出直线x对象上的点K、F（焦点）；1．4 过K作直线x的垂线l（准线）。
二、设置离心率。
2．1 画一条线段AB；2．2 作出线段AB对象上的点E；2．3 通过度量、计算，求得线段AE与EB的比（离心率）；2．4 将比值标签改为e。
三、设置作轨迹所需的动态半径。
3．1 过任一点D作出两条相交直线m、n;3．2 以D为圆心，AE为半径画圆交直线m于M；3．3 以D为圆心，EB为半径画圆交直线n于N；作直线MN；3．4 作直线m上一点G，过G作MN的平行线交n于H；3．5 作出线段DG、DH。
作者：Fanlinhua 第 1 页共 2 页四、作出轨迹。
4．1 以F为圆心，线段DG为半径画圆；4．2 以K为圆心，线段DH为半径画圆交直线x于P、Q两点，分别过P、Q作x的垂线p 、q；4．3 改变E的位置或改变F的位置使圆F与直线p、q都相交，交点分别为P1、P2、P3、P4；4．4 选取P1（或P2、P3、P4）、点G、直线m，构造轨迹，即可作出所需轨迹。
4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象。
（若轨迹失真，可增加图象的采样数量）。
《几何画板》课件制作——圆锥曲线的形成和画法作者：马现岭摘要《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。
它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。
在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。
主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和圆锥曲线的画法。
这两类课件在教学上都有很重要的应用。
最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。
”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。
现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。
第二类利用《几何画板》实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件。
第二类课件系统介绍了圆锥曲线的画法,为在教学中提高学生学习兴趣,开展对圆锥曲线的研究,提供了良好的方法和方便的途径。
全文由三部分组成：第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。
第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。
第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。
关键词：几何画板、标记向量、椭圆、圆锥曲线、圆锥截面、轨迹。
AbstractThe Geometer' s Sketchpad is an excellent platform for teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry). It also applies to teaching of partial physics and astronomy. This platform not only can help teachers use the modern education technology in the course of teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation, solving question, and progressing their ideation. It represents the developing direction of the educative tool software.After I learn the Geometer’s Sketchpad, I have made kinds of comprehensive mathematics course wares, mainly including: Demonstrate the development of cone curve. These kinds of course wares have very important application on teaching. In "The newest ordinary middle school mathematics course standard ", it is emphasized that " teacher should demonstrate to student the plane section ellipse that cone gets, make student deepen the understanding for cone curve, under certain condition schools should play the role of modern educational technology fully, using computer to demonstration incoming of cone curve from cone by the plane. It shows that the teaching of cone curve has great difficulty in former teaching course, just because that educating technology fall behind before, and it can not be active and visual to explain. Now, here are these course wares, we can reach active and visual teaching effect. The second kind of side spread out problem is concerned with in former lesson, but the method to produce is fussy. The biggest advantage of my lesson lies in the method that I have used a unification to carry out, so that the time to produce is shortened greatly, and has reached very good demonstration effect.The paper text is composed of three parts:In the first part: I write some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewares in the Geometer’s Sketchpad.In the second part: The mathematics coursewares and its produce course that I select to make are introduced in detail.In the last part: I relate the experience study by using the Geometer’s Sketchpad.Keywords:The Geometer’s Sketchpad、mark vector、ellipse、cone curve、cone section、trace.引言The Geometer’s Sketchpad 是美国优秀的教育软件。
由美国Nicholas Jackiw 和Scott Steketee程序实现，Steven Rasmussen领导的Key Curriculum出版社出版。
它的中文名是《几何画板─21世纪的动态几何》，以下简称《几何画板》。
它小巧玲珑，操作简单，是数学学习的有力助手。
它可以说是我们的数学实验室，因为它能够有效地使数形结合，使我们在数学学习中既理解了数学结论，又得到了数学经验。
众所周知数学是训练逻辑思维的，尤其几何。
通过教师的辅导，我们在自己的记忆中形成—套逻辑思维体系。
那么怎样才能使我们更好地理解几何知识、掌握逻辑思维方法呢？一个方法是多看、多想，增加我们的学习经验，另一个方法就是寻找良好的辅助工具，帮助我们在动态的几何之中，去观察，探索。
《几何画板》就是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。
它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。
在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件，主要包括：用动态效果展示圆锥曲线的形成和圆锥曲线的画法。
这两类课件在教学上都有很重要的应用。
这里我所选择的《几何画板》版本为4.04版，目前最高的版本为5.0英文版，此外还有3.03版、4.03版和4.06版.下面我就课件的选题、制作及使用《几何画板》的感受几方面来展开我的论文。
第一部分几何画板的选题原则在数学教学过程中，不论是代数教学还是几何教学，遇到的最大困难就是：教师在教学过程重使用常规工具（如黑板，粉笔，圆规和直尺等）作图或是演示都有一定的局限性，而且无法达到动态地、任意地展示的目的，更多的时候无法揭示事物变化过程中的规律。
《几何画板─21世纪的动态几何》。
顾名思义，《几何画板》就是一个可以很好的解决以上难题的辅助教学工具。
《几何画板》在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。
例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。
在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让《几何画板》大显身手。
当然，并不是所有教学都要利用《几何画板》来完成，也并不是所有教学内容都适合利用《几何画板》达到最好的效果，这就要遵循《几何画板》的选题原则：第一：《几何画板》可以动态地演示图形的变化过程。
例如：下面要展示的圆锥曲线和函数图象的变换的课件都体现了动态的特点；第二：《几何画板》可以有效地使数形结合。
例如：大量极值问题都可以通过《几何画板》来动态模拟。
第三：《几何画板》可以精确画出函数图形并表现其全部情况。
例如：函数教学中大量的绘图工作可以轻而易举地通过《几何画板》来完成。
而且对于一类函数，《几何画板》可以通过改变系数及参数而达到表现其全部情况的目的。
例如：三角函数中正弦函数y=A sin(ωx+φ)+d 的图像可以通过调整A，ω，φ，d的值得到不同的精确图像。
第四：《几何画板》最重要的是可以很好的表现图形的任意性。
例如：在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在以往的教学过程中只能在黑板上画出几个三角形作代表，不能很好地说明三角形的任意性，而利用《几何画板》就可以任意拖动三角形的顶点以达到任意三角形的目的。
总之，在所做课件中我们能够充分体现出《几何画板》的以上优势，并能够恰当的应用到教学实践中，为教学服务。
