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Ggeogebra在圆锥曲线教学中的应用课例1.背景介绍：伴随着社会经济的不断发展，使信息技术得到了迅速地发展，这不仅为教师带来了便捷的授课工具，还达到了丰富学生视野的效果作用。
特别是GeoGebra这一辅助教学的技术软件，它具有众多的教学功能，主要适用于数学课程教学。
该软件能够把相对抽象、复杂的定理和定义转化成形象、直观的内容。
所以，根据这一软件的发展，教师可以将其充分引用到高中数学的圆锥曲线的授课过程中，从而不断提升教学的效果和质量。
关键词：例题;例题变式;课堂教学;1.学情分析：（从高中生的实际学习状况、学习特征以及发展特点等方面进行论述）该课例针对的高中阶段的学生，他们伴随学习时间的推移，早已具备了基本的学习技能和思维意识。
同时也学会如何正确的分析、探究以及解决一些简单的问题了，高中生的计算机操作水平也相对较高。
但是随着年级的升高他们的高考压力也越来越大，他们始终秉持陈旧的思想和学习方法，在课堂活动中的地位也不够突出。
但是一部分学生具有着勤于思考、乐于探索的心态，有助于教师开展高效的数学教学。
高中生在学习到圆锥曲线这部分内容的时候，曲线方程与方程曲线的相互关系，及其思想在直线方程和方程图形中已经有所渗透，但并没有得到深入的交流，甚至也不明白这两概念具体有哪些区别，从而出现了一些学习上的问题与现状。
1.设计思想：(一)为高中生创设实际操作和实践活动参与的机会，在每个环节中构建一个可供学生操作的实验平台。
(二)重点突出数学授课过程中学生的主体地位，在每个教学环节中建立一个教师和学生互相交流的平台。
(三)注重知识的创新过程与数学内容的拓展，比如圆锥曲线的做法以及知识点的创新应用。
(四)重要强调教学软件的优势作用，譬如在数学题目中给出学生相应提示的动画过程和解答过程。
(五)凸显每个学科之间的联系，比如斜抛运动与行星运动等。
1.教学重难点：学习重难点：圆锥曲线的第一定义与统一定义及其应用。
教学重难点：明确本节课的重点和难点内容，以高中生的学习任务为核心目标，以圆锥曲线的定义及其应用为中心环节，进而主动操作实验，引导学生大胆地进行分析与解决问题。
利用“几何画板”辅助圆锥曲线曲线的统一定义炎陵一中范林华圆锥曲线曲线的定义统一为：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹，当0<e<1时，它是椭圆；当e＝1时，它是抛物线；当e>1时，它是双曲线。
利用几何画板这一动态几何工具辅助教学，能更好地揭示圆锥曲线的规律，利于学生的认识和掌握。
下面介绍该课件的制作方法和步骤：一、确定对称轴、焦点、准线。
1．1 打开《几何画板》，新建文件；1．2 画一条水平直线x;1．3 作出直线x对象上的点K、F（焦点）；1．4 过K作直线x的垂线l（准线）。
二、设置离心率。
2．1 画一条线段AB；2．2 作出线段AB对象上的点E；2．3 通过度量、计算，求得线段AE与EB的比（离心率）；2．4 将比值标签改为e。
三、设置作轨迹所需的动态半径。
3．1 过任一点D作出两条相交直线m、n;3．2 以D为圆心，AE为半径画圆交直线m于M；3．3 以D为圆心，EB为半径画圆交直线n于N；作直线MN；3．4 作直线m上一点G，过G作MN的平行线交n于H；3．5 作出线段DG、DH。
四、作出轨迹。
4．1 以F为圆心，线段DG为半径画圆；4．2 以K为圆心，线段DH为半径画圆交直线x于P、Q两点，分别过P、Q 作x的垂线p 、q；4．3 改变E的位置或改变F的位置使圆F与直线p、q都相交，交点分别为P1、P2、P3、P4；4．4 选取P1（或P2、P3、P4）、点G、直线m，构造轨迹，即可作出所需轨迹。
4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象。
（若轨迹失真，可增加图象的采样数量）。
《几何画板》课件制作第二类课件圆锥曲线的画法一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。
制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。
在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。
<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。
3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。
4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。
5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。
6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。
说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。
则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。
（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。
二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。
制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：<图 4> <图 5>()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。
《几何画板》课件制作第二类课件圆锥曲线的画法一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。
制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。
在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。
<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。
3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。
4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。
5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。
6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。
说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。
则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。
（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。
二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。
制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：<图 4> <图 5>()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。
运用几何画板绘制圆锥曲线的十种方法几何画板可以利用来绘制几何图形，其中最经典的图形就是圆锥曲线。
它是一种圆形曲线，它的特殊性在于它的曲线上可以保持一致的宽度和长度，因此它的外形很漂亮，而且易于控制。
下面就介绍一下，如何运用几何画板绘制圆锥曲线，有十种不同的方法。
1. 使用圆角形状：首先，在几何画板上选择椭圆形状，然后调整圆角形状范围，以达到需要的圆锥曲线。
2. 使用椭圆形状：打开几何画板，选择椭圆形状，将其大小拖拽调整，就可以得到合适的圆锥曲线。
3. 使用多段线：先选择多段线工具，然后在几何画板上通过拖拽，将多段线的每一段拖拽成圆弧的形状，就可以达到圆锥曲线的效果。
4. 使用Bézier曲线：先选择几何画板中的Bézier曲线，然后调整Bézier曲线的控制点，就可以获得想要的圆锥曲线图形。
5. 使用圆弧：将几何画板中的圆弧形状移动到要制作的位置，然后调整圆弧的半径，以绘制任何形状的圆锥曲线。
6. 使用抛物线：选择几何画板中的抛物线工具，然后将抛物线的焦点移动到圆锥曲线所需的位置，就可以绘制出圆锥曲线的形状。
7. 使用圆点：选择几何画板中的圆点工具，然后通过拖拽调整圆点的大小和位置，就可以制作出任何形状的圆锥曲线。
8. 使用多边形：在几何画板中选择多边形工具，然后调整点的位置，拖动顶点，以获得想要的圆锥曲线。
9. 使用齿轮：选择一个合适的大小的齿轮模型，然后在几何画板上调整模型的尺寸，移动齿轮的中心点，就可以得到想要的圆锥曲线。
10. 使用螺旋线：可以先选择几何画板中的螺旋线工具，然后调整螺旋线的曲线度，调整起始点的位置，它就可以变成圆锥曲线了。
上述十种方法，分别介绍了如何运用几何画板绘制圆锥曲线，不管是初学者还是专业设计师，都可以适当选择其中任一种方法快速简便地制作出圆锥曲线。
圆锥曲线多用于图形设计、广告牌设计、影视特效、AI领域等，它给制作各种类型场景增添了许多美感，是受到广泛欢迎的一种设计手法。
2008-2-2几何画板构造圆锥曲线2008-10-01 15:43分类：默认分类字号：大中小{Copyright by LhfcwsCopied from Helped by PestJust for fun.}可以说算是拓展的新定义。
如直接用所给的按钮画圆锥曲线，难以对其有较深的理解，因此尝试自己通过定义构造。
原始定义（必须了解）：1、椭圆：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹2、双曲线：平面内与两个定点（焦点）的距离之差绝对值等于常数的点的轨迹3、抛物线：平面内与一定点（焦点）和一定直线（准线）的距离相等的点的轨迹1、椭圆的画法。
根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。
O1P+O2P=k（k为常数）。
如上图，作一个圆O1，取圆内一定点O2，取圆上一动点M。
连结O1M，O2M。
作O2M中垂线L，交O1M于点P。
追踪交点P。
当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为一个椭圆。
直线L刚好与椭圆相切。
证明：其实很简单。
作圆的目的就是为了能够找到一个定值k，而此时，k=r。
连结O2P，根据中垂线定理，O2P=MP，又因为O1P+MP=r，所以O1P+O2P=r=k回到了椭圆定义上去了。
2、双曲线和椭圆一样。
根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。
O1P-O2P=k（k为常数）。
如上图，作一个圆O1，取圆外一定点O2，取圆上一动点M。
连结O1M，O2M。
作O2M中垂线L，交O1M于点P。
追踪交点P。
当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为双曲线。
直线L刚好与曲线相切。
证明：其实也很简单。
根据中垂线定理，O2P=MP，MP=O1P+r。
所以O2P=O1P+r，即O2P-O1P=r=k。
回到双曲线定义，证毕。
可以看到，画双曲线和画椭圆基本上差不多，原理几乎一样。
3、抛物线由于定义中，没有定值，只有等量关系，因此我们很难用到圆，但是中垂线仍是可以运用的，其等量关系可以通过中垂线实现。
运用《几何画板》演示圆锥曲线的统一定义作者：徐家银来源：《中学教学参考·理科版》2014年第03期圆锥曲线的统一定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当01时是双曲线.从以上定义可知，只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值，就可以确定相应的圆锥曲线.那么，怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢？利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的，现介绍如下.打开几何画板5.03迷你增强版，点击编辑按钮→点参数选项→选择角度为弧度，精确度调为十万分之一；画一直线标签为“定直线（准线）”，在直线右方取一点F并标签为“定点（焦点）”.取点A、B，标记B为中心，让点A关于B旋转180°得A′，构造线段AA′，在线段AA′上取点C；度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离，计算|CA|与|CA′|的比值，标签为离心率e，左右滑动点C可以调节离心率e的大小，将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”，隐藏点A、B、A′，隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值，度量点F到直线l的距离并标签为p （抛物线的焦半径，对于椭圆和双曲线，它的值等于|a21c-c|）.调节离心率小于1（将会画出椭圆），计算pe1|1-e2|并标签为a（椭圆和双曲线通用），计算a与e的积并标签为c（半焦距，椭圆和双曲线通用），计算a2-c2标签为b（椭圆专用）.因为定点F在定直线l的右方，所以定点F和定直线l分别为椭圆的左焦点和左准线.将点F向右平移c个单位得一点标签为O，并将此点定义为原点建立坐标系，以点O为圆心作单位圆，在该圆上取点P，单位圆与x轴的交点标签为Z，度量∠ZOP的值，因为椭圆的参数方程为x=acosαy=bsinα，所以，计算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分别以这两个值为横、纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可以得到椭圆；生成点P的动画并设置按钮，标签为“椭圆动画”.隐藏坐标系等.将离心率调节为1，使椭圆的画面消失.计算-|1-e|+p12并标签为“抛物线调节量”，设计这个调节量是本文的独到之处，目的是当调节离心率小于或大于1时抛物线不会出现.在定直线l 任取一点G，度量点G的横坐标XG，计算“抛物线调节量”与XG的和，并以这个值为横坐标、0为纵坐标绘制一点H，过H作一直线与过点F且垂直于准线l的直线垂直，设垂足为N，将点N定义为原点建立新的坐标系.在准线l上任取一点J，度量点J的纵坐标yJ，计算y2j12p的值，以y2j12p的值为横坐标，yJ为纵坐标绘制点M，选择点M、J构造轨迹便可得到抛物线.生成点J的动画并设置按钮，标签该按钮为“抛物线动画”.度量点M、F间的距离及点M到准线l的距离，计算这两个距离的比值，该比值即为抛物线的离心率（值正好为1），按下“抛物线动画”按钮时，尽管点M、F间的距离及点M到准线l的距离在不断变化，但是它们始终相等，即离心率的值始终为1.隐藏坐标系、点G、J、H等.调节离心率大于1（小于1时只出现椭圆，等于1时只出现抛物线）时抛物线消失，此时c>a，计算c2-a2的值记为b双，计算a21c的值，过点F作准线l的垂线，垂足为L，因为此时点F为双曲线的右焦点，所以要将点L向左平移a21c个单位得到点O，将O标记为原点建立新的坐标系，以O和K构造圆，在该圆上取一点P，度量∠KOP的值.因为双曲线的参数方程为x=asecαy=btanα，所以，计算a1cos∠KOP、b双·tan∠KOP的值，分别以这两个值作为横坐标和纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可得到双曲线.生成点P的动画，并设置按钮，标签为“双曲线动画”，度量MF及M到准线l的距离，计算它们的比值（等于离心率的值），隐藏以上过程中的坐标系和辅助点等.至此，整个课件制作完成.演示时，拖动调节点调节离心率小于1时得到椭圆，按下动画按钮，让学生观察动点到定点和定直线的距离的比有何变化.调节离心率等于1时得到抛物线，调节离心率大于1时得到双曲线.通过以上的演示，加深学生对圆锥曲线统一定义的理解.（责任编辑黄桂坚）。
《几何画板》课件制作——圆锥曲线的形成和画法作者：马现岭摘要《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。
它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。
在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。
主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和圆锥曲线的画法。
这两类课件在教学上都有很重要的应用。
最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。
”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。
现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。
第二类利用《几何画板》实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件。
第二类课件系统介绍了圆锥曲线的画法,为在教学中提高学生学习兴趣,开展对圆锥曲线的研究,提供了良好的方法和方便的途径。
全文由三部分组成：第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。
第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。
第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。
关键词：几何画板、标记向量、椭圆、圆锥曲线、圆锥截面、轨迹。
AbstractThe Geometer' s Sketchpad is an excellent platform for teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry). It also applies to teaching of partial physics and astronomy. This platform not only can help teachers use the modern education technology in the course of teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation, solving question, and progressing their ideation. It represents the developing direction of the educative tool software.After I learn the Geometer’s Sketchpad, I have made kinds of comprehensive mathematics course wares, mainly including: Demonstrate the development of cone curve. These kinds of course wares have very important application on teaching. In "The newest ordinary middle school mathematics course standard ", it is emphasized that " teacher should demonstrate to student the plane section ellipse that cone gets, make student deepen the understanding for cone curve, under certain condition schools should play the role of modern educational technology fully, using computer to demonstration incoming of cone curve from cone by the plane. It shows that the teaching of cone curve has great difficulty in former teaching course, just because that educating technology fall behind before, and it can not be active and visual to explain. Now, here are these course wares, we can reach active and visual teaching effect. The second kind of side spread out problem is concerned with in former lesson, but the method to produce is fussy. The biggest advantage of my lesson lies in the method that I have used a unification to carry out, so that the time to produce is shortened greatly, and has reached very good demonstration effect.The paper text is composed of three parts:In the first part: I write some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewares in the Geometer’s Sketchpad.In the second part: The mathematics coursewares and its produce course that I select to make are introduced in detail.In the last part: I relate the experience study by using the Geometer’s Sketchpad.Keywords:The Geometer’s Sketchpad、mark vector、ellipse、cone curve、cone section、trace.引言The Geometer’s Sketchpad 是美国优秀的教育软件。
《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例发布时间：2021-05-06T15:24:20.183Z 来源：《基础教育参考》2021年6月作者：韦朝聚[导读] “几何画板”是一个可以用来作图和实现动画的辅助型软件。
圆锥曲线的教学离不开数学与形体相结合的，一些曲线的图像和性质是抽象的，只凭学生的想象力难以准确掌握曲线的知识，而且若是我们借助传统的圆规、格尺来做图，不仅对自己画的不满意，而且还容易画错。
因此，我们可以通过“几何画板”来辅助教学，这样不仅对于一些运动的曲线能更形象直观地表示出，还能让学生产生对学习的兴趣。
本文探讨用几何画板解决圆锥曲线方面问题的韦朝聚广西河池市宜州区第一中学 546300 【摘要】“几何画板”是一个可以用来作图和实现动画的辅助型软件。
圆锥曲线的教学离不开数学与形体相结合的，一些曲线的图像和性质是抽象的，只凭学生的想象力难以准确掌握曲线的知识，而且若是我们借助传统的圆规、格尺来做图，不仅对自己画的不满意，而且还容易画错。
因此，我们可以通过“几何画板”来辅助教学，这样不仅对于一些运动的曲线能更形象直观地表示出，还能让学生产生对学习的兴趣。
本文探讨用几何画板解决圆锥曲线方面问题的应用实例。
【关键词】几何画板圆锥曲线应用举例中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2021）06-170-01引言:随着信息技术的快速发展，软件应用已经深入我们的生活。
圆锥曲线是高中数学教学的重要内容，运用几何画板可以给圆锥曲线赋予动态的视觉化效果，让学生更容易了解圆锥曲线的性质和规律。
在学习圆锥曲线性质时，我们可以知道椭圆、双曲线的图像特征[1]。
在传统的数学教学中，老师讲授圆锥曲线知识通常使用板书来教学生不仅费时又费力。
在圆锥曲线知识教学中，很多教师对于相关知识点讲解的存在很大的模糊性，几何画板的使用极大的节约了板书的时间，使学生产生学习的兴趣。
一、变静为动，改变传统的方式（一）、圆锥曲线教学的现状 1、教师方面在圆锥曲线知识教学中，很多老师对于相关知识点讲解的较为清晰、深入，而对于教学过程的演示缺乏重视。
运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法贵州省平塘民族中学刘光宜（558300）摘要本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程，运用尺规作图原理结合几何画板动态生成轨迹的功能，详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。
每一类画法及构造的步骤，极富操作性和实践性。
直接运用于教学，能够达到激活数学课堂，启迪学生思维，拓展学生数学视野，提升数学教学效率的目的。
关键词圆锥曲线尺规作图原理几何画板动态生成轨迹一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线（一）椭圆1、椭圆第一定义一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>︱F1F2︱）的点M的轨迹叫做椭圆。
其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点F1、F2间的距离︱F1F2︱叫做椭圆的焦距，常数2a叫做椭圆的长轴的长。
特别地，当2a=︱F1F2︱时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，点M的轨迹不存在。
2、画法步骤（1）按住shift 键，在画图区上部画一条直线l（隐藏控制点）。
再在直线l上构造线段AB，度量线段AB的长度并改为用2a表示。
（2）在线段AB上取一点C，并构造线段AC 和线段BC。
（3）按住shift键在画图区中部画一条线段F 1F2，隐藏线段，保留端点，然后度量两端点的距离︱F1F2︱,并调整大小使之小于2a。
（4）以F1为圆心，线段AC为半径画圆，以F2为圆心，线段BC为半径画圆。
构造两圆的交点M和M＇,并设置成“追踪交点”。
（5）构造线段MF1、MF2并度量长度，然后计算MF1+MF2。
（6）设置点C双向在线段AB上滑动，并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹”。
或用选择工具拖动点C 在线段AB上滑动生成椭圆（如图1-1）。
（7）用选择工具拖动点B或点A调整线段AB与F1F2的大小关系：当2a=︱F1F2︱时，动点M与两个定点F1、F2共线，其轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，动点M消失，表示其轨迹不存在。
（二）双曲线1、双曲线第一定义一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于一个常数2a（2a<︱F1F2︱）的点M的轨迹叫做双曲线。
其中，定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两定点F1、F2间的距离︱F1F2︱叫做双曲线的焦距，常数2a叫做双曲线的实轴的长。
lF1F2 = 4.87MF1 + MF2 = 6.56厘米MF2 = 2.48厘米MF1 = 4.08厘米2a = 6.56动态生成轨迹M'MF1F2图1-1特别地，当2a=︱F 1F 2︱时，点M 的轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当2a>︱F 1F 2︱时，动点M 的轨迹不存在。
2、画法步骤（1）在画图区上部画一条直线l （隐藏控制点）。
在直线l 上构造线段AB 并度量长度用2a 表示。
然后在线段AB 的延长线上以B 为端点构造射线（隐藏控制点），并在射线上取一点C 。
构造线段BC 和线段AC 。
（2）按住shift 键在画图区中部画一线段F 1F 2（隐藏线段保留端点）。
度量点F 1、F 2的距离︱F 1F 2︱,并使2a<︱F 1F 2︱。
（3）分别以F 1、F 2为圆心，AC 、BC 为半径画圆，并设置两圆的交点为M 、M ＇;用同样的办法，分别以F 2、F 1为圆心，AC 、BC 为半径画圆，也设置两圆的交点为M ＇、M ＇。
并同时选中这四点，把它们设置成“追踪交点”。
（4）构造线段MF 1和MF 2并度量他们的长度。
然后计算︱MF 1-MF 2︱的值。
（5）设置点C 双向在射线BC 上滑动，并编辑生成操作按钮“动态生成轨迹”。
或用选择工具拖动点C 在射线BC 上滑动生成双曲线（如图1-2）。
（6）用选择工具拖动点B 调整线段AB 与F 1F 2的大小关系：当2a=︱F 1F 2︱时，动点M 落在线段F 1F 2的延长线或反向延长线上，其轨迹是分别以点F 1、F 2为端点的射线；当2a>︱F 1F 2︱时，动点M 消失，表示其轨迹不存在。
二、根据圆锥曲线的第二定义构造圆锥曲线（一）椭圆1、椭圆第二定义一般地，平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比等于一个常数e （0<e<1）的点M 的轨迹叫做椭圆。
其中，定点F 叫做椭圆的一个焦点，定直线l 叫做椭圆相应于点F 的一条准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
2、画法步骤（1）按住shift 线（隐藏控制点）隐藏所画直线。
再在线段AB 上取点度量点A 、B 和点A 、C 的距离，的值，并改为用e 表示。
（2）在画图区域中部按住一条竖直的直线l,并在直线l F 。
过点F 作直线l 的垂线h,l2aMF 1 MF 2 = 2.09厘米MF 2厘米MF 1厘米F 1F 2 = 3.81厘米2a = 2.09厘米动态生成轨迹M'M'M'MF 2F 1BCr1e + 1∙KF = 2.29厘米e = 0.59AB = 6.32厘米KF = 3.62厘米AC = 3.70厘米动态生成轨迹M'JM H G O 2O 1E DKFN图1-2构造线段FK 后隐藏所画的垂线h ，度量线段FK 的长度︱FK ︱，并计算11F K e +的值 。
（3）以点K 为圆心，11F K e +为半径画圆交线段FK 于点D,并隐藏所画的圆。
过点D 作直线m 与直线l 平行。
然后在直线l 上任取一点N （不与点K 同），并构造线段NF 使之与直线m 相交于点E ，并隐藏直线m 。
（4）分别以线段NE 、FE 为直径画圆O 1和圆O 2。
过点N 作直线l 的垂线r,并构造垂线r 与圆O 1的交点G 。
然后以点E 为圆心，线段EG 为半径画圆，使之与圆O 2交于两点H 、J （若圆E 与圆O 2无交点，可通过拖动点N 调整来获得交点）。
（5）构造直线FH 和FJ 使之都与垂线r 分别相交于点M 、M ’。
并设置这两点为“追踪交点”。
（6）设置点N 为沿直线l 运动的动画，并编辑生成“动态生成轨迹”按钮。
点击该按钮或拖动点N 即可动态构造椭圆（如图2-1）。
拖动点C 可改变椭圆的扁平程度或大小。
（二）双曲线1、双曲线第二定义一般地，平面内到一个定点F 一条定直线l （e>1）的点M 点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 曲线相应于点F 的一条准线，常数e 线的离心率。
2、画法步骤把椭圆的画法构造中“计算A C A B成“计算A B A C的值”， 曲线了（如图2-2）。
拖动点C说明：1、上述用椭圆或双曲线的第二定义构造椭圆或双曲线的画法，实际上是圆锥曲线的统一画法步骤。
2、当拖动点C 与点B 重合时，e=1.的长短，可改变抛物线开口的大小。
（三）抛物线本节内容来进行讲述。
1、抛物线定义一般地，平面内与一个定点F 的点M 的轨迹叫做抛物线，其中，定点F 定直线l 叫做抛物线的准线。
特别地，当定点F 在直线l 上时，点M 定点F 且垂直与定直线l 的直线。
rl 1e + 1∙KF = 1.20厘米e = 2.03AB = 4.82厘米KF = 3.62厘米AC = 2.37厘米动态生成轨迹M'J MH G O 2O 1E DKFBAN pmql动态生成轨迹M A KFNK2、画法步骤（1）按住shift 键画一条竖直的直线l （隐藏控制点）。
在直线外给定一个点F 。
然后在直线l 上任取一点N （与点F 不能在同一水平线上），并构造线段FN 。
（2）过点F 作直线l 的垂线段FK ，垂足为K 点A 。
（3）过点A 作线段FN 的垂线p ，过点N 后构造直线p 和直线q 的交点M ，并把点M （4）选中点N ，使点N 显示动画生成并编辑成按钮，或沿直线l 拖动点N （5）拖曳点F ，使之与点K 完全重合（即点F 为点K 。
（6）标记点K 为旋转中心，使点N 绕点K 旋转然后分别以点N 和N ’为圆心，大于线段NK 点M （或点M ’）,并设置该交点为“追踪交点”迹”按钮或拖动点N ，即可生成点M （或点M 经过点F （点K ）且垂直于直线l 的直线（如图三、根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线鉴于教学的实际需要，有时为了方便向学生演示椭圆、双曲线、抛物线的相互转换关系或内在联系，我把上节画图方法的一些环节做适当的调整，得到根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线的画法。
1、圆锥曲线的统一定义一般地，在平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离的比等于一个常数e 的点的轨迹，当0<e<1时叫做椭圆；当e=1时叫做抛物线；当e>1时叫做双曲线。
其中定点F 叫做圆锥曲线的焦点，定直线l 叫做圆锥曲线的准线。
2、画法步骤（1）按住shift 键在画图区上部画直线（隐藏控制点），在直线上构造线段AB 后隐藏所画直线。
再在线段AB 上取点C 点A 、C 的距离，并计算B C A C为用e 表示。
（第（2）～（5圆的方法和步骤完全相同）（6）通过拖动点C 来获得不同的圆锥曲线。
3、画法依据简述在△MNF 中，ME 是∠NMF 所以M F E F M NE N= ED ∥NK ，所以E F D F E ND K=r 1e +1∙FK = 0.95厘米FK = 3.65厘米e = 2.86AC = 1.11厘米BC = 3.18厘米动态生成轨迹M'JM HGO 2O 1EDK FNM F D F M ND K=。
又因为KD=11F K e + ，所以D F e D K= 。
所以M F e M N= 。
即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比等于常数e 。
因此，动点M 的轨迹就是圆锥曲线（如图3-1）。
值得注意的是：当拖动点C 向点B 靠近并与点B 重合时，e 值减小到0,而椭圆逐渐变“圆”变小，最终退化为定点F ；当拖动点C 向点A 靠近并与点A 重合时，e 值增大到无穷大，而双曲线两支逐渐靠近且越发由“曲”变“直”，最终并合于定直线l 。
四、根据圆锥曲线的标准方程构造圆锥曲线下面以焦点在x 轴上的圆锥曲线为例讲述怎样根据圆锥曲线的标准方程画圆锥曲线。
（一）画椭圆22221x y ab+=（画法步骤：12、新建参数a 和b ，使a>b 轴上绘制点A 2，选中参数b ，在y 3、以原点O 为圆心，分别以画圆。
4、用画线段工具画线段：交于点P ，与小圆交于点Q 。
5、过点P 作x 轴的垂线l 垂线m 。
设两直线相交于点M 。
6、依次选中点P 和点M ，然后点击“构造”菜单下的“轨迹”，即可得到所需要的椭圆（如图4-1）。
7、以B 2为圆心，OA 2为半径画圆与x 轴相交于F 1和F 2，则得到椭圆的两个焦点。
如有必要，可隐藏掉除椭圆、椭圆顶点、坐标系以外的其他对象。
