商代数与同余关系

6.5 商代数与同余关系
设(A,◦)为一个代数结构, R为集合A上的等价关系， 则 A关于R的商集A/R为
A R {[a1]R ,[a2 ]R , ,[an ]R }, 其中 [ai ]R [a j ]R (i j), [ai ]R A
1 i n
考虑在商集A/R上定义一个二元运算⊙：
[ai ]R [ai ]R [ai a j ]R
故 ( A Rf , ) (B, )
例. f ( x, y) y是 (R2, ) 到(R, )的满同态,则 A Rf {[a]| a R}， 其中[a] {( x, y) | x R, y a}, 即R2中直线 y a上全部点的坐标， 于是( A Rf , ) (R, )
bj ),
即(ai
a j )Rf (bi
bj的一个满同态，则 商代数(A/Rf ,⊙)与(B, *)同构。
定义 : A Rf B,([a]) f (a), 由a Rf b f (a) f (b)知是双射,
而 ([a] [b]) ([a b]) f (a b) f (a) f (b) ([a]) ([b]),
例.整数Z上的模4同余关系是(Z, +, x)上的同余关系, 商代数(A/R, +4, x4)=(Z4, +4, x4), 其中Z4={[0],[1],[2],[3]}
4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2]
而使(A/R, ⊙)成为一个代数结构。问题是，⊙是一 个A/R上的二元运算吗？
设ai , bi , a j , bj
A,
ai R bi ,
a
j
R
b
，则
j
bi
[ai ]R , bj
[a j ]R
但是否一定有(ai
a j )R(bi
bj ), 或 bi
bj [ai
a j ]R ？
定义6.5.1 设(A,◦)是一个代数结构，集合A上的一个 等价关系 R称为 (A,◦)上的同余关系，如果 R满足 下面的条件： 对ai , bi , a j , bj A, 若ai R bi , a j R bj，则(ai a j )R(bi bj )
例. 整数Z上的模n同余关系是(Z, +)，也是(Z, x)上 的同余关系。
设 (A,◦)是一个代数结构，R是(A,◦)上的同余关系， 则 R诱导出一个新的代数结构 (A/R,⊙)，称为(A,◦) 关于R的商代数，同时可定义：
f : A A R , f (a) [a]R
f 是一个从(A,◦)到 (A/R,⊙) 的满同态，称为自然同态。
4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
另一方面，设 f 为从(A, ◦)到(B, *)的一个同态，则 f 也可以诱导代数结构(A, ◦)上的一个同余关系Rf
对a, b A, 定义 : aRf b f (a) f (b)
首先，易证Rf 是 A上的等价关系,其次，对ai , bi , a j , bj A，
若ai Rf bi , a j Rf bj , 即 f (ai ) f (bi ), f (a j ) f (bj ), 则
f
(ai
a j ) f (ai ) f (a j ) f (bi ) f (bj ) f (bi