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傅⾥叶光学讲义傅⾥叶光学实验傅⾥叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提⾼显微镜的分辨本领所做的努⼒。
他提出⼀种新的相⼲成象的原理，以波动光学衍射和⼲涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提⾼成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）⽤实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相⼲光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四⼗年代起古⽼的光学进⼊了“现代光学”的阶段，⽽现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六⼗年代起开始。
由于阿贝理论的启发，⼈们开始考虑到光学成像系统与电⼦通讯系统都是⽤来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三⼗年代后期起电⼦信息论的结果被⼤量应⽤于光学系统分析中。
两者⼀个为时间信号，⼀个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以⽤傅⽴叶变换的⽅法。
将光学衍射现象和傅⽴叶变换频谱分析对应起来，进⽽应⽤于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，⽽且使近代光学技术得到了许多重⼤的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中⼀门技术性很强的分⽀学科—傅⾥叶光学。
实验原理：我们知道⼀个复变函数f(x,y)的傅⽴叶变换为：+-=?=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的傅⽴叶变换函数或频谱函数。
它⼀般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅⽴叶变换得到原函数f(x,y)：+=?=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π（2）在光学系统中处理的是平⾯图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可⽤空间两维复变函数（简称空间函数）来表⽰。
在这些情况下⼀般都可以进⾏傅⾥叶变换或⼴义的傅⾥叶变换。
第一章光场的表示和Fourier分析1.1 Maxwell方程与标量波1.2 平面波和球面波1.3 二维Fourier变换的定义和物理意义1.4 卷积和相关1.5 Fourier变换的基本性质1.6 可分离变量的Fourier变换1.7 一些常用函数和它们的Fourier变换17空间频率概念的引入f (2j eU )y ,x (U π=/1/1==f f y x λcos =X9112. ( f x , f y )的物理意义方向余弦为(cos α, cos β) 的单色平面波在xoy平面上的复振幅分布是以2π为周期的分布，该复振幅分布可用沿x，y 方向的空间频率( f x , f y ) 来描述3.根据波叠加原理，任何复杂的光场分布可以分解为许多不同方向传播的平面波的叠加，或分解为许多不同空间频率的波的叠加.此式表示一个在xy 平面上沿x方向的空间频率为f x ，沿y方向的空间频率为f y 作周期的复振幅函数，它代表一个传播方向为( cos α＝λf x ，cos β＝λf y )的平面波.)(20),(y f x f j y x eU y x U +=π)cos cos (0),(βαy x jk e U y x U +=四、球面波的复振幅1、定义：点光源发出的单色光波等相位面是球面波1215近轴条件：只考虑xoy 平面上与S 点张角不大的范围.3、近轴条件下球面波的复振幅(1)171.3 Fourier变换的定义和物理意义一、广义变换∫∞∞−=dxx k x f I f ),()()(αα把函数f (x)在x 空间变换成α空间的I f (α)的函数，I f (α) 叫函数f (x) 的以k (α,x) 为核的积分变换.变换Fourier e x k x j −−=−παα2),(拉普拉斯变换−−−x e α梅林变换−−−1αx 阶汉克尔变换n xJ n −−)(α18二、一维Fourier变换1、定义t j eπν2基元函数代表频率为ν的简谐振荡.F (ν)= F {f ( t )}=∫∞∞−−dte tf t j πν2)({}dve v F v F tf vt j π21)()()(∫∞∞−−==F 2、物理意义：1) f (t)可分解为许多基元函数的线性组合;2) F (ν)权重因子.1921四、存在条件(函数g(x,y)存在FT的条件)1、g(x,y)在整个xy平面绝对可积∫∫∞<dxdy y x g |),(|五、广义Fourier变换g (x ,y)＝),(lim y x g n n ∞→G (f x ,f y )＝),(lim y x n n f f G ∞→2、在任一有限区域里，g(x,y) 必须只有有限个间断点和有限个极大和（或）极小点;3、g(x,y)必须没有无限大间断点.23若g(x,y) 为实函数，G( f x , f y ) 是厄米函数，则G (-f x ,-f y ) = ( f x , f y )即振幅|G (-f x ,-f y ) | = |G( f x , f y )|幅角φ(-f x ,-f y ) = -φ( f x , f y )其中( f x , f y )是G( f x , f y )的共轭复数，G ( f x , f y )是中心对称的函数.傅立叶变换并不改变函数的奇偶性,通常该性质称为傅立叶变换的对称性.∗G ∗G24一、卷积（Convolution）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(−∫=∗=∞∞−展宽：卷积运算的宽度是原来两个函数宽度之和.设f (x) 宽度为b 1, h (x) 的宽度为b 2,则g (x) 的宽度是：b = b 1＋b 2 .1.4 卷积和相关卷积运算的几何解释：先反转h (α)，每平移一个距离x，计算f (α)h (x -α)相乘，∫∞∞−−da a x h a f )()(求面积；再绘成g(x) 随x 变化的图形；积分252627)}()({)}()({)()}()({x h x v b x h x u a x h x bv x au ∗+∗=∗+4)结合性：)()()()()()()()}()({x v x h x u x h x v x u x h x v x u ∗∗=∗∗=∗∗)()()(x u x v x h ∗∗=卷积的次序是无关紧要的.2. 性质：1)平滑性：g (x)的变化率<< f (x)、h (x)的最大变化率；2)对易性：f (x) * h (x)= h (x) * f(x)；3)线性性质：30二、相关（correlation）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★令：x −=αβ得：βββd h x f )()(*∫∞∞−+ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(*−−∫∫=∞∞−＝★ηξηξηξ′′′′∫∫+′+′∞∞−d d h y x f ),(),(*＝与卷积运算的区别：没有反转，只有平移.)(αh )(α−h31相关运算示意图322.性质：1)尖峰化：相关运算是两个信号之间存在相似性的量度.34若f (x) = h (x),则：αααd x f f x f x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★ηξηξηξ∫∫−−=∞∞−d d y x f f y x f y x f ),(),(),(),(*★ηξηξηξ′∫∫′′′+′+′=∞∞−d d f y x f ),(),(*3. 自相关函数：1)定义：3538六、自相关定理七、Fourier积分定理对函数相继进行正FT变换和逆FT，得到原函数.八、FT的FT对函数相继进行FT，所得的函数形式不变，仅将坐标反向.F {g (x,y )☆g (x,y )}=|G (f x , f y )|2F {|G (f x , f y )|2}= g (x,y )☆g (x,y )F –1{F {g (x,y )}}= F {F –1{g (x,y )}}=g (x,y )F {F {g (x,y )}}=g (-x,-y )自相关函数的FT是原函数的功率谱，信号的自相关和功率谱之间存在FT关系.F {g (x,y )☆h (x,y )}= (f x , f y )·H (f x , f y )——互相关定理∗G 两函数的互相关与其互谱密度之间存在FT关系.41结论：在极坐标中可分离变量函数g (r ,θ)=g r (r )g θ(θ)它的频谱在极坐标中也是可分离变量函数，关于φ的函数是exp(j k φ)，关于ρ的函数是G k (ρ) 它为g r (r ) 的k 阶汉克尔变换.=ρ45464748491.7、一些常用函数和它们的FT50。
1 傅里叶变换()()()[])}y ,x (f {F dxdy ey ,x f f ,f F y f x f i 2y x y x ==⎰⎰∞∞-+-π式中fx 和fy 称为空间频率，()y x f f F ,称为F(x,y)的傅里叶谱或空间频谱。
()y x f f F ,和F(x,y)分别称为函数f （x,y ）的振幅谱和相位谱，而)fy fx (，F 称为f （x ，y ）的功率谱。
2 逆傅里叶变换)},({),(),(1)(2[fy fx F F fxfy efy fx F y x f y f x f i y x -∞∞-+==⎰π3 函数f(x,y)存在傅里叶变换的充分条件是：①f(x,y ）必须在xy 平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续结点②f(x,y)在xy 平面域内绝对可积 ③f(x,y)必须没有无穷大间短点4 物函数f （x ，y ）可看做是无数振幅不同，方向不同的平面线性叠加的结果5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔，狭缝的透射率7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，又是用于光学信息处理的“切趾术”9 δ函数表示某种极限状态。
可用来描述高度集中的物理量。
如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等，所以δ函数又称为脉冲函数。
δ函数只有通过积分才有定值10 在光学上，单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵之亮度可 用一个一维梳状函数表示：∑∞-∞=-=n n x )(δ）（x comb 11 一维梳状函数表示点光源面阵或小孔面阵的透过率函数，亦可作为二维函数的抽样函数12 像平面上的强度分布是物的强度分布与单位强度点光源对应的强度分布的卷积，这就是卷积在光学成像中的物理意义 13 卷积运算的两个效应①展宽效应②平滑化效应 14 相关函数是两函数图象重叠程度的描述 15.傅里叶变换的基本定理①线性定理：反映了波的叠加定理。
②相似性定理：表明原函数x,y 的“伸展”，导致频谱函数频域坐标,x yf f 的“压缩”。
③位移定理：说明原函数在空域中的平移导致频谱相位的线性移动。
④卷积定理：意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用卷积定理就可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的变换式。
⑤维纳-肯欣定理。
⑥自相关定理：即信号的自相关和功率谱之间存在傅里叶变换关系。
⑦巴塞伐定理：物理意义，信号在空域的能量与其所在频域的能量守恒。
⑧傅里叶积分定理：表明，对函数相继两次变换或逆变换又得到原函数。
⑨微分定理：主要用于图像的边缘增强。
⑩积分16 物理系统是一种转换或变换的装置 ，输入到系统中的某种物理量通过转换后，可输出另一种物理量。
17凡同时具有叠加性和均匀性的系统称为线性系统。
（缩放因子保持不变的系统具有均匀性）。
18 对于一般存在像差且通光孔径有限大的光学成像系统而言，输入平面上一物点（表示为δ函数）通过系统后，在输出像面上不是形成像点，而拓展成一像斑，并用脉冲响应函数h 表示，故又把h 称为拓展函数。
19 研究线性系统的输出，突出的是研究集元函数的响应（所谓集元函数是指不能在进行分解的基本函数单元）。
20 对与无像差理想光学成像系统，若计及系统的通光孔径，则称该系统是衍射受限的，若不计孔径，则称该系统为非衍射受限系统 21点扩展函数即是物镜光学系统后所成的像 22 线性不变系统（空不变系统）“LSI ”LSI 系统对输入信号空间位置的平移所产生的唯一效应是输出信号产生同样的位置平移LSI 系统的输出函数可表示为输入函数与西戎的脉冲响应在输出平面上的一个二维卷积，这一特殊形式的叠加积分又称卷积积分。
23 系统的传递函数H(fx,fy)表示系统在频率域中对信号的传递能力 24 空不变性质强调了输出函数的形式不随输入函数空间位置而改变。
25 抽样指一个连续的物理过程在各个瞬时抽取数据的过称。
26 奈奎斯特判据：令X=1/2Bx ，Y=1/2By 27 能够将一个连续二频谱带有限的函数，用离散的抽样序列代替而不丢失任何信息。
28 空间带宽积SW 就定义为SW=16XYBxBy,4XY 表示函数在空域中面积，4BxBy 表示在频域中的面积，它既可以用来描述图象的信息容量，也可用来描述信息处理系统的信息传递或处理能力。
（只有系统的SW 大于图像的SW 时，才不会损失信息。
SW 是个不变量，若空间大小变化，带宽依反比关系变化）。
29 惠特克-商农采样定理的基本点是为了复原一个带限函数，采用了方阵采样和矩形滤波的方法30 透镜是光学成像系统和光学信息处理系统基础31 透镜的傅里叶变换性质成为光信息处理技术的基础，其作用表现为城乡作用、傅里叶变换作用、改变光波对输入图像的照明方式，使输入图像有不同的衍射效果。
32 )y ,x (B 称为透镜作用因子 称透镜的透射率函数，））（22y x (f2k y ,x +=φ称为透镜的相位变化函数空不变性质强调了输出函数的形式不随输入函数空间位置而改变。
33 我们把平行光垂直照明是透镜的后焦平面叫做傅里叶变换平面，该平面又称空间频率平面34 从空域中研究光学系统的成像质量是几何光学的重要组成部分，其中心内容是像差理论和系统光瞳的衍射效应35 研究成像质量的方法有①星点法②分辨率板法36 孔径为无限大的薄透镜对物成理想像 该像准确重现原物37 在非相干照明条件下，光学成像系统对光场强度的变换是线性不变；而对复振幅的变换，则不是线性的 称为系统的强度点扩展函数38 系统的脉冲响应，其傅里叶变换就是系统的相干传递函数在傅里叶变换平面上，靠近光轴的频谱值比较准确；远离光轴的频谱值误差较大在傍轴条件下，薄透镜为一种简单的空不变系统，其点数就是透镜孔径函数的傅里叶变换。
39 实际波面与理想球面的各种偏差称为波面像差或波相差 40 相差的出现对相干传递函数的通带宽度没有影响，仅在通带内引入了位相畸变41 光学传递函数⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-+-==~I)y f x f (2i I ~I I I dxdy)y ,x (h dxdye)y ,x (h )0,0(H )fy ,fx (H )fy ,fx (H y x π就是光瞳函数的自相关函数，OTF 的计算公式0fy ,x f )fy fx (H σσ）（出瞳总面积出瞳重叠面积，==42 非相干成像系统的截止频率是相干成像系统的两倍43 具有像差的系统其调制传递函数只可能下降而绝不会增大，结果会使像面上光强度分布在多个空间频率处的对比率降低，这是一个具有普遍性的重要结论44 在相干照明条件下，光学成像系统对光场的复振幅变换而言，是线性不变系统；对于光强度的变换，则不是线性系统。
45.具有像差的系统其调制传递函数只可能下降，而绝不会增大，结果会是像面上光强度分布在多个空间频率处的对比率降低，这是一个具有普遍性的重要结论。
46.非相干截止频率是确定像强度的最高频率分量，而相干截止频率确定是像的振幅的最高频率分量。
47.瑞利分辨判据：仅适用于非相干成像系统，对于相干成像系统能否分辨两个点光源要考虑他们的相位关系。
48.各个环节在满足非相干照明条件时整个光学链的调制传递函数等于各个环节调制传递函数之积，位相传递函数则是多个环节位相传递函数之和。
49 截止频率(,)cx cy f f 是检验光学成像系统质量优劣的重要参数之一（非相干成像系统的截至频率是相干成像系统的两倍）。
50 激光散斑产生条件：①物体表面粗糙 ②入射光源为相干光 51 散斑测量方法：①散斑照相测量 ②散斑干涉测量 52 散斑分析：①逐点分析法 ②全场分析法53 空间滤波：为了得到不同的衍射像，有目的的改变物体的频率 ①物体是各种频谱成份集合，物品面发出的光首先到达频谱平面上，在频谱平面上形成一系列衍射斑。
②以衍射斑为子波 滤出光线到达像平面上产生干涉形成物体的像。
54 物体光栅常数d 缝宽为a 沿x 方向分布为L)Lx(rect )]d x (comb d 1)a x (rect [)y ,x (T 11*= 频谱M 取任意常数 55 。
56 ①对于光学成像系统，其像的调制度不可能大于物的调制度。
②当(,)0o x y H f f =意味着只要空间频率(,)x y f f 大于截止频率，不管物的调制度多大，像的调制度为零。
57 滤波器：光学中在透明膜上镀不同透过率膜层的膜片58 ①低通滤波器：只允许低频率成分通过，可以用来率高频率②高通滤波器：允许高频率成分通过，阻止低频率分量，在质图形边缘增强或衬度反转③带通滤波器：允许特定频率成分通过，同时屏蔽其他频段的设备 ④方向滤波器：允许特定方向的频率成分通过，用来突出物体的方向性特征。
59 振幅型滤波器：仅改变振幅不改变位相，如感光胶片60 位相形滤波器：改变位相的分布，不改变振幅，二元光学元件，某些光学薄膜61 复数型滤波器：对位相和振幅都改变，用全息方法制作 62 泽尼克显微镜观察物位相物体“4f 系统”②位相物体透过率)]y ,x (i exp[)y ,x (f φ=； ③常规系统1)y ,x (i 1)]y ,x (i exp[1I 2i ≈+=+=φφ；④译尼克认为像平面上光由两部分构成，一部分强的直接透射光，另一部分由位相起伏引起的弱衍射光⑤弱衍射光观察不到原因:1)与强透射光位相差90度 2）强透射光光强。
⑥利用空间滤波（其他）（滤波器内））（0i {y ,x t ±=滤波后!)]y ,x (i exp[i {)y ,x (t )y ,x (f φ±=⑦)y ,x (i 1Iiφ±≈取正号：位相值大的光强也强，称为“正相衬”； 取负号，位相值大的部位光强弱，叫做“负相称”⑧光强变化与位相联系称相幅变化系统63 麦尔查：成像不清晰是由传递函数存在相应缺陷引起的64 空间滤波的傅里叶分析：物体的光栅常数为d ，缝宽为a ，沿着1x 方向宽度为L ，则它的透过率为01()[o o o x x x t x rect comb rect a d a L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=* ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在P1平面上的光场分布应该正比于物体的频谱(,)sin ()sin ()x y x x x m aL m T f f c af f c Lf d d δ⎡⎤⎛⎫=-* ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑65 光学系统存在离焦，利用空间滤波器，一块吸收板板，一块衰减板，显著改变成像质量66 散斑：激光照射到不均匀物体表面上，物体表面上的每一个点都可以看成次级滤波源，在整个空间发生干涉，产生无规则的斑衍射斑，称为散斑。
