傅里叶光学基础01

第一章光场的表示和Fourier分析1.1 Maxwell方程与标量波1.2 平面波和球面波1.3 二维Fourier变换的定义和物理意义1.4 卷积和相关1.5 Fourier变换的基本性质1.6 可分离变量的Fourier变换1.7 一些常用函数和它们的Fourier变换17空间频率概念的引入f (2j eU )y ,x (U π=/1/1==f f y x λcos =X9112. ( f x , f y )的物理意义方向余弦为(cos α, cos β) 的单色平面波在xoy平面上的复振幅分布是以2π为周期的分布，该复振幅分布可用沿x，y 方向的空间频率( f x , f y ) 来描述3.根据波叠加原理，任何复杂的光场分布可以分解为许多不同方向传播的平面波的叠加，或分解为许多不同空间频率的波的叠加.此式表示一个在xy 平面上沿x方向的空间频率为f x ，沿y方向的空间频率为f y 作周期的复振幅函数，它代表一个传播方向为( cos α＝λf x ，cos β＝λf y )的平面波.)(20),(y f x f j y x eU y x U +=π)cos cos (0),(βαy x jk e U y x U +=四、球面波的复振幅1、定义：点光源发出的单色光波等相位面是球面波1215近轴条件：只考虑xoy 平面上与S 点张角不大的范围.3、近轴条件下球面波的复振幅(1)171.3 Fourier变换的定义和物理意义一、广义变换∫∞∞−=dxx k x f I f ),()()(αα把函数f (x)在x 空间变换成α空间的I f (α)的函数，I f (α) 叫函数f (x) 的以k (α,x) 为核的积分变换.变换Fourier e x k x j −−=−παα2),(拉普拉斯变换−−−x e α梅林变换−−−1αx 阶汉克尔变换n xJ n −−)(α18二、一维Fourier变换1、定义t j eπν2基元函数代表频率为ν的简谐振荡.F (ν)= F {f ( t )}=∫∞∞−−dte tf t j πν2)({}dve v F v F tf vt j π21)()()(∫∞∞−−==F 2、物理意义：1) f (t)可分解为许多基元函数的线性组合;2) F (ν)权重因子.1921四、存在条件(函数g(x,y)存在FT的条件)1、g(x,y)在整个xy平面绝对可积∫∫∞<dxdy y x g |),(|五、广义Fourier变换g (x ,y)＝),(lim y x g n n ∞→G (f x ,f y )＝),(lim y x n n f f G ∞→2、在任一有限区域里，g(x,y) 必须只有有限个间断点和有限个极大和（或）极小点;3、g(x,y)必须没有无限大间断点.23若g(x,y) 为实函数，G( f x , f y ) 是厄米函数，则G (-f x ,-f y ) = ( f x , f y )即振幅|G (-f x ,-f y ) | = |G( f x , f y )|幅角φ(-f x ,-f y ) = -φ( f x , f y )其中( f x , f y )是G( f x , f y )的共轭复数，G ( f x , f y )是中心对称的函数.傅立叶变换并不改变函数的奇偶性,通常该性质称为傅立叶变换的对称性.∗G ∗G24一、卷积（Convolution）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(−∫=∗=∞∞−展宽：卷积运算的宽度是原来两个函数宽度之和.设f (x) 宽度为b 1, h (x) 的宽度为b 2,则g (x) 的宽度是：b = b 1＋b 2 .1.4 卷积和相关卷积运算的几何解释：先反转h (α)，每平移一个距离x，计算f (α)h (x -α)相乘，∫∞∞−−da a x h a f )()(求面积；再绘成g(x) 随x 变化的图形；积分252627)}()({)}()({)()}()({x h x v b x h x u a x h x bv x au ∗+∗=∗+4)结合性：)()()()()()()()}()({x v x h x u x h x v x u x h x v x u ∗∗=∗∗=∗∗)()()(x u x v x h ∗∗=卷积的次序是无关紧要的.2. 性质：1)平滑性：g (x)的变化率<< f (x)、h (x)的最大变化率；2)对易性：f (x) * h (x)= h (x) * f(x)；3)线性性质：30二、相关（correlation）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★令：x −=αβ得：βββd h x f )()(*∫∞∞−+ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(*−−∫∫=∞∞−＝★ηξηξηξ′′′′∫∫+′+′∞∞−d d h y x f ),(),(*＝与卷积运算的区别：没有反转，只有平移.)(αh )(α−h31相关运算示意图322.性质：1)尖峰化：相关运算是两个信号之间存在相似性的量度.34若f (x) = h (x),则：αααd x f f x f x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★ηξηξηξ∫∫−−=∞∞−d d y x f f y x f y x f ),(),(),(),(*★ηξηξηξ′∫∫′′′+′+′=∞∞−d d f y x f ),(),(*3. 自相关函数：1)定义：3538六、自相关定理七、Fourier积分定理对函数相继进行正FT变换和逆FT，得到原函数.八、FT的FT对函数相继进行FT，所得的函数形式不变，仅将坐标反向.F {g (x,y )☆g (x,y )}=|G (f x , f y )|2F {|G (f x , f y )|2}= g (x,y )☆g (x,y )F –1{F {g (x,y )}}= F {F –1{g (x,y )}}=g (x,y )F {F {g (x,y )}}=g (-x,-y )自相关函数的FT是原函数的功率谱，信号的自相关和功率谱之间存在FT关系.F {g (x,y )☆h (x,y )}= (f x , f y )·H (f x , f y )——互相关定理∗G 两函数的互相关与其互谱密度之间存在FT关系.41结论：在极坐标中可分离变量函数g (r ,θ)=g r (r )g θ(θ)它的频谱在极坐标中也是可分离变量函数，关于φ的函数是exp(j k φ)，关于ρ的函数是G k (ρ) 它为g r (r ) 的k 阶汉克尔变换.=ρ45464748491.7、一些常用函数和它们的FT50。

专题：傅里叶光学基础Fundamentals of Fourier Optics§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2 光波的傅里叶分析§1.3 平面波角谱理论§1.4 透镜的傅里叶变换§1.5 光阿贝成像原理§1.6 光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。

§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。

常用函数定义图形表示应用阶跃函数1 x0step(x )1step( ) 2 0x x1x0 x 0直边（或刀口）的透过率符号函数1 0xsgn(x) 0 x 01 x 0孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数xrect( )ax1 1/ 2a0 else狭缝或矩孔的透过率常用函数定义图形表示应用三角形函数| x|x1 x 1( ) aa0 else光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数x sin( x/ a )sinc( )a x/ a 夫琅禾费衍射图样高斯函数2x xGaus( ) expa a 激光器发出的高斯光束x y2 2circ( )r圆域函数圆孔的透过率2 21 x y r0 else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x) ，周期为T（频率f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三傅里叶系数角傅里叶级数:ag x a nfx b nfx()cos(2)sin(2)n n2n1在[-T/2, T/2]区间逐项积分：a aT2T2T2T2g x dx dx a nfx dx b nfx dx T()cos(2)sin(2)00(1) nn2 2T2T2T2T2n1因此有：2T2a g(x)dx 02TT将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,for m n0, sin(mx)sin(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx,for m n ,sin(mx)cos(nx)dx0,for any m and n for m n for m n逐项积分：aT2T2g(x)cos(2mfx)dx cos(2mfx)dxT2T2= 02= 0T2T2a cos(2nfx)cos(2mfx)dxb sin(2nfx)cos(2mfx)dxn T n T22 n1(m n)T2aa nfx dx Tcos(2)n2n T222T2a g(x)cos(2nfx)dxn TT2系数：2T/2直流分量a g(x)dx0/2TT2T/2余弦分量的幅度a g(x)cos2nfx dxn TT/22T/2正弦分量的幅度b g(x)s in2nfx dxn TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数ag x a nfx b nfx ()cos2sin2n n2n1f 周期信号可分解为直流，基波( )和f nf各次谐波( )的线性组合。

第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。

图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。

(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。

(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。