傅里叶光学第1章 傅里叶分析

傅里叶分析傅里叶分析是一种数学方法，它将任意时域函数变换为频域函数，以研究函数的波形特性。

这项技术的发明者是法国理论物理学家爱德华克劳德傅里叶，他于1822年出生于法国布列塔尼省，此后，傅里叶分析的理论在各个领域被广泛应用，为科学、工程及社会等方面的发展做出了积极的贡献。

傅立叶分析是由傅立叶发现的，他发现存在一类函数，可以通过波形装换技术，将时域信号转换为频域信号，以便分析物理系统的动态特性。

傅立叶分析以“傅里叶变换”作为其基础，它是一种分析函数变化规律的方法，可以将函数从时域变换到频域，从而可以更清楚地研究函数的特性。

傅里叶分析有许多种的应用，其中最基本的是数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP），它可以用于信号处理和通信、语音识别、视频处理、虚拟现实等多个领域。

换句话说，使用傅里叶分析可以帮助人们更好地理解数字信号，并准确调节信号以达到期望的结果。

此外，傅里叶分析也可用于模拟信号的分析和处理，在这种情况下，傅里叶变换可以模拟信号的频率分析，其模拟信号处理技术可用于研究电磁场、激光、声音等的特性。

此外，它还被广泛用于扫描电子显微镜（Scanning Electron Microscope，简称SEM）。

这种技术可用于测量小型物体的形状和大小，其原理在于运用傅里叶分析得到物体表面的细微变化，从而得出物体精确的尺寸参数和形状信息。

最后，傅里叶分析也被应用到控制系统中。

该方法可以分析控制系统的时域和频域性能，从而帮助设计者提高系统对于某类特殊输入的响应曲线。

从上述可以看出，傅里叶分析被广泛地应用到数学、物理学、电子工程、生物学、经济学等领域，它是一种非常重要的数学工具，具有十分重要的价值。

总之，傅里叶分析是一项十分宝贵的发现，在数学、物理学、化学、工程学等领域有着重要的应用，将为科学及社会的发展做出贡献。

光学成像的傅里叶光学解析光学成像是一种利用光学原理来获取目标物体的图像或信息的技术。

傅里叶光学解析是与光学成像密切相关的一种数学分析方法，它可以帮助我们理解光学成像的原理和性能。

傅里叶光学解析是基于傅里叶变换的数学理论，该理论指出任何波形都可以分解成一系列不同频率的正弦波或余弦波的叠加。

在光学中，傅里叶光学解析将光波分解成不同的频率组成部分，并分析它们对成像的贡献。

在光学成像中，光线从物体表面反射或透过物体后进入成像系统，然后被透镜或其他光学元件聚焦成像。

而傅里叶光学解析则通过对光场的傅里叶变换，计算光场的频谱分布，进而解析出图像的信息。

傅里叶光学解析在光学成像中的应用广泛。

首先，它可以用于评估成像系统的成像性能。

通过分析光波的频谱分布，我们可以了解光学系统在不同频率上的传输特性，从而评估系统的分辨率和失真程度。

这可以帮助我们设计和优化成像系统，以获得更好的图像质量。

其次，傅里叶光学解析可以用于图像复原和重建。

在实际成像过程中，光波会受到各种因素的影响，如散射、衍射、干涉等，并且会产生噪声和畸变。

通过对光场进行傅里叶变换，我们可以在频域上对图像进行修复和重建，减少噪声和畸变的影响，提高图像的质量和清晰度。

此外，傅里叶光学解析还可以用于图像处理和分析。

光学成像获得的图像往往包含大量的信息，通过傅里叶光学解析，我们可以将不同频率的信息分离出来，进一步分析和处理图像。

例如，可以通过滤波的方法去除图像中的某些频率成分，突出图像中的某些特征或结构。

最后，傅里叶光学解析还可以用于其他光学应用，如光学显微镜、光学干涉仪、光学测量等。

通过应用傅里叶光学解析，我们可以获得更多的图像信息，并进一步深入理解和研究光学现象。

综上所述，傅里叶光学解析作为光学成像的数学分析方法，对于理解光学成像的原理和性能非常重要。

它可以帮助我们评估成像系统的性能，修复和重建图像，进行图像处理和分析，以及应用于其他光学领域。

通过深入研究和应用傅里叶光学解析，我们可以进一步推动光学成像技术的发展和创新。

第一章光场的表示和Fourier分析1.1 Maxwell方程与标量波1.2 平面波和球面波1.3 二维Fourier变换的定义和物理意义1.4 卷积和相关1.5 Fourier变换的基本性质1.6 可分离变量的Fourier变换1.7 一些常用函数和它们的Fourier变换17空间频率概念的引入f (2j eU )y ,x (U π=/1/1==f f y x λcos =X9112. ( f x , f y )的物理意义方向余弦为(cos α, cos β) 的单色平面波在xoy平面上的复振幅分布是以2π为周期的分布，该复振幅分布可用沿x，y 方向的空间频率( f x , f y ) 来描述3.根据波叠加原理，任何复杂的光场分布可以分解为许多不同方向传播的平面波的叠加，或分解为许多不同空间频率的波的叠加.此式表示一个在xy 平面上沿x方向的空间频率为f x ，沿y方向的空间频率为f y 作周期的复振幅函数，它代表一个传播方向为( cos α＝λf x ，cos β＝λf y )的平面波.)(20),(y f x f j y x eU y x U +=π)cos cos (0),(βαy x jk e U y x U +=四、球面波的复振幅1、定义：点光源发出的单色光波等相位面是球面波1215近轴条件：只考虑xoy 平面上与S 点张角不大的范围.3、近轴条件下球面波的复振幅(1)171.3 Fourier变换的定义和物理意义一、广义变换∫∞∞−=dxx k x f I f ),()()(αα把函数f (x)在x 空间变换成α空间的I f (α)的函数，I f (α) 叫函数f (x) 的以k (α,x) 为核的积分变换.变换Fourier e x k x j −−=−παα2),(拉普拉斯变换−−−x e α梅林变换−−−1αx 阶汉克尔变换n xJ n −−)(α18二、一维Fourier变换1、定义t j eπν2基元函数代表频率为ν的简谐振荡.F (ν)= F {f ( t )}=∫∞∞−−dte tf t j πν2)({}dve v F v F tf vt j π21)()()(∫∞∞−−==F 2、物理意义：1) f (t)可分解为许多基元函数的线性组合;2) F (ν)权重因子.1921四、存在条件(函数g(x,y)存在FT的条件)1、g(x,y)在整个xy平面绝对可积∫∫∞<dxdy y x g |),(|五、广义Fourier变换g (x ,y)＝),(lim y x g n n ∞→G (f x ,f y )＝),(lim y x n n f f G ∞→2、在任一有限区域里，g(x,y) 必须只有有限个间断点和有限个极大和（或）极小点;3、g(x,y)必须没有无限大间断点.23若g(x,y) 为实函数，G( f x , f y ) 是厄米函数，则G (-f x ,-f y ) = ( f x , f y )即振幅|G (-f x ,-f y ) | = |G( f x , f y )|幅角φ(-f x ,-f y ) = -φ( f x , f y )其中( f x , f y )是G( f x , f y )的共轭复数，G ( f x , f y )是中心对称的函数.傅立叶变换并不改变函数的奇偶性,通常该性质称为傅立叶变换的对称性.∗G ∗G24一、卷积（Convolution）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(−∫=∗=∞∞−展宽：卷积运算的宽度是原来两个函数宽度之和.设f (x) 宽度为b 1, h (x) 的宽度为b 2,则g (x) 的宽度是：b = b 1＋b 2 .1.4 卷积和相关卷积运算的几何解释：先反转h (α)，每平移一个距离x，计算f (α)h (x -α)相乘，∫∞∞−−da a x h a f )()(求面积；再绘成g(x) 随x 变化的图形；积分252627)}()({)}()({)()}()({x h x v b x h x u a x h x bv x au ∗+∗=∗+4)结合性：)()()()()()()()}()({x v x h x u x h x v x u x h x v x u ∗∗=∗∗=∗∗)()()(x u x v x h ∗∗=卷积的次序是无关紧要的.2. 性质：1)平滑性：g (x)的变化率<< f (x)、h (x)的最大变化率；2)对易性：f (x) * h (x)= h (x) * f(x)；3)线性性质：30二、相关（correlation）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★令：x −=αβ得：βββd h x f )()(*∫∞∞−+ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(*−−∫∫=∞∞−＝★ηξηξηξ′′′′∫∫+′+′∞∞−d d h y x f ),(),(*＝与卷积运算的区别：没有反转，只有平移.)(αh )(α−h31相关运算示意图322.性质：1)尖峰化：相关运算是两个信号之间存在相似性的量度.34若f (x) = h (x),则：αααd x f f x f x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★ηξηξηξ∫∫−−=∞∞−d d y x f f y x f y x f ),(),(),(),(*★ηξηξηξ′∫∫′′′+′+′=∞∞−d d f y x f ),(),(*3. 自相关函数：1)定义：3538六、自相关定理七、Fourier积分定理对函数相继进行正FT变换和逆FT，得到原函数.八、FT的FT对函数相继进行FT，所得的函数形式不变，仅将坐标反向.F {g (x,y )☆g (x,y )}=|G (f x , f y )|2F {|G (f x , f y )|2}= g (x,y )☆g (x,y )F –1{F {g (x,y )}}= F {F –1{g (x,y )}}=g (x,y )F {F {g (x,y )}}=g (-x,-y )自相关函数的FT是原函数的功率谱，信号的自相关和功率谱之间存在FT关系.F {g (x,y )☆h (x,y )}= (f x , f y )·H (f x , f y )——互相关定理∗G 两函数的互相关与其互谱密度之间存在FT关系.41结论：在极坐标中可分离变量函数g (r ,θ)=g r (r )g θ(θ)它的频谱在极坐标中也是可分离变量函数，关于φ的函数是exp(j k φ)，关于ρ的函数是G k (ρ) 它为g r (r ) 的k 阶汉克尔变换.=ρ45464748491.7、一些常用函数和它们的FT50。

傅里叶分析傅里叶分析（FourierAnalysis）是一种数学理论，主要用于研究特定的波形和信号的组成部分，以及它们之间的关系。

这种理论是由法国数学家和物理学家Jean-Baptiste-Joseph Fourier在19世纪初发明的，他称之为“Fourier级数”。

傅里叶分析的基本思想是任何一个连续的函数可以由它的有限项级数所表示，它称为傅里叶级数（Fourier series）。

它由一系列正弦曲线和余弦曲线组成，每个函数都具有自己的频率和振幅。

傅里叶级数在连续函数的分析中起着重要作用，它可以被用来表示某个连续信号，或者它可以被用来描述一个特定的时间序列。

傅里叶分析可以用于许多不同的应用，这其中包括信号处理、声音编辑、图像处理、系统分析、通信系统，以及高级数字信号处理应用。

在数字信号处理领域，傅里叶分析可以用来分析复杂的时间序列，以及计算信号的频率特性。

它也可以被用来检测信号的周期性，从而可以精确的控制和调整信号的参数。

傅里叶分析还可以被用于以下几个方面：1.乐分析：通过分析音乐中不同声波构成的频率，可以了解音乐的特点，并对音乐艺术上的细节进行调整。

2.路分析：通过分析电路中的信号的频率，可以更好的理解电路的结构和功能，并可以改进电路的性能。

3.域分析：利用傅里叶分析可以分析一个信号在一定时间段内的变化，可以更好地控制信号的参数，从而提高系统的性能。

4.波分析：运用傅里叶分析，可以组合或分解一个比较复杂的电波，从而可以更精确地测量电波的振幅和频率，从而改善信号的性能。

5.像分析：可以通过利用傅里叶分析，精确的把一张图片的信息分解成各种频率的部分，从而可以提高图像的处理效率，并减少图像中噪声的影响。

总而言之，傅里叶分析是一种重要的技术，它可以被用于信号处理，图像处理和时域分析等多种应用中，以及许多其他方面，它为改善信号的质量和性能提供了一种有效的方法。

因此，傅里叶分析是一种非常有用的理论，在许多领域都可以被广泛应用。

第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。

图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。

(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。

(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。

专题：傅里叶光学基础Fundamentals of Fourier Optics§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2 光波的傅里叶分析§1.3 平面波角谱理论§1.4 透镜的傅里叶变换§1.5 光阿贝成像原理§1.6 光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。

§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。

常用函数定义图形表示应用阶跃函数1 x0step(x )1step( ) 2 0x x1x0 x 0直边（或刀口）的透过率符号函数1 0xsgn(x) 0 x 01 x 0孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数xrect( )ax1 1/ 2a0 else狭缝或矩孔的透过率常用函数定义图形表示应用三角形函数| x|x1 x 1( ) aa0 else光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数x sin( x/ a )sinc( )a x/ a 夫琅禾费衍射图样高斯函数2x xGaus( ) expa a 激光器发出的高斯光束x y2 2circ( )r圆域函数圆孔的透过率2 21 x y r0 else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x) ，周期为T（频率f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三傅里叶系数角傅里叶级数:ag x a nfx b nfx()cos(2)sin(2)n n2n1在[-T/2, T/2]区间逐项积分：a aT2T2T2T2g x dx dx a nfx dx b nfx dx T()cos(2)sin(2)00(1) nn2 2T2T2T2T2n1因此有：2T2a g(x)dx 02TT将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,for m n0, sin(mx)sin(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx,for m n ,sin(mx)cos(nx)dx0,for any m and n for m n for m n逐项积分：aT2T2g(x)cos(2mfx)dx cos(2mfx)dxT2T2= 02= 0T2T2a cos(2nfx)cos(2mfx)dxb sin(2nfx)cos(2mfx)dxn T n T22 n1(m n)T2aa nfx dx Tcos(2)n2n T222T2a g(x)cos(2nfx)dxn TT2系数：2T/2直流分量a g(x)dx0/2TT2T/2余弦分量的幅度a g(x)cos2nfx dxn TT/22T/2正弦分量的幅度b g(x)s in2nfx dxn TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数ag x a nfx b nfx ()cos2sin2n n2n1f 周期信号可分解为直流，基波( )和f nf各次谐波( )的线性组合。

傅里叶分析傅里叶分析是一项重要的数学方法，它从数学的角度解释了任何周期性现象的原理。

这个方法得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他在1807年首次提出了这个理论。

傅里叶分析的核心思想是将一个周期性函数分解成一系列具有不同频率的正弦和余弦函数的和。

通过分析这些分量的振幅、频率和相位，可以获得原始周期性函数的详细特征。

这个方法的应用非常广泛，涵盖了许多领域，包括物理学、工程学、信号处理和图像处理等等。

在物理学中，傅里叶分析被用于研究波动现象，如声音和光线的传播。

在工程学中，它被应用于电路设计和通信系统的优化。

在信号处理中，傅里叶分析被用于音频和视频的压缩和解压缩。

在图像处理中，它被用于图像的滤波和增强。

傅里叶分析的基本原理是将一个周期性函数表示为周期为T的正弦和余弦函数的和。

数学公式可以表达为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，f(t)是周期性函数，n是一个正整数，an和bn是系数，ω是角频率，通过关系ω = 2π/T与周期T相联系。

a0是直流分量，表示函数在周期内的平均值。

这个公式中的每一项都表示一个谐波分量。

高频的分量对应着函数的细节，低频的分量对应着函数的整体变化。

为了计算这些系数，可以利用傅里叶级数展开的性质，通过积分计算得到。

具体的计算方法可以参考数学相关的教材和资料。

傅里叶分析的强大之处在于，几乎任何周期性函数都可以通过将其展开成傅里叶级数来近似表示。

这使得我们可以更好地理解周期性现象的本质和特征。

傅里叶分析在现代科学和工程中的应用非常广泛。

在物理学中，它被用于研究波动现象，如声音和光线的传播。

通过分解波动信号，可以获得频谱信息，进而了解波动信号的频率分布和强度。

这对于研究和解释各种波动现象具有重要意义。

在工程领域，傅里叶分析被广泛应用于电路设计和通信系统的优化。

通过分析信号的频谱特征，可以得到电路和系统的频率响应，从而设计出更好的电路和系统。

python傅里叶光学Python傅里叶光学Python是一种易于学习且功能强大的编程语言，可以应用于各种领域。

近年来，Python在科学计算和数学建模方面的应用越来越广泛。

傅里叶光学是一种利用傅里叶变换技术分析光学信号的方法，Python通过强大的傅里叶变换库SciPy，为傅里叶光学分析提供了很好的支持。

本文将从以下几个方面介绍Python在傅里叶光学分析方面的应用：一、傅里叶分析傅里叶分析是一种将信号分解成不同频率的技术。

在光学中，可以将光信号抽象成不同频率的波，借助傅里叶变换将信号分解为基频和其它高次谐波。

Python通过SciPy库提供了傅里叶变换的函数。

用户只需输入需要进行傅里叶变换的信号，即可得到其频谱信号，从而完成傅里叶分析。

二、光学系统模拟光学系统模拟是一种应用傅里叶光学分析的方法。

通过模拟光学系统的传递函数，可以预测光学系统的性能。

光学系统模拟在光学设计和工程中扮演了重要的角色。

Python通过Zemax OpticStudio等光学模拟软件的API，提供了对光学系统模拟的支持。

用户可以通过Python脚本，调用光学模拟软件的API，进行光学系统模拟和分析，提高工作效率和精度。

三、自适应光学自适应光学是一种通过传感器实时测量光学系统的像差，然后通过变形镜对光束进行实时校正的技术。

自适应光学在现代望远镜、显微镜等光学系统中有着广泛的应用。

Python通过Matplotlib等可视化库，提供了对自适应光学的支持。

用户可以使用Python绘制自适应光学系统的仿真图，并进行实验设计、数据分析和结果可视化。

四、传感技术光学传感技术是一种应用傅里叶光学分析的重要领域。

通过测量光学系统的像差和光学信号，可以为医学成像、机器视觉等科学领域提供基础数据支持。

Python通过OpenCV等图像处理库，提供了对光学传感技术的支持。

用户可以使用Python编写光学传感的程序，调用图像处理库的函数，实现对光学信号的测量和分析。