2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课时作业1.8.7抛物线 Word版含答案]

高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·郑州第三次质量预测)抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A ．6B ．6 3C ．9D ．9 3解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线方程为y＝±3x ，故所围成的三角形面积为S ＝3·3×3＝9 3.答案：D2．(2013·北京东城综合练习(二))过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的定义知点A 与点B 到y 2＝4x 的距离之和为10，故AB 中点到准线的距离为5，因准线方程为x ＝－1，故AB 中点到y 轴的距离为4.答案：D3．(2013·北京西城区高三二模)已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：由已知可以AD 为x 轴，AD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，易得C (1，－3)，D (2,0)，设抛物线方程为x 2＝ay ＋b ，代入解得x 2＝3y ＋4，故焦点到准线的距离为32. 答案：B4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C5．(2013·福建质检)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：∵PA ⊥l ，△APF 为等边三角形，∴∠FAB ＝30° 在Rt △ABF 中，∵|BF |＝3， ∴|AF |＝6，∴|PF |＝6 答案：C6．(2014·广州中山一中七校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2,22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案：C 二、填空题7．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝1，则抛物线方程为________．解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，∴|AB|＝1，即2p＝1，∴y2＝x.答案：y2＝x8．(2013·汕头市质量测评(二))上图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．解析：建系如右图，设抛物线方程为x2＝2py，过(2，－2)点得p＝－1，∴x2＝－2y，水面下降2米得y＝－4，解得x＝±22，∴水面宽4 2.答案：4 29．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：依题意，抛物线的焦点F (1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN |＋|PE |＝|PN |＋|PM |－1＝|PN |＋|PF |－1≥|FN |－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－110．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 解析：F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2. 因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k2，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x－3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ， 所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12xy 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8py ＝－4p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 和(8p ，－4p )．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12tx －y ＋4＝0x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16. [热点预测]13．(2013·石家庄质检(二))已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2；若拋物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 由抛物线定义知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离． 所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消x 得：ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0. 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0.所以直线l 方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)，令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0 由题意知QM →·QN →＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0，把y 20＝4x 0代入左式，得：(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0，因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0.所以x 1＝1即在x 轴上存在定点Q (1,0)在以MN 为直径的圆上．。

课时作业48 抛物线一、选择题1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的焦点，则a ＝( )．A ．1B ．4C ．8D ．162．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )．A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )．A ．19B ．14C ．13D ．124．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )．A ．5B ．4C ．1155D ．1155．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其上的3个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )．A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形6．(2012四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )．A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 57．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 在抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )．A ．6B ．4C ．3D ．2二、填空题8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________．9．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为__________．10．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF ＝32MN ，则∠NMF ＝__________. 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．12．(2012江西高考)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与P A ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．参考答案一、选择题1．C 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4，双曲线的焦点为(0，2)，依题意则有a 4＝2，解得a ＝8． 2．D 解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0，3)或(0，－3)． ∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ．3．A 解析：由题意，得1＋p 2＝5， ∴p ＝8．∴m ＝4．∴M (1，4)．又A (－a ，0)，∴直线AM 的斜率为k AM ＝4－01＋a ＝1a ． ∴a ＝13．∴a ＝19． 4．C 解析：设抛物线的焦点为F ，则F (1，0)．由抛物线的定义可知d 1＝|PF |，∴d 1＋d 2＝|PF |＋d 2．∴d 1＋d 2的最小值为|PF |＋d 2的最小值，即点F 到直线x ＋2y －12＝0的距离．∴最小值为|1－12|5＝1155． 5．B 解析：设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k ＞0)，由抛物线定义得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ， 易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．6．B 解析：由抛物线定义知，p 2＋2＝3，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ．因为点M (2，y 0)在此抛物线上，所以y 20＝8，于是|OM |＝4＋y 20＝23．故选B ．7．A 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F (1，0)，∴F A →＋FB →＋FC →＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0. ∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＋x 3＋p 2＝3＋3＝6． 二、填空题8．x 2＋(y －4)2＝64 解析：抛物线的焦点为F (0，4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0，4)，半径长r ＝8．所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64．9．2 解析：抛物线准线为x ＝－1，F (1，0)，则|AC |＝|AF |－1，|BD |＝|BF |－1，∴|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |－2＝|AB |－2．而|AB |为过焦点的弦长，∴当AB ⊥x 轴时，|AB |取到最小值4．∴|AC |＋|BD |≥4－2＝2．10．π6解析：过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ， ∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP ． 又cos ∠MNP ＝32， ∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6． 三、解答题11．解：如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p ． 设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2， 即x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8．① 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ．将其代入①，得p ＝2．∴所求抛物线方程为y 2＝4x ．当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x ．12．解：(1)由MA →＝(－2－x ，1－y )，MB →＝(2－x ，1－y )，得|MA →＋MB →|＝（－2x ）2＋（2－2y ）2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0，2)＝2y ，由已知得（－2x ）2＋（2－2y ）2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程是x 2＝4y ．(2)直线P A ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎫0，－x 204， 分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204， 解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204， 故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝⎛⎭⎫1－x 204·2＝4－x 204， 而S △QAB ＝12·4·⎝⎛⎭⎫1－x 204＝4－x 202， 则S △QAB S △PDE＝2，即△QAB 与△PDE 的面积之比为2．。

【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业8.6抛物线（含2013年模拟题）课时作业【考点排查表】1．(2012·某某高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10 ，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 【解析】 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的半焦距为c ，则2c ＝10，c ＝5.又∵C 的渐近线为y＝±b a x ，点P (2,1)在C 的渐近线上，∴1＝b a·2，即a ＝2b .又c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝25，b ＝5，∴C 的方程为x 220－y 25＝1.【答案】 A2．(2012·某某五校联考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率e 为( )A ．4＋23B.3－1 C.3＋12D.3＋1 【解析】 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选D.【答案】 D3．(2013·某某模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C的离心率为( )A.2B. 3 C ．2 D ．3【解析】 设H (x ，y )如图，OH ：y ＝b ax ，HF 2：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab x －c ，解得H a 2c ，ab c，所以HF 2的中点为M a 2＋c 22c ，ab 2c，代入双曲线方程整理得：c 2＝2a 2，所以e ＝ 2.【答案】 A4．(2012·某某质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 【答案】 A5．(2013·某某模拟)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF →1·PF 2→＝0，则|PF →1＋PF 2→|＝( )A.10B ．210 C.5D ．2 5【解析】 如图，由PF →1·PF →2＝0可得PF →1⊥PF →2,又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF→1＋PF →2|＝|PQ →|＝2c ＝210.【答案】 B6．如下图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以F 1，F 2为焦点，设图1，图2中双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1＞e 2B ．e 1＜e 2C ．e 1＝e 2D ．以上皆非【解析】 (数形结合法)由题意|F 1F 2|为双曲线的焦距，由正三角形、正方形的性质，探求|PF 1|，|PF 2|与|F 1F 2|的关系，再利用双曲线定义及离心率定义求出离心率e 1，e 2.2a ＝|F 2M |－|F 1M |，由图1，知e 1＝2c 2a ＝|F 1F 2|32－12|F 1F 2|＝3＋1，由图2，知e 2＝2c 2a ＝|F 1F 2|104－24|F 1F 2|＝10＋22，所以e 1＞e 2，故选A. 【答案】 A 二、填空题7．(2012·某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 由x 2m －y 2m 2＋4＝1得a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m ＋m 2＋4 ∴e ＝c a ＝m ＋m 2＋4m＝5，即m 2－4m ＋4＝0，解得m ＝2. 【答案】 28．(2012·某某某某三模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PE 的中点，则双曲线的离心率为________．【解析】 如图：∵O 为FF 2的中点，E 为PF 的中点， ∴OE 綊12PF 2，∴|PF 2|＝2OE ＝a ，∵|PF |－|PF 2|＝2a ，∴|PF |＝3a . 又OE ⊥FP ，∴FP ⊥PF 2， ∴(3a )2＋a 2＝4c 2，故e ＝102. 【答案】1029．(2012·某某高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 双曲线的x 24－y 216＝1渐近线为y ＝±2x ，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，所以有b a ＝2，b ＝2a ，又双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点为(5，0)，所以c ＝5，又c 2＝a 2＋b 2，即5＝a 2＋4a 2＝5a 2，所以a 2＝1，a ＝1，b ＝2. 【答案】 1,2 三、解答题10．(2013·某某模拟)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．【解】 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．11．(2013·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0. 求1|OP |2＋1|OQ |2的值． 【解】 (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上， ∴15－3＝3a 2. ∴a 2＝4.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kxx 24－y212＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝123－k2，y 2＝12k23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12k 2＋13－k 2. 则OQ 的方程为y ＝－1kx ， 有|OQ |2＝121＋1k 23－1k2＝12k 2＋13k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋3k 2－112k 2＋1＝2＋2k 212k 2＋1＝16. 12．(文)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b ax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．【解】 (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴交点为Q 点，l 与x 轴交点为M 点．依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝ba ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中 得x 2－3·3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2362－4·8·36＋3k28＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(理)(2013·某某模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF →1·MF →2＝0； (3)在条件(2)下求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点， ∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上， ∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2， MF →1·MF →2＝0.法二：∵MF →1＝(－3－23，－m )，MF →2＝(23－3，－m )，∴MF →1·MF →2＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3，∴MF →1·MF →2＝0.(3)∵△F 1MF 2中|F 1F 2|＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝12×43×3＝6.四、选做题13．已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52. (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； (2)如图，已知过点M (x 1，y 1)的直线l 1：x 1x ＋4y 1y ＝4与过点N (x 2，y 2)(其中x 2≠x 1)的直线l 2：x 2x ＋4y 2y ＝4的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点．求O G →·O H →的值．【解】 (1)设C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)，则由题意c ＝5，又e ＝c a ＝52， 因此a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1，C 的标准方程为x 24－y 2＝1.C 的渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.(2)如图，由题意点E (x E ，y E )在直线l 1：x 1x ＋4y 1y ＝4和l 2：x 2x ＋4y 2y ＝4上，因此有x 1x E ＋4y 1y E ＝4，x 2x E ＋4y 2y E ＝4.故点M 、N 均在直线x E x ＋4y E y ＝4上，因此直线MN 的方程为x E x ＋4y E y ＝4. 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线x －2y ＝0及x ＋2y ＝0的交点，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x E x ＋4y E y ＝4，x －2y ＝0，及⎩⎪⎨⎪⎧x E x ＋4y E y ＝4，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x G＝4x E＋2y E，y G＝2x E＋2y E，⎩⎪⎨⎪⎧x H＝4x E－2y E，y H＝－2x E－2y E.故O G →·O H →＝4x E ＋2y E ·4x E －2y E －2x E ＋2y E ·2x E －2y E ＝12x 2E －4y 2E.因为点E 在双曲线x 24－y 2＝1上，有x 2E －4y 2E ＝4. 所以O G →·O H →＝12x 2E －4y 2E＝3。

【全程复习方略】（某某专用）2014年高考数学第八章第八节抛物线课时作业理新人教A版一、选择题1.(2013·某某模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=( )(A)(B)1 (C)2 (D)32.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)123.(2013·某某模拟)一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的面积是( )(A)48(B)24(C)(D)4.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为( )(A)(B)(C)(D)5.(2013·某某模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有( )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条6.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )(A)48 (B)56 (C)64 (D)727.若双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为( )(A)(B)(C)(D)8.(能力挑战题)已知F为抛物线y2=8x的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||的值等于( )(A)4(B)8 (C)8(D)16二、填空题9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为.10.(2013·某某模拟)已知抛物线y2=4x与直线2x+y-4=0相交于A,B两点,抛物线的焦点为F,那么||+||=.11.(能力挑战题)如图,抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则·的值是.三、解答题12.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O 为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程. 13.(2013·揭阳模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.14.(2013·某某模拟)已知定点R(0,-3),点P在x轴上,PR⊥PM,线段PM与y轴交于点Q,且满足=2.(1)若点P在x轴上运动,求点M的轨迹E的方程.(2)求轨迹E的倾斜角为的切线l0的方程.(3)若(2)中的切线l0与y轴交于点G,过G的直线l与轨迹E交于A,B两点,D点的坐标为(0,1),当∠ADB为钝角时,求直线l的斜率k的取值X围.答案解析1.【解析】选C.由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).2.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4,延长使得和准线相交于点Q,则|PQ|等于点P到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点P到该抛物线焦点的距离为6.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.3.【解析】选A.如图,设AB所在的直线方程为y=x,由得B点坐标为(12,4),∴S△ABC=2S△ABD=2××12×4=48.4.【解析】选A.由已知得1+=5,∴p=8.∴y2=16x,又M(1,m)在y2=16x上,∴m2=16(m>0),∴m=4,∴M(1,4).又双曲线-y2=1的左顶点A(-,0),一条渐近线为y=x=x.又k AM=,∴=,解得a=.5.【解析】选C.作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.6.【解析】选A.由题不妨设A在第一象限,联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而准线方程是x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8,故S梯形APQB=(AP+QB)·PQ=48.7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.8.【解析】选C.依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,由消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|===8.9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4),准线方程为y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.答案:x2+(y-4)2=6410.【解析】由消去y,得x2-5x+4=0(*),方程(*)的两根为A,B两点的横坐标,故x1+x2=5,因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),所以||+||=(x1+1)+(x2+1)=7.答案:711.【解析】由于抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0),则||=||-1=x A,||=||-1=x D,∴||·||=x A·x D==1,∴·=||||=1.答案:112.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得k OP·k OQ=-1,即·=-1,化简得x2=2y,∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.设直线l2的方程为y=kx+b,由得x2-2kx-2b=0.∵直线l2与曲线C相切,∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.点(0,2)到直线l2的距离d==·=(+) ≥×2=.当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.13.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)存在.假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.∵直线l与抛物线C有公共点,∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由直线OA与l的距离d=,可得=,解得t=±1.∵-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞).∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.14.【解析】(1)设M(x,y),P(x0,0),则=(-x0,-3),=(x-x0,y),∵⊥,∴-x0(x-x0)-3y=0,即x0(x-x0)+3y=0,又设Q(0,y0),∵=2,∴(x,y-y0)=2(-x0,y0),∴∴2x0(2x-2x0)+12y=0,∴-x·3x+12y=0,∴y=x2.(2)设切点M0为(x0,y0),∵y′=x,∴切线l0的斜率k0=x0=1,∴x0=2,切点为(2,1).l0的方程为x-y-1=0.(3)由(2)可知G点坐标为(0,-1),易知直线l斜率存在,则l:y=kx-1, 由得x2-4kx+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=16k2-16>0,即k2>1,∵∠ADB为钝角,∴·<0,且与不共线,于是x1x2+(y1-1)(y2-1)<0,∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4<0.即k2>2,即k<-或k>.∴直线l的斜率k的取值X围是k>或k<-.。

课时提升作业(四十九)抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为( )A.5B.10C.20【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,±4),所以S△PMF=12|y P||PM|=12×4×5=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】(2015·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-p2,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|-p2-2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C.2.(2015·六安模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )A.2 1【解析】选A.F p(,0),2设y2(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=1p2p2+=2,解得p=2.3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F p(,0),2设点A(0,2),抛物线上点,则=p(,2)2-,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M8(,4)p.由|MF|=5得=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.4.(2015·济南模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为( )12A.?33【解析】选C.设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0),如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|FA|,所以|OB|=|BF|, |AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=12点B的横坐标为1,故点B的坐标为),把B点坐标代入直线方程得k.5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1C.x=2D.x=-2,【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-p2与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得:k AB =121212y y 2p px x y y 2-==-+=1,所以p=2, 所以抛物线的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1. 【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.(2)在椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)中,以P(x 0,y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=2020b x .a y -(3)在双曲线2222x y a b -=1(a>0,b>0)中,以P(x 0,y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=2020b x .a y .(4)在抛物线y 2=2px(p>0)中,以P(x 0,y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=p y . 【加固训练】(2015·孝感模拟)直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点,且与抛物线交于A,B 两点,若AB 中点的横坐标为3,则线段AB 的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l 0,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C 是AB 的中点,其坐标为(x C ,y C ),分别过点A,B 作直线l 0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=x A +1+x B +1=x A +x B +2=2x C +2=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是.【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=p2的距离,所以p2+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,≤a,所以a≥1或a≤0,因为由题意知a>0,所以a≥1.答案:[1,+∞)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令,a),则,m2-a),,m2-a),因为⊥,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).答案:[1,+∞)8.已知抛物线x 2=2y,过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于P,Q 两点,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 .【解析】由x 2=2y 得y=x 2,所以y ′=x. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),所以抛物线在P,Q 两点处的切线的斜率分别为x 1,x 2, 所以过点P 的抛物线的切线方程为y-y 1=x 1(x-x 1), 又=2y 1,所以切线方程为y=x 1x-,同理可得过点Q 的切线方程为y=x 2x-,两切线方程联立解得 12A 12A x x x 2x x y 2+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又抛物线焦点F 的坐标为（0,）,设直线l 的方程为y=mx+,由21y mx 2x 2y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，，得x 2-2mx-1=0, 所以x 1x 2=-1,所以y A =-. 答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A,B 两点,抛物线在A,B 两点处的切线交于点M. (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF 交该抛物线于C,D 两点,求四边形ACBD 面积的最小值.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB 的斜率存在且不为0,则可设直线AB 的方程为y=kx+1(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由2x 4y,y kx 1,⎧=⎨=+⎩消去y,得x 2-4kx-4=0,显然Δ=16k 2+16>0, 所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.由x 2=4y,得y=14x 2,所以y ′=12x,所以直线AM 的斜率为k AM =12x 1,所以直线AM 的方程为y-y 1=12x 1(x-x 1),又=4y 1,所以直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1)①. 同理,直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②. ②-①并据x 1≠x 2得点M 的横坐标x=12x x 2+, 即A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M 的坐标为(2k,-1)(k ≠0). 所以k MF =21,2k k=-- 则直线MF 的方程为y=-1kx+1, 设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),由2x 4y,1y x 1,k⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y,得x 2+4k x-4=0,显然Δ=216k +16>0, 所以x 3+x 4=-4k,x 3x 4=-4.当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.10.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程.(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得p值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为x 2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x 2=4y. (2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意; (ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1, 联立方程可得2y kx 2k 1,x 4y,=-+⎧⎨=⎩整理可得x 2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点, 所以Δ=16k 2-32k+16=0, 所以k=1.综上可得,直线l 的方程为x-y-1=0或x=2.(3)由题意可知,AB 的斜率存在,设AB 的方程为y-1=k ′(x-1),代入抛物线的标准方程x 2=4y 可得x 2-4k ′x+4k ′-4=0,所以x 1+x 2=4k ′=2, 所以k ′=12,所以AB 的方程为y-1=12(x-1), 即x-2y+1=0.(20分钟 40分)1.(5分)(2013·天津高考)已知双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p>0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 则p=( ) A.1 B.32C.2D.3【解析】选C.双曲线的离心率c e 2,a ===OAB b y x,b bp ay .p a 2a x ,2p bpS 22abp 2.a⎧=-⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩=⨯===解得联立得又因为将 2.(5分)(2015·武汉模拟)如图,已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 恰好是双曲线2222x y a b-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()B.2+1-1 【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F 得到交点坐标,代入双曲线,把p 2=c 代入整理得c 4-6a 2c 2+a 4=0,等式两边同除以a 4,得到关于离心率e 的方程,进而可求得e.【解析】选C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点F, 所以两条曲线的一个交点为p (,p),2代入双曲线方程得2222p p41,a b-=又p2=c, 所以2222c c 4a b-⨯=1,化简得c 4-6a 2c 2+a 4=0,所以e 4-6e 2+1=0,所以e2)2,所以+1,故选C.3.(5分)如图,抛物线C:x2=2py(p>0)与圆O:x2+y2=1在第一象限的交点为Q,抛物线C和圆O在点Q处的切线的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=1,则p= .【解析】设Q(x0,y0),且x0>0,y0>0,由抛物线C:x2=2py(p>0)知点Q处的切线斜率为y′==,即k1=,由圆的切线性质可知圆O在点Q处的切线斜率为-,即k2=-,因为k1+k2=1,所以-=1 ①,又因为点Q 在抛物线C和圆O上,所以有+=1 ②,=2py0③,由①③联立得解得即点Q(2p,2p),代入②中得,4p2+4p2=1,所以p2=.又因为p>0,所以p=.答案:4.(12分)(2015·济南模拟)如图,抛物线C1:y2=4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆C2:+=1(a>b>0)的长半轴相等,设椭圆的右顶点为A,C1,C2在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且△OAB的面积为.(1)求椭圆C2的标准方程.(2)过A点作直线l交C1于C,D两点,射线OC,OD分别交C2于E,F两点,记△OEF,△OCD的面积分别为S1,S2,问是否存在直线l,使得S1∶S2=3∶13?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为y2=4x,所以焦准距p=2,由抛物线C1的焦准距与椭圆C2的长半轴相等知a=2,因为S△OAB=|OA|×y B=,所以y B=,代入抛物线方程得B, 又B点在椭圆上,代入椭圆方程,解得b2=3,故椭圆C2的标准方程是:+=1.(2)因为直线l不垂直于y轴,故直线l的方程可设为x=my+2,由得y2-4my-8=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-8,故x1x2=×=4.所以===.又直线OC的斜率为=,故直线OC的方程为:x=,由得=,同理,=.所以===,所以==, 又S 1∶S 2=3∶13,所以=,解得m=±1,故存在直线l :x+y-2=0或x-y-2=0,使得S 1∶S 2=3∶13.【加固训练】已知抛物线C:x 2=2py(p>0),O 为坐标原点,F 为抛物线的焦点,直线y=x 与抛物线C 相交于不同的两点O,N,且. (1)求抛物线C 的方程.(2)若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A,B,交x 轴于点M,且=a,=b,对任意的直线l ,a+b 是否为定值?若是,求出a+b 的值;否则,说明理由.【解析】(1)联立方程2y x,x 2py,=⎧⎨=⎩得x 2-2px=0,故O(0,0),N(2p,2p),所以=由,得p=2, 所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)显然直线l 的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l 与x 轴交点为1M(,0),k- 设点A(x 1,y 1),点B(x 2,y 2),由2y kx 1,x 4y,=+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4=0, 所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k 2+1)>0, 所以x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-4.由=a,得111(x ,y )k+=a(-x 1,1-y 1),所以1111y kx 1a ,1y kx +==--同理可得22kx 1b .kx +=- 所以a+b=12211212kx 1kx 1x x ()(2)1,kx kx kx x +++-+=-+=- 所以对任意的直线l ,a+b 为定值-1.5.(13分)(能力挑战题)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1-时,切线MA 的斜率为-.(1)求p 的值.(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).【解析】(1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y ′=,且切线MA 的斜率为-,所以A 点坐标为（-1,）.故切线MA 的方程为y=-(x+1)+. 因为点M(1-,y 0)在切线MA 及抛物线C 2上,于是y 0=-(2-)+=-, ① y 0=-=-. ②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A（x1,）,B（x2,）,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=,③y=. ④切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+, ⑤y=(x-x2)+. ⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-. ⑦由③④⑦得x2=y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.关闭Word文档返回原板块。

1．抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质．知识点一 抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．[自测练习]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.答案：B知识点二 抛物线的标准方程与几何性质易误提醒 抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)1|F A |＋1|FB |＝2p. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[自测练习]2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( ) A ．y ＝4x 2 B ．y ＝8x 2 C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D.答案：D3．(2016·成都质检)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.答案：B4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p2＝3，p ＝6.答案：6考点一 抛物线的标准方程及几何性质|1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎫116a ，0 解析：抛物线方程化标准方程为x 2＝14a y ，焦点在y 轴上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116a . 答案：C2．(2016·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y 2＝－x ；若焦点在y 轴上，设方程为x 2＝by ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二 抛物线的定义及应用|抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1．到焦点与动点的距离之和最小问题． 2．到准线与动点的距离之和最小问题． 3．到两定直线距离之和最小问题． 4．到焦点与定点距离之和最小问题． 探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题1．(2016·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.答案：5探究二 到准线与动点的距离之和最小问题2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( )A.41 B ．7 C ．6D ．9解析：由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4， 圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离， 即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41.答案：A探究三 到两定直线距离之和最小问题3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A.3716B.115 C ．3D ．2解析：直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D.答案：D探究四 到焦点与定点距离之和最小问题4．(2016·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)解析：本题考查抛物线的定义，过M 点作左准线的垂线(图略)，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．答案：D求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三 直线与抛物线的位置关系|(2016·保定模拟)已知：过抛物线x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .(1)求证：AB →·CF →＝0； (2)求△ABC 的面积的最小值．[解] (1)证明：设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴l AC ：y －14x 2A ＝12x A (x －x A )，l BC ：y －14x 2B ＝12x B (x －x B )，∴x C ＝2k ，y C ＝－1.①若k ≠0，则k CF ＝－1k ，∴k AB ·k CF ＝－1，∴AB →·CF →＝0.②若k ＝0，显然AB →·CF →＝0(或∵CF →＝(－2k,2)，AB →＝(x B －x A ，k (x B －x A ))， ∴AB →·CF →＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0.(2)由(1)知，点C 到AB 的距离d ＝|CF |＝21＋k 2.∵|AB |＝|AF |＋|FB |＝y A ＋y B ＋2＝k (x A ＋x B )＋4＝4k 2＋4， ∴S ＝12|AB |d ＝4(k 2＋1)32，∴当k ＝0时，△ABC 的面积取最小值，为4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(2015·高考四川卷)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5，所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.答案：D8.直线与圆锥曲线问题的答题模板【典例】 (13分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．[解题思路] (1)由抛物线的焦点坐标可求c ，又由两曲线的公共弦长为26得出a ，b 的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k 的方程．[规范解答] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1，①(2分)又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，由C 1的方程为x 2＝4y ，(4分) 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1，②(5分)联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(6分)(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③(8分)设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0， 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤(10分) 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2， 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，(12分)所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(13分)[模板形成]特定系数法求曲线方程↓联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程↓写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围或指出直线过曲线内一点；↓根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2或y 1y 2，y 1＋y 2的关系式，求得结果；↓反思回顾，查看有无忽略特殊情况.[跟踪练习] (2016·唐山模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)将(*)化为y 2－4my ＋8＝0.则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.A 组 考点能力演练1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2D.14解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.答案：D2．(2016·襄阳调研)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵外接圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.答案：B3．(2016·新余模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15解析：根据题意得点P 的坐标为(4，±4)，所以S △PMF ＝12|y p |·|PM |＝12×4×5＝10，故选B.答案：B4．(2016·九江一模)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3解析：由题意得，直线l ：y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，得N ⎝⎛⎭⎫p 4，－22p ，∴|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，∴|MF |＝p ＋p 2＝32p ，∴|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C.答案：C5．(2015·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤4，当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.答案：D6．抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为________．解析：由抛物线y 2＝x ，得2p ＝1，∴p ＝12，抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为p ＝12. 答案：127．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：圆的圆心坐标为(1，－2)．设抛物线方程为y 2＝ax ，将圆心坐标代入得a ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x8．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x9.已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P在x轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程．解：(1)依题意得点P 的坐标为(－m,0)．∵以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，∴MP ⊥l .∴k MP ·k l ＝0－(－1)－m －2·1＝－1，解得m ＝－1. ∴点P 的坐标为(1,0)．设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l 的方程y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1m y ，y ＝－x －m ，得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1－4m 2， ∵直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切， ∴Δ＝0，解得m ＝±12. 当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ； 当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －12，抛物线C 的方程为x 2＝－2y . 10．(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM →·ON →＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为：x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp (my 1＋4)(my 2＋4)＝0. (2)设点P (x 0，y 0)，直线P A ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0， 同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0. 因为OM →·ON →＝2，所以4＋y N y M ＝2，－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝－2. 16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20＝－2， 16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2， p ＝12，抛物线C 的方程为y 2＝x .B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为x ＝－2①，设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，所以椭圆E 的半焦距c ＝2，又椭圆E 的离心率为12，所以a ＝4，b ＝23，椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1②，联立①②，解得A (－2,3)，B (－2，－3)，或A (－2，－3)，B (－2,3)，所以|AB |＝6，选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)解析：因为抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1， ∴p 2＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B. 答案：B3.(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1. 答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。