Ch分离变量法

分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。

2、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。

nx u ( x, t ) u n (t ) sin l n 1

• 式中， u n (t ) 是t的待定函数。
假设的解
nx u ( x, t ) u n (t ) sin l n 1

1、边界条件自动满足 2、要满足初始条件，则 (0) 0 un (0) un 3、代入泛定方程，？
非齐次方程的求解
• 原定解问题的解为
u ( x, t )
0 n a n 1

l
t
na (t ) nx f n ( ) sin d sin l l
un(t)
Xn(x)
• 这种方法实质上是将方程的自由项及解都 按照相应的齐次方程固有函数系展开，因 此这种方法也称为固有函数法。 • 需要注意的是，随着边界的变化，固有函 数也会变化。
弦的强迫振动：任意初始条件
• 而 w( x, t ) 则表示仅由初始状态引起的弦振 动的位移，它满足
2 2 w w 2 (0 x l , t 0) 2 a 2 t x w(0, t ) 0, w(l , t ) 0 w w( x,0) ( x), |t 0 ( x) t
非齐次问题求解以齐次问题的求解方法为基础。
方程是非齐次 • 有界弦的强迫振动问题
• 齐次边界条件与零初始条件的强迫振动问题，即 一根弦在两端固定、初始无偏移的情况下，受外 力作用所产生的振动
f ( x, t )
2 2u 2 u f ( x, t ) 2 a 2 t x u (0, t ) 0, u (l , t ) 0 u ( x,0) 0, u ( x,0) 0 t
2 2v v 2 f ( x, t ) 2 a 2 t x v(0, t ) 0, v(l , t ) 0 v v( x,0) 0, |t 0 0 t

尖劈局部电场分布
（右图电力线按反方向绘制）
采用ANSYS 计算尖劈电场分布的
两种有限元网格
分离变量法的示例—圆柱问题
(a)绝缘体中有气泡
(b)空气中有介电柱

2(1 cos n )U 0 An n b n sh a
2(1 cos n )U 0 n x n y sin sh n b a a n 1 n sh a

(2l 1) x (2l 1) y sh sin 4U 0 a a (2l 1) b l 0 (2l 1) sh a

(sin e cos e )
当 0
如果


0
4U 0 E1 0 0

(sin e cos e )
当 0
如果


1
E1
4U 0
0
(sin e cos e ) ey
4U 0
0
4U 0 E1 0 0

(sin e cos e )
当 0 如果



尖劈电场分布的 ANSYS有限元计算结果
利用三角函数的正交性，
0 ( n m) a n x m x 0 sin a sin a dx a (n m) 2
得到： B 0 n
2(1 cos n )U 0 An n b n sh a
傅里叶级数的系数
所以原边值问题的解为：
n x n y n y Bn ch sin An sh a a a n 1

第二章 分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。

解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题§2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。

定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为.0 ),(u ),(u 0,,0u ,0u 0, l,0 ,0t0022222l x x x t t x xu a t u t t l x x ≤≤==>==><<∂∂=∂∂====ψϕ分析：1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。

2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。

启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。

由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：)()(),(t T x X t x u =的非零解。

将),(t x u 代入方程，可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒= 此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。

因此，左端和右端相等，就必须等于一个与t x ,无关的常数。

设为λ-，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒-==.0)()(,0)()()()()()( ''2''2''''x X x X t T a t T x T a x T x X x X λλλ将边界条件代入),(t x u 得,0)()()()0(==t T l X t T X此时，必有,0)()0(==l X X这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量目标：分离变量形式的解)()(),(t T x X t x u =结果：得到函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程，.0)()0(,0)()(''===+l X X x X x X λ条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的现在我们求解函数)(x X 满足的常微分方程定解问题。