张奠宙：话说分数（上篇）

张奠宙：分数的意义在欧美各国的数学课程中，分数大多被放在中学(6～7年级)，我国的分数课程则要早一些。

20世纪60年代，分数内容安排在五年级，现在则在四年级上学期，甚至三年级就开始学习了。

这可能是由于中文数学名词“三分之一”“几分之几”，精确又达意，容易理解。

而“三分之一”的英文表达是“one—third(一和第三)”，这就比较费解了。

东亚的许多使用汉字的国家和地区，学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好，据说与此有关。

分数该怎样定义?一般地，有以下四种：定义1(份数定义)：分数是把一个电位平均分成若干份之后其中的一份或几份。

定义2(商定义)：分数是两个整数相除(除数不为0)的商。

定义3(比定义)：分数是整数q与整数P(P≠0)之比。

定义4(公理化定义)：有序的整数对(p，q)，其中p≠0。

一、关于份数的分数意义小学数学中，一般都采用以下的定义：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

表示把单位“1”平均分成多少份的数P(P≠0)叫做分母，表示取了多少份的数q叫做分子。

分数写成q/p，读作p分之q。

这一定义的好处是直观、明白易懂，强调了“平均分”，特别对“几分之几”做了贴切的说明，对理解以后的分数运算也有很重要的价值。

进一步，不仅可以分一个物体，还可以分一群物体。

在教学上，选择适当的单位是理解分数的份数定义的关键。

此外，把1/q作为分数单位加以强调，能帮助学生了解分数的含义。

在教学中，我们强调“平均分”是必要的。

同时，也要注意平均分只是各个部分的地位相同，外观不一定相同。

例如，12辆汽车中，8辆是卡车，4辆是轿车，问轿车是全部汽车的几分之几?12粒糖中，巧克力有4粒，问巧克力占多少?这里平均分的是汽车、糖，而不在乎具体内容。

但是，用份数来定义分数，也有不少缺点。

首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。

其次，平均分一个大饼之后其中的一份或几份的说法，常常会误解为分数总是小于1(比一个大饼小)。

《分数的意义》教学反思《分数的意义》教学反思汇总（15篇）身为一名人民老师，教学是我们的工作之一、在写教学反思的时候可以反思自己的教学失误，那么问题来了，教学反思应该怎么写？以下是本店铺精心整理的《分数的意义》教学反思，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

《分数的意义》教学反思1课前让学生开展找身边的分数活动。

生活是丰富多彩的，他们采来的“果子”也是丰富多彩的，然后回到课堂交流扩大“果子效益”。

当然开放策略也指学生之间的交流与探讨的的开放，课时给学生提供交流与探讨的机会和场所。

学生便会畅所欲言，积极参与学习探究活动。

如在学生学会百分号的写法时，我让学生试着写10个百分号，当大部分学生还未写完，就突然袭击让学生停下来，让学生根据自己写的百分号的个数说一句有关百分数的话。

生1、我写了四个百分号，生2、我写的百分号的个数占了老师规定的个数的百分之五十。

你们猜猜我写了几个？生3、我写了7/10、生4、我110%，在不知不觉中学生既掌握了百分号的写法和意义，又启迪了思维。

百分数的意义教学反思3百分数的意义是在学生学过整数、小数特别是分数的概念的基础上进行教学的，这节课的教学目的是帮助学生理解百分数的意义，掌握百分数的读写法，明确分数和百分数的区别，体会百分数在生活中的巨大作用，也为学生能够正确运用百分数来解决实际问题打好基础。

学生在生活中经常接触到了百分数，但是对于百分数的意义并不理解。

因此我认为教学时应该从百分数起源入手较合理。

为此我设计以下教学：一、创设熟悉的生活情境在教学的开始，我从学生每天吃早餐使用一次性筷子给森林带来了哪些危害导入，引出我国森林覆盖率及其它一些国家的森林覆盖率，引导学生思考，从而引出本课的教学重点——百分数的意义。

这样的引入，使学生不但知其然，也知其所有然。

由于学生已经掌握了分数的意义，理解了分数表示的是一个数是另一个数的几分之几。

因此，学生学习百分数有了一定的知识理解的基础，理解森林覆盖率：森林面积占我国土地面积的。

《分数的意义》教学反思（优秀8篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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五年级下学期分数的意义教学反思（精选10篇）在充满活力，日益开放的今天，课堂教学是我们的任务之一，反思过去，是为了以后。

那么你有了解过反思吗？以下是小编为大家收集的五年级下学期分数的意义教学反思（精选10篇），欢迎阅读与收藏。

五年级下学期分数的意义教学反思1“分数的意义”这部分的内容是学生在学习了四年级的《分数的初步认识》的基础上教学的，学习之前，我通过对个别学生进行谈话调查，发现部分学生在学习这部分内容时还是在原来的框框里出不来，只停留在“把一个苹果平均分成2份，每份是这个苹果的二分之一。

”这样的认识中。

学生仅认为一个就是单位“一”。

对什么是分数并没有过深入理解，而只是浅显表象的理解，而对一些事物等都可以当作单位一时，很疑惑，而这也让我对本堂课的教学感到十分困惑。

这堂课我应该教个孩子些什么？本堂课的重点究竟是什么，我要如何突破重点？……带着一系列的困惑，我再次认真阅读了教学参考，并通过各种渠道搜索有关本节课的课堂实录和案例设计及分析。

最终明确了“分数的意义”是在学生已对分数有了初步的认识的基础上进行教学，其教学目的是让学生能正确地认识单位“1”，理解分数的意义，并能对具体情境中分数的意义做出解释，分数的产生学生都知道在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示，而分数的意义对于小学生来说是一个比较抽象的概念，怎样让学生理解单位“1”的含义？引导学生一步一步地从具体的实例中逐步抽象归纳出分数的意义是本节课所要解决的重点问题。

因此，课中我能紧紧抓住本课的重点，从以下三个方面着手，引导学生领悟单位“1”的含义，理解分数的意义。

1、游戏导入，突破单位“1”的认识。

在教学时，为了帮助学生突破原有认知的禁锢，理解可以把多个物体看作一个整体，认识单位“1”。

我在教学开始设计了“说一不二”的游戏。

（游戏规则：“用适当的数学语言描述所给的情境，描述时只允许用数“1”，不允许用除了1以外的其它数。

人教版小学分数认识的误区发布时间：2021-09-24T01:39:34.127Z 来源：《中小学教育》2021年5月第14期作者：魏亮[导读] 分数是小学数学的核心概念，是小学生学习的一个难点，也是一线教师感到难教的一个教学内容。

在教学实践中，我发现毕业班的学生对于分数知识的应用存在问题，一线老师对分数意义的理解也存在误区，究其根源，笔者认为，其不在分数问题的解决上，而在于“分数认识”这一环节上。

魏亮甘肃省皋兰县石洞小学 730299摘要：分数是小学数学的核心概念，是小学生学习的一个难点，也是一线教师感到难教的一个教学内容。

在教学实践中，我发现毕业班的学生对于分数知识的应用存在问题，一线老师对分数意义的理解也存在误区，究其根源，笔者认为，其不在分数问题的解决上，而在于“分数认识”这一环节上。

另外，人教版教材的也有待进一步认识。

关键字：人教版分数的定义分数认识的误区一、分数练习的调查分数是小学数学中非常重要且比较难教的内容，每每在小学毕业考试中，都会出现如下试题：试题1：把一根2米长的绳子平均分成3段，每段是全长的（），每段长（）米。

试题2：比2米多1/3是（）米。

试题3：比2米多1/3米是（）米。

试题1的第一空，学生基本上都会正确填上1/3，至于第二个空，学生要么不填，要么仍填1/3，填上正确答案2/3的学生比较少；试题2和3，每次都会有人错，学生很难掌握，常听到老师们抱怨，“这种类型的问题，我不知讲了多少遍，怎么就屡教不改呢！”无奈之下，老师最后直接抛出一个秘诀：1/3后面没有米，就乘或除；1/3后面有米，就加或减。

学生为什么“屡教不改”？老师能这么教吗？笔者认为，问题的根源不在分数问题的解决，而在于“分数认识”这一环节上。

二、分数的定义调查“分数的认识”属于“数与代数”板块中“数的认识”范畴，人教版在五年级下册是第4单元第46页中给出了分数的“份数定义”，“把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示”。

分数的定义张奠宙【专题名称】小学数学教与学【专题号】G392 【复印期号】2010年10期【原文出处】《小学教学数学版》郑州2010年1期第1819页【关键词】EEUU 【编者按】分数一直是小学数学教学中的一个重点和难点。

分数教学之难不仅表现为其概念、规则、类型等内容不易为学生所理解和掌握更为根本的是难在其概念、规则与运算的相互关联与融合。

而分数及其相关概念作为分数学习的基础其教学效果更是决定着后续教学内容的顺利推进。

如果学生在分数的初步认识上就出现了理解的偏差那么之后对于分数意义和运算的学习就可能遇到更多的障碍、出现更多的问题。

本期以“分数的初步教学”为专题探讨了分数的概念及其教学难点以及具体教学案例的设计与反思有助于为分数教学的第一步打下坚实基础。

在欧美各国的数学课程中分数大多被放在中学67年级我国的分数课程则要早一些。

20世纪60年代分数内容安排在五年级现在则在四年级上学期甚至三年级就开始学习了。

这可能是由于中文数学名词“三分之一”“几分之几”精确又达意容易理解。

而“三分之一”的英文表达是“onethird一和第三”这就比较费解了。

东亚的许多使用汉字的国家和地区学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好据说与此有关。

分数该怎样定义一般的有以下四种定义1份数定义分数是把一个单位平均分成若干份之后其中的一份或几份。

定义2商定义分数是两个整数相除除数不为0的商。

定义3比定义分数是整数q 与整数pp≠0之比定义4公理化定义有序的整数对pq其中p≠0。

一、关于份数的分数定义小学数学中一般都采用以下的定义将单位“1”平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数。

表示把单位“1”平均分成多少份的数pp≠0叫做分母表示取了多少份的数q叫做分子。

分数写成读作p分之q。

这一定义的好处是直观、明白易懂强调了“平均分”特别对“几分之几”做了贴切的说明对理解以后的分数运算也有很重要的价值。

进一步不仅可以分一个物体还可以分一群物体。

“张奠宙谈小学数学本质”2009年第2期《人民教育》有一篇华东师大张奠宙教授与浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任唐彩斌《关于小学“数学本质”的对话》，仔细读过并作了认真思考，有如下收获。

1、0为什么是自然数？0是自然数有许多理由。

首先，人的经验是，从无到有。

……第二，更重要的是书写的需要，……没有0，就写不出10，20，30，100。

所以，0，1，2……9这10个数字是最基本的。

第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。

……如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能减了？从数学史看，在1、2……9等自然数形成之后很久人们才发明了0。

0的意义极大，使十进位值制成为可能是其最大的价值，进而使四则运算极为简化。

张教授指出的第二、第三个理由都是从自然数公理系统角度来说的，即是说：只有把0包括在内，自然数系统才能具备严密的逻辑结构。

请注意：和后文的几个问题一样，张教授始终强调从数学内部发展需要的角度看数学新知识的引入，而这正是当前我们数学教师的一个薄弱点。

2、感受100万粒米有多大有没有必要？数学教学要关注的是100万这个数的结构。

至于说100万粒米有多大，知不知道无所谓。

……主要精力要放在100万的结构，即如何形成100万上面。

例如，我们可以设计这样的活动：从一个单位立方体出发，10个构成一排，10排构成一个正方形，10个正方形叠起来构成一个立方体，即1000。

再以这个立方体作为新单位，10个一排构成万，10排形成新的正方形构成10万，最后，10个新正方形构成新的立方体，就是100万。

这个过程是每个人都要弄明白的。

这种做法的好处有二：第一了解十进位值制，第二发展空间想象能力。

但说“100万粒米有多大知不知道无所谓”我不赞成：这是让学生感知“大数”的一种做法，而在现代社会感知“大数”是每个老百姓都应有的数学素养之一。

3、分数究竟该如何定义？用份数的定义来引入分数是非常自然的。

但这样说还没有体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数。

关于“真分数、假分数”教学设计的谈话——与张奠宙教授的对话李勇【摘要】我是一名刚参加工作的年轻教师，有机会认识了华东师范大学数学系的张奠宙教授。

最近我听了一节关于“真分数、假分数”的课，收获颇多，也有一些思考。

记得张教授说过，他很愿意了解一线课堂的真实情况，于是我就向他请教。

他高兴地接待了我。

以下是我们的谈话记录。

【期刊名称】《小学教学：数学版》【年(卷),期】2016(000)012【总页数】3页(P19-21)【关键词】真分数;假分数;教授;教学设计;谈话;对话;华东师范大学;年轻教师【作者】李勇【作者单位】江苏阜宁县阜师附属小学【正文语种】中文【中图分类】G633.62我是一名刚参加工作的年轻教师，有机会认识了华东师范大学数学系的张奠宙教授。

最近我听了一节关于“真分数、假分数”的课，收获颇多，也有一些思考。

记得张教授说过，他很愿意了解一线课堂的真实情况，于是我就向他请教。

他高兴地接待了我。

以下是我们的谈话记录。

李勇（以下简称李）：真分数和假分数，是苏教版实验教材五年级下册第四单元中的一节课。

学生已经学过了分数的意义，对分数的定义很熟悉。

因此，如果只是按照教材中的内容，在黑板上抄一下真分数、假分数的定义，然后要求学生按定义指认哪些是真分数、哪些是假分数，学生似乎也能掌握本节课的知识。

张奠宙（以下简称张）：是啊。

我看了网上推荐的一些教案，大多数也是这么做的。

其实，五年级的学生，已经能够进行比较深入的思考。

现在强调让学生主动提出问题，我想在这节课上，学生一定在想：分数还有假的吗？为什么要分真和假呢？分真分数和假分数有什么好处呢？我想我们的教学，除了认识真分数和假分数，还需要引导学生思考并解决这些自然会产生的问题。

李：我听的那节课，就是企图打破“套用定义，反复练习”的教学定式。

授课教师设计了四个活动。

活动一：区分真和假。

要求学生比较儿子的年龄与母亲的年龄，由学生探究出：儿子的年龄比母亲的年龄小（真），儿子的年龄大于或等于母亲的年龄（假）。

——兼评华应龙老师执教的“分数的意义”【专题名称】小学数学教与学【专题号】G392【复印期号】2011年08期【原文出处】《人民教育》(京)2011年6期第37～42页【作者简介】刘加霞，北京教育学院。

德国著名数学家、直觉派代表人物克罗内克尔曾说过：上帝创造了自然数，其他的数都是人造的玩意儿。

确实，数物体的“个数”（集合元素的个数）似乎是人的一种本能（最初一个一个地数，后来按“群”计数，产生新的计数单位），是一种自然的事情。

对学生来说，学习分数（从数学发展史来看，分数是第一个人造的数）也通过“数”分数单位的个数是否更自然？对于任何数来说，“计数单位”与“单位的个数”有什么作用？基于度量的需要，数（shǔ）分数单位的“个数”从而得到分数体现出分数是个“数”（度量数）的意义，但除此以外，分数还有“比率数”的含义，这一层含义在“分数的意义”教学中如何体现？即作为“量”的分数（带有量纲）与作为“率”的分数（无量纲）的关系是什么？二者如何实现统一？在我国各个版本的教材中，基本都是分两次学习“分数的初步认识”和“分数的意义”。

“分数的初步认识”的教学，多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的，即借助于直观模型（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画了“部分—整体”之间的比率关系（作为“率”的分数），教学内容与教学方法没有太大的异议。

但在“分数的意义（甚至我们需要进一步追问什么叫‘某某数的意义’）”这部分内容中，究竟要学习什么？怎么学习？为了回答上述问题，我们将结合华应龙老师执教的“分数的意义”一课以及华老师的思考来研究。

一、学生为什么不认为“分数”是个“数”？一直以来，在学生的心目中并不承认分数是个“数”，是个“结果”，例如，学生在解决实际问题时，答案若是“米”的话，学生几乎都要化为“1.5米”，似乎只有看到这个结果，心里才“踏实”。

出现这个现象的原因很多，关键是分数既不是“十进制”的，也不是“位值制”的，无法按照自然数的习惯看出其大小。

“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”这个法则是怎么得出的？为什么“颠倒相乘”后能简化分数除法计算？为什么整数除法中直接除以除数，而到了分数除法中要乘它的倒数？倒数的本质是什么？这一系列问题困扰着学生及一线教师。

下面我借助除法的意义、乘法和除法之间的关系逐层理解和分析分数除法计算法则，再从群论角度深入分析、探究分数除法计算法则的内在原理。

一、从除法的意义角度理解分数除法计算法则除法的意义是理解除法算理的基础，除法有两类意义模型：等分除和包含除。

下面分别利用等分除和包含除解释和推导为什么分数除法中会出现“颠倒相乘”的计算方式、为什么“颠倒相乘”后能简化计算，进而理解分数除法计算法则。

（一）利用包含除解释分数除法计算法则成立的原因。

张奠宙教授指出“分数除法对包含除的需求特别强烈”。

对于整数除以分数，即a ÷n m，根据包含除的意义，1中有m n 个n m，则a 中有a ×m n 个n m ，所以a ÷n m =a ×m n。

在上述过程中，m n 的意义是1中n m 的个数。

这可以作为分数除法计算中“颠倒相乘”现象的一种朴素解释。

（二）利用等分除解释分数除法计算法则成立的原因。

除数为整数的等分除模型是一个平均分的过程，即知道整体后求每个部分的大小；除数为分数的等分除模型则是一个逆向分析过程。

对于分数除以分数，即b a ÷n m，借助等分除的意义，将单位“1”平均分成m 份，n 份是b a，所以b a ÷n m 求的是单位“1”。

也可以先由b a ÷n 求出1份，由于单位“1”是m 份，所以单位“1”是b a ÷n ×m =b a ×m n 。

所以b a ÷n m =b a ×m n 。

在上述过程中，分子、分母颠倒即可实现b a和单位“1”之间关系的转换，同时实现从除法计算到乘法计算的过渡。