矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵加法秩不等式证明本文将证明一个矩阵加法秩不等式，即对于任意两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)。

首先，我们可以将A和B按列拼接成一个新的矩阵C，即C = [A|B]。

因此，我们可以将A+B表示为C乘以一个向量[1;1]，即(A+B) = C[1;1]。

接下来，我们考虑对C进行列变换，使得C的前rank(A)列构成一个线性无关的列向量组，后面的列向量为线性相关。

这可以通过对C进行初等列变换实现，而不改变矩阵乘积C[1;1]的值。

我们将变换后的矩阵记为C'，则C'的前rank(A)列构成一个线性无关的列向量组，后面的列向量都可以表示为前面列向量的线性组合。

因此，我们可以将C'表示为C' = [A'|B']，其中A'为C'的前rank(A)列，B'为C'的后面的列向量。

现在，我们将C'乘以向量[1;1]，即有(A+B) = C'[1;1]，而C'的第i+1列可以表示为A'的线性组合，因此可以得到：(A+B) = C'[1;1] = A'[1;1] + B'[1;1] = A[1;1] + (B-A')[1;1]由于B-A'的每一列都可以表示为A和B的对应列的线性组合，因此B-A'的秩不超过rank(B)+rank(A')，即rank(B-A') ≤rank(B)+rank(A')。

因此，我们可以得到：rank(A+B) ≤ rank(A)+rank(B-A') ≤rank(A)+rank(B)+rank(A') ≤ rank(A)+rank(B)因此，我们证明了矩阵加法秩不等式。

矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。

矩阵不等式矩阵不等式在近几年的高考中是一个热点，它常与导数、数列相结合。

通过学习掌握解答此类问题的基本思想和方法对今后的学习很有帮助。

所谓“矩阵”就是含有未知数的方程组，而不等式就是一种方程组。

把矩阵写成方程组来研究具体的不等式是非常简便易行的办法。

矩阵的秩即是不等式的解集，当然矩阵的秩越大解集也就越大了。

因为每个矩阵都包含两个元素，所以每个矩阵都至少有一个零向量。

任何满足条件的多项式都能表示为不等式组的形式，这些多项式称为函数。

如果仅仅根据多项式的系数和不等式的解集的关系，我们可以找出许多不等式，但这样做太麻烦了，还容易产生误解。

因此，人们希望寻找更简单的方法来确定方程组的系数和不等式的解集。

一般地说，要使用数值方法。

其实数值方法的原理并不复杂，主要涉及的计算方法有迭代法、牛顿法、插值法、数值积分法等。

用这些方法处理求不等式的解集是十分直观、迅速的，从而显著提高了运算效率。

矩阵不等式的求解属于求函数的极值或最值，一般情况下求解较为困难，特别是选择适宜的初始值、求解过程中的迭代步骤、代入方法以及解决可行性问题的变换手段等。

解答这类问题时，首先要明确已知量与待求量的范围，也就是问什么？求哪些量？怎么去求呢？总的原则：能用初等变换化为已知量的等价或不等式，尽量利用初等变换；若不能转化则将待求量代入原方程组，再判断原方程组是否有实数根。

遇到二次不等式，应分类讨论，不能一刀切，特殊情况除外。

如果你觉得有用请记得收藏哦！谢谢！首先应注意不同级别之间的关系，对于复杂方程组，需采用列写一般的线性方程组的方法（本节没有介绍），反之比较简单。

矩阵不等式的数学模型：令 v 是一个方程组 ax= b 的一个系数矩阵，则ax= b 关于不等式 p (a>0)有下面的基本结论：1. a≥0时， p (a<0)=0。

2.当a≤0且 a＞0时，p (a)≤0；当 a＜0时，p (a)≥0。

3. a≥0时，p (x<0)≥0。

矩阵哈达玛不等式矩阵哈达玛不等式是线性代数中一个重要的不等式。

它与矩阵的秩有关，被广泛应用于多个领域，如信号处理、图论、优化问题等。

矩阵哈达玛不等式的表述非常简洁，但其中蕴含着许多深入的数学内涵。

为了更好地理解矩阵哈达玛不等式，我们首先需要了解矩阵的哈达玛积。

设A和B都是n阶矩阵，它们的哈达玛积记作A∘B，定义为将A和B对应位置的元素分别相乘得到的矩阵。

即(A∘B)ij = Aij * Bij，其中1≤i,j≤n。

下面我们来详细介绍矩阵哈达玛不等式的定义和性质。

一、矩阵哈达玛不等式的定义矩阵哈达玛不等式定义如下：对于任意的n阶矩阵A和B，有|A∘B| ≤ |A|∘|B|，其中|A|和|B|分别表示A和B的绝对值矩阵，即将A和B对应位置的元素取绝对值得到的矩阵。

二、矩阵哈达玛不等式的性质1. 可加性：若A和B是n阶矩阵，则有|A + B| ≤ |A| + |B|。

这个性质表明，矩阵的绝对值的和不大于其绝对值之和。

2. 数乘性：若A是n阶矩阵，k是实数，则有|kA| = |k| |A|。

这个性质表明，常数乘以矩阵的绝对值等于该常数的绝对值乘以矩阵的绝对值。

3. 乘法封闭性：设A和B是n阶矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。

这个性质表明，两个矩阵的哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。

根据这些性质，我们可以推导出一些重要的结论：1. 若A和B都是n阶矩阵且满足A ≤ B，则有|A| ≤ |B|。

这个结论表明，在矩阵的部分序关系下，绝对值的大小保持了原来矩阵的次序关系。

2. 若A是n阶矩阵，k是正实数，则有|kA| = k|A|。

这个结论表明，正实数乘以矩阵的绝对值等于该正实数乘以矩阵的绝对值。

3. 若A和B都是n阶非负矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。

这个结论表明，在非负矩阵的情况下，哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。

总结起来，矩阵哈达玛不等式告诉我们，在矩阵的绝对值运算下，矩阵的加法、数乘和哈达玛积等运算与绝对值运算具有相似的性质。

矩阵的秩及相关定理矩阵是⼀个数表，⾥⾯的元素有很多种理解⽅式，现在我们将矩阵理解为由⾏向量或列向量组成的⼀个向量组。

则矩阵的秩就是：⾏向量组或者列向量组中极⼤线性⽆关组所含向量的个数，或者说秩是列(⾏)向量空间的最低维度。

所以我们拿到⼀组向量，通过构造矩阵求秩，就可以知道这些向量所在空间的最低维度。

怎么理解呢？线性空间是我们⽤来容纳向量的集合，⽐如⽔平⾯就是⼀个线性空间，平⾯上的所有向量都是该空间内的元素，⽽⽔平⾯内的向量其实⼜全包含在三维空间内，所以三维空间也可以构成⼀个线性空间，来容纳⽔平⾯上的所有向量，⼀组向量所处的线性空间维度是没有上限的，但有下限，这个下限就是这个向量组的秩，⽐如平⾯上的所有向量秩为 2，那最少得⽤⼀个平⾯来容纳它们，总不能⽤直线来容纳吧。

总之：秩就是容纳这些向量的最⼩向量空间的维数。

设有若⼲个向量，它们能找到⼀个维数为n的空间容纳，且⽆法再找到更低维度的空间，那么它们的线性组合必然也能被这个空间容纳。

这是由线性空间的封闭性决定的。

注：如果不了解什么是向量空间的维数和向量维数，可先阅读。

进⼀步理解：以AB=C为例α1α2...αn⋅b11b12 (1)b21b22 (2)............b n1b n2...b nn=β1β2...βn矩阵C的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表出，输出向量组所在向量空间的最低维度必然不会超过矩阵A的秩。

输出的向量可能就被压缩到低维度的空间，即降秩(取决于变换的矩阵)。

理解了上述内容，可以得到⼀个定理：r(AB)≤min(r(A),r(B))1）将A看成变换矩阵，按列分块，矩阵B即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵列向量都可以由A列向量组表⽰，故r(AB)≤r(A)。

2）将B看成变换矩阵，按⾏分块，矩阵A即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵⾏向量都可以由B⾏向量组表⽰，故r(AB)≤r(B)。

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秩的知识点总结1. 矩阵的秩在线性代数中，一个矩阵的秩是指该矩阵列向量的最大线性无关组的大小。

换句话说，一个矩阵的秩是它的列向量的最大线性无关组的数量。

矩阵的秩通常用小写字母“r”表示。

2. 矩阵的行秩和列秩一个矩阵的秩可以通过它的行和列来计算。

矩阵的行秩是指该矩阵的行向量的最大线性无关组的数量，而矩阵的列秩是指该矩阵的列向量的最大线性无关组的数量。

一个矩阵的行秩和列秩是相等的。

3. 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩也可以用来求解线性方程组。

例如，对于一个包含n个未知数和m个方程的线性方程组，可以使用矩阵的秩来判断方程组的解是否存在以及解的个数。

4. 矩阵的秩与逆矩阵一个方阵的逆矩阵存在的必要条件是方阵的秩等于它的阶数。

因此，计算矩阵的秩可以帮助我们判断一个方阵是否有逆矩阵，并且可以帮助我们求解逆矩阵。

5. 矩阵的秩与特征值矩阵的秩也与特征值有关。

一个方阵的秩等于它的非零特征值的个数。

因此，矩阵的秩可以帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量。

6. 矩阵的秩与奇异值分解矩阵的秩还与奇异值分解有关。

奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵乘积的方法，其中一个是秩为r的对角矩阵。

因此，矩阵的秩可以帮助我们进行奇异值分解。

7. 矩阵秩的计算方法求解矩阵的秩有多种方法，包括高斯消元法、矩阵的行化简、矩阵的列化简和矩阵的特征值分解等方法。

8. 矩阵秩的应用领域矩阵的秩在科学和工程领域有着广泛的应用，包括在控制理论中的状态空间表示、计算机图形学中的图像处理、机器学习中数据分析和模式识别等领域。

在工程领域，矩阵的秩被用来描述有限元分析中的刚度矩阵和质量矩阵、电路分析中的导纳矩阵和励磁矩阵、化学工程中的化学反应平衡和化学反应速率等问题。

在研究领域，矩阵的秩被用来描述在复杂网络和生物信息学中的数据分析、社会科学中的调查数据分析、金融工程中的风险分析和投资组合优化等问题。

总之，矩阵的秩是一个在数学以及多个科学和工程领域中都具有重要意义的概念。