Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件_毕业论文

（9）
其中 d ( x), m( x) 分别是 f ( x), g ( x) 的最大公因式与最小公倍式． 分析这些恒等式可以发现， 许多结果都与矩阵秩的Sylvester或Frobenius不等式取等 号的条件相关联．关于矩阵秩的Frobenius不等式分别是指 命题7[4] (Frobenius不等式) 若 A, B, C 分别是域 P 上的 m × n ， n × s ， s × t 矩阵，则 rank( ABC ) ≥ rank( AB) + rank( BC ) − rank( B) （10）
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等式两边同乘以 d ( A) ，得 u ( A) f1 ( A)d ( A) + d ( A) g1 ( A)v( A) = d ( A) 由定理 1 得 rank( f1 ( A)d ( A) g1 ( A)) = rank( f1 ( A)d ( A)) + rank(d ( A) g1 ( A)) − rank(d ( A)) 即得 rank( f ( A)) + rank( g ( A)) = rank(m( A)) + rank(d ( A)) 推论 2 得证. 推论 3[5] 设 f ( x), g ( x) ∈ P[ x], A ∈ P n×n ，且(f ( x), h( x)) = 1 ，则 rank( f ( A) g ( A)) = rank( f ( A)) + rank( g ( A)) − n 证明 由推论 1 即得推论 3 成立. 设 fi ( x) ∈ P[ x] ， i = 1, 2, , t ， f1 ( x), f 2 ( x), , ft ( x) 两两互素， A ∈ P n×n . （25） （24）
B − BC 0 0 E AB 其中方阵
（19）
E 0 E −C 0 ， ， A E 0 E E 都是可逆的，由（18） 、 （19）式得 B rank 0 由（20） ，得式（17）又等价于
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E −E ， 0 0
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主要结果
引理1[13,14]（Roth） 设 A ∈ P m×s ， B ∈ P t×n ， C ∈ P m×n ，则矩阵方程
AX − YB = C
（14）
有解的充分必要条件是矩阵 A 0 A C 与 0 B 0 B 等价（相抵）. 定理1 设 A ∈ F m×n ， B ∈ F n×s ， C ∈ F s×t ，则 rank( ABC ) = rank( AB) + rank( BC ) − rank( B) 的充分必要条件是存在矩阵 X 、 Y 使得 XAB + BCY = B. 证明 由（16）式得到 （16） （15）
此处 = ( x)d ( x) f= ( x) g ( x) f1 ( x) g1 ( x)d 2 ( x) ，所以有 （f1 ( x), g1 ( x)） = 1 .因为 m m( x) = f1 ( x) g1 ( x)d ( x) 又 （f1 ( x), g1 ( x)） = 1 ，则存在 u ( x), v( x) ∈ P[ x] ，使 u ( x) f1 ( x) + v( x) g1 ( x) = 1 ，即 u ( A) f1 ( A) + v( A) g1 ( A) = E
= rank( B) + rank( ABC )
（11） （12）
由命题2立即得到（10）等号成立的充分必要条件是，对任意选定的 ( AB) − 和 ( BC ) − ，有 ( E − ( BC )( BC ) − ) B( E − ( AB) − ( AB)) = 0 （13）
正如[12]中作者在文末中评论的： “文献[11]给出了式（10）中等号成立的条件，但用到 了广义逆矩阵的概念，比较复杂.能否得出等号成立的较为简洁的条件? 这看来也是一 个不简单的问题． ” 本文将给出一个使(10)等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以 把文[1-8]中诸多结论统一起来并进行推广． 本文中所有记号与文[1]相同．
rank( f ( A)) + rank( g ( A)) = rank(m( A)) + rank(d ( A))
（23）
证明
设 ( f ( x), g ( x)) = d ( x) ，则存在 f1 ( x), g1 ( x) ，使 = f ( x) f= g1 ( x)d ( x) 1 ( x ) d ( x ), g ( x )
1 则有 由(f ( x), h( x)) = 1 ，故存在 u ( x), v( x) ∈ P( x) 使得 u ( x) f ( x) + v( x)h( x) =
u ( A) f ( A) + v( A)h( A) = E
等式两边同乘以 g ( A) ，得：
u ( A) f ( A) g ( A) + g ( A)h( A)v( A) = g ( A)
特别地，当命题1中矩阵 B 是单位矩阵时，由Frobenius不等式就得到了Sylvester不等式． 在文献[7]中，给出了矩阵秩的Frobenius不等式取等号的一个充分条件，在此基础 上获得了一类矩阵多项式秩的恒等式， 并由此推广了近期一些文献中的相关结论． 而文 献[8-10]也对Sylvester或Frobenius不等式取等号的充分必要条件条件进行了探讨，而文 献[11]中证明了 命题8[11] 对任意的广义逆 ( AB) − 和 ( BC ) − ，有 0 rank BC AB = rank( AB) + rank( BC ) B + rank[( E − ( BC )( BC ) − ) B( E − ( AB) − ( AB))]
由定理 1 可得
rank( f ( A) g ( A)h( A)) = rank( f ( A) g ( A)) + rank( g ( A)h( A)) − rank( g ( A))
由此得（22）式成立，命题得证. 推论 2[3] 设 f ( x), g ( x) ∈ P[ x] ，而 d ( x), m( x) 分别是 f ( x)与g ( x) 的最大公因式和最小 公倍式.则
rank( ABC ) + rank( B) = rank( AB) + rank( BC )
因此式（16）等价于 B rank 0 由于 E 0 B A E 0 0 E −C B − BC = ABC 0 E AB 0 E −E 0 0 0 BC = E 0 B AB （18） 0 BC = rank ABC 0 0 AB （17）
Frobenius 秩不等式取等号的一个新的充要条件
颜丽萍（071112404）
(孝感学院数学与统计学院，湖北 孝感，432100)
摘要：1911 年，Frobenius 给出了三个矩阵乘积秩的一个不等式：
rank( ABC ) ≥ rank( AB ) + rank( BC ) − rank( B )
rank( ABC ) ≥ rank( AB ) + rank( BC ) − rank( B )
ห้องสมุดไป่ตู้
A new necessary and sufficient condition for equality to hold is presented and then some interesting consequences and applications are discussed. Key word: rank of matrix; Frobenius inequality; tripotent matrix
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引言
矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题， 在最近的一些文献
[1-8]中， 研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式问题， 文献[1]利用两个矩阵多项 式秩的和的一个恒等式，给出了下列一些秩等式： 命题 1[1] 设 A ∈ P n×n ，则 （1） （2） （3） （4）
rank[( E − A)( E + A)] + rank[( E + A) A] + rank[( E − A) A] = n + 2rank( A − A3 ) rank( E + A) + rank[( E − A) A] = n + rank( A − A3 ) rank( E − A) + rank[( E + A) A] = n + rank( A − A3 )
rank ( A ) + rank( E − A) + rank( E + A) = 2n + rank( A − A3 )
命题 2[1] 设 A ∈ P n×n ， t ≥ 1 ，则
rank( A) + rank( At − At + 2 ) rank( At ) + rank ( A − A3 ) =
由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式， 即刻画三幂等矩阵的秩特征 等式： 命题 4[2,3,4]设 A ∈ P n×n ，则 A = A3 ⇔ rank( A) =rank( A − A2 ) + rank( A + A2 ) 文献[5]也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征： 命题 5[5] 设 A ∈ P n×n ，则 A =A3 ⇔ rank( A) + rank( E − A2 ) =n （8） （7）
YAN Li-ping（071112404） (School of Mathematics and Statistical of Xiaogan University, Xiaogan Hubei 432100)
Abstract: The well-known Frobenius rank inequality established by Frobenius in 1911 states that the rank of the product ABC of three matrices satisfies the inequality rank
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应用
利用我们的结果，可以直接获文献[1-8]中相关结论. 推论 1[7] 设 f ( x), g ( x), h( x) ∈ P[ x], A ∈ P n×n , 且(f ( x), h( x)) = 1 ，则 rank( f ( A) g ( A)) + rank( g ( A)h( = A)) rank( f ( A) g ( A)h( A)) + rank( g ( A)) 证明 （22）
（5）
在命题 1 与命题 2 的基础上，刻画了三幂等矩阵的若干秩特征[1]． 文献[2]以矩阵 Schur 补的秩可加性为基础，得到了任两个矩阵的秩之间联系的恒 等式，由此给出了具有重要意义的秩恒等式： 命题 3[2] 设 A ∈ P n×n ，则 rank( A) + rank( A − A3 ) = rank( A − A2 ) + rank( A + A2 ) （6）
本文给出使 Frobenius 不等式取等号的一个充要条件，获得一些有趣的结果，讨论了它的若干应用． 关键词：矩阵的秩；Frobenius 不等式；三幂等阵
A New Necessary and Sufficient Condition for Equality in Frobenius Inequality
3] 此外，文献[1,3]中还给出了若干刻画三幂等或 m 幂等矩阵的 秩特征等式[1， ，主要方法
2
是利用文献[6]的关于矩阵多项式的如下一个恒等式： 命题 6[4] 设 A ∈ P n×n ， f ( x), g ( x) ∈ P[ x] ，则
rank( f ( A)) + rank( g ( A)) = rank(d ( A)) + rank(m( A))
0 E
0 BC = rank ABC 0
B AB
（20）
BC rank 0
0 BC = rank AB 0
B AB
（21）
根据引理1，式（21）成立的充分必要条件是存在矩阵 X 、 Y ，使得 XAB + BCY = B.