线性矩阵不等式1

不等式证明与矩阵构造
线性不等式是一种以等式表达和数学运算操作处理有关限制条件问题的常用的数学方法，它可以用于解决多种应用问题。

本文将结合矩阵构造，介绍线性不等式的证明方法：
一、矩阵构造
1、方程组矩阵构造：矩阵构造是线性不等式证明的基础，即把一组不等式表示为矩阵形式，并根据不等式的不同类别和相互关系，将矩阵构建成符合要求的方式，以便进行证明。

2、矩阵转置：在矩阵构造的基础上，可以对不等式转置（即空间坐标系的变换），当不等式的式子含有负号时，我们可以通过转置将正负号转换，以此来解决等式或不等式的体系。

二、矩阵证明
1、比较矩阵：矩阵证明法是线性不等式最常用的一种证明方法，它具有明确性和方便性。

主要是比较矩阵或变量中任意数字的大小，从而分析两者不等式结果的偏差，以确定不等式判定结果。

2、矩阵替换：另一种常见的矩阵证明法是将不等式中表达式以及相关
数据抽象出来，并将其体现在另一个矩阵模型中，然后对另一个矩阵
模型进行评价，以获得最终的判断结果。

三、矩阵总结
1、方程式解析：通过构建符合线性不等式条件的方程，并分析一组线
性方程是否具有解，如果有解，则证明这组不等式结果正确；
2、证明正确性：当解出每一条不等式的结果后，分别对它们进行证明，通过这组数据进行计算出所有不等式的结果，根据结果分析该组不等
式是不是正确的。

总结：线性不等式的证明主要是结合方程组矩阵构造、矩阵转置、比
较矩阵、矩阵替换方法，从而使线性不等式结果正确。

因此，我们可
以从更宽阔的角度出发，运用数学解决复杂的问题和实际应用。

控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。

本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。

1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。

它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。

该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。

2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。

它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。

该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。

3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。

它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。

该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。

4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。

它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。

该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。

总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。

一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]1122331000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：TA P +P A =Q -成立，其中Q 为正定矩阵。

那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：TA P +P A <0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。

2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECV ARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。

[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin 大于0时，表明LMI 系统不可行，P 阵无解，系统不稳定，tmin 小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。

3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。

进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。

得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。

一般采用mincx 求解器求解。

考虑这样一个优化问题：m in ().. 0TTT ra c e X s t A X X A X B B X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECV ARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。

LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。

在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。

对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。

每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。

mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。

gevp：解决广义特征值最小化问题。

例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。

要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。

对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。

左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。

左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。

每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。

解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。

2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。

矩阵哈达玛不等式矩阵哈达玛不等式是线性代数中一个重要的不等式。

它与矩阵的秩有关，被广泛应用于多个领域，如信号处理、图论、优化问题等。

矩阵哈达玛不等式的表述非常简洁，但其中蕴含着许多深入的数学内涵。

为了更好地理解矩阵哈达玛不等式，我们首先需要了解矩阵的哈达玛积。

设A和B都是n阶矩阵，它们的哈达玛积记作A∘B，定义为将A和B对应位置的元素分别相乘得到的矩阵。

即(A∘B)ij = Aij * Bij，其中1≤i,j≤n。

下面我们来详细介绍矩阵哈达玛不等式的定义和性质。

一、矩阵哈达玛不等式的定义矩阵哈达玛不等式定义如下：对于任意的n阶矩阵A和B，有|A∘B| ≤ |A|∘|B|，其中|A|和|B|分别表示A和B的绝对值矩阵，即将A和B对应位置的元素取绝对值得到的矩阵。

二、矩阵哈达玛不等式的性质1. 可加性：若A和B是n阶矩阵，则有|A + B| ≤ |A| + |B|。

这个性质表明，矩阵的绝对值的和不大于其绝对值之和。

2. 数乘性：若A是n阶矩阵，k是实数，则有|kA| = |k| |A|。

这个性质表明，常数乘以矩阵的绝对值等于该常数的绝对值乘以矩阵的绝对值。

3. 乘法封闭性：设A和B是n阶矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。

这个性质表明，两个矩阵的哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。

根据这些性质，我们可以推导出一些重要的结论：1. 若A和B都是n阶矩阵且满足A ≤ B，则有|A| ≤ |B|。

这个结论表明，在矩阵的部分序关系下，绝对值的大小保持了原来矩阵的次序关系。

2. 若A是n阶矩阵，k是正实数，则有|kA| = k|A|。

这个结论表明，正实数乘以矩阵的绝对值等于该正实数乘以矩阵的绝对值。

3. 若A和B都是n阶非负矩阵，则有|A∘B| ≤ |A|∘|B|。

这个结论表明，在非负矩阵的情况下，哈达玛积的绝对值不大于它们绝对值的哈达玛积。

总结起来，矩阵哈达玛不等式告诉我们，在矩阵的绝对值运算下，矩阵的加法、数乘和哈达玛积等运算与绝对值运算具有相似的性质。